Как решать тесты по математике

Задание 1
Даны функции спроса q 
p 8
и предложения s  2 p  2,5 , где p – цена товара.
p 1
Тогда равновесный объем «спроса-предложения» q  s  равен …
Варианты ответа (правильный выделен жирным):
13,5
4,5
1
8
Решение.
1. Формальное:
p 8
 2 p  2,5 
p 1
q  s :
p  8   p  12 p  2,5
После раскрытия скобок и приведения подобных получается квадратное уравнение с единственным положительным (цена) корнем.
2. Рациональное:
Ответ быстрее получить подбором — подставляя предложенные ответы в формулы q 
p 8
, s  2 p  2,5 и сравнивая результаты.
p 1
Задание 1.1
Даны функции спроса q 
p6
и предложения s  0,5 p  1 , где p – цена товара.
p2
Тогда равновесный объем «спроса-предложения» q  s  равен …
Варианты ответа:
3,5
2,5
2
1
Задание 1.2
Даны функции спроса q 
p8
и предложения s  p  2 , где p – цена товара.
p2
Тогда равновесный объем «спроса-предложения» q  s  равен …
Варианты ответа:
7
1
2
3,5
Задание 2
Неоклассическая мультипликативная производственная функция переменных K и L
может иметь вид:
Варианты ответов (правильный подчеркнут):
f K , L   K 0, 2  L0,8
f K , L  0,2K  0,7 L
f K , L   K 0, 2  L7
f K , L   K 0, 2  L0,7
Решение.
1. Любая производственная функция означает отдачу (выручку, прибыль и т.д.) либо затраты (себестоимость).
Буквы K и L означают «капитал» и «труд» (вложения в основные фонды и рабочую силу).
Производственная функция в условии описывает зависимость отдачи от вложений в труд и капитал (больше потратишь — больше получишь).
На этом основании можно отбросить первый ответ — согласно ему отдача
уменьшается при росте вложений.
2. Мультипликативная модель означает, что переменные связана знаком умножения
(аддитивная — сложения).
По условию — функция мультипликативная. На этом основании можно отбросить второй ответ.
3. Из оставшихся двух ответов верный последний — тут надо знать:
Формула f K , L  A  K   L ( A — числовой коэффициент) называется функцией
Кобба-Дугласа (изучается в науке «Экономическая теория».
В ней 0    1, и 0    1 .
Замечание. Если таких ответов будет несколько, то выбирать надо тот, где дополнительно     1 (оригинал формулы).
Задание 2.1
Неоклассическая мультипликативная производственная функция переменных K и L
может иметь вид:
f K , L  0,2K  0,7 L
f K , L   K 0,3  L0,6
f K , L   K 0, 2  1,1L0,8
f K , L   K 0, 2  L0,8
Задание 2.2
Аддитивная производственная функция переменных K и L может иметь вид:
f K , L   K 0, 2  L0,8
f K , L  0,2K  0,7 L
f K , L   K 0, 2  L7
f K , L   K 0, 2  L0,7
Задание 3 (менеджеры)
Функция полезности потребления имеет вид U  X , Y   X 0,7Y 0, 2 . Тогда при X  Y пре
U 
дельная норма замещения продукта X продуктом Y  k  x  равна…
U y 

Варианты ответа(правильный ответ подчеркнут):
2
7

2
7

7
2
7
2
Решение.
U x 0,7 X 0, 71  Y 0, 2
k

U y X 0, 7  0,2Y 0, 21
При X  Y :
k
U x 0,7 7


U y 0,2 2
Примечание. Если попадется подобный тест, а частные производные рассчитывать
не умеете, то делите степень на степень.
Задание 3.1
Функция полезности потребления имеет вид U  X , Y   X 0,1Y 0,5 . Тогда при X  Y пре
U 
дельная норма замещения продукта X продуктом Y  k  x  равна…
U y 

