Факультет математики и ИТ МГУ им. Н.П.Огарева

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
В. Д. Бочкарева
Введение в теорию ассоциативных алгебр
Учебно-методическое пособие
для студентов математических направлений
Саранск 2012
22
ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ: МНОЖЕСТВА.
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Сведения из теории
Понятия множества не определяется, а лишь поясняется на примерах.
Можно говорить о множестве стульев в аудитории, о множестве деревьев в
парке, о множестве машин на улицах города, о множестве людей на планете, о
множестве людей в Европе, о множестве климатических зон, о множестве точек
на прямой, о множестве натуральных чисел и т.п.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.
Если в множестве A имеется элемент X , то пишут X  A и говорят, что
элемент X входит в множество A (принадлежит множеству A , содержится в
множестве A ).
Если элемент X в множество A не входит, то пишут X  A .
Множества бывают конечные, бесконечные и пустые.
Множество называется конечным, если в нем содержится конечное число
элементов.
Например, множество рек в Мордовии конечно, множество пустынь на
Земле конечно, множество деревьев в тайге конечно.
Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного
элемента.
Например, множество гор в Мордовии, высота которых более 5000 м.,
пустое.
Множество, которое не является ни конечным, ни пустым, называется
бесконечным.
Например, множество натуральных чисел бесконечно, множество точек
на окружности бесконечно и т. д.
Задать множество – означает указать необходимое и достаточное
условие попадания элемента в данное множество.
Другими словами, указать набор признаков, по которым для любого
объекта мы можем сказать, является этот объект элементом данного множества
или не является.
Если множество конечное и все его элементы известны, то говорят, что
множество задано перечислением своих элементов.
При этом, если множество A состоит из элементов a , b , c , то пишут:
A  a, b, c .
Если множество бесконечное или конечное, но мы не знаем его
элементы, то задание множества осуществляется с помощью указания
характеристического свойства элементов этого множества.
Характеристическим свойством элементов данного множества
называется необходимое и достаточное условие попадания объекта в данное
множество, выраженное словесно или с помощью математических символов.
23
Например: A   |   R,   1 читаем: множество A из таких элементов
 , которые являются вещественными числами, большими или равными 1.
Характеристическое свойство элементов, входящих в множество A состоит из
трёх положений:
1. объект должен быть числом,
2. объект должен быть вещественным числом,
3. объект должен быть вещественным числом, большим или равным единицы.
Элемент  , который фигурирует в записи этого множества, называют
текущим элементом множества A .
Пустые множества обозначают символом  .
При задании множества учитываются следующие договорённости:
1. При записи множества порядок символов, обозначающих элемент данного
множества не существенен. Т. е., если множество A состоит из трёх
элементов, обозначенных символами a , b , c , то мы можем записать
A  a; b; c , а можем записать A  c; a; b . Заметим, всего видов записи
множества A , состоящего из трёх элементов a ; b ; c шесть штук.
2. Один и тот же символ нельзя употреблять для обозначения двух разных
элементов. Т. е., если один из элементов множества обозначен символом а,
то второй элемент символом, а обозначить нельзя. Нужно применить другой
символ, например, a1 .
3. Два разных символа нельзя употреблять для обозначения одного и того же
элемента. Заметим, ограничения 2 и 3 позволяют сделать вывод, что если мы
имеем запись A  a; b; c , то это значит, что в множестве A имеется в
точности три различных элемента, а если мы имеем запись A  a; a; b , то
это не запись множества.
4. Элемент из множества можно взять столько раз, сколько это нужно для
рассуждений.
Это означает, что вынимая из множества элемент а, мы не лишаемся его в
множестве. Он там по-прежнему присутствует. И мы его можем вынимать
столько раз, сколько нам требуется для рассуждений.
Пусть даны множества A и B . При этом мы не указываем, какие это
множества – конечные, бесконечные или пустые. Если каждый элемент
множества A является элементом множества B , т. е.
 x A: x B
то говорят, что множество A есть подмножество множества B , и пишут
A  B . При этом говорят, что множество B есть подмножество множества A , и
пишут B  A.
По определению 
  B и B  B . Другими словами, у непустого
множества всегда есть, по крайней мере, два подмножества  и B . Эти
подмножества называются несобственными подмножествами (тривиальными).
Все остальные подмножества множества B называются собственными
подмножествами.
Если множество M конечное и состоит из n элементов, то говорят, что
множество M имеет длину n и пишут M  n .
24
Если M  n , то подмножеств у него 2 n .
Например, если M  a; b; c , т. е. M  3 , то оно имеет 23  8
подмножеств:  , M , M 1  a , M 2  b, M 3  c, M 4  a, b , M 5  a, c ,
M 6  b, c . Других подмножеств у множества М нет.
Пусть даны множества A и B .
Если A  B и B  A , то множества A и B называются равными. Другими
словами, множества A и B называются равными, если выполняются
следующие условия:
(1)  x  A : x  B
(2)  y  B : y  A .
При этом пишут A  B .
С помощью множеств A и B можно образовать другие множества.
Объединение множеств A и B называется такое множество C , которое
состоит из всех элементов множества A и всех элементов множества B и
только из этих элементов.
Объединение множеств A и B обозначается символом A  B .
  x  A
Итак, A  B   x 
.
  x  B
Например, если A  a; b; c , B  a; c; k  , то A  B  a; b; c; k .
Пересечением множеств A и B называется такое множество K , которое
состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству A и
множеству B , и только из таких элементов.
Пересечение множеств A и B обозначают символом A  B .
 x  A 
Итак, A  B   x 
.
x

B
 

Например, если A  a; b; c и B  a; c; k  , то A  B  a; c .
Разностью множеств A и B называется такое множество M , которое
состоит из элементов множества A , не входящих в множество B , и только из
этих элементов.
Разность множеств A и B обозначают символом A \ B .
 x  A 
Итак, A \ B   x 
.
 x  B 
Например, если A  a; b; c , B  a; c; k  , то A \ B  b , а B \ A  d .
В частности, если B  A , то A \ B называют дополнением множества B
до множества A и обозначают символом B A .
Например, если A  a; b; c; d  , B  a; c, то B A  b; d .
Чтобы наглядно изобразить множества и их взаимосвязи, часто рисуют
круги, находящиеся в аналогичных взаимосвязях. Каждый круг на рисунке
изображает некоторое множество. При этом точки круга не ассоциируют с
элементами множества. Т. е. круг может соответствовать как конечному
множеству, так и бесконечному, так и пустому. Это изображение аналогично
25
представлению множества в виде мешка, в котором находятся элементы
множества. Мешок может содержать конечное число элементов, бесконечное
число элементов, быть пустым.
Круги, с помощью которых наглядно изображаются множества,
называются кругами Эйлера-Венна, а способ изображения множеств с помощью
кругов называется диаграммами Эйлера-Венна.
Рассмотрим некоторые диаграммы Эйлера-Венна:
A
A
B
A
B
A
B
B
рис. 1
рис. 2
рис. 3
рис. 4
Каждая диаграмма соответствует определенной взаимосвязи множеств A
и B:
1) A  B (рис. 1)
2) A  B (рис. 2 – заштрихованная часть),
3) A  B (рис. 3 – заштрихованная часть),
4) A \ B (рис. 4 – заштрихованная часть).
Нередко бывает так, что рассматривают только подмножества одного и
того же множества J . Такое множество J называют универсальным
множеством. Понятие универсального множества относительно. Для каждой
задачи оно свое.
Например, если A – множество студентов первого курса географического
факультета, B – множество студентов географического факультета,
специальности “Геоэкология”, C – множество спортсменов – студентов
Мордовского госуниверситета, D – множество старост академических групп
факультетов, находящихся в корпусе № 4, то в качестве универсального
J
множества
можно
взять
множество
студентов
Мордовского
государственного университета. Если же A – множество рек Сибири, B –
множество озер Европы, C – множество морей, то в качестве универсального
множества можно взять гидросферу Земли. На диаграмме Эйлера-Венна
универсальное множество J изображают в виде прямоугольника. (рис. 5)
Заметим, дополнение множества A до
J
универсального множества J обозначают
символом
Нужно
отметить
A.
C
общепринятые
обозначения
некоторых
специальных множеств.
N – множество натуральных чисел,
A
B
Z – множество целых чисел,
Q – множество рациональных чисел,
рис. 5
R – множество вещественных чисел.
a; b – множество вещественных чисел x таких, что a  x  b , ( a  b ),
26
a; b – множество вещественных чисел x таких, что a  x  b , иначе: a; b  ,
a; b – множество вещественных чисел x таких, что a  x  b , иначе: a; b ,
a; b – множество вещественных чисел x таких, что a  x  b , иначе: a; b  .
Лабораторная работа №1: Способы задания множеств
1.
2.
3.
4.
5.
Вопросы к работе
Какие множества называются конечными, какие бесконечными, какие
пустыми?
Что значит задать множество?
Что значит “задать множество перечислением элементов”? Приведите
примеры множеств, заданных перечислением элементов.
Что значит “задать множество указанием характеристического свойства
элементов”? Приведите примеры множеств, заданных указанием
характеристического свойства элементов.
Дать определение характеристического свойства элементов.
Образцы решения заданий
1. Задать с помощью характеристического свойства элементов множество всех
положительных чисел. Ответ: M  x | x  R, x  0 .
2. Задать перечислением элементов множества, заданные указанием
характеристического свойства элементов: M  x | x  N, x  5.
Ответ: M  1; 2; 3; 4 .
3. Указать стандартное обозначение множества М и изобразить его на
числовой прямой:
1) M  x | x  R, 1  x  3. Ответ: M  1; 3
1
3
2) M  x | x  R,  2  x  1 . Ответ: M   2; 1 ,
3) M  x | x  R, x  1 . Ответ: M  1;   ,
2
1
1
Упражнения
1. Приведите примеры множеств, составленных из объектов следующих видов:
а) неодушевленных предметов,
б) животных,
в) растений,
г) геометрических фигур,
д) населенных пунктов,
е) водоемов,
ж) политических деятелей.
2. Пусть A – множество многоугольников. Принадлежат ли этому множеству:
а) восьмиугольник,
б) параллелограмм,
в) отрезок,
г) параллепипед,
д) круг,
е) полукруг.
27
3. Множество C состоит из квадрата, круга и треугольника. Принадлежит ли
этому множеству диагональ квадрата ?
4. Прочитайте запись и укажите, какие из указанных высказываний истина, а
какие ложь:
а) 270  N ,
б) 0  N ,
в)  3  N ,
2
1
г) 1  Q ,
д)  7  N ,
е) 22  N ,
7
3
2
ж)  3  Z ,
з)   Q ,
и)   R ,
к) sin 2,3  R ,
5.
6.
7.
8.
1.

R .
2
Запишите перечислением элементов следующие множества:
а) A – множество нечетных чисел на отрезке 1; 15 ,
б) B – множество натуральных чисел, меньших 8,
в) C – множество натуральных чисел, больших 10, но меньших 12,
г) D – множество двузначных чисел, делящихся на 10,
д) E – множество натуральных делителей числа 18,
2
е) F – множество чисел, модуль которых равен .
3
Запишите перечислением элементов следующие множества:
а) множество различных букв в слове “головоломка”,
б) множества цифр числа 134433154.
Изобразите на числовой прямой множество решений неравенства с одним
неизвестным x :
а) x  5,3 ,
б) x  3,8
в)  4,5  x  4 ,
г) 2,7  x  9 .
Выясните, множество решений какого неравенства изображено на числовой
прямой в каждом случае:
а)
б)
0
3
3
в)
г)
9
2
д)
е)
7
0
2
1
Индивидуальное задание
Прочитайте следующие записи и перечислите элементы каждого из
множеств:
1. а) A  x | x  N,  2  x  5 ;
2. а) A  x | x  Q, 3x 2  9;
б) B  x | x  Z, x  3 ;
б) B  x | x  U, x  3   x  2  4 x ;
л) tg
в) C  x | x  N, 2 x 2  5 x  3  0.
в) C  x | x  N,  3x  x  1 .
3. а) A  x | x  Z, x  4 ;
б) B  x | x  N,  2  x  5 ;
4. а) A  x | x  Z,  2  x  3 ;
б) B  x | x  N, 5 x  6 x  4  0 ;
в) C  x | x  Q, x 2  3x  4  0.
в) C  x | x  N, y  7 .
28
5. а) A  x | x  N, x  5 ;
б) B  x | x  Z, 2 x  3  5 x  7 ;
в) C  x | x  Z,  1  x  3 .
6. а) A  x | x  N, x  4 ;
б) B  x | x  Z,  x  1 x  3  0 ;
7. а) A  x | x  N,  3  x  2;
б) B  x | x  Z, x  3 ;
8. а) A  x | x  Z, x  4;
б) B  x | x  N,  x  12 x  5  0;
в) C  x | x  N, x  7 .
в) C  x | x  N, 3x 2  5 x  2  0.
в) C  x | x  N,  7  x  4 .
9. а) A  x | x  N, 3  5 x  2x ;
б) B  x | x  Z, x  2;
в) C  x | x  N,  5  x  4.
10. а) A  x | x  Z,  1  x  3 ;
б) B  x | x  Z, x  3 ;
в) C  x | x  N, 4 x 2  4 x  3  0.
2. Найдите множество решений следующих уравнений
изобразить это множество на числовой прямой:
х2  4х  4
 0;
1) а)
б) х  1  х  3  3 ;
2х2  х  1
в) х  7  x ;
г) log1 2 2,5 x  1  2 ;
и
2
1
1
д)  sin    .
2
2

1
1
1
2) а)

