Document 482717

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
ТАРАЗСК ИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. Х. ДУЛАТИ
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
«Прикладная и вычислительная математика»
____________Крахмалева Ю.Н.
«___» ________ 2010г.
Методические указания
для выполнения самостоятельной работы
дисциплине по «Математический анализ -3»
для студентов специальности 050601- математика
Тараз 2010
Методические указания для выполнения самостоятельной работы
дисциплине по «Математический анализ-3» для студентов специальности
050601- «Математика» разработаны в соответствии с рабочей программой
дисциплины.
Методические указания разработаны: Жакаш А.Т. - к.т.н., доц. кафедры
«Прикладная и вычислительная математика».
Методические указания обсуждены на заседании кафедры «Прикладная и
вычислительная математика».
Протокол № ___ от ____ _________2010г.
3
1. Основные положения
По дисциплине «Математический анализ-3»
соответствующей рабочей
программой дисциплины предусмотрено выполнение самостоятельной работы
студентов (СРС). СРС проводится в виде расчетно-графических заданий (РГЗ)
на определенную тему. РГЗ носит индивидуальный характер и проводится по
вариантам. Вариант задания РГЗ соответствует порядковому номеру студента
из списка студентов журнала преподавателя.
РГЗ выполняется в течении срока, указанного в учебно-методическом
комплексе студента по данной дисциплине.
Оформление: форма проведения РГЗ - письменная и выполняется в тетради
для СРС по дисциплине «Математический анализ-3». В тетради по СРС на
титульном листе указываются: фамилия и имя студента, наименование
дисциплины, факультет, специальность, номер варианта РГЗ. При
непосредственном выполнении РГЗ сначала записывают условия своего
варианта, а затем приступают к выполнению задания.
При возникновении трудности выполнения РГЗ студент обращается к
преподавателю за консультацией. Консультации проводятся преподавателем
индивидуально и по малым группам.
Готовая работа сдается преподавателю по дисциплине для получения
допуска к защите РГЗ. При получении допуска защиты РГЗ студент в устной
форме защищает свою работу. При защите работы студент должен знать
теоретический материал по теме, а также теоретический материал,
соприкасающихся к этой теме тем. При выполнении РГЗ студент должен
иметь определенные базовые знания и умения по теме РГЗ.
2. СРС №1- ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
Теоретический материал, необходимый для успешного решения по теме:
1. Сходящиеся и расходящиеся ряды.
2. Основные свойства сходящихся и расходящихся рядов.
3. Признаки сравнения.
4. Признак Даламбера.
5. Признак Коши.
6. Интегральный признак сходимости Маклорена –Коши.
Варианты задания. Варианты заданий по учебнику: Демидович В.П. Задачи и
упражнения по математическому анализу.
Исследовать на сходимость ряды, применяя признаки сходимости.
2.3 Решение типового варианта.

1
1
1
1


    , где общий член
Пример 1. Дан ряд 1 
2
22 32
n2
n 1n
1
. Найти an 1 .
an 
2
n
4
Решение
Заменяя в общем члене n на n  1 , получим an 1 
1
n  12
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

1
1
1
1
1
 nn  1  1 2  2  3  3  4    nn  1  
n 1
Решение
1
1
1
Так как
, то n  ая частичная сумма данного ряда
 
nn  1 n n  1
1
1
1
1
1 
 1 1 1 1 1
1
An 



 1               

1 2 2  3 3  4
nn  1  2   2 3   3 4 
 n n  1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1       
 1
.
2 2 3 3 4 4
n n 1
n 1
Эта сумма при n   имеет предел
1 

A  lim An  lim 1 
  1.
n  1
n 
n 
Итак, данный ряд сходится и его сумма равна единице.

1
Пример3. Исследовать ряд 
на сходимость.
5
n 1n  n  2
Решение
1
Шаг 1. Проверим знакоположительность ряда: an 
 0 для
n5 n  2
n  1, 2,
Шаг 2. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда:
1
1
lim an  0 . Так как an 
, то lim an  lim
 0.
n 
n 
n  n  5 n  2
n5 n  2
(Если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить.)
Шаг 3. Используем первый признак сравнения. Для этого подберем для
1
1
1
данного ряда ряд-эталон. Так как
, то в качестве эталона


n  5 n  2 n  5 n n6 5


1
можно взять ряд  bn  
, т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так как
65
n 1
n 1n
6
показатель степени    1 . Следовательно, согласно первому признаку
5
сравнения сходится и исследуемый ряд.
5
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд


n 3  2n 2  n
4
n 1 n  3n  2
.
Решение
Данный ряд знакоположительный, так как an 
n N .
n3  2n 2  n
n 4  3n  2
 0 для любого
n 3  2n 2  n
n 3 n 4  2n 2 n 4  n n 4

lim an  lim
    lim

n 
n  n 4  3n  2
   n  n 4 n 4  3n n 4  2 n 4
 lim
1 n  2 n 2  1 n3
n  1  3 n3  2 n 4
Так как
n 3  2n 2  n
n 4  3n  2
~