5
5

1
5
1
5
Задание 3.2
Функция полезности потребления имеет вид U  X , Y   X 0,7Y 0, 2 . Тогда при X  Y пре
U 

x
дельная норма замещения продукта Y продуктом X  k  y  равна…
U
2
7

2
7

7
2
7
2

Задание 3 (ФК)
Дана функция полезности u  2 x  y . Тогда кривая безразличия задается уравнением …
Варианты ответов (правильный подчеркнут):
2 x yC
2 x
C
y
1
x
1  C
2y x  C
Решение.
Функция безразличия — это когда полезность не меняется.
Поэтому вместо u ставим букву С.
Задание 3.1
Дана функция полезности u  x  y 2 . Тогда кривая безразличия задается уравнением …
Варианты ответов:
x  y2  C
x  y2  C
x  y2  C
1
2 x
 2y  C
Задание 4
Для мультипликативной производственной функции Y  2K 0,58L0,52 коэффициент эластичности по капиталу равен …
Варианты ответа (правильный выделен жирным):
0,58
0,52
3,1
1,1
Решение.
С учетом того, что предмет Математика (а не экономическая теория) — делите степени.
Раз коэффициент эластичности по капиталу K  , значит:
0,58
 1,1
0,52
Примечание. Коэффициент эластичности по труду Labor  был бы:
0,52
.
0,58
Задание 4.1
Для мультипликативной производственной функции Y  3K 0,6 L0,3 коэффициент эластичности по капиталу равен …
2
0,6
0,3
0,5
Задание 4.2
Для мультипликативной производственной функции Y  2K 0,58L0,52 коэффициент эластичности по труду равен …
2
0,6
0,3
0,5
Задание 5
 2 5
 , равна …
 6 4
Нижняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей 
Варианты ответов (правильный отмечен жирным):
4
6
5
2
Решение.
1. Ищем минимум по строкам:
min 2; 5  2 ,
min 6; 4  4
2. Из них выбираем максимум:
max 2; 4  4
Нижняя цена матричной игры 4
 2 5
 , равна …
 6 4
Верхняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей 
Варианты ответов (правильный отмечен жирным):
4
6
5
2
Решение.
1. Ищем максимум по столбцам:
max2; 6  6 ,
mfx5; 4  5
2. Из них выбираем минимум:
min6; 5  5
Верхняя цена матричной игры 5
Задание 5.1
 1 7
 , равна …
 3 4
Нижняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей 
-1
3
4
7
Задание 5.2
12 6 
 , равна …
10 13 
Нижняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей 
6
10
12
13
Задание 6
Варианты ответа (правильный отмечен жирным):
30
36
32
24
Решение.
Максимальное и минимальное значения функция цели всегда принимает в точке —
вершине многоугольника.
Вершин — 4.
Их координаты и значения функции:
1) 0, 0 : 2  0  6  0  0
2) 0, 4 : 2  0  6  4  24
3) 3, 4 : 2  3  6  4  30
4) 6, 0 : 2  6  6  0  12
Задание 6.1
Решить задачу при той же области допустимых решений для максимального значения функции z  6x1  2x2 :
30
36
32
24
Задание 6.1
Решить задачу при той же области допустимых решений для минимального значения функции z  2x1  6x2 :
–30
–36
–32
–24
Задание 7
Варианты ответа (правильный отмечен жирным):
13
43
14
16
Решение.
График описывает длительности работ проекта, который начинается в «0» и заканчивается в «3».
Длина критического пути — самый длинный путь из «0» в «3»:
L  max 6  7; 14; 5  11  max 13; 14; 16  16
Задание 8
Транспортная задача
20
30 + a
100
30
3
4
6
100+b
9
1
8
будет закрытой, если …
Варианты ответа (правильный отмечен жирным):
a = 50, b = 70;
a = 50, b = 60;
a = 50, b = 75;
a = 50, b = 65
Решение.
Транспортная задача описывает:
1) первый столбец — запасы поставщиков;
2) первая строка — запросы потребителей;
3) остальное – стоимость перевозки единицы груза от поставщика к потребителю.
Задача называется закрытой, если сумма запасов (сумма чисел первого столбца)
равна сумме потребностей (сумма чисел первой строки):
20  30  a  100  150  a ;
30  100  b  130  b
150  a  130  b  b  a  20
Дальше подбором.
Задание 8.1
Транспортная задача
20 + a
a
100
50
3
4
6
100+b
9
1
8
будет закрытой, если …
a = 50, b = 70;
a = 50, b = 60;
a = 50, b = 75;
a = 50, b = 65
Задание 8.2
Транспортная задача
60 - a
30 + a
100
30
3
4
6
100+b
9
1
8
будет закрытой, если …
a = 50, b = 70;
a = 50, b = 60;
a = 50, b = 75;
a = 50, b = 65
Задание 9
Расположите по возрастанию длины сторон треугольника ABC , где A 1; 4 , B2; 3 ,
C6; 6 .
Укажите порядковый номер для всех вариантов ответа:
1. AB
3. AC
2. BC
Решение.
AB 2  x B  x A    y B  y A   2  1  3  4  10
2
2
2
2
AC 2  xC  x A    yC  y A   6  1  6  4  53
2
2
2
2
BC 2  xC  xB    yC  y B   6  2  6  3  25
2
2
2
2
Примечание. Возможно, быстрее начертить треугольник в системе координат с одинаковым масштабом по осям и сравнить длины сторон зрительно.
Задание 10
Укажите соответствие между уравнением плоскости и ее положением в пространстве:
1. x  3 y  4  0
2. 2 y  9  0
3. 7  6x  0
Укажите соответствие для каждого нумерованного ответа задания:
2. параллельна плоскости xOz ;
1. параллельна оси z ;
3. параллельна плоскости yOz ;
плоскость xOz .
Решение.
Какой буквы в уравнении нет, той оси плоскость и параллельна.
Если нет двух букв, то параллельная двум осям, параллельна плоскости с этими
буквами (т.е. перпендикулярно той оси, буква которой есть в уравнении).
Задание 10.1
Укажите соответствие между уравнением плоскости и ее положением в пространстве:
1. x  3 y  z  4  0
2. y  z  9  0
3. z  1
Укажите соответствие для каждого нумерованного элемента задания:
параллельна плоскости xOy ;
перпендикулярна оси z ;
параллельна плоскости yOz ;
пересекает ось z .
Задание 11
Укажите соответствие между кривыми второго порядка и их уравнениями:
1.
x2 y2

