МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ТАРАЗСК ИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. Х. ДУЛАТИ УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой «Прикладная и вычислительная математика» ____________Крахмалева Ю.Н. «___» ________ 2010г. Методические указания для выполнения самостоятельной работы дисциплине по «Математический анализ -3» для студентов специальности 050601- математика Тараз 2010 Методические указания для выполнения самостоятельной работы дисциплине по «Математический анализ-3» для студентов специальности 050601- «Математика» разработаны в соответствии с рабочей программой дисциплины. Методические указания разработаны: Жакаш А.Т. - к.т.н., доц. кафедры «Прикладная и вычислительная математика». Методические указания обсуждены на заседании кафедры «Прикладная и вычислительная математика». Протокол № ___ от ____ _________2010г. 3 1. Основные положения По дисциплине «Математический анализ-3» соответствующей рабочей программой дисциплины предусмотрено выполнение самостоятельной работы студентов (СРС). СРС проводится в виде расчетно-графических заданий (РГЗ) на определенную тему. РГЗ носит индивидуальный характер и проводится по вариантам. Вариант задания РГЗ соответствует порядковому номеру студента из списка студентов журнала преподавателя. РГЗ выполняется в течении срока, указанного в учебно-методическом комплексе студента по данной дисциплине. Оформление: форма проведения РГЗ - письменная и выполняется в тетради для СРС по дисциплине «Математический анализ-3». В тетради по СРС на титульном листе указываются: фамилия и имя студента, наименование дисциплины, факультет, специальность, номер варианта РГЗ. При непосредственном выполнении РГЗ сначала записывают условия своего варианта, а затем приступают к выполнению задания. При возникновении трудности выполнения РГЗ студент обращается к преподавателю за консультацией. Консультации проводятся преподавателем индивидуально и по малым группам. Готовая работа сдается преподавателю по дисциплине для получения допуска к защите РГЗ. При получении допуска защиты РГЗ студент в устной форме защищает свою работу. При защите работы студент должен знать теоретический материал по теме, а также теоретический материал, соприкасающихся к этой теме тем. При выполнении РГЗ студент должен иметь определенные базовые знания и умения по теме РГЗ. 2. СРС №1- ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ Теоретический материал, необходимый для успешного решения по теме: 1. Сходящиеся и расходящиеся ряды. 2. Основные свойства сходящихся и расходящихся рядов. 3. Признаки сравнения. 4. Признак Даламбера. 5. Признак Коши. 6. Интегральный признак сходимости Маклорена –Коши. Варианты задания. Варианты заданий по учебнику: Демидович В.П. Задачи и упражнения по математическому анализу. Исследовать на сходимость ряды, применяя признаки сходимости. 2.3 Решение типового варианта. 1 1 1 1 , где общий член Пример 1. Дан ряд 1 2 22 32 n2 n 1n 1 . Найти an 1 . an 2 n 4 Решение Заменяя в общем члене n на n 1 , получим an 1 1 n 12 Пример 2. Исследовать на сходимость ряд 1 1 1 1 1 nn 1 1 2 2 3 3 4 nn 1 n 1 Решение 1 1 1 Так как , то n ая частичная сумма данного ряда nn 1 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 An 1 1 2 2 3 3 4 nn 1 2 2 3 3 4 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 3 3 4 4 n n 1 n 1 Эта сумма при n имеет предел 1 A lim An lim 1 1. n 1 n n Итак, данный ряд сходится и его сумма равна единице. 1 Пример3. Исследовать ряд на сходимость. 5 n 1n n 2 Решение 1 Шаг 1. Проверим знакоположительность ряда: an 0 для n5 n 2 n 1, 2, Шаг 2. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда: 1 1 lim an 0 . Так как an , то lim an lim 0. n n n n 5 n 2 n5 n 2 (Если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить.) Шаг 3. Используем первый признак сравнения. Для этого подберем для 1 1 1 данного ряда ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона n 5 n 2 n 5 n n6 5 1 можно взять ряд bn , т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так как 65 n 1 n 1n 6 показатель степени 1 . Следовательно, согласно первому признаку 5 сравнения сходится и исследуемый ряд. 5 Пример 4. Исследовать на сходимость ряд n 3 2n 2 n 4 n 1 n 3n 2 . Решение Данный ряд знакоположительный, так как an n N . n3 2n 2 n n 4 3n 2 0 для любого n 3 2n 2 n n 3 n 4 2n 2 n 4 n n 4 lim an lim lim n n n 4 3n 2 n n 4 n 4 3n n 4 2 n 4 lim 1 n 2 n 2 1 n3 n 1 3 n3 2 n 4 Так как n 3 2n 2 n n 4 3n 2 ~ n3 n4 0 0. 1 ~ 1 , то возьмем в качестве ряда-эталона n 1 гармонический расходящийся ряд bn . Поскольку предел отношения n 1n n 1 общих членов a n и bn конечен и отличен от нуля (он равен 1), то на основании второго признака сравнения данный ряд расходится. Пример 5. Исследовать на сходимость ряд n2 n 1 3 n по признаку Даламбера. Решение Данный ряд знакоположительный и n2 2 lim 0. n n 3n n 3n ln 32 (Здесь при вычислении дважды применено правило Лопиталя.) Так как lim an lim an 1 n 12 n 2 n 12 3n 1 n 2 2n 1 lim lim lim lim n n n 1 2 2 3 n an n 3n 1 n 3 3 n n 2 1 1 1 1, lim 1 3 n n n 2 3 то по признаку Даламбера данный ряд сходится. 1 Пример 6. Исследовать на сходимость ряд . n 1n! Решение 6 1 0 . Поскольку n n n! a 1 1 n! 1 lim n 1 lim lim lim 0 1, n an n n 1! n! n n 1! n n 1 то данный ряд сходится. Данный ряд знакоположительный и lim an lim n 2n Пример 7. Исследовать на сходимость ряд . n 1 n 1 Решение n 2n Данный ряд знакоположительный, так как an 0 для любого n 1 n n N . Поскольку вычисление предела 2n lim n n 1 вызывает определенные трудности, то проверку выполнимости необходимого признака сходимости ряда опускаем. Так как n 2n 2 lim 2 1, n n 1 n 1 1 n то по признаку Коши данный ряд расходится. 1 . Пример 8. Исследовать на сходимость ряд 2 n 2 n ln n Решение 1 Члены ряда суть значения функции f x при x 2,3, Так как для x ln 2 x x 2 n 2 эта функция непрерывна, положительна и убывает, то вопрос о 2n lim n an lim n n n n 1 lim сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости интеграла определению несобственного интеграла dx 2 2 x ln x . По 1 t lim lim lim 2 2 2 ln x 2 t 2 x ln x t 2 x ln x t 2 ln x 1 1 1 lim . ln t ln 2 ln 2 t несобственный интеграл сходится, а, следовательно, сходится и исходный числовой ряд. dx t t dx 7 d (ln x ) 3. СРС № 2- ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ. 3.1 Теоретический материал, необходимый для успешного решения по теме: 1. Степенной ряд и область их сходимости. 2. Теорема Коши-Адамара. 3. Разложение функции в степенные ряды. 4. Теорема Абеля. 5. Разложение элементарных функций в степенные ряды. 6. Приближенные вычисления значений некоторых функций. 3.2 Варианты заданий по учебнику: Демидович В.П. Задачи и упражнения по математическому анализу. 3.3 Решение типового варианта. Пример 1. Вычислить е, воспользовавшись рядом x2 xn e 1 x 2! n! и взяв сумму первых пяти членов при x 1. Оценить величину погрешности . Решение 1 1 1 1 x 1, e1 1 1 2! 3! 4! n! Оценим остаток данного ряда с положительными членами двумя способами. I способ Воспользуемся остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа x f n 1 x x0 n 1 . Rn x n 1! В нашем примере x0 0 , x 1, n 4 , x0 x . Поэтому e e1 e 3 1 1 Rn , . n 1! n 1! 5! 5! 40 40 II способ 1 1 1 1 1 1 1 1 Rn 1 5! 6! 7! 8! 5! 6 6 7 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 . 5! 6 62 63 5 ! 1 1 6 120 5 100 1 Остаток ряда , т.е. после запятой оставляем две первые цифры 100 e 1 1 0,5 0,166 0,042 2,71 . Следует отметить, что в данном примере второй способ оценки ошибки оказался более точным, что позволяет взять меньшее число членов ряда. 8 Пример 2. Вычислить 4 17 с точностью до 0,0001. Решение 4 17 4 16 1 24 1 1 21 16 1 1 4 . 16 Используя биномиальный ряд 1 x 1 x 1 x 2 1 2 x3 , при 1 , получим 1 2 1 2 3 4 4 17 21 1 1 1 3 1 1 3 7 1 4 16 4 8 2 4 8 12 3 16 1 1 3 1 3 7 2 2 16 2 8 16 2 2 8 12 163 Это знакочередующийся ряд. 1 3 3 0,0001 ; 2 8 16 2 163 Поэтому, ограничившись суммой 4 17 2,0305 . 9 16 1 3 7 0,0001 . 2 8 12 163 первых трех членов, получаем