 ;
х  2 х 1 х
в)
б) х  1  х  2  х  3  2 ;
9 х  20  x ;
г) log x
д) sin x  cos2 x  1.
1
3) а) x  3 
;
х 1
б) 3х  5  5  2 х ;
в)
х 2  4 x  4  x  1;
д)
cos2 x  cos x 
4) а)
в)
x2  6x  7
х2  1
4x  5
 1 ;
6  5x
г) log x
2x  1
 1;
x 1
1 1
 .
4 2
 2;
х2  2x  4  x ;
б) х  2  3  3  х ;
г) log 3 x 2 x  1;
2
x
x
д)  sin  cos   sin x .
2
 2
2
1  2 x  3x
0;
5) а)
3x  х 2  5
в) х  78  x  6 ;
б) 7 х  12  7 x  11  1 ;
г) log x 1  x  1  2 ;
29
неравенств,
д) sin x  3 cos x  1 .
x7
3x  1
6) а)
;

x5
2
в)
х  14  x  2 ;
д) 3 cos 2 x sin 2 x  sin 2 x .
14 x
9 x  30
7) а)
;

x 1
x4
в)
х2  4x  x  3 ;
д) sin x  cos 2 x .
5x  4 2  x
8) а)
;

3  x 1 x
в)
д)
9) а)
в)
х3  8
 x  2;
x
sin 2 x  3 sin x  3  0 .
1
3
;

x2 x3
2 х  2
;
2x  1 
2x
д) sin x  cos x .
x 1 x 1
10) а)
;

x
x 1
в)
х2  x  5  x ;
б) х 2  9  x  2  5 ;
г) log x
4x  2
 1;
3
б) х  2  x  1  3 x  2  0 ;
г) log x2 x 2  8 x  15   0 ;
б) x  3  x  2  х  4  3 ;
г) log x3 x 2  4 x  3  0 ;
б) 5 x  13  6  5 х  7 ;
г) log
3х
x 2  2,5x  1  0 ;
x 2 1
б) x  7  x  2 х  2  4 ;
г) log 4 x2 12 x8 4 x  5  0 ;
д) ctg 2 x  ctg x  0 .
Задания для самоконтроля
1) Найдите длину каждого из следующих множеств и укажите их элементы:
а) a
б) a
в) 
г) 

д) a; b, a
е) a; b; c, a
ж) a, a, 

2) Из каких элементов состоят следующие множества:
а) множество трехзначных чисел, составленных из цифр 1 и 3;
б) множество трехзначных чисел, составленных из цифр 1, 3, 5 причем
никакие две цифры не встречаются дважды;
в) множество трехзначных чисел, составленных из цифр 1, 3, 5 причем
любые две соседние цифры различны;
г) множество трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 5.
3) Задать перечислением элементов множество делителей числа 36. Можно ли
задать таким образом множество кратных чисел 36?
30
Лабораторная работа №2: Подмножества. Равенство множеств
1.
2.
3.
4.
5.
Вопросы к работе
Какие множества называются равными?
Когда два конечных множества будут равными?
Когда множество A называют подмножеством множества B ? Как
множество B в этом случае называется по отношению к множеству A ?
Какие подмножества множества A называются тривиальными?
Что такое “длина множества”? Сколько подмножеств можно создать для
множества длины n ?
Образцы решения заданий
1. Пусть A – множество двузначных натуральных чисел, B – множество
четных двузначных чисел. Верно ли, что B есть подмножество множества A
?
Ответ: Каждое четное двузначное число содержится в множестве A .
Следовательно, B  A .
2. Пусть A  1, 2, 3 , B  x | x  N, x  4 . Верно ли, что A  B .
Ответ: Множество B состоит из натуральных чисел, меньших 4. Каждый
элемент из A входит в B . Следовательно A  B . Но натуральных чисел,
меньших 4, кроме чисел 1, 2, 3 нет. Следовательно, каждый элемент из B
входит в A . Значит, B  A . По определению, A  B .
3. Дано множество A четных натуральных чисел и множество B натуральных
чисел, кратных 4. В каком отношении включения находятся множества A и
B?
Ответ проиллюстрировать диаграммой Эйлера-Венна.
Решение: Каждое натуральное число, кратное 4, является четным числом.
Значит, B  A . Но не каждое четное число обязано делится на 4. Например,
6 4 , т. е. A  B .
Имеем диаграмму:
A
B
Упражнения
1. Найдите все подмножества множества A  1, 2, 3, 4 .
2. Установите, в каком отношении включения находятся множества A и B .
Ответ проиллюстрируйте с помощью диаграммы Эйлера-Венна:
а) A – множество натуральных четных чисел,
B – множество натуральных чисел, кратных 7;
б) A – множество натуральных четных чисел,
B – множество натуральных нечетных чисел.
3. Дано множество A  72, 56, 513, 117 , 324 . Составьте подмножества
множества A , состоящее из чисел, которые:
31
а) делятся на 4;
б) делятся на 9;
в) делятся на 5;
г) делятся на 10.
4. Установите, в каком отношении включения находятся множество решений
неравенств от одного неизвестного X :
а) x  12 и x  10 ;
б) x  12 и x  15 ;
в) x  12 и x  10 ;
г) x  12 и  3x  36 .
5. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна отношения включения
между множествами A и B , если:
а) A – множество натуральных четных чисел,
B – множество натуральных чисел, кратных 3;
б) A – множество квадратов,
B – множество прямоугольников;
в) A – множество квадратов,
B – множество прямоугольных треугольников;
г) A – множество квадратов,
B – множество прямоугольников с равными сторонами.
6. Привидите примеры множеств X , Y , Z , чтобы отношения включения
между ними были такими, как на диаграммах а), б), с).
X
X
Z
Z
Y
Y
X
Z
Y
а)
б)
с)
Индивидуальные задания
1. Среди следующих пар множеств найдите пары равных множеств:
1) X  3; 5; 7; 9,
Y – множество нечетных натуральных чисел, больших 2, но меньших 10;
2) X  4; 6; 8,
Y – множество четных натуральных чисел, больших 1, но меньших 9;
3) X – множество плоских четырехугольников,
Y – множество плоских фигур, ограниченных замкнутой ломаной из
четырех отрезков;
4) X – множество двузначных чисел, кратных 9,
Y – множество двузначных чисел, сумма цифр которых равна 9;
5) X – множество сумм двух нечетных натуральных чисел,
Y – множество четных натуральных чисел;
6) X – множество точек плоскости, равноудаленных от точек M и K ,
Y – множество точек прямой, проходящей через середину отрезка MK
перпендикулярно этому отрезку;
32
7) X – множество точек, лежащей на окружности с центром O и радиусом
5,
Y – множество точек, расстояние которой от точки O равно 5;
8) X – множество точек, лежащих внутри круга, ограниченных
окружностью с центром O и радиуса 5,
Y – множество точек, расстояние которых от точки O меньше, чем 5;
9) X – множество точек, лежащих вне круга, ограниченного окружности с
центром O и радиуса 5,
Y – множество точек, расстояние которых от точки O больше, чем 5;
10) X – множество натуральных чисел, кратных 10,
Y – множество натуральных чисел, кратных 2 и 5 одновременно.
Задания для самоконтроля
1. Верно ли, что
а) 1; 2  1; 2; 3; 1; 3; 1; 2 ;
в) 1; 3 1; 2; 3; 1; 3; 1; 2 ;
2. Равны ли следующие множества:
а) A  2; 4; 6, B  6; 4; 2;
б) A  1; 2; 3 , B  I ; II ; III  ;
в) A  1; 2; 2; 3, B  2; 3; 1 ;
б) 1; 2 1; 2; 3; 1; 3; 1; 2 ;
г) 1; 3  1; 2; 3; 1; 3; 1; 2 ?
г) A   256 ; 81; 16 ; 1, B  12 ; 2 2 ; 32 ; 4 2  (квадратные корни –
арифметические), A  N , B  N ?
3. Существует ли такое множество, которое имеет 80 подмножеств?
4. Изобразите диаграмму Эйлера-Венна отношения включения для множеств
N , Z, Q, R .
5. В чем ошибочность следующих формулировок:
а) Если элементы множества A принадлежат другому множеству B , то
множество A включается в B ;
б) Если два множества содержат одни и те же элементы, то они равны?
Как исправить эти формулировки?
Лабораторная работа №3: Действия над множествами
1.
2.
3.
4.
5.
Вопросы к работе
Что такое объединение двух множеств?
Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие попадания
элемента x в объединение множеств A и B .
Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие
невхождения элемента x в объединение множеств A и B .
Что такое пересечение двух множеств?
Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие попадания
элемента x в пересечение множеств A и B .
33
6. Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие
невхождения элемента x в пересечение множеств A и B .
7. Что такое разность двух множеств?
8. Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие попадания
элемента x в разность множеств A и B .
9. Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие
невхождения элемента x в пересечение множеств A и B .
10.Что такое дополнение множества A до множества B ? Какое его
обозначение?
11.Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие попадания
элемента x в дополнение множества A до множества B .
12.Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие
невхождения элемента x в дополнение множества A до множества B .
13.Что такое универсальное множество до данной системы множеств?
Приведите примеры.
14.Что такое дополнение данного множества? Как оно обозначается?
15.Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие попадания
элемента x в дополнение множества A .
16.Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие
невхождения элемента x в дополнение множества A .
17.Укажите диаграммы Эйлера-Венна для объединения множеств A и B ,
пересечения множеств A и B , разности множеств A и B , разности
множеств B и A , дополнения множества A до множества B , дополнения
множества A .
Образцы решения заданий
1. Найдите объединение, разность и пересечение множеств A и B , если
2
7
1


A
 x | x  R ,   x   , B   x | x  R ,   x  2 ,
3
4
4



Решение: Если изобразить данные множества на числовой прямой (1), то
объединение A  B есть часть прямой, где имеется хотя бы одна штриховка,
2
2
т. е. отрезок  ; 2 . Другими словами, A  B   x | x  R,   x  2 .
3


 3 
Разность A \ B есть часть отрезка, изображающего множество A ,
2 1
отмеченная лишь одной штриховкой, т. е. полуинтервал  ;   . Другими
 3 4
2
1
словами A \ B   x | x  R,   x    . Пересечение A  B есть часть
3
4

1 7
прямой, где имеется двойная штриховка, т. е. отрезок  ;  . Другими
 4 4
1
7
словами, A  B   x | x  R,   x   .
4
4


2 1

3 4
34
7
4
2
(1)
2. Доказать, что для любых множеств A , B , C верно: A   B  C  
  A  B   A  C  .
Решение. 1) Пусть A  
 , B
 , C
 . Обозначим A   B  C   M 1 ,
 A  B   A  C   M 2 .

х  А  В
х

А

 х   А  В   А  С   х  М 2


х А  С

X  M1  
х  В  С  х  В  х  А  В  х   А  В   А  С   х  М


2

х  С х  А  С
х  А  х  А  В  С   х  М1
 х  А
 х  А  В  С   х  М1
  х  А 
х

С

 х  А  В   х  В  х  В
X M2  

 
 х  А  С  х  А  х  А  х  А   В  С   х  М 1
 х  С 
 х  В  х  В  С  х  А   В  С   х  М
1
 х  С
Значит, M 1  M 2 и M 2  M 1 т. е. M 1  M 2 .
4) Если A  
 , то M 1  B  C , M 2  B  C , т. е. M 1  M 2 .
Если B  
  A , M 2  A   A  C   A , т. е. M 1  M 2 .
 , то M 1  A  
Аналогично, если C  
 , т. е.
 , M2  
 , то M 1  
 . Если A  B  C  
M1  M 2 .
3. Доказать, что для любых множеств A и B верно:
А В  A  B .
Решение. 1) Пусть A  
 , B
 и А  В  M1 , A  B  M 2
х  А х  А
x  M1  х  А  В  

 х A  B  xM2
х  В х  В
х  А х  А
xM2  

 х А  В  х А  В
х  В х  В
Значит, M 1  M 2 и M 2  M 1 т. е. M 1  M 2 .
2) Если A  
 , то M 1  B , M 2  J  B  B , т. е. M 1  M 2 . Аналогично, если
B
  J , M 2  J  J  J , т. е. M 1  M 2 .
 . Если A  B  
 , то M 1  
Упражнения
1. Найдите объединение, пересечение, разность множеств A и B , если
35
а) A   ; 7 , В  1;   ;
б) A  3; 7, В= B  0; 9 ;
в) A   ; 0 , B  3;   .
2. Даны множества: A – тупоугольных треугольников, B – прямоугольных
треугольников, C – треугольников с углом в 500. Постройте для данных
множеств диаграмму Эйлера-Венна, выделив штриховкой область,
изображающую множество  A  B   C .
3. S – множество правильных многоугольников, T – множество
прямоугольников. Из каких фигур состоит пересечение и объединение
множеств S и T . Какие из фигур, изображенных на рис 2, принадлежат
пересечению множеств S и T , а какие – их объединению?
F1
F3
F2
F4
Рис. 2
4. A – множество натуральных чисел, кратных 3, B – множество натуральных
чисел, кратных 7. Задайте характеристическим свойством элементов
множество A \ B и назовите три числа, принадлежащих этому множеству.
5. Пусть A  2; 3; 4; 5; 7; 10 , A  3; 5; 7; 9 , A  4; 9; 11 . Найди длину
множества:
а) A   B  C  ;
б) C  B   A ;
в) A   B  C  ;
г) A   B  C  ;
д) A   B  C  .
6. Пусть N  N Z . Верно ли, что
а)  4  N ;
б) 0  N ;
в) 13  N ;
г)  8  N ;
д)  5,3  N ;
е) 1,2  N ?
7. Найдите дополнение к множеству A в множестве Z , если
а) A  x | x  Z, x  2k  1, k  Z ;
б) A  x | x  Z, x  3k , k  Z;
в) A  x | x  Z, x  4k  1, k  Z .
8. Найдите дополнение в множестве всех треугольников к множеству:
а) всех равносторонних треугольников;
б) всех равнобедренных треугольников;
в) всех прямоугольных треугольников.
9. Для любых множеств A , B , C доказать, что:
а) A   B  C    A  B    A  C  ;
б) A   A  B   A ;
в) A   A  B   A ;
г) A  
  A;
д) A  
е) B   A \ B   
 