1
16 49
2.
x2 y2

1
16 25
3. x  32  y  1
4. x  12  y 2  1
Укажите соответствие для каждого нумерованного элемента задания (ответы):
1. гипербола
4. окружность
3. парабола
2. эллипс
Решение.
Уравнения фигур:
Окружность:
Эллипс:
Гипербола:
Парабола:
x  с 2   y  d 2  R 2
 x  с 2   y  d 2  1
a2
b2
x  с 2   y  d 2  1 или  y  с 2  x  d 2  1
a2
b2
a2
b2
x  c 2   y  d или  y  c 2   x  d
Задание 11.1
Укажите соответствие между кривыми второго порядка и их уравнениями:
1. x  32  y  5
2
2


x  7
y  5

2.
1
8
7
3. x  62   y  42  5
x2 y2

1
4.
49 4
Укажите соответствие для каждого нумерованного элемента задания (ответы):
1. гипербола
4. окружность
3. парабола
2. эллипс
Задание 12
Укажите порядковый номер для всех вариантов ответов (собственно ответы):
4. g (k > 0)
2. h (k < 0)
1. u (k < 0), причем круче, чем u
3. f (k = 0)
Решение.
Угловой коэффициент:
1. Равен нулю (0), если прямая параллельная оси x .
2. Положителен, если прямая возрастающая (чем круче растет, тем больше).
3. Отрицателен, если прямая ниспадающая (чем круче, тем меньше).
Задание 12.1
То же для прямых
y
u
h
g
f
x
Задание 13
Порядок дифференциального уравнения  y 3  x y   2 y  можно понизить заменой …
Варианты ответов (правильный подчеркнут):
y   z x 
y   zx 
y   z y 
y   z y 
Решение.
1. Левая часть замены — производная минимального порядка в уравнении  y  .
2. Аргумент правой части замены — всегда другая буква x  .
Задание 13.1
Порядок дифференциального уравнения  y 3  x y   2 y 2  7 можно понизить заменой …
Варианты ответов:
y   z x 
y   zx 
y  z y 
y   z y 
Задание 13.2
Порядок дифференциального уравнения  y 3  x y   2 y  можно понизить заменой …
Варианты ответов:
y   z x 
y   zx 
y  z y 
y   z y 
Задание 14
Дано дифференциальное уравнение y   5 y   6 y  4e 3 x .
Общим видом частного решения этого дифференциального уравнения является …
Варианты ответов (правильный подчеркнут):
y  x частное  C 0 e 3 x
yx частное  C0  C1 x
y x частное  C 0 x e 3 x
yx частное  C0 sin 3x  C1 cos 3x
Решение.
1. Справа в уравнении стоит 4e 3 x .
Поэтому отбрасываем все ответы, в которых e 3 x нет.
2. Подставляем в уравнение k 2  5k  6  0 (коэффициенты из правой части дифференциального уравнения) k  3 (степень при e 3 x ).
Если это корень, то в ответе будет x   (если нет — то нет).
Задание 14.1
Дано дифференциальное уравнение y   5 y   6 y  4e x .
Общим видом частного решения этого дифференциального уравнения является …
Варианты ответов:
y x частное  C 0 e x
yx частное  C0  C1 x
y x частное  C 0 x e x
yx частное  C0 sin x  C1 cos x
Задание 14.2
Дано дифференциальное уравнение y   5 y   6 y  4e 2 x .
Общим видом частного решения этого дифференциального уравнения является …
y x частное  C 0 e 2 x
yx частное  C0  C1 x
y  x частное  C 0 x e 2 x
yx частное  C0 sin 2 x  C1 cos 2 x
Задание 15
Если yx  — решение уравнения y  
y1 равно:
y 1
, удовлетворяющее условию y2  3 , тогда
x
 ln 2
Замечание.
Это задание требует решать уравнение, что для теста странно.
Задание 16
Общее решение дифференциального уравнения y   2 x  7 имеет вид (правильный
ответ подчеркнут):
y
1 4 7 3
x  x C
12
6
y
1 4 1 3 C1 2
x  x 
x  C 2 x  C3
24
6
2
y
1 4 7 3 C1 2
x  x 
x  C 2 x  C3
12
6
2
y  x 4  x 3  C1 x 2  C 2 x  C 3
Решение.
