ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ И ИНФОРМАТИКЕ

Исследовательские задания к XII республиканскому турниру юных математиков
Обращаем ваше ВНИМАНИЕ на то, что предлагаемые задачи (задания!) носят исследовательский
характер, поэтому наилучшие обобщения и полные решения неизвестны даже их авторам, поэтому:
 хотя мы и ждем максимальных ВАШИХ обобщений, но во многих задачах интерес представляют
даже отдельные частные случаи;
 возможно (это допускается и даже приветствуется) ВЫ сможете усилить ряд утверждений,
приведенных непосредственно в формулировках задач;
 кроме рассмотрения исходной постановки полезно исследовать свои направления, причем совсем
необязательно ваши обобщения должны совпадать с предложениями авторов задач;
 КАЖДУЮ ЗАДАЧУ НЕОБХОДИМО ОФОРМИТЬ ОТДЕЛЬНО: в распечатанном или аккуратно
написанном от руки виде; при этом оформление каждой задачи должно начинаться С ТИТУЛЬНОГО
ЛИСТА, на котором должны быть указаны номер задачи и ее название, название учреждения
образования, город, автор(ы) исследования (решения); НИЖЕ НА ТИТУЛЬНОМ ЛИСТЕ (или на
втором листе) обязательно дайте краткое резюме вашего исследования – какие пункты вы
решили, какие сделали обобщения, четко сформулируйте ВАШИ ГЛАВНЫЕ ДОСТИЖЕНИЯ
(утверждения, примеры, гипотезы), с указанием страниц в работе, где они приведены и доказаны
(обоснованы);
 кроме этого, дайте четкие ссылки на литературу и другие источники (Интернет и т.п.), которую вы
использовали при проведении исследований (обычно в конце работы).
№ 1. Диофантовы уравнения с дробным показателем
I. Решите следующие уравнения в натуральных числах. Другими словами, найдите все тройки
натуральных чисел (x, y, z), для которых выполняются равенства:
1. x1/ 2  y1/ 2  z1/ 2 ,
2. x1/ 3  y1/ 3  z1/ 3 ,
3. x1/ 2  y1/ 3  z1/ 4 ,
4. x 2/ 3  y 2/ 3  z 2/ 3 ,
5. x3/ 2  y 3/ 2  z 3/ 2 .
II. Обобщения.
6. x1/ n  y1/ n  z1/ n , n  N ,
7. x1/ m  y1/ n  z1/ k , m, n, k  N ,
8. x 2/ n  y 2/ n  z 2/ n , n  N ,
9. x m / n  y m / n  z m / n , m, n  N .
III. Предложите свои обобщения или направления в этой задаче и исследуйте их.
Примечание. Интерес представляет исследование отдельных частных случаев.
№ 2. Функции, заданные на конечных множествах
Пусть дано множество A подряд идущих n натуральных чисел и некоторое множество B,
содержащее m натуральных чисел. Будем рассматривать функции f, ставящие в соответствие каждому
элементу a из множества A некоторое число f(a) из множества B.
Определение 1. Функцию f назовем возрастающей на множестве А, если для любых a1 и a2 из множества
А выполняется: a1 < a2  f(a1)  f (a2).
Определение 2. Функцию f назовем строго возрастающей на множестве А, если для любых a1 и a2 из
множества А выполняется: a1 < a2  f(a1) < f (a2).
Аналогично определим убывающую и строго убывающую функции. Возрастающие и убывающие
функции называют монотонными, строго возрастающие и убывающие – строго монотонными.
Определение 3. Натуральное число t назовем периодом функции f, если для любого a  A выполнены два
условия:
(1) из того, что a + t  A следует, что f(a) = f(a + t);
(2) из того, что a – t  A следует, что f(a) = f(a – t).
2
Определение 4. Натуральное число t назовем точным периодом функции f, если кроме условий (1) и (2)
предыдущего определения выполнено условие:
(3) t является делителем п.
n
Число   назовем порядком периода. В простейшем случае число п само является периодом
t 
функции. Назовем его тривиальным.
Функцию, имеющую нетривиальный период, будем называть периодической. Наименьший из
периодов функции f назовем основным периодом и обозначим T. При необходимости функцию, для
n
которой существует нетривиальный период t такой, что число
 целое, будем называть точно
t
периодической.
I. Количественные (комбинаторные) вопросы для исследования (во многих случаях интерес
представляет отдельное рассмотрение вариантов: m < n, m = n, m > n).
1. Сколько существует различных функций, заданных на множестве A и принимающих значения из
множества B?
2. Сколько существует различных монотонных (строго монотонных, периодических) функций?
3. Для натурального числа k рассмотрим k-значную функцию fk, ставящую в соответствие каждому
элементу a из множества A упорядоченный набор k элементов из множества B. Сколько существует
различных k-значных функций (в том числе монотонных, строго монотонных, периодических)?
Примечание. Для исследования пункта 3 дайте соответствующие определения.
II. Качественные вопросы для исследования.
4. Получите условия (необходимые и/или достаточные) для того чтобы сумма или произведение
двух (нескольких) монотонных (строго монотонных, периодических) функций была соответственно
монотонной (строго монотонной, периодической) функцией. В случае периодических функций
исследуйте (определите) зависимости между их периодами.
5. Исследуйте вопросы аналогичные пункту 4 для композиции двух или нескольких функций
III. Предложите свои обобщения этой задачи и исследуйте их. В частности, интересно рассмотреть
различные пункты этой задачи для функций равномерно возрастающих (убывающих) или равномерно
изменяющихся (определения см. ниже).
Определение 5. Функцию f назовем равномерно возрастающей на множестве А, если она является
возрастающей и существует натуральное число d такое, что для любых a, (a + 1)  A  f(a + 1)  f(a)  d.
Определение 6. Функцию f назовем равномерно изменяющейся на множестве А, если существует
натуральное число d такое, что для любых a, (a + 1)  A  | f(a + 1)  f(a)|  d.
№ 3. Обобщения одного неравенства
Во всех пунктах этой задачи
ai
– положительные действительные числа.
1
1.
2.
 1
1
1
1
1  2
Докажите неравенство:
.