;
;
ж)  A \ B  \ C   A \ C  \  B \ C  ;
з) A \  A \ B   A  B ;
и) B   A \ B   A  B .
Результат проиллюстрировать на кругах Эйлера-Венна.
10.Докажите, что для любых подмножеств A и B универсального множества
U справедливы следующие равенства:
36
а) A  U  A ;
г) A  A  U ;
ж) A \ B  A  B .
б) A  U  U ;
д) A  B  A  B ;
в) A  A  
;
е) A  B  A  B ;
Индивидуальное задание
1. Даны следующие пары множеств:
1) A  а; б; в; г; д; е , B  а; в; д; ж;
2) A  а; б; в , B  а; б; в; г; д ;
3) A  г; д; е, B  а; б; в ;
4) A  е; д; г, B  г; д; е ;
5) A  2; 4; 6; 8 , B  2 ;
6) A  8; 10; 12;  , B  2; 4; 6; 8;  ;
7) A  1; 2; 3; 4;  , B  1; 4; 9; 16;  ;
8) A  x | x  2n, n  N, n  30 , В  x | x  3n, n  N, n  20 ;
9) A – множество нечетных натуральных чисел;
B – множество простых чисел, больших, чем 2,
10) A – множество четных натуральных чисел;
B – множество простых чисел, больших, чем 2.
Задание: а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество;
б) связаны ли пары одним из соотношений: =,  ,  ;
в) найдите пересечение A  B ;
г) найдите разности A \ B ;
д) найдите A  B ;
е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм
Эйлера-Венна.
2. Докажите равенство множеств.
1) а) A  B   A  B  B ,
2) а) A  B  A  B   A ,
б) В \ A   A \ B   A ,
б) B \ A   A  B  B ,
в)  A \ B  \ C   A \ B  \ C \ B  ;
в) A \  B \ C    A \ C  \  B \ C  ;
3) а) A  B   A  B  A ,
б) B \ A   A  B  A ,
в)  A \ B  \ C   A \ C  \  B \ C  ;
4) а) A  B  A  B   A ,
б) B \ A  A  B   A
в)  A \ B  \ C   A \ B    A \ C  ,
7) а) A  B   A  B  A ,
б) A \ B  A  B   A ,
в)  A \ C  \ C   A \ B    A \ C  ;
8) а) A  B  A  B \ A ,
б) A  B  B  B \ A ,
в) A \  B \ C    A \ B    A \ C  ;
6) а) A  B  B \ B  A ,
б) A  B  A  A \ B ,
в) A   B \ C    A  B  \ C \ A ;
5) а) A  B  A \ A  B ,
б) A  B  B   A \ B  ,
в) A \  B  C    A \ B  \ C \ B  ;
10) а) A  B  A \ B \ A ,
б) B \ A  A  B   A ,
9) а) A  B  A \  A \ B  ,
б) A \ B   A  B  A ,
37
в) A   B \ C    A  B  \ C ;
в)  A \ B  \ C  A B  C  .
Задания для самоконтроля
1. Записать двумя способами с помощью символов операций объединения,
пересечения, разности, дополнения к множеству заштрихованную часть на
предложенном рисунке. Доказать правильность полученного результата.
1)
2)
B
B
A
A
C
C
3)
4)
B
A
C
C
5)
6)
B
A
7)
C
8)
B
A
B
A
C
C
10)
B
A
B
A
C
9)
B
A
B
A
C
C
38
ТЕМА 2. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ. БИНАРНЫЕ
СООТВЕТСТВИЯ И ОТНОШЕНИЯ
Сведения из теории
Пусть даны два множества A и B . Например, множество A – множество
флаконов духов(10 штук) и множество B – книги (100 штук). С помощью
множеств A и B мы можем составить множество подарков (100 штук),
состоящих из двух предметов – духи и книга.
Каждый подарок можно назвать парой. Причем, в этом случае не важно,
какой из этих предметов первый, а какой второй. Если же мы хотим оформить
документально наличие подарков и их содержание, то мы составляем таблицу,
в которой содержится наименование подарка и содержание подарка, причем
название предметов обычно одинаковое. Например, первым идет название
книги, вторым название духов. Итак, мы теперь говорим о паре, в которой
существует порядок следования компонент: на первом месте название книги, на
втором – название духов. В этом случае говорят об упорядоченной паре.
Пусть теперь даны произвольные множества A и B (не пустые). Мы
можем говорить об упорядоченных парах элементов множеств A и B таких, у
которых первая компонента берется из множества A , а вторая из множества B .
Такие пары мы будем обозначать символом  x; y  , причем x  A , y  B . На
первую компоненту x не накладывается никаких ограничений, кроме
принадлежности множеству A , на вторую компоненту не накладывается
никаких ограничений, кроме принадлежности множеству B . Множество
упорядоченных пар  x; y  , где x  A , y  B называют декартовым
произведением множеств A и B и обозначают символом A B . Другими
A  B  d | d   x, y ,
x  A, y  B .
словами
Аналогично
A  B  C  d | d   x, y, z , x  A, y  B, z  C – декартово произведение трех
A1  A2    An 
множеств
и
С.
A,
B
 d | d   x1 , x2 , , xn , xi  Ai , i  1, 2, , n –
декартово
произведение
n
множеств A1 , A2 ,  , An . Ясно, если множества A и B конечны и A  n ,
B  m , то A B тоже конечное, причем A  B  n  m .
Если хотя бы одно из множеств бесконечно, то декартово произведение
A B тоже бесконечное. В частности, можно говорить о декартовом
произведении множества A на себя, т. е. о A A . Декартово произведение
множества A на себя называют декартовым квадратом множества A и
обозначают символом A 2 . Другими словами, A2  d | d   x, y , x, y  A .
Например, если A  a, b , то A 2  a; a , a; b , b; a , b; b  .
Непустое подмножество декартова произведения множеств A и B
называется бинарным соответствием из множества A множество B .
Например, если A  1; 2; 3 , B  a; b; c , то D  1; b , 1; c , 3; c  будет
бинарным соответствием из множества A в множество B , т. к. D  A  B и
D
.
39
Значит для данных множеств A и B бинарное соответствие не одно, т. к.
непустых подмножеств множества A B не одно. Сколько непустых
подмножеств у множества A B , столько и различных бинарных соответствий
из множества A множество B .
Если D – бинарное соответствие из множества A в множество B , то А
называют множеством исхода, а B – множество прибытия данного бинарного
соответствия.
Если пары  x; y   D , то элемент x из множества A называется точкой
исхода, а элемент y из множества B – точкой прибытия в данном бинарном
соответствии D .
У каждой точки исхода должна быть хотя бы одна точка прибытия. Для
каждой точки прибытия должна быть хотя бы одна точка исхода. Итак, не
каждый элемент множества A обязан быть точкой исхода, и не каждый элемент
множества B обязан быть точкой прибытия данного бинарного соответствия D
.
Множество точек исхода данного бинарного соответствия D из
множества A в множество B называется проекцией бинарного соответствия D
на множество A и обозначается символом pr A D . Множество точек прибытия
соответствия D называется проекцией бинарного соответствия D на
множество B и обозначается символом prB D .
Итак, pr A D  A , pr A D  

prB D  B , prB D  
.
В предыдущем примере, pr A D  1; 3 , prB D  b; c.
Очень часто факт принадлежности пары  x; y  бинарному соответствию
D обозначают символом xDy и читают: элемент x соответствует элементу у
согласно соответствия D .
В нашем примере: элементу 1 соответствует элемент b и соответствует
элемент c , элементу 2 нет соответствующего элемента. При этом можно
записать: 1Db ; 1Dc ; 3Dc .
Так как бинарное соответствие D есть подмножество множеств A B , то
можно говорить о дополнении множества D до множества A B или до D .
D  A  B , поэтому D тоже бинарное соответствие из множества A множество
B . Оно называется соответствием противоположным к соответствию D .
Итак  x; y   D , если  x; y   D .
Другими словами, xD y , если x не Dy . В нашем примере D  {(1; в),
(2; а), (2; в), (2; с), (3; а), (3; в)}. Бинарные соответствия из множества A в
множество B при конечных A и B можно представить наглядно при помощи
графиков и графов.
График бинарного соответствия D из множества A в множество B
состоит из точек. Точек на графике столько, сколько пар в D . На плоскости
строится прямой угол с вершиной в некоторой точке. Обычно одна из сторон
угла – горизонтальна, другая – вертикальна. На горизонтальной оси столько
40
точек, сколько элементов в множестве A (вершина угла не используется).
A  a; b; c .
Пусть
Каждой точке
припишем символ элементов множества A . 1
Порядок следования символов не существенен,
расстояние между точками не обязательно 2
одинаковое. На вертикальной стороне угла
отмечаем столько точек, сколько элементов в 3
множестве B (не используем вершину угла)
4
Пусть B  1; 2; 3; 4 . Каждой точке припишем
символ элементов множества B . Порядок
c
a
b
следования
символов
не
существенен,
расстояние между точками не обязательно
Р
одинаковые. (рис. 1).
ис. 1
Пусть  x, y   D . Тогда на горизонтальной стороне находим точку с
символом x и через нее восстанавливаем вертикаль; на вертикальной стороне
находим точку с символом y и от нее проводим горизонталь. Точка
пересечения проведенных горизонтали и
вертикали будет соответствовать паре  x; y  .
b; 1
1
Например, D  a; 2; a; 4; b; 1 . (рис.
 a; 2 
2). График такого бинарного соответствия D 2
состоит из трех точек.
3
Зная график некоторого бинарного
 a; 4 
соответствия, мы можем записать это соответ- 4
ствие с помощью пар и указать его множества
исхода и прибытия.
c
a
b
Например, дан график некоторого
Р
бинарного соответствия. (рис. 3). График
ис. 2
состоит из четырех точек. Значит бинарное
соответствие состоит из 4-х пар. Множество исхода A  1; 2; 3; 4 . Множество
прибытия B  ; ;  . Бинарное соответствие D  {(2; *), (3; Δ), (4; Δ), (4; О)}.
Граф
бинарного
соответствия
представляет собой чертеж, состоящий из
точек, соединенных стрелками. Для построения 
графа бинарного соответствиями должны
отметить точками все элементы множества A и 
множества
(обычно
по
вертикали
B
параллельно друг другу), приписав этим точкам 
соответствующие символы.
В предыдущем примере. (рис. 4).
Если  x; y   D , то находим точку с
1
2
4
3
символом x и от нее проведем стрелку (обычно
Р
по дуге) к элементу с символом y . В
ис. 3
предыдущем примере. (рис. 5).
41
Зная граф бинарного соответствия D , мы сможем написать это
соответствие с помощью пар. Например, дан граф.
B
A
(рис. 6).
1

Соответствие D  1; ; 2;  ; 3;  ; 4;   –
бинарное соответствие из множества A  1; 2; 3; 4
2
*
в множество B  A; ; a;  .
3

Заметим, если множество исхода A или
множество исхода B бесконечны, и бинарное
4
соответствие D из множества A в множество B
тоже бесконечно, то можно говорить только о
Рис. 4
части графа и части графика этого соответствия.
Можно говорить о бинарном соответствии
D из множества A в это же множество A . Такие
B
A
бинарные соответствия называются бинарными
1
 отношениями на множестве A . Итак, бинарными
отношениями на множестве A называется

2
непустое подмножество декартового квадрата
множества A .
3
*
Например, A  1; 2; 3; 4 . A 2  d | d   x, y  ,
4
x, y  A , т. е. A 2  16 |.
Рис. 5
B
A
1