1. Количество разных C должно равняться порядку уравнения (3).
Поэтому отбрасываем первый ответ.
2. Остальные ответы начинаются с x 4 .



Ищем третью производную от x 4 : x 4   4x 3 ; 4 x 3   12x 2 ; 12 x 2   24 x .
Смотрим: на что это надо разделить (на 12), чтобы стало 2x (как справа).
Примечание.
Можно ровно также поступить с  x 3 и сравнивать с –7 справа.
Задание 17
Несовместные события А, B и С не образуют полную группу, если их вероятности
равны …
Укажите не менее двух вариантов ответа (правильные подчеркнуты):
P  A 
1
4
2
; PB   ; PC  
15
15
3
1
1
1
P A  ; PB   ; PC  
5
4
3
1
1
3
P A  ; PB   ; PC  
8
8
4
P  A 
2
1
4
; PB   ; PC  
15
5
15
Решение.
Несовместные (противоречивые) события образуют полную группу, если сумма их
вероятностей равна 1 (иначе — не образуют).
Примечание.
Вероятность события может быть только в пределах от 0 до 1.
Задание 17.1
Несовместные события А, B и С образуют полную группу, если их вероятности
равны …
Укажите не менее двух вариантов ответа:
P A  0,2; PB  0,3; PC   0,4
P A  0,2; PB  0,3; PC   0,9
P A  0,1; PB  0,4; PC   0,5
P A  0,6; PB  0,1; PC   0,3
Задание 17.2
Несовместные события А, B и С не образуют полную группу, если их вероятности
равны …
Укажите не менее двух вариантов ответа:
P A  0,1; PB  0,4; PC   0,5
P A  0,2; PB  0,3; PC   0,9
P A  0,2; PB  0,3; PC   0,4
P A  0,6; PB  0,1; PC   0,3
Задание 18
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
Xi
Pi
-2
0,3
-1
0,3
1
0,3
4
0,1
Тогда значение интегральной функции распределения вероятностей F 0 равно…
Варианты ответов (правильный выделен жирным):
0,3
0,4
0,6
0,9
Решение.
Складываем вероятности левее аргумента функции (при –2 и –1):
0,3 + 0,3 = 0,6
Примечание.
F 1  0,3  0,3  0,6 , т.к. левее x  1 те же –2 и –1.
Задание 18.1
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
Xi
Pi
1
0,1
2
0,3
3
0,5
4
0,1
Тогда значение интегральной функции распределения вероятностей F 2,5 равно…
Варианты ответов:
0,1
0,4
0,5
0,9
Задание 18.2
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
Xi
Pi
1
0,1
2
0,3
3
0,5
4
0,1
Тогда значение интегральной функции распределения вероятностей F 2 равно…
Варианты ответов:
0,1
0,4
0,5
0,9
Задание 19
Бросают две монеты. События А – «цифра на первой монете» и В – «герб на второй
монете» являются:
Укажите не менее двух вариантов ответа (правильные подчеркнуты):
независимыми
несовместными
зависимыми
совместными
Решение.
События несовместны, если они противоречивы, т.е. раз первое – то не второе (иначе совместны).
События независимы, если наступление первого не влияет на возможность наступления второго (иначе зависимы).
Примечание.
Зависимость (независимость) имеет смысл только для совместных событий.
Задание 19.1
Бросают две игральные кости. События А – «на первой выпало четное число очков»
и В – «на второй — нечетное» являются:
Укажите не менее двух вариантов ответа (правильные подчеркнуты):
независимыми
несовместными
зависимыми
совместными
Задание 19.2
Бросают игральную кость. События А – «четное число очков» и В – «выпало меньше трех очков» являются:
Укажите не менее двух вариантов ответа (правильные подчеркнуты):
независимыми
несовместными
зависимыми
совместными
Задание 20
Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей f x  
1
8 2
e