a1 a 2 a1  a 2  a12 a 22 
Докажите неравенство:
1
 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1  2









.
a1 a 2 a3 a1  a 2 a 2  a3 a3  a1 a1  a 2  a3  a12 a 22 a32 
3. Неравенства из пунктов 1 и 2 очевидным образом можно обобщать на случай n переменных.
Предложите различные обобщения этих неравенств. Проверьте, верны ли обобщенные неравенства для
любых значений п или найдется некоторое число k такое, что для n  k обобщенное неравенство является
неверным. В последнем случае найдите по возможности наименьшее такое число k.
4. Докажите неравенство
2
1
  1
1
1
1
1
1
1
1
1 
2
 
 








a a

2
2
2
2
a

2 a3 a1  a2 a2  a3 a3  a1 a1  a2  a3 
 1
 1 a2 a3  a1  a2  a3 
3
5.
В неравенстве
2
1
  1
1
1
1
1
1
1
1
1 
С
 
 








a a

2
2
2
2
a

2 a3 a1  a2 a2  a3 a3  a1 a1  a2  a3 
 1
 1 a2 a3  a1  a2  a3 
попытайтесь найти наибольшее возможное значение константы C, при котором оно является верным.
6. Предложите другие обобщения этой задачи и исследуйте их. (Примечание. Одно из возможных
1
 D
A
B
C
E  2
направлений для обобщения исследование неравенства
при различных