2

3
4
*
Другими словами xD 1 y , если yDx : элемент
x находится в отношении D 1 с элементом y ,
если у находится в отношении D с элементом x .
A  a; b; c ,
Например,
пусть
D  a; b , a; a , c; b .
Тогда
Рис. 6
D  a; c , b; a , b; b , b; c , c; a , c; c  ,
5
1
4
2
Любое непустое подмножества множества
A (а таких подмножеств216-1) будет бинарным
отношением на множестве A . Например, D 
 1; 1, 2; 2, 4; 3, 4; 1 . При этом мы можем
записать 1D1 , 2D2 , 4D3 , 4D1, 4D4 и т.д. Тогда
D  d | d   x; y ,  x; y   D, x, y  A –
противоположное отношение.
Кроме того вводится понятие обратного
отношения D 1 : D 1  d | d   x; y ;  y; x   D .
2
D 1  b; a , a; a , b; c . Так как бинарное
отношение есть частный случай бинарного
соответствия, то для него можно говорить и о
графике и о графе. Причем, при построении
графика никаких особенностей нет, а при
3
Рис. 7
42
построении графа применяют в целях удобства некоторые изменения. Именно,
точки, соответствующие элементам множества A отмечают по кругу.
Например, пусть A  1; 2; 3; 4; 5 . (рис. 7). Тогда граф отношения D на
множестве A будет состоять из точек, стрелок и
5
петлей.
Например,
путь
D
{(1;1),(1;4),(4;1),(5;3),(2;2)}. (рис. 8).
4
Бинарное отношение R на множестве
1
A может иметь следующие свойства:
1. Рефлексивность: x  A : xRx .
Другими словами, каждый элемент x из
множества A находится в отношении R с самим
3
собой.
2
Например, A – множество людей на Земле.
Рис. 8
Отношение R – “быть другом”, т. е. xRy тогда и
только тогда, когда человек x друг человека y . Это отношение рефлексивно,
т. к. каждый человек друг самому себе.
Пусть A – множество людей на Земле. Отношение R – “быть сыном”, т. е.
xRy тогда и только тогда, когда человек x сын человека y . Это отношение не
является рефлексивным, т. к. можно найти человека x , который не является
сыном самому себе (более того, ни один из людей не является сыном самого
себя).
2. Симметричность; xRy  yRx .
Другими словами, если элемент x из множества A находится в отношении
R с элементом y , то и элемент y находится в отношении R с элементом x .
Например: A – множество людей на Земле. Отношение R – “быть
другом”. Это отношение симметрично, т. к. если человек x друг человека y , то
и y друг x . Отношение R – “быть сыном” не является симметричным, т. к.
если x сын y , то y не обязан быть сыном x (более сильно, y не сын x )
3. Антисимметричность: xRy и x  y  yRx , т. е. xRy и x  y  yRx .
Примером антисимметричного отношения является отношение «быть сыном»
на множестве A всех людей на Земле, т. к. x сын у влечет за собой – y не сын
x.
4. Транзитивность: xRy , yRz  xRz .
Другими словами, если x находится в отношении R с y , а y находится в
отношении R с z , то x находится в отношении R с z .
Например, отношение “быть другом” не является транзитивным, т. к. из
условия x друг y , а y друг z , еще не следует, что x друг z .
Если бинарное отношение R на множестве A рефлексивно, симметрично,
транзитивно, то оно называется эквивалентным.
Например, путь A – множество прямых на плоскости. Ведем отношение
“параллельность” прямых следующим образом: прямая a параллельна прямой
b тогда и только тогда, когда прямые a и b не имеют общих точек или
43
совпадают. Тогда отношение “параллельность”:
1) рефлексивно, т. к. любая прямая плоскости параллельна сама себе,
2) симметрично, т. к. если a || b , то b || a ,
3) транзитивно, т. к. если a || b и b || c , то a || c .
При решении конкретных задач часто не удобно работать с элементами
множества. Например, мы имеем множество спортсменов в данном клубе.
Работать персонально с каждым (оформлять поездки, расписание занятий и
т.п.)неудобно. Поэтому часто более удобно работать с группами (классами)
элементов данного множества. Явно удобнее работать со спортсменами,
распределенными, например, по группам, а в каждой группе распределять
спортсменов на подгруппы по мастерству и т.п. Чтобы обобщить такого сорта
задачи в теории множеств вводится понятие разбиения множества.
Пусть A – непустое множество. И пусть A1 , A2 , A3 ,  – набор
подмножеств множества A , обладающий следующими свойствами:
1) Ai  
;
2) Ai  A j  
 при i  j ;
3) A1  A2  A3    A .
Тогда набор множеств A1 , A2 , A3 ,  называется разбиением множества A .
Например, дано множество A – студентов первого курса дневного
обучения географического факультета. Мы имеем несколько разбиений этого
множества. Например, по специальностям: “геоэкология”, “география”,
“картография”. Можно указать и другое разбиение, например, по изучаемым
иностранным языкам и т.д.
Если на множестве A задано бинарное отношение R , являющееся
эквивалентностью, т. е. R рефлексивно, симметрично, транзитивно, то можно
создать разбиение множества A по отношению эквивалентности R :
1 шаг. Возьмем из A какой-нибудь элемент, например a . Соберем в один
класс CIa все элементы из множества A , находящиеся в отношении R с
элементом a :
CIa  x | x  A, xRa.
Если CIa  A , то разбиение состоит из одного класса.
2 шаг. Если CIa  A , то b A : b  CIa , т. е. bRa . Соберем в один класс
CIb все элементы множества A , находящиеся в отношении R с элементом b :
CIb  x | x  A, xRb .
Если CIa  CIb  A , то разбиение состоит из двух классов ( CIa и CIb ).
Если CIa  CIb  A , то существует элемент c  CIa  CIb , т. е. c  CIa и
c  CIb . Тогда 3 шаг. Собираем CIc  x | x  A, xRc и т.д.
Процесс может быть конечным, может быть бесконечным.
За счет рефлективности, симметричности и транзитивности отношения R
можно сказать, что:
1) каждый класс не пуст,
2)пересечение дух разных классов пусто,
3)объединение полученных классов дает множество. Значит, зная некую
44
эквивалентность на данном множестве всегда можно иметь разбиение этого
множества по данной эквивалентности. Верно и обратное. Если на множестве
A задано некоторое разбиение, то среди всех возможных эквивалентностей на
множестве A можно найти такую, которая задает именно данное разбиение.
Другими словами разбиение множества A и эквивалентности на этом
множестве задают друг друга. Кроме отношения эквивалентности, большую
роль играют отношения, называемые отношениями порядка.
Бинарное отношение R на множестве A называется отношением порядка,
если оно транзитивно и антисимметрично. Множество A на котором задано
отношение порядка, называется упорядоченным множеством.
Не следует думать, что все отношения подразделяются только на
отношения эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное число
отношений, не являющихся ни отношением эквивалентности, ни отношением
порядка, но играющих важную роль в решении различных задач.
Лабораторная работа№4. Декартовые произведения двух множеств
Вопросы к работе.
1. Что такое “упорядоченная пара элементов”?
2. Что такое “декартовое произведение множеств A и B ”?
3. Сколько элементов содержится в декартовом произведении A B ,
если A  n , B  m ?
4. Можно ли менять местами компоненты пары, входящей в АХВ?
5. Верно ли, что A  B  B  A ?
6. Что такое A 2 ?
7. Какова длина множества A 2 , если A  n ?
1.
2.
3.
4.
Образцы решения задач.
Найдите A B , если А={1; 2}, В={1; 2; 3}. Решение: A B ={(1;1), (1;2),
(1;3), (2;1), (2;2), (2;3)}.
Найдите A 2 , если A  1; 2 . Решение: A 2  A  A  1; 1; 1; 2; 2; 1; 2; 2 .
Запишите множество дробей C , числителем которых являются числа из
множества A  1; 2 , а знаменателем – числа из множества B  3; 5 .
1 1 2 2
Решение: C   ; ; ;  .
3 5 3 5 
Изобразите на декартовой плоскости множество M  1; 2  1; 1 . Решение.
Каждый элемент множества M представляет собой упорядоченную пару
  a; b  , где a  1; 2 , b   1; 1, изображаемую на декартовой плоскости
точкой Aa; b  . Значит множество M на декартовой плоскости представляет
собой множество точек, первая координата которых берется из 1; 2 , а
вторая – из  1; 1 . (Рис. 9).
45
Рис.
9
любых множествах
5. Докажите, что при
A,
  A  C   B  C  .
 A  B  C  M1 ,
Решение.
Обозначим
Следовательно нам надо доказать, что M 1  M 2 .
  х   a; b 
 a  А
х


a
;
b



 х  a; b 
а  А

b  С
 

1) x  M 1  a  А  В  
х   а; b 

а

В

b  С



b  С
 a  В
b  С
x  A  C  x   A  C   B  C   x  M 2

x  B  C  x   A  C   B  C   x  M 2
B,
C
 A  B  C 
 A  C   B  C   M 2 .
 у  а; b 
 а  А
 у   а; b 


а  А
 у  А  С b  С

 

2) y  M 2  
 у  В  С  у  а; b  а  В

b  С
 а  В
b  С
 y   a; b 
 у  а; b 


 а  А  В   у   А  В   С  y  M 1
b  c
b  с


Упражнения.
1. Дано уравнение 2 x  y  3 . Запишите несколько решений данного
уравнения. Что представляет собой каждое решение? Является ли пара  4; 5
46
решением данного уравнения?
2. Запишите множество дробей, числителем которых являются числа из
множества A  4; 5 , а знаменателем – числа из множества B  3; 7; 9.
3. Составьте A B и B  A , если
1) А ={ а,b,с,d} ; В={ b,n,r }.
2) А={ а,b,с } ; В={ а,b,с }.
3) А={ а,b/с }; В=Ø.
4) А=Ø; В={b ,n,r }.
4. 3апишите различные двузначные числа, используя цифры 1,2,3,4.
Сколько среди них таких, запись которых начинается с цифры 3?
Переформулируйте эту задачу, используя
понятие
декартова
произведения множеств.
5. Изобразите на декартовой плоскости следующие множества:
1) [0;1] х [0;1],
2) [-1;1] х [2;3],
3) [0;1]х]-  ;3],
4) [0;1] х [2;+  [,
5) [1;2]х]-  ;+  [,
6) [0;2]х{2;3}.
6. Доказать, что при любых множествах А,В,С:
1) (А  В) Х C=(АХС)  (ВхС)
2)  A \ B   C   A  C  \  B  C  .
7. Докажите, что для любых множеств A , B , C , D верно:
 A  B   C  D   A  C    B  D .
Верно ли аналогичное равенство для объединения множеств?
Индивидуальные задания.
1. Докажите равенство множеств:
1) (А \ В) х С= (АхС)  ( В  С )
2) Ах (В \ С)= (АХВ)  ( А С )
3) (А  В) х С=(АхС)\ В  С 
4) Ах(В  С)= (АХВ) \ ( А С )
5) (А  В)хС=(АхС)  В  С 
6) Ах(В  С)=(АхВ)  А  С 
7) (А  В) хС=(ВхС)\ А  С 
8) А х(В  С)=(АхС) \ А  В 
9) А  В   С = А  С   В  С 
10) Ах(В  С )=(АхВ) \ (АХС).
Задание для самоконтроля.
1. Даны множества А={ а;в } и В={ с;d }. Является ли множество С
декартовым произведением множеств А и В, если
1) С= { (а,с), (а,d),(b,с),(b,d) },
2) С= {(а,d),(b,d),(а,с) },
3) С= { (а,d),(b,d),(с,d),(а,с) }.
2. Даны множества А={ а,b,с }, В={ m,n }, C  x, y, z. Записать
множества (АхВ)хС и Вх(АхС). Выясните, какие из следующих высказываний
истинны, а какие ложны:
1) ((а,m);х) (АхВ)хС
2) (в,(m;х))  Вх(АхС)
3) (AХB) х С=В х (АхС).
Лабораторная работа № 5: Бинарные соответствия
47
Вопросы к работе.
1. Что такое бинарное соответствие из множества A в множество B ?
2. Как прочитать запись xy ?
3. Что такое “точка исхода”, “точка прибытия” соответствия  из
множества A в множество B ?
4. Что называется проекцией prA  и prB  соответствия  из множества
A в множество B ?
5. Как строится график соответствия  из множества A в множество B ?
6. Как строится граф соответствия  из множества A в множество B ?
7. Как составить соответствие  из A и B ?
8. Как составить отношение  1 на множестве A ?
Образцы решения заданий.
1. Бинарное соответствие  из множества A  1; 2; 3; 4; 5 в множество
B  a; b; c; d ; e; f ; r состоит из пар: (1;b),(1;d),(2;а),(2;b),(4;с).
1) Указать область определения  , т. е. pr А  ,
2) Указать область определения  , т. е. pr B  ,
3) Построить график  ,
4) Построить граф  .
Решение. 1) pr A   1; 2; 4, 2) prB   a; b; c .
3)
4)
B
A
a
1
2
3
b
4
d
5
e
f
c
r
2. Составить отношения  и  1 для
отношения   0; 1; 2; 1; 3; 3 на множестве A  0; 1; 2; 3 .
Решение.
1)   A2 \   0; 0; 0; 2; 0; 3; 1; 0; 1; 1; 1; 2; 1; 3;
2; 0; 2; 2; 2; 3; 3; 0; 3; 1; 3; 2 .
2)  1  1; 0; 1; 2; 3; 3 .
3. Даны подмножества X  2, 4, 6 и Y  3, 5, 7 – множества натуральных
чисел. Соответствие  из X в Y таково:
48
xy  число x больше числа y ( x  X , y  Y ).
1) Записать  с помощью пар.
2) Записать  в виде xy .
3) Построить граф  .
Решение.
1)   4; 3, 6; 3, 6; 5 .
2) 4  3, 6  3, 6  5, если 4 больше 3, 6 больше 3,
6 больше 5, или 4  3 , 6  3 , 6  5 .
3)
A
B
2
3
4
5
6
7
Рис.
Упражнения
1. Даны да множества слов: A  {“желтый”, “белое”, “черная”}, В = {“лист”,
“ночь”, “платье”, “шаль”, “безмолвие”}.
1) Составить бинарное соответствие C из A и B , которое состоит из пар,
в которых первая компонента – слово из A , а вторая компонента –
согласованное с ним слово из B .
2)Построить график этого соответствия.
3)Построить граф этого соответствия.
2. Пусть X = { «река», «возвышенность», «океан», «пустыня» }, а У = { а,е,н,я }.
1) Составить декартовое произведение Х  У этих множеств.
2) Отметьте в нем пары, связанные соответствием р:
хру <=> « в слово х входит буква у».
3) Задайте это же соответствие при помощи графа.
4) Найдите полный образ слова «океан».
5) Найдите полный прообраз буквы «а».
6) Есть ли в множестве У буква, полный прообраз которой состоит из
всего множества X?
7) Есть ли в множестве У буква с пустым полным прообразом?
3. Для множеств A  1, 2, 3 и B   1,  2,  3 заданы следующие
соответствия:
а) a  b ; б) a  b ; в) a  b ; г) a  b  3 , ( a  A , b B ). Для каждого из
них:
1) найти область определения,
2) множество значений,
3) построить граф,
4) построить график.
Индивидуальное задание.
1. Даны два множества: A   1;  2;  3; 1; 2; 3; 0 , N . Поставим в соответствие
каждому числу x  A его квадрат в N . Выпишите все пары, входящие в
указанное соответствие. Постройте его граф.
2. Соответствие  из A в B задано при помощи графа:
49
в
Изобразите график этого соответствия. Постройте график противоположного
соответствия.
3. Даны множества: Х={х|х  Z,-3≤х<0}, У= Z,. Каждому значению х  Х
поставим в соответствие такое значение у  У, которое на 3 больше этого х.
Перечислите элементы, принадлежащие этому соответствию. Постройте
граф этого соответствия.
4. Соответствие р из множества Х = { х | х  Z,0≤х≤4}в множество У= {у|у  Z,
0 ≤ у ≤ 5 } состоит из пар (х;у) таких, что х < у. Построить граф этого
соответствия.
5. На рис. 1 изображен график соответствия из А  R в В  R.
1
2
а) Верно ли ,что 2  А, 2  А,-З  А?
б)Верно ли, что 0  В, -1  В, 0,7  В?
в)Какие значения у В соответствуют -1? О? 7?
г)Каковы область определения и множество
соответствия?
50
значений
данного
6. Соответствие р: «хру  число х кратно числу у» задано из множества
Х={135,0,264,122 } в множество У = { 3,4,5,9 }. Построить граф
соответствия р . Найти р (135). Проверить, верно ли р (264) = 3. Найти
полный прообраз числа 0.
7. Даны множества А={1;3},В={ 2;5 }. Перечислить все подмножества
множества АхВ. Какое из полученных подмножеств задает соответствие:
а) «меньше»,
б) «больше»,
в) «больше или равно»,
г) «быть делителем»?
Построить граф каждого из этих соответствий.
8. На рис. 2 изображен график соответствия р из множества Х в множество У.
а) 3апишите область определения и множество значений этого соответствия.
б) Перечислите все элементы этого соответствия.
в) Постройте граф этого соответствия.
9. Найдите область определения и множество. значений для соответствия а ≤ в,
если а и в – натуральные числа и 2 ≤ а < 10, 4≤ в < 12. Постройте граф и
график этого соответствия.
10. Каждой точке М диаметра АВ окружности на рис. 3 поставим в
соответствие те точки окружности, которые лежат на перпендикуляре,
восстановленном в этой точке( например, М  К1,М  К2).
а) Отметьте точки окружности, соответствующие точке Д.
б) Отметьте точки диаметра, которым соответствует точка Р, точка С.
в) Какова область исхода и область прибытия данного соответствия?
51
рис. 3
Задания для самоконтроля
1) Для нижеследующих соответствий сформулируйте противоположные,
обратные, противоположные обратные:
а) точка a лежит на прямой b ,
б) число a является корнем уравнения b ,
в) прямая a пересекает окружность b ,
г) прямая a пересекает прямую b ,
д) число a больше числа b ,
е) элемент a принадлежит множеству M ,
ж) прямая a перпендикулярна прямой b ,
з) число a является делителем числа b ,
и) a  b ,
к) a  b ,
л) человек a выше человека b ,
м) слово a согласованно со словом b ,
н) город a находится в стране b ,
о) длина отрезка a равна числу b ,
п) река a впадает в море b .
Лабораторная работа № 6. Бинарные отношения
1.
2.
3.
4.
5.
Вопросы к работе
Что такое бинарное отношение на множестве?
Как можно записать бинарное отношение?
Какое отношение называют рефлексивным?
Какое отношение не является рефлексивным?
Какое отношение называют симметричным?
52
6.
Какое отношение не является симметричным?
7. Какое отношение называют транзитивным?
8. Какое отношение не является транзитивным?
9. Что такое эквивалентность на множестве?
10.Какое отношение называют порядком?
11.Какие вы знаете еще специальные типы отношений?
Образцы решения заданий
1. Дано множество А = { 1,2,3,4,5,6 }  N. На нем задано бинарное
отношение р «больше», т. е. (х,у)  р<=>х > у. Построить граф и график этого
отношения. Какими свойствами обладает это отношение? Решение.
1) Граф указанного отношения:
2) строим график этого отношения:
53
3) Рефлексивность: Если бы это отношение было бы рефлексивным, то х > х
для х  А. Например, было бы верно 2 > 2 ( ложь ). Значит отношение « >
» на А не является рефлексивным.
Симметричность: Если бы это отношение было бы симметричным на
множестве А, то х > у => у > х. Например, 3>2 => 2>3(ложь),. Значит,
отношение « > » на А не является симметричным.
Транзитивность: Если бы это отношение было бы транзитивным на
множестве А, то х > у, у > z =>х >z.Это утверждение истинно для любых
натуральных чисел, т. е. и чисел из А. Значит, отношение « > » на А является
транзитивным.
Асимметричность: Ни для каких чисел А не может быть одновременно
х  у
истинным 
, т. е. отношение “>” на А асимметрично. Отношение “>” на
у  х
множестве А является отношением строгого порядка т. к. оно асимметрично
и транзитивно.
х  у
Связность: Для любых двух элементов x , y  A верно:  у  х т. е.