 x 9 2
128
. Тогда математическое ожидание этой нормально распреде-
ленной величины равно (правильный ответ выделен жирным):
64
9
128
8
Решение.
Функция плотности вероятности нормально распределенной случайной величины
имеет вид:
f x  
1
  2

e
 x  m 2
2
, где
m — математическое ожидание;
 — среднее квадратическое (стандартное) отклонение.
Задание 20.1
Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей f x  
1
2
e

 x 7 2
2
. Тогда математическое ожидание этой нормально распреде-
ленной величины равно:
1
2
7
–7
Задание 20.
Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей f x  
1
2
e

 x 7 2
2
. Тогда среднее квадратическое отклонение этой нормально
распределенной величины равно:
1
2
7
–7
Задание 21
При решении системы линейных уравнение с квадратной матрицей коэффициентов
А нельзя применять формулы Крамера, если …
Укажите не менее двух вариантов ответа (выделены жирным):
Определитель матрицы А равен нулю
Столбцы матрицы А линейно зависимы
Ни один из столбцов матрицы А не является линейной комбинацией остальных
Строки матрицы А линейно независимы
Примечание.
Первое следствие второго.
«Является линейной комбинацией» и «линейно зависимы» — одно и то же.
Все, верное для строк, верно и для столбцов.
Задание 21.1
При решении системы линейных уравнение с квадратной матрицей коэффициентов
А нельзя применять формулы Крамера, если …
Укажите не менее двух вариантов ответа:
Определитель матрицы А не равен нулю
Сроки матрицы А линейно зависимы
Ни одна из строк матрицы А не является линейной комбинацией остальных
Первый столбец матрицы А является линейной комбинацией остальных
Задание 21.2
При решении системы линейных уравнение с квадратной матрицей коэффициентов
А можно применять формулы Крамера, если …
Укажите не менее двух вариантов ответа:
Определитель матрицы А равен нулю
Сроки матрицы А линейно независимы
Ни один из столбцов матрицы А не является линейной комбинацией остальных
Первая строка матрицы А является линейной комбинацией остальных
Задание 22
 2  1


 1  4 1
 и B   1 2  . Сумма элементов матрицы B  A ,
Даны две матрицы: A  
 3 0 1
0 3 


расположенных на главной диагонали, равна …
–2
Решение.
C11  2 1   1  3  1 (сумма произведений элементов 1-й строки В и 1-го столбца А).
C22  1  4  2  0  4 (сумма произведений элементов 2-й строки В и 2-го столбца А).
C33  0  1  3  1  3 (сумма произведений элементов 1-й строки В и 1-го столбца А).
–1 – 4 + 3 = –2
Задание 22.1
 2  1


 1  4 1
 и B   1 2  . Сумма элементов матрицы A  B ,
Даны две матрицы: A  
 3 0 1
0 3 