a1 a 2 a1  a 2  a12 a 22 
константах A, B, C, D, E).
№ 4. Числа в таблицах
I. В каждую клетку прямоугольной таблицы m  n (m строк, n столбцов) записано натуральное
число от 1 до mn (каждое по одному разу). Играют двое. Сначала первый выбирает любую строчку, и
суммирует числа в ней; затем эта строчка вычеркивается. Потом второй выбирает любой из столбцов
(который содержит т – 1 чисел), и суммирует числа в нем; затем этот столбец вычеркивается. И так далее
пока не будут вычеркнуты все строки (столбцы). Обозначим сумму чисел, полученную первым игроком
S1, сумму чисел, полученную вторым игроком S2.
Основные вопросы для исследования: найдите или оцените в зависимости от расположения чисел в
таблице и стратегии действий игроков возможные значения S1 и S2 или их отношения. При этом возможны
два варианта игры: альтернативная игра (при которой каждый игрок преследует свои цели, например,
набрать максимально возможную или какую-то другую сумму) и кооперативная игра (при которой
игроки выбирают общую стратегию для получения необходимых значений S1 и S2 или их отношения).
А) Пусть числа записаны в каждую клетку таблицы по порядку: 1 в левую верхнюю клетку, 2 в
соседнюю с первой верхнюю клетку и т. д., заканчивая числом тn, которое записывается в правую
нижнюю клетку. Установите или оцените наибольшее и наименьшее возможное отношение суммы чисел
первого игрока к сумме чисел второго (при обоих видах игры). Попробуйте определить все возможные
значения пар (S1, S2) при играх различного вида. Возможно ли (и при каких m и n?), чтобы отношение
S1 S 2 было больше единицы (2-ки, 3-ки, …, k) и наоборот?
Б) Те же вопросы, но для таблицы заполненной числами от 1 до mn в некотором специально порядке
(рассмотрите конкретные случаи или получите общий результат).
II. Во все клетки равностороннего треугольника, разрезанного параллельными прямыми (каждая
сторона на n равных частей) на равные правильные треугольники, вписаны различные натуральные числа
от 1 до n2, где n2 – количество маленьких треугольников в равностороннем треугольнике. Исследуйте
вопросы, аналогичные пунктам I.А) и I.Б) для двух (трех) игроков.
Примечание. Первый на первом ходу выбирает, считает сумму чисел и вычеркивает любую строку,
параллельную основанию, затем второй делает то же самое с любой строкой, параллельной правой
стороне треугольника и т.д.
III. Во все клетки гексагональной доски (состоящей из равных правильных шестиугольников)
вписаны подряд идущие натуральные числа от 1 до наибольшего возможного числа, которое может стать
на доске. Исследуйте вопросы, аналогичные пунктам I.А) и I.Б).
Примечание. Конкретную форму доски и правила действий игроков определите сами.
IV. Рассмотрите аналоги этих задач для трехмерного пространства. Конкретную форму доски,
количество и правила действий игроков определите сами.
V. Предложите свои обобщения или направления в этой задаче и исследуйте их.
№ 5. Роботы и монеты
I. Роботы
a) На отрезке расположены 1000 окопов. В одном из них находится робот. Пушка стреляет в один из
окопов (по выбору стреляющего), после чего робот перебегает в любой из соседних окопов (слева или
справа от того, в котором он находился перед этим). Предложите алгоритм, с помощью которого вы
сможете гарантировано попасть в робота. За какое наименьше число выстрелов этого можно добиться? А
если окопов N?
4
b) Сможете ли вы попасть в робота, если он перебегает в окоп, находящийся через один от того, в
котором находился перед этим (влево или вправо)? Через два? Через k? Если да, то за какое наименьшее
число ходов вам это удастся сделать?
c) Те же вопросы, что и в b), но только робот может перебегать по выбору в один из двух соседних (в
один из трех соседних и т.д., слева или справа).
d) А если роботов 2 (или m)?
e) Если ответы в пунктах b), с) и d) отрицательные, то видимо вам все равно удастся попасть в
робота(ов), «немного» изменив правила стрельбы из пушки; например: пушка может одновременно
выстрелить в два соседних окопа. Предложите, наиболее простое правило стрельбы (например, с точки
зрения минимальности поражаемых окопов), с помощью которого вы сможете решить вопросы,
поставленные в пунктах b), с) и d).
II. Монеты
f) По кругу стоят 100 наперстков. Под одним из них спрятана монетка. За один ход разрешается
перевернуть четыре наперстка и проверить, лежит ли под одним из них монетка. После этого их
возвращают в исходное положение, а монетка перемещается под один из соседних с ней наперстков. За
какое наименьшее число ходов наверняка удастся обнаружить монетку? А если наперстков N?
g) А если за ход разрешается перевернуть только 3 наперстка (или только 2). Разрешима ли задача в этом
случае? (исследуйте вопросы, аналогичные пункту II.f))
h) А если монеток m?
i) А если монетка перемещается под один из близстоящих наперстков (двух, трех и т.д., ср. часть I).
III. Предложите свои обобщения или другие направления в этой задаче и исследуйте их.
№ 6. Периодические дроби и периодические числа
Для заданных p и q  N попробуем построить последовательность натуральных чисел а1, а2, а3, ….,
обладающую свойствами: для любого i = 1, 2, 3, … выполняется: 0 < аi < рi и qаi ≡ 1 (mod рi)
(*)
(другими словами значение выражения qаi  1 делится нацело на рi). Более того, будем записывать члены
этой последовательности в р-ичной системе счисления. Например, пусть р = 5, q = 3. Тогда:
3∙2 ≡1(mod 5)

