Разработка практического занятия по теме:

Разработка практического занятия по теме:
Метод площадей
Цель (ставиться перед учащимися и перед учителями):
Определить какие компоненты метода площадей мы будем применять на уроке
при решении задач и по каким признакам можно определить, что в той или
иной задаче используется тот или иной компонент метода площадей.
I этап - подготовительный : повторение теории и отработка отдельных
компонентов метода площадей.
1) На доске висит ромашка: учащиеся подходят и срывают лепесток, читают
вопрос и отвечают на него.
Вопросы:
- Дайте определение площади.
- Что является единицей измерения площадей?
- Сформулируёте свойство аддитивности площадей.
- Сформулируйте свойство инвариантности площадей.
- Cформулируйте теорему об отношении площадей треугольников, имеющих
по равному углу.
- Сформулируйте теорему об отношении площадей треугольников, имеющих
равные высоты.
- Какие фигуры называются равновеликими?
- Какие фигуры называются равносоставленными?
2) Пока учащиеся отвечают на вопросы «ромашки», два ученика выходят к
доске и заполняют нужную формулу площадей фигур (один ученик
заполняет формулы площадей треугольников, а другой всех остальных
фигур ). Формулы площадей треугольников при проверке проговаривают
вслух.
3) Устное решение задач по готовым чертежам (задачи на один или 2
компонента метода):
а) Площадь треугольника ABD равна 15 м2. Найти площадь
параллелограмма ABCD (свойство инвариантности и свойство
аддитивности площадей: треугольники равны, следовательно равны
их площади и находим сумму площадей).
б) В треугольнике АВС на стороне АС взята точка D. Найдите отношение
площадей треугольников АВD и ВDС (площади относятся как
основания AD:DC).
Найдите отношение площадей треугольников АВD и ВDС, если ВDбиссектриса ( АD:DC=AB:BC) и если ВD – медиана (AD:DC=1).
Сделайте вывод о равновеликости треугольников (отношение
площадей треугольников, имеющих равные высоты).
Вывод: медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
На эти выводы учащимся предлагаются задачи:
В
В
5
S1
-?
S2
S2
S1
А
Найти
4
С
D
х
7
А
SABD = 7.
Найти SDBC -?
D
С
II этап - решение задач: решение задач на несколько компонентов метода и
задач, в которых признаки выбора метода не видны.
Учитель: сейчас рассмотрим задачи, где используются 2-3 компонента метода.
Ваша задача- определить какие это компоненты. Где в условии задач видны
признаки этих компонентов?
1) Задачи на 2-3 компонента метода, признаки которого видны в
формулировке задач:
1. Найти площадь четырёхугольника АВСD, если АВ=5 см, ВС=13 см, СD=9
см, АD=15 см, АС=12 см (площадь прямоугольного треугольника, свойство
аддитивности площадей).
В
13
Рассмотрим треугольники АВС и АСD. По теореме,
обратной теореме Пифагора доказываем, что эти
треугольники прямоугольные: 52+122=132 ; 122+92=152.
По свойству аддитивности площадей имеем
1
1
1
SАВСD=SАВС+SАСD= AB  AC  AC  CD  AC  AB  CD 
2
2
2
С
5
12
А
9
15
D
SАВСD=
 
1
 12  5  9  6  14  84 см 2 .
2
Вопросы к задаче:
- Что требуется найти? (площадь четырёхугольника – признак выбора метода
площадей).
- Чтобы найти плошадь четырёхугольника, какой компонент метода
площадей можно использовать? (свойство аддитивности площадей).
- Как найти площади треугольников? (по формуле площади прямоугольного
треугольника).
- Итак, мы видим, что в задаче используются два компонента метода
площадей и по условию задачи и по чертежу мы увидели признаки выбора
этих компонентов.
Данную задачу учащиеся решают самостоятельно по готовому чертежу (на
кодопозитиве), в тетрадь записывают только решение, которое потом сверяют
с кодопозитивом.
1. 2. Диагонали четырёхугольника АВСD пересекаются в точке О. Найдите
площадь четырёхугольника, если известно, что площади треугольников
АОВ, ВОС, СОD равны соответственно 12, 18, 24 см2 (отношение площадей
треугольников, имеющих равные высоты, свойство аддитивности
площадей).
В
О
С
H
А
D
Рассмотрим треугольники ВОС и СОD. СH – высота для этих
треугольников. По теореме об отношении площадей треугольников,
S
S
BO
BO
имеющих равные высоты имеем: BOC 
и AOB 

S COD OD
S AOD OD
S BOC S AOB 18
24  12
12
 16см 2 .