расположенных на главной диагонали, равна …
Задание 22.2
 1  1


 0 2  1
 и B   2 0  . Сумма элементов матрицы A  B ,
Даны две матрицы: A  
1 3 1 
3 1 


расположенных на главной диагонали, равна …
Задание 23
m n
Формула вычисления определителя третьего порядка q r
t
u
p
s содержит следующие
v
произведения (подчеркнуты) …
pqu
pqs
prt
pnt
Решение.
Отбрасываем все ответы, в которых хотя бы два сомножителя стоят в одной строке
либо столбце.
Задание 23.1
m n
Формула вычисления определителя третьего порядка q r
t
произведения …
mrv
pqv nqs nqv
u
p
s содержит следующие
v
Задание 25
Первый отличный от нуля коэффициент функции y  3 sin x в ряд Тейлора по степеням x равен …
3x
Примечание.
Первые отличные от нуля коэффициенты некоторых функций:
1) e x —
1
2) sin x —
x
3) cos x — 1
4) ln 1  x — x .
Если перед функцией стоит коэффициент (в условии — 3), то в ответе надо на него
умножить.
Задание 26
Сходящимися среди приведенных ниже числовых рядов являются …
Укажите не менее двух вариантов ответа (подчеркнуты):

3n

n 1 n

1

n
n 1 2

1

n
n 1 3

n
2
n 1
n
Примечание.
У сходящегося ряда знаменатель с ростом n растет быстрее, чем числитель.
Задание 26.1
Сходящимися среди приведенных ниже числовых рядов являются …
Укажите не менее двух вариантов ответа:

5

2
n 1 n

1

n
n 1 4

1

n
n 1 4

n2

n 1 n  1
Задание 26.2
Сходящимися среди приведенных ниже числовых рядов являются …
Укажите не менее двух вариантов ответа:
n 1

3
n 1 n  5

n 1

n
n 1 6


1

n
n 1 4

n
 n 1
n 1
Задание 27
Примечание.
В формулах общего члена должно быть одинаковое число сомножителей.
Если кандидатов окажется несколько — подставить n  1 и сравнить.
Задание 28
n

x
Интервал сходимости степенного ряда    имеет вид a; b . Тогда a  b равно …
n 1  2 
0
Решение.
x
1
2

a  x1  2; b  x 2  2
Задание 28.1
Интервал сходимости степенного ряда

n

n
 x
  имеет вид a; b  . Тогда a  b равно …

n 1  3 
Задание 28.2
x
Интервал сходимости степенного ряда    имеет вид a; b . Тогда b  a равно …
n 1  4 
Задание 29
Выучить либо таблицу первообразных (либо производных).
Ответ лучше искать «от противного»:
1) В формуле первообразной слагаемых с x –м должно быть столько же, сколько
в задании.
2) Посмотреть: чем отличаются остальные кандидаты и проверять только соответствующие фрагменты.
Задание 30
Несобственный интеграл

dx
 2x  1
2
равен (подчеркнуто):
0
0,5
–0,5
4

Решение.

dx
 2 x  1
2
0

dt  2dx  dt
1 1
1

2
dt
 t  2x  1 
  2        0    0,5
dx 
2  t 1
2

1 t
2
Примечание.
Можно «от противного»:
1) Определенный интеграл от положительной функции всегда положителен.
2) Дальше оценить, что знаменатель функции быстро растет (функция быстро
убывает). Поэтому их положительных разумно выбирать ответ поменьше.
Задание 31
Конечный предел при x   имеют следующие функции …
Укажите не менее двух вариантов ответа (выделены):
x
f x  
 5x  1
3x  2
2
f x  
1  3x 2
x2  2
f x  
1  x3
x7
f x  
x2 1  2
1 x
Примечание.
Ответ выгодно выбирать «от противного»:
Отбрасываем ответы, в которых старшая степень числителя больше степени
знаменателя (под квадратным корнем степень уменьшается в 2 раза).
Задание 31.1
Конечный предел при x   имеют следующие функции …
Укажите неверный ответ:
f x  
3  7x
2
x  6 x  100
f x  
3x 2  3  7 x
1  x3
f x  
x2  3 1
1  5x
f x  
3x 2  3  7 x
x7
Задание 33
График функции y  f x изображен на рисунке:
Тогда значение производной этой функции в точке x 0 равно:
3
3