 у  х
отношение “>” на множестве А является связным. Т. к. отношение “>”
на множестве А связное и является отношением строгого порядка, то оно
есть отношение строгого линейного порядка.
2. На множестве людей Земли введено бинарное отношение “быть
родственником по крови”. Будет ли это отношение отношением
эквивалентности? Решение.
Обозначим заданное отношение буквой  . Тогда хру <=> человек x
является родственником человека у (множество людей Земли-отношение А).
Что бы отношение р было отношением эквивалентности, оно должно быть
рефлексивным, симметричным, транзитивным.
Рефлексивность: Если бы р было рефлексивным, то было бы верно:
х  А хрх, т. е. любой человек Земли является родственником самому
себе(истина), т. е. отношение р на A рефлексивно.
Симметричность: Если бы р было симметрично, то хру=>урх, т. е. если
бы человек x был родственником человека y , то y был бы родственником
человека x (истина). Значит, отношение р на A симметрично.
Транзитивность: Если бы р было транзитивно на A , то если бы человек
x был родственником человека y , а был родственником человека z , то x
был бы родственником z . Но это не обязательно. Например, человек x
родственник для y по матери, а y – родственник для z по отцу. Тогда x и y
могут не быть родственниками по крови). Значит, отношение р на A не
является транзитивным. Следовательно, отношение “быть родственником по
крови” на множестве людей Земли не является отношением эквивалентности.
54
Упражнения
1. Найдите область определения рr1 р и область значений рr2 р каждого из
следующих отношений, заданных на множестве
А = { 1, 2, 3, ..., 10 }  N, и укажите, какими свойствами оно обладает:
1) арв<=>а-в=8;
2) арв<»в=а2;
3) арв<=>ав=12;
4) арв<=>в > а2.
2. На множестве А={3, 5, 7, 9, 11 }  N задано отношение х > у. Выпишите
все пары элементов, находящиеся в этом отношении.
3.Построить граф отношения р: хру <=> х = у + 2 на множестве
{-3,-1,1,2,3,4}  Z.
4.На множестве У= { у | у  Z , -13 ≤ у ≤ -2 } задано отношение R:
х R у <=> х=2у.
Какие из следующих записей верны:
а) (-6,-3) R,
б)(-3,-6) R,
в) (-4,-2) R,
г)(-8,-4) R.
5.На множестве М={ -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4 }  Z( задано значение р:хру<=>
число х кратно числу у. Записать множество р, перечислив все его элементы.
Принадлежит ли р пара (-4, -4)? Найти р(2), р(-8), р(0). Найдите р -1(4), р -1(1
6), р -1(0). Что значит отношение х R у? Найдите R (-4), R (-2).
6.Дано
множество
числовых
выражений
1
3
1
1 

 3
M 
10;  2  3;  8  5   3; 11  2  15; 916  7  . Построить граф этого
2
8
2
2 


 4
отношения « меньше, чем» на этом множестве.
7.Множество М членов семьи Смирновых состоит из отца Ивана
Михайловича, матери Елены Андреевны и четырёх детей: Миши, Тани, Васи
и Оли. Между членами семьи существуют отношения родства, которые
можно выразить словами: “быть мужем”, “быть братом” и т.д.
а) Укажите всевозможные отношения на множестве М.
б) Записать отношения «быть дочерью» с указанием всех его элементов
и построить граф этого отношения.
в) Построить графы отношений «быть братом», «быть матерью».
8. На рис. 3 изображен граф отношения «а брат в» на множестве детей
нашего двора { А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, 3, И }. Кто из них является мальчиком?
Кто девочкой? О ком нельзя по этому графу ничего сказать?
Рис. 3
55
Индивидуальное задание.
На множестве N для каждого из следующих отношений найдите
область определения рr 1 р и область значений рr 2 р и укажите какими
свойствами оно обладает:
1) хру  НОД(х,у)=1;
2) хру  у<2х;
2
3) хру  х=у ;
4) хру  х≤у;
5) хру  у-х=12;
6) хру  |у-х|=12;
7) хру  (х-у):3;
8) хру  ху=30;