а1 = 2 < 5,
а1 = 2 = 25,
3∙17 ≡1(mod 25)

а2 = 17 < 25,
а2 = 17 = 325,
3∙42 ≡1(mod 125)

а3 = 42 < 125,
а3 = 42 = 1325,
4
3∙417 ≡1(mod 625) 
а4 = 417 < 5 ,
а4 = 417 = 31325,
3∙1042 ≡1(mod 3125) 
а5 = 1042 < 55,
а5 = 1042 = 131325.
Примечание. Здесь и ниже запись, например, а2 = 17 = 325 означает, что число а2 = 17 записывается как 32
в 5-ричной системе счисления.
Мы видим, что у нас начинает образовываться период (13), т.е. каждый следующий член
последовательности отличается от предыдущего последовательным дописыванием 3 или 1. Таким
образом, можно предположить, что следующее число а6 получится дописыванием впереди цифр числа а5
тройки. Действительно, 3131325 = 10417 < 56 = 15625 и 3∙10417 = 31251 ≡ 1 (mod 15625).
Вопросы для исследования.
1) Покажите, что 1/q представляется периодической дробью в р-ичной системе счисления. Найдите
или оцените длину периода этого числа в записи в этой системе счисления.
2) Покажите, что последовательность а1, а2, а3, …., существует, единственна и что аi ≡ аi+1 (mod рi).
Укажите правило построения последовательности чисел а1, а2, … для различных p и q. (Это может быть
алгоритм или описание этого правила каким-либо другим способом, возможно просто доказательство
существования такой последовательности без указания точного правила построения). Покажите также,
что у этой последовательности есть “период” в описанном выше смысле
3) Исследуйте соотношения между периодом числа 1/q (см. вопросы пункта 1)) и «периодом» в
последовательности чисел а1, а2, … . Одинаковая ли у периодов длина? Существуют ли числа, у которых в
первом и во втором случаях одинаковые (разные) периоды; попытайтесь охарактеризовать такие числа.
4) Рассмотрите пункты 1-3, для дроби r/q и последовательности а1, а2, ..., для построения которой
второе из условий (*) заменяется следующим: qаi ≡ r (mod рi).
Примечание. Возможно здесь не только длины периодов, но и сами периоды связаны между собой (быть
может при различных r). Например: при p = 5, r = 1, q = 3 имеем 1/3 = 0,131313…5, в то же время
последовательность а1, а2, … для p = 5, r = 2, q = 3 имеет вид: 45, 145, 3145, 13145, 313145, 1313145, ... .
5) Предложите свои обобщения этой задачи и исследуйте их.
Примечание. Интересно получить результаты даже для некоторых значений р при различных q.
5
№ 7. Арифметические прогрессии
I. Пусть бесконечная последовательность натуральных чисел (Sn) = {S1, S2, S3, ...} является
арифметической прогрессией. Докажите, что тогда арифметическими прогрессиями являются также
следующие последовательности (везде ниже a, b, c, p – фиксированные натуральные числа):
1) ( S Sn ) = { S S1 , S S2 , S S3 , … };
2) ( S ( aSn b ) ) = { S ( aS1b) , S ( aS2 b ) , S ( aS3 b) , … };
3) ( S (aSn bS pn c) );
4) ( S ( S( aS
n b )
) );
5) Получите формулы, выражающие разность указанных прогрессий через разность заданной.
II. Верно ли обратное утверждение, т.е. пусть последовательность ( S Sn ) является арифметической
прогрессией, обязательно ли тогда последовательность (Sn) тоже будет арифметической прогрессией?
Если да – докажите, если нет, то исследуйте обратимость сходного утверждения при дополнительных
условиях, например:
6) пусть заранее известно, что последовательность (Sn) является строго возрастающей;
7) пусть последовательность ( S S n  2 ) также является арифметической прогрессией;
8) предложите и исследуйте этот вопрос при других дополнительных условиях (предложите их
сами (возможно, при некоторых начальных условиях типа: первые члены последовательности
являются членами некоторой арифметической прогрессии)).
Примечание. Здесь и ниже особый интерес имеет получение даже отрицательных ответов
(контрпримеров) для различных пунктов.
III. Пусть даны две бесконечные последовательности натуральных чисел (Sn) = {S1, S2, S3, ...} и (Тт) = {Т1, Т2,