3
3
3
2
 3
Решение.
Производная равна тангенсу угла наклона касательной с осью x .
tg 180  150  tg 30 
3
3
Примечание.
Быстрее и надежней «от противного»:
1) Касательная — возрастающая функция: ответ положительный.
2)
3 2 нет в таблице для тангенса.
Задание 33.1
График функции y  f x изображен на рисунке:
y
45
x
x0
Тогда значение производной этой функции в точке x 0 равно:

3
5
1
1
3
Задание 34
Производная функции y  cos 4 x равна …
 4 cos 3 x sin x
4 cos 3 x
 sin 4 x
 sin x
Решение.
  
 u 4   4u 3  u 

4

y  cos x 
 4 cos 3 x  cos x  4 cos 3 x   sin x 
u  cos x

Примечание.
Можно «от противного»:
1) Если что-то было в степени, то оно и останется, только в степени на 1
меньше.
2) Если это что-то не x , то в ответе будет еще один сомножитель.
Задание 34.1
Производная функции y  sin 4 x равна …
4 sin 3 x
4 cos 3 x
sin 2 x cos 2 x
4 sin 3 x cos x
Задание 34.2
Производная функции y  ln 3 x равна …
3 ln 2 x
x
3 ln 2 x
1
x
1
x3
Задание 35
По выборке объемом n  100 построена гистограмма частот:
Тогда значение a равно:
Варианты ответов (правильный выделен жирным):
12
11
13
62
Решение.
По картинке h  2 (ширина столбиков). Поэтому
h  4  a  16  18  2  4  a  16  18  100
a  38 
100
 50  a  12
2
Примечание.
Можно «от противного»:
1) По картинке 4  a  16 .
2)
n 100

 50 — четное.
h
2
Поэтому сумма всех чисел на вертикальной оси — четное число.
3) Все слагаемые на оси кроме неизвестного а — четные.
4) Это возможно только при четном a .
Такой ответ единственный — 12.
Задание 35.1
Условие то же за исключением: на вертикальной оси — 6, а, 17, 18.
8
9
12
16
Задание 36
Если основная гипотеза имеет вид H 0 : a  8 , то конкурирующей может быть гипотеза …
Варианты ответов (правильный подчеркнут):
H1 : a  8
H1 : a  8
H1 : a  8
H1 : a  7
Решение.
Основная гипотеза всегда содержит знак «=».
Конкурирующая гипотеза про число в основной гипотезе (8) всегда:
1) Содержит информацию про это число.
Поэтому отбрасывается последний ответ (там нет 8-ки).
2) Противоречит основной гипотезе (  и  не противоречат  ).
От противного остается один ответ.
Задание 36.1
Если основная гипотеза имеет вид H 0 : a  15 , то конкурирующей может быть гипотеза …
Варианты ответов:
H1 : a  8
H1 : a  15
H1 : a  7
H1 : a  15
Задание 37
Мода вариационного ряда 2, 3, 4, 8, 9, 9, 10 равна …
Варианты ответов (правильный — жирным):
2
10
8
9
Решение.
Мода — значение, которое встречается чаще других.
В условии все числа по разу; 9 — два раза.
Задание 37.1
Мода вариационного ряда 12, 23, 24, 24, 24, 25, 25 равна …
Варианты ответов (правильный — жирным):
12
23
24
25
Задание 38
Точечная оценка математического ожидания равна 12. Тогда его интервальная оценка может иметь вид:
Варианты ответов (правильный — жирным):
(12; 13,7)
(10,6; 13,4)
(11,2; 11,8)
(10,8; 12)
Решение.
Точечная оценка математического ожидания всегда лежит в центре его интервальной оценки.
Интервал, внутри которого находится число 12 — единственный (этого достаточно).
Задание 38.1
Точечная оценка математического ожидания равна 5. Тогда его интервальная оценка
может иметь вид:
Варианты ответов:
(4; 5)
(4,5; 5,5)
(5; 7)
(8; 11)
Задание 38.2
Точечная оценка математического ожидания равна 10. Тогда его интервальная оценка может иметь вид:
Варианты ответов:
(10; 11)
(9; 10)
(9; 11)
(8; 11)