9) хру х<у+1;
10)хру  у=2х+1.
Задания для самоконтроля.
1. Пусть р и σ отношение эквивалентности на множестве М. Докажите или
опровергните , что р  σ и р  σ- есть отношение эквивалентности.
2. Известно, что отношение р – отношение эквивалентности. Дополните граф
этого отношения.
Лабораторная работа №7. Разбиения и их связь с бинарными
отношениями
Вопросы к работе.
1. Что такое разбиение множества?
2. Как построить разбиение по данному отношению эквивалентности?
Образцы решения заданий.
1. Пусть A  1; 2; 3; 4; 5; 6 . Показать, что подмножества A1  1; 2 , A2  3 ,
A3  4; 5; 6 образуют разбиение множества A .
Решение.
1) Множества A1 , A2 , A3  A ;
2) А1  Ø, А2  Ø, А3  Ø;
3) А1  А2 =Ø, А1  А3 =Ø, А2  А3 =Ø
4) А1  А2  А3 = А;
По определению система множеств A1 , A2 , A3 есть разбиение
множества A .
2. Дано множество M  1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10  N . На нем задано
отношение “иметь один и тот же остаток при делении на 3”. Будет ли это
56
отношение эквивалентностью? Если “да”, то получить разбиение множества
М по этому отношению эквивалентности.
Решение.
Из арифметики известно, что любое натуральное число при делении на
3 имеет и притом только один остаток, который может равняться 0,1,2.
По условию задачи хру<=>х и у имеют один и тот же остаток при
делении на 3.
Это отношение рефлексивно, т. к. х  М хрх ( х имеет один и то же
остаток с х при делении на 3); симметрично, т. к. хру=>урх(если х и у имеют
один и то же остаток при делении на 3, то у и х имеют тот же остаток при
делении на 3); транзитивно, т. к. хру, урz (если х и у имеют один и тот же
остаток при делении на 3 и у с z имеют один и тот же остаток при делении на
3. то х и z имеют одинаковый остаток при делении на 3). Значит, указанное
отношение является эквивалентностью.
Найдем разбиение
множества М по этому отношению
эквивалентности.
Для этого из М возьмем любое число. Например, число 5. Найдем
остаток 5 при делении на 3. Это 2. Соберем все числа из М, имеющие при
делении на 3 остаток 2 в один класс. Обозначим его символом С1 2={ 5,8,2 }.
Число 7 (например) в этот класс не входит. Найдем остаток при делении 7 на
число 3. Это 1. Соберем в один класс С11 все числа из М, которые при
делении на 3 имеют остаток 1: С11={ 1,4,7,10}.
Число 3 не входит ни в С12, ни в С11. Находим остаток при делении и З
на З. Это число 0. Составляем класс С1о, куда войдут все числа из
М,
имеющие при делении на 3 остаток 0: С1о={ 3,6,9 }. Все числа из М
распределились по классам С1о, С12, С11. Другими словами:
1) множества С1о, С11, С12  M
2) С1о  
 , С12  
 , С11  
 .
3) С1о  С11 =Ø, С1о  С12 =Ø , С11  С12=Ø
4) С1о  С11  С12 =М.
Итак, искомое разбиение состоит из множеств С1о, С11, С12
Упражнения.
1. На множестве студентов академической группы выделены
подмножества отличников, спортсменов и живущих в общежитии.
Можно ли сказать, что мы имеем разбиение?
2. Можно ли разбить множество треугольников на равнобедренные,
разносторонние, равносторонние?
3. Найдите разбиение множества натуральных чисел по отношению
“иметь одинаковый остаток при делении на 5”.
Индивидуальные задания.
1. Дано отношение эквивалентности  на множестве A  , , , , ! .
Найти разбиение множества A по отношению эквивалентности  , если
57
1)   , , , , , , , , !, !, , , ,  ;
2)   , , , , , , , , !, !, , , ,  ;
3)   , , , , , , , , !, !, , , ,  ;
4)   , , , , , , , , !, !, , , ,  ;
5)   , , , , , , , , !, !, , , ,  ;
6)   , , , , , , , , !, !, , !, !,  ;
7)   , , , , , , , , !, !, , !, !,  ;
8)   , , , , , , , , !, !, , !, !,  ;
9)   , , , , , , , , !, !, , , , ;
10)   , , , , , , , , !, !, , !, !,  .
2. На множестве натуральных чисел M  a | a  20 найти разбиение по
отношению эквивалентности  : xy  x и y имеют одинаковый
остаток при делении на n , если
1) n  13 ;
2) n  14 ;
3) n  15 ;
4) n  6 ;
5) n  7 ;
6) n  8 ;
7) n  9 ;
8) n  10 ;
9) n  11 ;
10) n  12 .
Задания для самоконтроля.
1. Приведите примеры разбиений (классификаций), выполняемых в
различных областях человеческой деятельности, примеряя синонимы
понятия “класс”: “тип”, “семейство”, “род”, “вид”, “сорт” и т. д.
58
ТЕМА 3. ОТОБРАЖЕНИЯ. ФУНКЦИИ
Сведения из теории
Пусть даны некоторые множества A и B . Бинарное соответствие из A
в B называется отображением множества A в множество B , если
5) каждый элемент из A является точкой исхода,
6) у каждой точки исхода есть только по одной точки прибытия.
Другими словами, отображением множества A в множество B
называется такое бинарное соответствие из A в B , при котором каждому
элементу из A соответствует только по одному элементу из В. Если
бинарное соответствие f из A в B является отображение, то пишут:
A  B,
f:
x  y  f  x .
При этом элемент x называют прообразом, а y – его образом.
Множество образов при заданном отображении называется множеством
значений отображения f или полным f – образом множества и
обозначается символом f  A . Отображение f : A  B , при котором f  A  B
, называется отображением множества A на множество B . Отображение
f : A  B , при котором у каждого образа имеется только по одному
прообразу, называется взаимно-однозначным отображением множества A в
множество B . Отображение f : A  B , которое является:
1) отображением “на”,
2) взаимно-однозначным,
называется взаимно-однозначным отображением множества A “на”
множество B . Так как отображение множества A в множество B является
частным случаем бинарного соответствия, то его можно изображать на
плоскости с помощью графика и графа.
Два множества A и B называются эквивалентным, если для них
найдется хотя бы одно наложение, т. е. взаимно-однозначное отображение A
на B . При этом пишут A ~ B . Бесконечное множество A называется
счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел N , т. е.
A ~ N . Например, множество четных натуральных чисел cчетно, т. к.
2N  N по правилу: x  2n  n .
Более широким понятием, чем отображение, является понятие
функции. Это понятие, также как и понятие множества, является
фундаментальным. С его помощью математика изучает зависимость между
явлениями действительности, их взаимосвязь. Например, при изучении
возрастного состава населения каждому человеку ставится в соответствие
число его лет. При изучении производительности труда на заводе каждому
рабочему ставится в соответствие количество полученной им продукции.
Чтобы судить о величине городов данной страны, каждому городу ставится в
соответствие число его жителей. В геометрии каждой окружности ставится в
соответствие ее длина, каждому треугольнику – его площадь и т. д.
59
Когда мы говорим, что между множествами A и B имеется
функциональная зависимость, то имеем в виду, что задано бинарное
соответствие из множества A в множество B , при котором каждому
элементу из множества A соответствует не более одного элемента из
множества B . При этом говорят, что указанное соответствие является
функцией из A в B .
Если множество A и B – числовые множества, то функция f из A в B
называется числовой функцией числового аргумента. Если f – функция из
A  B,
или коротко y  f  x  .
A в B , то пишут: f :
x  y  f x ,
Для функции f : A  B множество значений аргумента, совпадающее с
pr A f называется областью определения функции f , а множество prB f
называется областью значений этой функции.
Например, A  a, b, c, B  1, 2, 3, 4. Для функции f : A  B , заданной
с помощью графа:
область определения представляет собой множество a, c, а область
значений – 3.
Для некоторых функций вводится понятие обратной функции.
Например, пусть дана функция f , заданная графом:
c область. определения a, c и областью значений 2, 3 . Заметим, что для
этой функции каждому значению функции соответствует не более одного
значения аргумента. Другими словами, рассматривая соответствие, заданное
графом:
60
мы получаем новую функцию. Эту функцию называют обратной к функции
f и обозначают символом f 1 .
Лабораторная работа № 8. Отображение. Виды отображений
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вопросы к работе.
Что такое отражение множества в множестве?
Что такое образ, что такое прообраз при данном отображении?
Что такое полный f -образ, что такое полный f -прообраз, при
отображении f ?
Назовите типы отображений и дайте их определения.
Какое множество называется счетным?
Какие два множества называются эквивалентными?
Образцы решения заданий.
A  1, 2, 3, 4, 5, 6  N и B  0, 1  Ζ . Поставим в соответствие каждому
1. Пусть
числу x  A его остаток при делении на 2. Является ли это соответствие отображением?
Какой тип этого отображения? Какой элемент является образом элемента 6?
7? Найдем полный прообраз элемента 1.
Решение. Изобразим задание соответствие с помощью графа:
Видим, что:
1) каждый элемент множества A , является точкой исхода;
2)
e каждой точки исхода, имеется только по одной точке прибытия.
Значит, указанное соответствие является отображением множества A в
множество B .
3) Каждый элемент множества B является точкой прибытия. Значит,
это отображение “на”.
Так как в множестве B есть элемент (например, 0) для которого
прообразом является не один элемент из A , то это отображение не является
взаимно-однозначным.
Образом числа 6 является число 0  B , образом числа 7 – число 1 B .
Полный прообраз числа 1 B есть множество чисел 1, 3, 5, 7  A .
2. Пусть X – множество треугольников плоскости, Y  R . Выберем
единицу измерения длин и сопоставим каждому треугольнику число –
61
периметр этого треугольника. Будет ли это соответствие отображением?
Какой тип у заданного отображения? Каков полный прообраз числа y  R ?
Решение.
Каждый треугольник на плоскости имеет однозначно определенный
периметр. Поэтому каждому треугольнику их множества X сопоставляется
единственное число из R . Т. е. это соответствие является отображение X в
R . При этом у двух разных треугольников может быть одинаковый
периметр. Другими словами, отображение не является взаимно-однозначным.
Кроме того, не существует треугольника, периметр которого равен
отрицательному числу, т. е. отображение не является отображением “на”.
Пусть y  R . Тогда:
1) y  0 . Полный образ – множество всех треугольников плоскости,
периметр которых равняется числу y . Это множество бесконечности.
2) y  0 . Полный образ – пустое множество.
3. X  0, 1, 2, 3, 4  N , Y  Z . Отображение f множества X в
X Y,
множество Y задано следующим образом: f :
x  y  f  x   3x  2.
Определим тип этого отображения и построим его график.
Решение.
Для каждого x  X найдем образ y  Y , соответствующие результаты
запишем в таблицу:
0
1
2
3
4
x
y  f x 
1
4
7
10
2
Множество значений отображения f есть множество B   2, 1, 4, 7, 10  A
и B  Y . У каждого элемента y  B в X имеется только по одному
прообразу. Мы имеем, следовательно, взаимно-однозначное множества
отображение X в множество Y .
Пары значений  x, y  из таблицы образует график данного
отображения f : X  Y . В прямоугольной системе координат этот график
имеет вид:
62
4. Даны два множества слов: X  { красный, синий, зеленый, желтый}
и Y  {галстук, свет, платок, лист}. Эквивалентны ли эти множества?
Решение:
Эти множества эквивалентны, т. к. для них можно установить взаимнооднозначное отображение “на”. Например:
Х
Красный
Синий
Зеленый
Желтый
У
галстук
свет
платок
лист
5. Даны множества: A  x | x  2n, n  N и B  x | x  1 / n, n  N .
Эквивалентны ли эти множества?
Решение:
Эти множества эквивалентны, т. к. можно подобрать взаимно-однозначные отображения множества A на множество B .
на
X 
Y,
Например: f :
x  2n  y  1 n.
Упражнения.
1. Каждой точке M отрезка AB поставим в соответствие ее проекцию
N на данную прямую l . Будет ли это соответствие отображением? Каким?
Опишите область определения, область значений этого отображения.
2. Множество X состоит из всех квадратов на плоскости, а множество
Y из всех окружностей на той же плоскости. Поставим в соответствие
каждому квадрату вписанную в него окружность. Является ли это
соответствие отображением X на Y .
3. Можно ли задать отображение следующим образом: множество A
из отрезков, на Y – из треугольников; каждому отрезку ставится в
соответствие треугольник, для которого этот отрезок является средней
линией?
Z  Z,
4. Верно ли, что соответствие f :
есть отображение
x  y  5 x  2
“на”?
5. Пусть X – множество вещественных чисел. Каждому числу x  X
поставим в соответствие его квадрат. Можно ли это соответствие назвать
обратимым отображением?
6. Покажите, что следующие множества четны:
а) множество нечетных натуральных чисел;
б) множество неотрицательных целых чисел;
63
в) множество квадратов натуральных чисел;
г) множество натуральных чисел, кратных 5;
д) множество кубов натуральных чисел.
Индивидуальное задание.
1. Среди указанных соответствий выбрать отображения. Указать их
тип, построить график.
Z  Z,
Z  Z,
R  R,
1) а) f :
б) f :
в) f :
x  5 x  1.
x  x.
x  lg x.
Z  Z,
Z  Z,
R  R,
2) а) f :
б) f :
в) f :
x  2 x  3.
x  x  1.
x  sin x.
Z  Z,
Z  Z,
R  R,
f
:
3) а) f :
б) f :
в)
x  5 x  3.
x  4 x.
x  cos x.
Z  Z,
Z  Z,
R  R,
4) а) f :
б) f :
в) f :
x  2 x  7.
x  2 x  1.
x  ctg x.
Z  Z,
Z  Z,
5) а) f :
б) f :
в)
x  3 x  1.
x  x  2.
R  R,
f:
x  arcsin x.
Z  Z,
Z  Z,
6) а) f :
б) f :
в)
x  2 x  5.
x  4 x  1.
R  R,
f:
x  arccos x.
Z  Z,
Z  Z,
7) а) f :
б) f :
в)
x   x  2.
x  x  5.
R  R,
f:
x  arctg x.
Z  Z,
Z  Z,
8) а) f :
б) f :
в)
x  3x  1.
x   x  7.
R  R,
f:
x  arcctg x.
Z  Z,
Z  Z,
9) а) f :
б) f :
в)
x  5 x  7.
x   3x  1.
R  R,
f:
x  lg  x  1.
64
Z  Z,
Z  Z,
б) f :
в)
x  2 x  1.
x  2 x  5.
R  R,
f:
x  lg 2 x  5.
2. Изобразите в прямоугольной декартовой системе координат графики
следующих отношений в Z . Для каждого отношения выясните, является ли
оно отображением Z в Z , отображением Z на Z , взаимно-однозначным отображением, наложением:
1) x  y  3 ;
6) x  y ;
2) x  y  5 ;
7) y  x  2 ;
3) x  y  4 , x  0 ;
8) y  x  2 ;
4) x  y ,  4  x  6 ;
9) y  4 ;
10) а) f :
10) xy  24 ,  6  x  6 .
5) x 2  y ,  4  x  6 ;
65
ТЕМА 4. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Сведения из теории
Одной из отличительных черт математики и таких наук, как
теоретическая механика, математическая лингвистика, является дедуктивное
построение теории, при котором все утверждения выводятся из нескольких
основных положений, называемых аксиомами, с помощью дедукции, т. е.
логического вывода (само слово “дедукция” по-русски означает “вывод”).
Аксиомами называют высказывания, задающие свойства основных понятий
данной теории и отношений между этими понятиями.
Однако дедукция не является единственным методом научного
мышления. Уже в вычислительной математике не всегда удается строго
доказать, что вычислительные процессы сходятся и их применимость
обосновывается тем, что они дают, как правило, результаты, подтверждаемые
практикой. Еще шире используется апелляция к наблюдению и опыту в
таких науках, как физика, химия, биология. В них наряду с дедукцией
широко используются индуктивные рассуждения. Слово “индукция” порусски означает “наведение”, а индуктивными называют выводы, сделанные
на основе наблюдений, опытов т. е. полученные путем заключения от
частного к общему.
Индукция может привести и к ошибочным выводам. Например,
французский математик XVII века Пьер Ферма, рассматривал числа
1
2
3
4
2 2   1  5 , 2 2   1  17 , 2 2   1  257 , 2 2   1  65637 , и пришел к выводу,
что при любом натуральном значении n число 2 2   1 является простым.
Проверить справедливость этого утверждения при n  5 он не смог, т. к. не
n
сумел выяснить, имеет ли число 2 2  1  232  1 нетривиальные делители,
т. е. делители, отличные от 1 и от самого числа 232  1 .
Но Эйлеру удалось показать, что число делится на 641, т. е. оно не
является простым.
Из сказанного следует, что это указанный с помощью индукции
результат подлежит дедуктивному доказательству. В некоторых случаях
такое доказательство можно провести, разобрав конечное число случаев,
исчерпывающих все возможности.
Например, чтобы доказать утверждение: для любого правильного
многогранника справедливо соотношение B  P  Г  2 , где B – число его
вершин, Р – ребер, Г – граней, достаточно рассмотреть 5 случаев известных
правильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, куб, додекаэдр, икосаэдр
(других правильных многогранников не существует). А для этих пяти
случаев утверждение проверяется с помощью следующей таблицы.
5
66
Название
Тетраэдр
Октаэдр
Куб
Додекаэдр
Икосаэдр
В
число вершин
4
6
8
20
12
Р
Число ребер
6
12
12
30
30
Г
Число граней
4
8
6
12
20
Во всех случаях имеем: B  P  Г  2 .
Такой метод перебора конечного числа случаев, исчерпывающих все
возможности, называется полной индукцией.
Метод полной индукции имеет весьма ограниченную область
применимости в математике. Как правило, математические утверждения
касаются бесконечного множества объектов и перебрать все эти объекты
оказывается невозможным. Но существует метод рассуждения, заменяющий
неосуществимый перебор бесконечного множества случаев доказательством
того, что если данное утверждение истинно в одном случае, то оно окажется
истинным и в следующем за ним случае. Такой метод рассуждения
называется математической индукцией или рассуждением от n к n  1 .
При доказательстве комбинаторных теорем нам понадобится часто
употребляемая теорема, называемая обычно принципом полной
математической индукции, состоящая из следующих положений:
1) некоторое утверждение, зависящее от натурального параметра n
справедливо при n  1 ,
2) из справедливости утверждения для всех натуральных значений
параметра n от 2 до произвольных k включительно следует его
справедливость для n  k  1, то утверждение справедливо для любого
натурального значения параметра n .
Итак, для доказательства утверждения S n  , зависящего из
натурального параметра n , методом полной математической индукции
необходимо:
1) проверить справедливость этого утверждения для n  1 , т. е.
убедится, что S 1 – истина;
2) предположить справедливость этого утверждения для всех
натуральных значений n от 2 до k включительно, в частности предположить,
что S k  – истина;
3) проверить справедливость утверждения для n  k  1, т. е.
проверить, что S k  1 – истина;
Например, требуется доказать, что при любом натуральном n число
an  n 3  3n 2  5n делится на 3.
67
1. Проверим, верно ли утверждение при n  1 , т. е. проверим, делится
ли на 3 число a1 : a1  13  3  12  5  1  1  3  5  93n  .
2. Предположим, что утверждение верно для всех натуральных n от 2
до k включительно, в частности, предположим, что ak  k 3  3  k 2  5  k 3 .
3. Проверим, делится ли на 3 число a k 1 .
ak 1  k  1  3k  1  5k  1  k 3  3k 2  3k  1  3k 2  6k  3  5k 
3
2
 ak  3k  1  3k 2  6k  3  5  ak  3k 2  9k  9
a k 3 (по предположению); 3k 2  9k  93 (по свойствам делимости). Значит,
ak 1 3 (по свойствам делимости).
Согласно метода полной математической индукции мы можем
утверждать, что число an  n 2  3k 2  5n делится на 3 при любом
натуральном значении n .
Доказательство методом неполной математической индукции
некоторого утверждения, зависящего от натурального параметра n , начиная
с некоторого натурального n  p  2 , проводится следующим образом:
1. Устанавливается справедливость этого утверждения для n  p .
2. Предполагается справедливость этого утверждения для всех
натуральных значений от p  1 до k ( k – любое натуральное число, не
меньше p ).
3. Устанавливается исходя из (2) его справедливости для n  k  1.
На основании (1) и (2) и принципе неполной математической индукции
делается вывод, что это утверждение справедливо для любого натурального
n  p.
Распространенными задачами комбинаторики являются задачи о числе
различных соединений: размещений, перестановок, считаний, и задачи,
связанные с формулой Ньютона (биномом Ньютона).
Одно из важных правил комбинаторики – правило умножения. Если
объект A1 может быть выбран k1 способами, затем для каждого из таких
типов выборов объекта A1 другой объект A2 может быть выбран k 2
способами, затем для каждого из таких выборов и объекта A1 и объекта A2
третий объект A3 может быть выбран k 3 способами и т. д., включая m -ый
объект Am , который может быть выбран k m способами , то объект,
состоящий в выборе всех m объектов вместе, т. е. объект “ A1 ,  , Am ”
может быт выбран k1  k 2  k m способами.
П р и м е р 1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить их
цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться ?
Решение.
При составление трехзначного четного числа A1 , A2 , A3 из данных
цифр вместо A1 можно взять любую указанную цифру кроме 0 (6
68
возможностей), вместо A2 можно взять любую из этих цифр (7
возможностей), вместо A можно взять любую из цифр 0, 2, 4, 6 (4
возможности).
Согласно правилу умножения, имеется 6  7  8  168 способов составить
число, удовлетворяющее условию задачи.
П р и м е р 2. Сколько существует шестизначных чисел, которые
делятся на 5?
Решение.
Поскольку число делится на 5, то его цифра разряда единиц равна 0
или 5 (2 возможности). Цифры же разряда десятков, сотен, тысяч и десятков
тысяч могут быть любыми от 0 до 9, т. е. в каждом из этих случаев имеется
10 возможностей. Цифра разряда сотен тысяч шестизначного числа может
быть любой, кроме 0 (9 вариантов).
Следовательно, всего несколько чисел 9∙10∙10∙10∙102=180000.
Для любого натурального числа n произведение 1.2…..n обозначается
n ! (читается “эн факториал”), т. е. 1.2…..n = n !.
Кроме того полагает О !, 1!=1.
n0
 1, если