Т3, ...}. Исследуйте вопросы, аналогичные вопросам пунктов I. и II. для различных комбинаций ( S Tm ),
( S aTm b ), S (T( aS
n b )
)
и т.п.
IV. Предложите свои обобщения или другие направления в этой задаче и исследуйте их.
№ 8. Ориентированные графы с заданными множествами дуг
На плоскости нарисовано множество точек, которые называются вершинами. Некоторые пары
вершин соединены направленной линией, выходящей из одной вершины и входящей в другую. Такая
линия называется дугой. Между двумя вершинами u и v может быть самое большее две дуги: дуга,
выходящая из u и входящая в v, и дуга, выходящая из v и входящая в u. Построенное изображение
называется ориентированным графом или орграфом.
Число дуг, выходящих из вершины, называется ее полустепенью исхода, число дуг, входящих в
вершину, называется ее полустепенью захода.
Заданы две последовательности целых неотрицательных чисел А = (а1, а2, …, аn) и B = (b1, b2, …, bn).
Существует ли орграф, у которого одна последовательность будет являться списком полустепеней исхода
его вершин, а вторая – списком полустепеней захода его вершин?
Задана последовательность пар целых неотрицательных чисел АВ = ((а1, b1), (а2, b2), …,(аn, bn)).
Существует ли орграф с вершинами 1, 2, …, n, у которого для вершины i одно из чисел ai или bi является
полустепенью исхода, а второе – полустепенью захода?
Задана последовательность пар целых неотрицательных чисел АВ = ((а1, b1), (а2, b2), …,(аn, bn)).
Существует ли орграф с вершинами 1, 2, …, n, у которого для вершины i число ai является полустепенью
исхода, а число bi – полустепенью захода?
Предложить условия (необходимые, достаточные, необходимые и достаточные), которым должны
удовлетворять последовательности для утвердительного ответа на вопрос. Предложить алгоритм
построения требуемых орграфов.
Возможны обобщения задач, в которых две вершины могут быть соединены более чем двумя
дугами, и вершина соединена дугой сама с собой.
Поскольку предложенные задачи являются трудными, их можно решать для графов специального
вида.
6
№ 9. Симметричные графики
Определение 1. Пусть О(x0; у0)  фиксированная точка и у = f(x)  некоторая функция. Графиком,
симметричным относительно точки О графику функции у = f(x) называется график (кривая), любая точка
которого симметрична некоторой точке графика функции у = f(x) относительно точки О.
Определение 2. Пусть ax + by + c = 0  фиксированная прямая (обозначим ее l) и у = f(x)  некоторая
функция. Графиком, симметричным относительно прямой l графику функции у = f(x) называется график
(кривая), любая точка которого симметрична некоторой точке графика функции у = f(x) относительно
данной прямой.
Определение 3. 1) Пусть y = g(x) – некоторая функция (возможно, уравнение кривой вида g(x, y) = 0,
например, окружности). Возьмём произвольную точку X и проведём все возможные нормали (OkХ) из
точки X к графику функции (кривой). На продолжении каждой нормали за точку пересечения нормали и
графика функции (кривой) отложим отрезок ОkХk, равный отрезку OkХ. Точки Хk называются
симметричными точке X относительно графика функции y = g(x) (кривой g(x, y) = 0).
1. Пусть даны: точка О(x0; у0) и функция у = f(x). Требуется определить функцию (возможно,
уравнение кривой), график которой симметричен графику функции у = f(x) относительно точки О.
Найдите условия, при которых полученный график (кривая) является графиком функции.
2. Пусть даны: прямая l: ax + by + c = 0 и функция у = f(x). Требуется определить функцию
(уравнение кривой), график которой симметричен графику функции у = f(x) относительно прямой l.
Найдите условия, при которых полученный график (кривая) является графиком функции.
3. Пусть даны: функция y = g(x) и функция у = f(x). Требуется определить функцию (уравнение