n3
n4
0
 0.
1
~
1
, то возьмем в качестве ряда-эталона
n

1 
гармонический расходящийся ряд    bn . Поскольку предел отношения
n 1n n 1
общих членов a n и bn конечен и отличен от нуля (он равен 1), то на основании
второго признака сравнения данный ряд расходится.
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд


n2
n 1 3
n
по признаку Даламбера.
Решение
Данный ряд знакоположительный и
n2
2

    lim
 0.
n 
n  3n    n  3n ln 32
(Здесь при вычислении дважды применено правило Лопиталя.)
Так как
lim an  lim
an 1


n  12 n 2
n  12  3n 1
n 2  2n  1
lim
 lim

 lim
 lim

n n  n 1 2
2
3
n   an
n  3n 1
n


3
3
n
n
 2 1  1
1
   1,
 lim 1  
3 n  n n 2  3
то по признаку Даламбера данный ряд сходится.

1
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд  .
n 1n!
Решение
6
1
 0 . Поскольку
n 
n   n!
a
1
1
n!
1
lim n 1  lim
  lim
 lim
 0  1,
n  an
n  n  1! n! n  n  1! n  n  1
то данный ряд сходится.
Данный ряд знакоположительный и lim an  lim

n
 2n 
Пример 7. Исследовать на сходимость ряд  
 .
n

1

n 1
Решение
n
 2n 
Данный ряд знакоположительный, так как an  
  0 для любого
 n  1
n
n N .
Поскольку
вычисление
предела
 2n 
lim 

n   n  1 
вызывает
определенные трудности, то проверку выполнимости необходимого признака
сходимости ряда опускаем.
Так как
n
2n   
2
    lim
 2 1,
n  n  1    n  1  1 n
то по признаку Коши данный ряд расходится.

1
.
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд 
2
n 2 n ln n
Решение
1
Члены ряда суть значения функции f x  
при x  2,3, Так как для
x ln 2 x
x  2 n  2 эта функция непрерывна, положительна и убывает, то вопрос о
 2n 
lim n an  lim n 

n 
n   n  1 
 lim

сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости интеграла
определению несобственного интеграла


dx
2
2 x ln x
. По
 1 t

 lim 
 lim 
 lim  



2
2
2
ln
x
2
t   
2 x ln x t   2 x ln x t   2 ln x
1 
1
 1
 lim 

.



ln
t
ln
2
ln
2
t  
несобственный интеграл сходится, а, следовательно, сходится и исходный
числовой ряд.
dx
t
t
dx
7
d (ln x )
3. СРС № 2- ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ.
3.1 Теоретический материал, необходимый для успешного решения по
теме:
1. Степенной ряд и область их сходимости.
2. Теорема Коши-Адамара.
3. Разложение функции в степенные ряды.
4. Теорема Абеля.
5. Разложение элементарных функций в степенные ряды.
6. Приближенные вычисления значений некоторых функций.
3.2 Варианты заданий по учебнику: Демидович В.П. Задачи и упражнения по
математическому анализу.
3.3 Решение типового варианта.
Пример 1. Вычислить е, воспользовавшись рядом
x2
xn
e  1 x 


2!
n!
и взяв сумму первых пяти членов при x  1. Оценить величину погрешности  .
Решение
1 1 1
1
x  1, e1  1  1        
2! 3! 4!
n!
Оценим остаток данного ряда с положительными членами двумя способами.
I способ
Воспользуемся остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа
x
f n 1  
x  x0 n 1 .
Rn  x  
n  1!
В нашем примере x0  0 , x  1, n  4 , x0    x . Поэтому
e
e1
e 3
1
1
Rn 

  
, 
.
n  1! n  1! 5! 5! 40
40
II способ
1
1
1 1 1 1
 1 1

Rn         1  

  
 5! 6! 7! 8!
 5!  6 6  7 6  7  8

 1
1 1 1
1
1
1 6
1
 1  
    

 
.
5!  6 62 63
5
!
1

1
6
120
5
100

1
Остаток ряда  
, т.е. после запятой оставляем две первые цифры
100
e  1  1  0,5  0,166  0,042  2,71 .
Следует отметить, что в данном примере второй способ оценки ошибки
оказался более точным, что позволяет взять меньшее число членов ряда.
8
Пример 2. Вычислить 4 17 с точностью до 0,0001.
Решение
4 17  4 16  1  24 1  1  21 

16

1
1 4
 .
16 
Используя биномиальный ряд
1  x   1   x     1  x 2     1  2  x3   , при   1 , получим
1 2
1 2  3
4
4 17  21  1  1  1    3   1  1  3  7  1   
 4 16 4  8 

2 4 8 12
3


16

1
1 3
1 3  7
 2



2 16 2  8 16 2 2  8 12 163
Это знакочередующийся ряд.
1 3
3

 0,0001 ;
2  8 16 2 163
Поэтому, ограничившись суммой
4 17  2,0305 .
9
16

1 3  7
 0,0001 .
2  8 12 163
первых трех членов,
получаем