n 1
Другими словами: n ! =  1, если
1.2...n, если, n  N , n  2

Например: 1!=1
2!=1∙2=2
3!=1∙2∙3=6
4!= 1∙2∙3∙4=24
10!=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10=720∙7∙8∙9∙10=720∙5040=3628800
При выборе m элементов из n различных элементов принято говорить,
что они образуют соединение из n элементов по m .
В зависимости от того, имеет ли значение порядок элементов в
соединение или нет, а также от того, входят в соединение все n элементов
или только часть их, различают три вида соединений: перестановки,
сочетания, размещения. Любое упорядоченное подмножество элементов,
взятых из данного множества, называется размещением.
Из этого определения вытекает, что размещение одного и того же
множества отличаются друг от друга либо элементами, входящими в них,
либо их взаимным расположением, либо и элементами и взаимными
расположениями этих элементов.
Например, для множеств A  1, 2, 3, 4 подмножества A1  1, 2, 3 ,
A2  2, 1, 3 , A3  1, 3, 2 являются размещениями.
69
Столькими способами можно выбрать и разместить по m различным
местам m из n различных предметов? Количество всех таких способов
принято обозначать Anm (читается “число размещений из эн по эм”) и
Anm  n  n  1  n  2    n  m  1 .
Например, выпишем все размещения множества A  a, b, c, d  по два:
ab , ba , ac , ca , ad , da , bc , cb , bd , db , cd , dc . Получилось 12
размещений. В этом случае n  4 , m  2 и A42  4  3  12 .
Перестановкой элементов множества A называется любое их взаимное
расположение. Из этого определения следует, что каждая перестановка
множества содержит в себе все элементы этого множества. В этом
заключается существенное отличие перестановки от размещения элементов
одного и того же множества. Другими словами, перестановка множества
длины n есть размещение такой же длины n .
Поэтому число перестановок n элементов, обозначаемое символом Рn ,
можно посчитать по формуле:
Pn  Anm  n  n  1    n  n  1  n  n  1    1  n .
Например, для множества A  a, b, c имеется 3!=6 различных
перестановок: abc , acb , cab , cba , bca , bac .
Подмножества данного множества A , отличающиеся друг от друга
хотя бы одним элементом, называются сочетаниями элементов этого
множества.
Из этого определения следует, что в сочетаниях взаимное
расположение элементов во внимание не принимается. Например, для
множества A  a, b, c, d  подмножества a, b, c и b, c, a представляет
собой одно и то же сочетание.
Число сочетаний из n элементов по m элементов обозначается
m
символом С n (читается “число сочетаний из эн по эм”) и может быть
вычислено по формуле:
С
m
n
=
n!
m!(n  m)!
Например,
С
3
5

5! 1  2  3  4  5

 10 .
3!2! 1  2  3  1  2
Действительно, если A  a, b, c, d , e , то сочетаниями будут являться
подмножества abc , abd , bde , acd , ace , ade , bcd , bce , bde , cde .
m
Числа С n обладает целым рядом замечательных свойств:
m
nm
n
0
1
2
n
n
n
n
n
С =C
2) C  C  C      C  2
3) C  C  C
1)
n
m
m 1
m
n
n 1
n 1
n
70
Последнее тождество позволяет вычислить значения
C
m 1
n 1
С
m
n
, зная
С
m
n 1
. Иными словами, с помощью этого тождества можно последовательно
вычислить С mn сначала при n  0 , затем при n  1 , при n  2 и т. д.
Вычисления удобно записывать в виде треугольной таблицы:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
В n  1 -й строке таблицы по порядку стоят числа С 0n , C 1n , …,
При этом
C
m 1
n 1
чем
и
С =C
0
n
n
n
. Поскольку
С
m
n
=1, а остальные числа вычисляются по формуле
C
m 1
n 1
и
С
n
C .
С =С +
n
m
m
n
n 1
располагаются в этой таблице строкой выше,
m
n 1
, и находятся в этой строке слева и справа от него, то для получения
надо сложить находящиеся слева и справа от него числа предыдущей
строки. Например, значение 10 в шестой строке мы получим, сложив числа 4
и 6 пятой строки.
Другими словами, мы имеем таблицу:
С
m
n
0
С0
С С
0
1
1
1
С С С
0
1
2
2
2
2
С С С С
0
1
2
3
3
3
3
3
С С С С С
0
1
2
3
4
4
4
4
3
4
С С С С С С
0
1
2
3
4
5
5
5
5
5
5
5
Эту треугольную таблицу называют треугольником Паскаля по имени
Блеза Паскаля (1623-1662) в трудах которого она встречается. Это название
исторически неточно, т. к. такую таблицу знал уже арабский математик и
поэт Омар Хайям, живший в XIII в.
1
Для любых чисел  x  a   х  а  C10 x1a 0  C11 x 0 a1
 x  a 2  х 2  2 xа  a 2  C20 x 2 a 0  C21 x1a1  C22 x 0 a 2
 x  a 3  х 3  3x 2 a  3xа 2  a 3  C30 x 3 a 0  C31 x 2 a1  C32 x1a 2  C33 x 0 a 3
Используя метод математической индукции можно доказать, что для
любого натурального n верно:
( х  а)  C x a  C x a  C x a
n
0
n
n
0
1
n
n 1
1
2
n
71
n2
2
     Cn
m
nm
x a
m
   C n x
n
0
a
n
Это равенство принято называть биномом Ньютона.
Свойства разложения бинома:
1. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени
бинома, т. е. равно n  1.
2. Сумма показателей степеней x и a каждого члена разложения равна
показателю степени бинома, т. е. n  m  m  n .
m
nm
m
3. Общий член разложения (обозначим его Т m 1 ) имеет вид Т m 1 = C n x a ,
m  0 , 1,  , n .
При этом Т обозначает член разложения, а индекс m  1 – его порядковый
номер в разложении бинома, считая слева направо.
n
5
n 5
5
Например, найдем шестой член разложения ( х  а) : Т 6  С n x a
4. Биноминальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от
m
nm
концов разложения, равны между собой, т. к. С n = С n
5. Сумма биномиальных коэффициентов равна 2 n , т. к. 2 n  1  1 
n
 C n  C n  C n     C n (по биному Ньютона при x  1 и a  1 ).
0
1
2
n
До сих пор мы рассматривали соединения, в каждое из которых любой
из n различных элементов входит только один раз. Можно же рассматривать
соединения с повторениями, т. е. соединения, в каждом из которых любой из
n различных элементов может входить более одного раза. Размещения из n
элементов, в каждое из которых входит m элементов, причем один и тот же
элемент может повторятся в каждом размещении любое число раз, но не
более m , называется размещением из n элементов по m с повторениями. Их
число обозначим Anm и Anm  n m .
Например, размещения из двух элементов по 3c повторениями имеют
вид: aaa , abb , bab , bba , aab , aba , baa , bbb . Их количество А32  23  8 .
Перестановки из n элементов, в каждую из которых входят n1
одинаковых элементов одного типа, n 2 одинаковых элементов другого типа и
т. д. до nk одинаковых элементов k -го типа, где n1  n2    nk  n ,
называются перестановками из n элементов с повторениями.
Например, числа 4455, 5544, 5454, 4545, 4554, 5445 являются
перестановками цифр 4 и 5, каждая из которых взята по два раза.
Число таких перестановок с повторением принято обозначать
Pn n1 , n2 , , nk  и оно может быть найдено по формуле Pn n1 , n2 , , nk  
n!
.

n1!n2 !nk !
П р и м е р . Сколькими способами можно расположить в ряд две
зеленые и четыре красные лампочки?
Решение.
72
P
6
(2,4)=
6! 1  2  3  4  5  6

 15 способами.
2!4! 1  2  1  2  3  4
Сочетаниями из n предметов по m с повторениями называются
соединения, содержащие m элементов (без учета порядка следования) причем
любой элемент может входить в это соединение несколько раз не больше чем
m . Например, сочетания из трех цифр 3, 4, 5 по два с повторениями
записываются в виде 33, 34, 35, 44, 45, 55 или в виде 33, 43, 53, 44, 54, 55, т. к.
соединение 43 и соединение 34 есть одно и то же сочетание.
Число всех таких сочетаний обозначим C nm . При этом
Например
C C
2
2
3
3 2 1
 C4 
2
4! 1  2  3  4

 6.
2!2! 1  2  1  2
73
т
m
n
n  m 1
С =C
.
Лабораторная работа № 9. Метод математической индукции
Вопросы к работе.
1) Для какого типа утверждений применяется метод математической
индукции?
2) В выполнение каких шагов состоит метод математической индукции?
Образцы решения заданий.
1. Доказать, что сумма первых n ( n  N ) нечетных чисел равна
квадрату их числа, т. е. 1  3  5    2n  1  n 2 .
Решение.
Т. к. утверждение зависит от натурального параметра n , то
воспользуемся для его доказательства методом математической индукции.
1) Проверим справедливость данного утверждения для n  1 .
Если n  1 , то 1  12 (и).
2)Предположим, что сумма первых k ( k  2 ) нечетных чисел равна
квадрату количества этих чисел, т. е. 1  3  5    2k  1  k 2 . Другими
словами, предположим, что наше утверждение истинно для всех, значений n
от 2 до k включительно.
3) Установим, исходя из равенства (2), что сумма первых k  1
2
2
нечетных чисел равна (k 1) , т. е.1+3+5+…+(2(k+1)-1)= (k 1) .
Действительно,
1+3+5+…+(2(k+1)1)=1+3+5+…+(2k+1)=1+3+5+…+(2k–
–1)+(
2k+1)=[1+3+5+…+(2k-1)]+
2
2
2
2
(2k+1)= k +2k+1= (k 1) ; (k 1) = (k 1) (и).
На основании принципа математической индукции делаем вывод, что
сумма первых n нечетных чисел равна n 2 для любого натурального n .
2. Доказать, что для n -го члена геометрической прогрессии bn  со
знаменателем q справедлива формула bn  b1q n1 ( n  N ).
Решение.
Доказательство проводим методом математической индукции по
натуральному параметру n.
11
1. n=1  в1  в1 q  в1  в1 (и).
2. Предположим, что формула справедлива для всех натуральных
k 1
значений n от 2 до k включительно, т. е. в k  в1 q
k 1
k
( k 1) 1
3. n=k+1  вk 1  q  вk  q в1 q = в1 q ; в k 1  в1 q
(и).
Согласно принципа математической индукции можно сказать, что
рассматриваемая формула верна для любого натурального n.
3
4. Доказать, что при каждом натуральном n число n  11n делятся на 6.
74
Решение. Обозначим число
любом натуральном n.
1. n=1  а1  13  11  1  12 6 (и).
n
3
 11n = a n .
Надо доказать, что
a
n
 6 при
2. n  k  ak  k 3  11k 6 (предположение)
 ak 1`  (k  1) 3  11(k  1)  k 3  3k 2  3k  1  11k  11 
3. n=k+1
 k 3  3k 2  3k  11k  12  k 3  11k   3k 2  3k  12 
3
2
k  11k 6 (по предположению), 3k  3k  123
делимости).
Если мы сумеем доказать, что
2
3 k  3k  12  2 , то тогда можем утверждать, что