кривой), график которой симметричен графику функции у = f(x) относительно функции y = g(x).
Найдите условия, при которых полученный график (кивая) является графиком функции.
4. Предложите свои обобщения в этой задаче и исследуйте их.
Примечание. Во многих случаях в пунктах 1 – 3 могут возникать, как особые варианты, так и общие
закономерности. Возможно, вам понадобится уточнить некоторые из данных выше определений.
В частности, в пункте 3 не следует решать задачу сразу в общем виде. Интерес представляет
исследование даже некоторых частных случаев, например, симметрию относительно параболы,
гиперболы, окружности, двух пересекающихся прямых (например, заданных уравнением ax 2  by 2  0 ).
На основании ваших исследований попробуйте сформулировать соответствующие утверждения.
№ 10. Ветер на паркетах
В некоторых (не обязательно всех) клетках прямоугольника П: m×n (m, n > 2) стоит стрелка в одном
из четырёх направлений, причем стрелки в соседних (возможно, по диагонали) клетках не смотрят в
противоположных направлениях. Будем говорить в таком случае, что на прямоугольнике задан ветер.
1. Пусть на границе прямоугольника все стрелки смотрят вдоль границы по часовой стрелке:
Докажите, что найдётся клетка, в которой стрелки нет.
2. Далее все ветра задаются так, что никакие две пустые клетки не являются соседними (даже по
диагонали).
Определения. Путем по клеткам прямоугольника называется последовательность (ai), i = 0, 1, …, N,
клеток прямоугольника, такая, что все клетки вида ai и ai +1 имеют общую сторону, a0 = aN, aj  ak для
любых целых j  k из отрезка [0, N], и во всех клетках пути есть стрелка. Индексом пути называется
количество полных оборотов по направлению обхода пути (к примеру, у пути по краю прямоугольника из
пункта 1 индекс равен 1). Индексом клетки, расположенной не на границе исходного квадрата, называется
индекс следующего пути (конечно, если он существует и является путем):
a0,8 a1
a2
a7
a3
a6
a5
7
a4
Задачи. (i) Чему может равняться индекс клетки (со стрелкой и без стрелки)? (ii) Можно ли выразить
индекс пути через индекс клеток, находящихся внутри него? (iii) Оцените максимальный возможный
индекс произвольного пути в зависимости от размера прямоугольника.
3. Назовем ветер на прямоугольнике ураганным, если не существует ни одной клетки без стрелки.
Назовем два ветра близкими, если в каждой клетке их стрелки отличаются не более, чем на четверть
оборота. Назовем два ветра подобными, если существует последовательность близких ветров,
соединяющая их:
↑
↑
→
→
→
→
↓
↓
←
↑
↑
↑
↑
→
→
→
←
←
←
←
↑
↑
↑
↑
←
←
↓
↑
←
←
→
↑
↑
→
→
→
↑
↑
↑
↑
→
↑
↑
↑
←
↑
↑
↑
↑
→
Задачи. Зафиксируем прямоугольник П. (i) Сколько существует неподобных ураганных ветров на П?
(ii) Сколько существует произвольных неподобных ветров на П?
4. Заметим, что определение ветра можно обобщить на любую фигуру, являющуюся
подмножеством клеток прямоугольника. Исследуйте вопросы, аналогичные вопросам пунктов 1 – 3, для
произвольных фигур (в частности, для прямоугольников с некоторым количеством «дырок»).
5. Исследуйте поставленные выше вопросы для фигур, составленных из правильных треугольников,
либо из правильных шестиугольников.
Примечание. Считайте, что в каждом из этих случаев стрелки могут указывать в шести направлениях:
6. Сформулируйте аналогичные определения и исследуйте вопросы, аналогичные вопросам пунктов
1 – 4, для так называемых полуправильных паркетов (замощение плоскости правильными
многоугольниками называется полуправильным паркетом, если в каждой вершине, с учетом порядка и
направления, сходятся одинаковые многоугольники; примеры см. на картинках).
№ 11. Приближения правильных многоугольников
Возьмем произвольный треугольник ABC. Пусть M – точка пересечения его медиан (центр масс).