;
; SAOD=

18
S COD S AOD 24 S AOD
По свойству аддитивности площадей:
SABCD=SBOC+SCOD+SAOB+SAOD=18+24+12+16=70 (см2).
S
S
Вывод-обобщение задачи: BOC  AOB
S COD S AOD
Вопросы к задаче:
- Что требуется найти? (площадь четырёхугольника – признак выбора метода
площадей).
- Чтобы найти плошадь четырёхугольника, какой компонент метода
площадей можно использовать? (свойство аддитивности площадей).
- Чтобы применить данный компонент, что нужно найти? (площадь
треугольника AOD).
- Рассмотрим треугольники BOC и COD. Что они имеют общего? (высоту).
Значит, о каком компоненте идёт речь? (об отношении площадей
треугольников, имеющих равные высоты). Найдём отношение площадей
этих треугольников.
- Рассмотрите треугольники AOB и AOD и сделайте вывод.
- Итак, сколько компонентов метода площадей мы использовали в задаче?
(два).
Перед решением задачи на доске заготовлен чертёж, один учащийся выходит к
доске, записывает дано и строит необходимые элементы на чертеже. После
устного разбора задачи у доски оформляет решение следующий ученик.
Последний шаг учащиеся выполняют самостоятельно.
2) Задача, в формулировке которой не видны признаки метода площадей.
3. Стороны параллелограмма и его меньшая диагональ относятся как 10:21:17.
Определите стороны параллелограмма, если его меньшая высота равна 16 см.
В
С
AB:AD:BD=10:21:17
Пусть k-коэффициент пропорциональности, тогда
AB=10k, AD=21k, BD=17k.
1
BH  AD
2
S ABD  p p  AB p  BD  p  AD
AB  BD  AD 10k  17k  21k
p

 24k
2
2
Рассмотрим треугольник ABD: S ABD 
16
А
H
D
Приравнивая различные выражения для одной и той же площади
получаем уравнение:
1
 16  21k  24k  24k  10k 24k  17k 24k  21k 
2
168k  24k  14k  7k  3k
168k  84k 2
k  2  AB  10  2  20см
AD  21  2  42см
84k  168
Вопросы к задаче:
- По условию задачи видны ли признаки выбора метода площадей? (нет).
- Что требуется найти? (стороны параллелограмма).
- Что для этого нужно знать? (коэффициент пропорциональности).
- Нам дано отношение сторон AB, AD, BD. Какую фигуру образуют эти
стороны? (треугольник). Выразите стороны этого треугольника через
коэффициент пропорциональности. Зная стороны, что можно найти?
(площадь по формуле Герона)
- Что нам ещё известно? (высота).
- Что можно найти, зная стороны и высоту? (площадь треугольника).
- Что мы сделаем с этими выражениями? (приравняем). И что мы найдём?
(коэффициент пропорциональности).
- Итак, для решения данной задачи использовался следующий компонент
метода - умение выражать площадь одной и той же фигуры разными
способами через элементы данной фигуры.
Данная задача полностью оформляется на доске учащимися.
Заключительное слово учителя:
Мы провели занятие на решение задач методом площадей. Для некоторых
задач можно сразу увидеть способ решения методом площадей, т. е. признаки
выбора метода видны в формулировке и чертеже задачи, а для некоторых задач
признаки выбора метода не видны в формулировке задач, поэтому наша цель
научиться решать именно такие задачи, при решении которых, в основном,
составляется уравнение и задача переводиться на «алгебраический » язык.
Работа с группой учителей
1. Суть метода площадей:
Из названия следует, что главным объектом данного метода является
площадь. Способ решения задач основывается на понятии площади, её
свойствах. Суть метода основывается на следующих приёмах:
1) На основании свойств площади (аддитивность, инвариантность), а также на
понятиях равновеликих и равносоставленных фигур.
2) На основании отношения площадей треугольников, имеющих равные
высоты и по равному углу, подобных треугольников.
3) На основании сравнений различных выражений для площади данной
фигуры . Данный приём позволяет получить соотношения между
элементами фигур (сторонами, высотами и т. д). В этом случае возникает
уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая
которое мы определяем неизвестное. В данном случае метод площадей из
геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя всё к решению
уравнения. Основное своё применение данный приём находит в задачах, где
участвует треугольник из-за большого количества формул площадей, хотя
неисключён и случай применения данного приёма и для других фигур.
2. О всех ли компонентах метода площадей шла речь?
Учителя зачитывают компоненты, которые они увидели на занятии и
«свои» компоненты.
3. Решение задач:
Рассмотрим задачу, в которой применяется ещё один компонент метода
площадей:
Из вершины А треугольника АВС провести две прямые так, чтобы они
разделили треугольник АВС на три равновеликих треугольника.
В
SABD= 21 ADBH
SDBE= 12 DEBH
А
D
Е
С
SEBC= 12 ECBH
1
2
ADBH= 21 DEBH= 21 ECBH
AD = DE = EC
Компонент:
Умение выражать площади разных фигур через одну и ту же
величину.
Рассмотрим задачу, в формулировке которой не видны признаки выбора
метода площадей:
Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба и расстояние
между параллельными сторонами.
Компоненты:
- Умение выражать площадь одной и той же фигуры разными способами
через данные элементы фигуры.
- Умение находить площадь ромба по формулам.