Построим треугольник A1B1C1, где A1 = А, B1  R 120
M ( B ) (т.е. точка B1 получена из точки В поворотом
1.
240
(С ) (т.е. точка С1 получена из точки С
относительно точки М на 120 против часовой стрелки), С1  RM
поворотом относительно точки М на 240 против часовой стрелки). Пусть M1 – точка пересечения медиан
этого треугольника. Аналогично определим точки M2, M3. Докажите, что:
1) треугольники AiBiCi, i = 1, 2, 3, равносторонние;
2) треугольник M1M2M3 – равносторонний.
2.
Построим точки M 1 , M 2 , M 3 аналогично пункту 1, но осуществляя повороты в другую сторону.
Докажите, что M 1 M 2 M 3 также равносторонний.
8
3. Покажите, что по крайней мере для одного из треугольников M1M2M3, M 1 M 2 M 3 достигается
минимум величины
2
2
2
1) M 1 A  M 2 B  M 3C ,
2) max{ M 1 A , M 2 B , M 3C } ,
взятый по всем равносторонним треугольникам, лежащим в плоскости треугольника ABC.
4. Рассмотрим декартову систему координат в плоскости треугольника АВС. Найдите все такие
тройки точек (А1, А2, А3) с целочисленными координатами (будем называть такие тройки
приближающими), что существует равносторонний треугольник M1M2M3, для которого
max{ A1 M 1 , A2 M 2 , A3 M 3 }  1 2 .
Пример. А1 = (0; 0), А2 = (0; 8), А3 = (7; 4), M1 = A1, M2 = A2, M3 = ( 4 3; 4), 4 3  6,8... .
Примечание. Для определенности можно считать, что A1 = (0; 0).
5. Заметим, что для каждой приближающей тройки точек соответствующий равносторонний
треугольник может быть найден не единственным образом. Назовем правильный треугольник M1M2M3
оптимальным для тройки точек (А1, А2, А3), если величина   max{ M 1 A , M 2 B , M 3C } принимает
минимальное значение среди всех правильных треугольников M1M2M3. Назовем  радиусом нашей тройки
точек. Найдите радиусы для всех приближающих троек точек.
6. Рассмотрите вопросы, аналогичные 4, 5 для правильных n-угольников и, соответственно, n-ок
точек. Назовем n-ку точек тривиальной, если ее радиус равен 0. В частности, наибольший интерес
представляет нахождение и рассмотрение тех n, для которых не существует тривиальных наборов точек.
№ 12. Фальшивые монеты
Каждый из п мешков содержит ровно k монет. В любом мешке либо все монеты настоящие, либо все
фальшивые, однако в каком мешке какие – неизвестно. Настоящие и фальшивые монеты абсолютно
одинаковы и различаются лишь по массе: масса настоящей монеты – x, а фальшивой – y (x  y). Имеются
электронные весы, которые показывают точный вес положенных на них монет. Требуется за одно
взвешивание определить, в каких мешках находятся фальшивые монеты. Для этого разрешается из
каждого мешка взять некоторое количество монет (от 1 до k) и на весах узнать суммарную массу всех
взятых монет.
I. Основные задачи для исследования.
1. При каких k (в зависимости от n, x, y) можно определить, в каких мешках находятся фальшивые
монеты?
2. Сколько монет необходимо взять из каждого мешка?
II. Вспомогательные вопросы.
А) Решите указанные задачи при различных п, считая для начала известным, что фальшивые монеты
находятся ровно в одном мешке (ровно в двух и т.д.).
Б) Покажите, что ответ не зависит от x и y (достаточно лишь x  y).
В) Покажите, что при k  2 n1 можно найти все мешки с фальшивыми монетами и укажите, сколько
нужно брать монет из каждого мешка.
n 1
 n 1 


 2 2 
Г) Покажите, что при k  2
 2 это также можно сделать.
Д) Попробуйте улучшить оценку для k из пунктов В) и Г).
Е) Предложите обобщения указанных в части I основных задач и исследуйте их (например, что
делать, если в мешках находится разное количество монет, в том числе меньшее, чем
необходимо, согласно вашей оценке, полученной в пункте В), Г) или Д); возможно здесь могут
помочь два или больше взвешиваний; в этом случае необходимо сначала определить
минимальное количество взвешиваний, при которых задача разрешима).
III. Обобщения.
 В мешках находятся монеты трех видов x, y, z (четырех и т.п.); при этом в мешках необязательно
находится одинаковое количество монет.
 Разрешается делать не более двух взвешиваний (не более трех взвешиваний и т.д.). Для каждого
случая определить минимальное количество взвешиваний, при которых задача разрешима.
Примечание. Во многих пунктах приветствуется рассмотрение интересных частных случаев и получение
каких-либо оценок.
9