3 k

2
(по
свойствам

 3k  12 6 , т. к. 3 и 2 взаимно-простые числа.
Это доказательство проведем тоже методом математической индукции:
2
1) k  1  3 1  3  1  12  182
2) k  s  3s 2  3s  122 (предположение)
3)
2
k  s  1  3 s  1  3 s  1  12  3s 2  6s  3  3s  3  12  3s 2  3s  12   6s  6
(3s 2  3s  12)2 (по предположению)
(6S+6)  2 (по свойствам делимости).
Тогда (3s 2  3s  12)  6s  62 по свойству делимости.
Итак 3k 2  3k  123 и 2. Следовательно, 3k 2  3k  12 6 .
Согласно методу математической индукции мы можем сказать, что число
3
n  11n делится на 6 для любого натурального значения n.
4. Доказать, что при каждом натуральном n справедлива формула
1+2+3+….+(n-1)+n=
Решение.
1. n  1  1 
n(n  1)
.
2
1  (1  1)
; 1=1(и).
2
k (k  1)
(предположение).
2
k  1k  2
3. n  k  1  1  2  3  ....  k  (k  1) равно ли
? Обозначим
2
1  2  3    k  k  1  A ,
2. n  k  1  2  3  ...  (k  1)  k 
(k  1)( k  2)
B
2
Чтобы доказать, что A  B , мы можем
1) с помощью тождественных преобразований перевести A в B ;
2) с помощью тождественных преобразований перевести B в A ;
3) с помощью тождественных преобразований перевести A в C ;
75
4) с помощью тождественных преобразований перевести B в C ;
Воспользуемся приемом (3)
2
2
 k  2k  2 k  3k  2
k (k  1)
k
 (k  1) 

C;
A  1+2+3+…+k+(k+1)=
2
2
2
2
2
2
2
 3k  2
(k  1)(k  2) k  2k  k  2 k  3k  2

3
k

2
k
k
;
=
B


C.
2
2
2
2
2
Значит, A  B , т. е. при n  k  1 наше утверждение – истина.
Согласно принципа математической индукции делаем вывод: 1+2+3+…+ n=
n(n  1)
при   N .
2
5. Последовательность a n  задана рекуррентным соотношением: a1  2 ,
a2  3 , an1  3an  2an1 , n  2 .
Доказать, что an  2n1  1 для n  N
Решение. Обозначим значения а, находимые по предполагаемой формуле
n 1
~
2  1 через a i при n  i .
1. n=1  a1  2 (по условию)
11
0
a~1  2  1  2  1  1  1  2 a1  a~1 (и).
~n для всех значений n от 2 до k
2. Предположим, что an  a
включительно (k-произвольное натуральное число). В частном.
k 11
k 2
аk 1  a~k 1 , ak  a~k , т. е. аk 1  2  1  2  1
k 1
а 2
k
1
3. Найдем
a
k 1
и
a~
ak 1  3ak  2ak 1  32
k 1
k 1
 1  22 k 2  1  3  2 k 1  3  2  2 k 2  2  3  2 k 1  2 k 1  1 
 2  2 k 1  1  2 k  1
k 11
k
a~k 1 = 2  1  2  1
a  a~
k
k 1
Согласно методу математической индукции делаем вывод: предполагаемое
утверждение истинно для n  N .
Упражнения.
1. Доказать, что для n -го числа арифметической прогрессии a n  с
разностью d справедлива формула an  a1  d (n  1) .
2. Доказать, что при любом натуральном n справедлива формула
в а
n
n
 (в  а)(в
n 1
в
n2
ав
n 3
a
2
 ...  в а
n2
n 1
a )
3. Доказать, что при любом натуральном n число 4n -15n-1 делится на 9.
n
4. Доказать, что при любом натуральном n число 7  1 делится на 6.
5. Последовательность a n  задана рекуррентным соотношением
n 1
аn1  3an  2an1 , a1  0 , a2  1. Доказать, что an  2  1 ( n  N ).
76
6. Доказать, что при каждом натуральном n справедлива формула
1  2  3  ...  n
1
2
2
2

n(n  1)( 2n  1)
6
7. Доказать, что при каждом натуральном n  2 справедливо равенство
1  2  2  3  ...  n(n  1) 
n(n  1)( n  2)
.
3
Индивидуальное задание
1. Доказать, что при каждом натуральном n число an делится на b :
n 3
1) an  5  113n 1 , b  17
2) an  11n  2  122 n 1 , b  133
3)
a 7
2n
n
, b  33
4
2n
a  6  3  3 , b  11
 7  5  12  6
6) a
, b  19
4)
2n
a  6 19  2 , b  17

3 2
7) a 5
, b  19

 26  5  8
9) a 5
, b  59
5)
2n
n
n 1
n2
n 1
n
n
n 1
a  9  18n  9 , b  18

 18n  28
10) a 10
, b  27
8)
n
2 n
n
n
n
2 n 1
n2
2n
n
2 n 1
n
n
n
n
2. Доказать, что при каждом натуральном n справедливо равенство:
n (n1)

2
2
1) 1  2  3      n
3
3
3
3
2)14  24  3      n 
4
4
4
2
n(n  1)( 2n  1)(3n  3n  1)
30
3) 1  4  2  7  3  10      n(3n  1)  n (n 1)
2
(n  1)  n(n  1)
3
n(n  1)( n  2)( n  3)
5) 1  2  3  2  3  4      n(n  1)( n  2) 
4
1
1
1
n
6)

  

1 5 5  9
(4n  3)( 4n  1) 4n  1
4) 1  2  2  3      (n  1)  n 
n(n  1)(3n  2)
2
7) 1  2  2  3      (n  1)  n 
2
2
2
8)
1
1 3
2

2
35
12
2
2
  
n
(2n  1)( 2n  1)

n(n  1)
2(2n  1)
n(2n  9n  1)
2
9) 2  7  14      (n  2n  1) 
2
6
1
1
1
1
n


  

10)
45 56 67
(n  3)( n  4) 4(n  4)
Задания для самоконтроля.
Доказать, что если x  1, то для всех натуральных значений n истинно
неравенство:
n
(1 х)  1  nx (это неравенство называется неравенством Бернулли).
77
Лабораторная работа № 10. Размещения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Вопросы к работе.
Что изучает комбинаторика?
Что представляет собой “правило умножения”?
Что такой n! ?
Что такое соединение из n элементов по m ?
Что такое размещение?
По какой формуле вычисляется число размещений из n по m ? Как
обозначается это число?
Что представляет собой размещение с повторением?
По какой формуле вычисляется число размещений с повторением из n
по m ?
Образцы решения заданий.
1. Сколько существует двузначных чисел, имеющих обе четные цифры?
Решение.
Цифрой разряда десятков искомых чисел может быть одна из цифр 2, 4, 6,
8(4 возможности), а цифрой разряда единиц – одна из цифр 0, 2, 4, 6, 8 (5
возможностей).По правилу умножения, всего несколько чисел будет
4  5  20 чисел.
2. Упростить выражение В=
7!4!  8!
9! 



10!  3!5! 2!7! 
Решение.
4
1


9 1
 3  4  5!6  7  8 7 !8
20 2
7!4!  8!
9!  7 !1  2



В=



=

  56  30 
10!  3!5! 2!7!  7 !8  9
30 3
3 10  1  2  3  5! 1  2  7 !  30
2
Итак, В= .
3
5!
(m  1)!
3. Упростить выражение Д=

m(m  1) (m  1)!3!
3!4  5  m
  1 !m
  (m
  1 )
 20 , Итак Д=20.
m
  (m
  1 )  (m
  1 )!3!
4. Решить уравнение относительно натурального m :
Решение. Д=
m!(m  1)! 1

(m  1)!
6
m!(m  1)! 1
(m  1)!m  (m  1)! 1
(m  1)!(m  1) 1
 
 

(m  1)!m(m  1)
6 (m  1)!m(m  1) 6
(m  1)!
6
а) Если m=1 , то согласно уравнению будем иметь:
Решение.
0!0
1
1 0
1
0 1
 
   (  );
0!1  2 6
1 1  2 6
2 6
Значит, m=1не является корнем заданного уравнения.
78
б) Если m≥2, то согласно уравнению будем иметь:
(m  1)!(m  1) 1
m 1
1
2
 
  6(m  1)  m(m  1)  6m  6  m  m 
(m  1)!m(m  1) 6 m(m  1) 6
 5m  6  0  (m  2)(m  3)  0  m1  2, m2  3
Итак, исходное уравнение имеет два натуральных корня:
2
m
m  2, m
1
2
3

Упростить выражение: М= A A , n  6, n  N
A
6
5
n
5.
n
4
n
Решение.
6
A
A
A
n
5
n
4
n
 n(n  1)( n  2)( n  3)( n  4)( n  5) ,
 n(n  1)( n  2)( n  3)( n  4) ,
 n(n  1)( n  2)( n  3)
n(n  1)( n  2)( n  3)( n  4)( n  5)  n(n  1)( n  2)( n  3)( n  4)
n(n  1)( n  2)( n  3)
,
2
n(n  1)( n  2)( n  3)( n  4)( n  5  1)

 (n  4)( n  4)  (n  4)
n(n  1)( n  2)( n  3)
M
М= (n  4)
Итак
2
6. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и
цифра единиц различные и нечетные?
Решение.
Поскольку нечетных чисел пять, а именно 1, 3, 5,7,9 то эта задача
сводится к выбору размещения на две разные позиции двух из пяти
различных цифр. Количество этих позиций есть число размещений из 5 по
2: А52  5  (5  1)  5  4  20 . Следовательно, искомых чисел имеется 20 штук.
7. Каждый телефонный номер состоит из шести цифр. Сколько всего
телефонных номеров не содержащих других цифр, кроме 2, 3, 5 и 7?
Решение.
Эта задача о числе размещений в шести разных местах шести цифр,
выбранных из четырех разных цифр с повторением каждой из них любое
число раз, но не более шести.
Тогда A46  4 6  16  16  16  256  16  4096 .
Итак, число всех указанных телефонных номеров равно 4096.
Индивидуальное задание.
1. Вычислить:
4
4
3!4! А12  А11
1);
;
3
5
А10
7!
2)
;
3!5!
79
А  5!
А
6
12
9
11
4
99!98!
4)
; 3А10 6
97! А6  А7
А А
А А
5!4!
3)
;
3!
2
3
5
2
6
3
3
4
50! 30! А11  А10
5)

;
3
48! 28!
А11
2
3
6)

(m  2)! 5
7
6
; А10 2! А11  3! А10
m!

1
1 
А9
7)  
 (m  1)!; 3
7
m
!
(
m

1
)!


А8  А8
60! 40!
8) А32  А24  5!; 
58! 38!
3
2 1 105!102!
9) А5  А5 ;
12
101!
5




2. Найти все натуральные n , удовлетворяющие условию:
1)
А
3)
A
5)
2
n
2
n
 12
6
3
A
n
(n  1)!
 72
(n  1)!
n!(n  1)!
4)
6
(n  1)!
(n  2)!
 3  4n
6)
n!
(n  2)!
8)
5
(n  3)!
(n  1)! n!
7
10)
n!
2)
 2n
7)
A A
9)
A A
4
2
n
n
3
2
n
n
3. Ответить на вопрос.
1) Сколькими способами можно из 20 студентов группы выбрать старосту,
профорга и культорга? ( А320 )
2) В шахматном турнире участвует пять студентов и три школьника.
Сколькими способами могут распределится места? ( А83 )
3) Сколькими способами можно из 20 человек назначить двух дежурных,
из которых один старший? ( А220 )
4) В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами
можно составить расписание на один день? (уроки не повторяются). ( А105 ).
5) Сколько можно составить целых чисел, каждое из которых
изображается тремя различными цифрами? ( А103  А92 ).
6) Сколько можно составит билетов из 20 вопросов программы, если в
каждом билете содержится три вопроса? ( А320 )
7) Сколько экскурсионных маршрутов посещения пяти городов можно
составить, если в перечне экскурсионных мест содержится 8 городов? ( А85
).
80
8) Сколько вариантов раскраски 4-х зон на карте можно выбрать, имея в
наличии 10 различных цветов краски? ( А104 ).
9) Сколькими способами можно распределить 6 человек на 12 стульях? (
6
А12 ).
10) Сколькими способами можно пометить 4 коробки на 9 полках, если на
каждой полке должно находится по одной коробке?
Задания для самоконтроля
a. Из скольких предметов можно составить 225 размещений с повторениями
2
по два предмета в каждом? ( А m  m2)  m  15 .
Лабораторная работа № 11. Перестановки
Вопросы к работе.
Что такое перестановка n элементов?
Сколько перестановок существует для n элементов?
Какая перестановка называется перестановкой с повторениями?
По какой формуле вычисляется число перестановок с повторениями?
1.
2.
3.
4.
Образцы решения заданий.
1. Вычислить P3  P2
Решение.
P3 =3!= 1 2  3  6
P2  2! 1  2  2
P3  P2  6  2  12 , Итак, P3  P2  12 /
2. Сколькими способами можно рассадить на скамейке пять человек?
Решение.
Способов столько, сколько различных перестановок можно составить из 5
элементов, т. е. р5 .
р
5
=5!= 1 2  3  4  5  120 .
Итак, пять человек на скамейке можно рассадить 120 способами.
3. Сколь всех семизначных чисел, у каждого из которых цифра 6
встречается 3 раза, а цифра 5 четыре раза?
Решение.
7! 4!5  6  7
р7 3;4  3!4!  1  2  3  4!  35 чисел.
81
Индивидуальное задание.
1. Десять человек надо разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5
человек в группе. Сколькими способами это можно сделать? (
P10 (2,3,5)  2520 ).
2. Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трех
бандеролях соответственно по 2, 3, 4 книги в каждой бандероли? (
P9 (2,3,4)  1260 ).
3. Сколькими способами можно распределить семь молодых
специалистов по трем цехам, которым соответственно нужны 1,2,4
специалиста? ( P7 (1,2,4)  105 ).
4. Сколькими способами можно составить список из 25 студентов?
5. Сколькими способами 5 человек можно расположиться в легковом
автомобиле?
6. Сколькими способами 10 человек могут организовать очередь?
7. Сколькими способами 15 книг можно расположить на полке?
8. Сколькими способами можно переставить буквы в слове
«математика»? ( P10 (2,3,2,1.1.1)  151200 . ).
9. В доме отдыха давали на десерт либо яблоко, либо апельсин, либо
мандарин. В течение 24 дней было выдано 9 яблок, 7 мандаринов и 8
апельсинов. Сколько различных вариантов выдачи может быть? (
P10 (9,7,8) ).
10.Сколькими способами можно переставить буквы слова «перешеек» так,
чтобы 4 буквы «е» шли подряд? ( P5  5! ).
Задания для самоконтроля.
1. Найти все натуральные n , удовлетворяющие неравенству:
4
Аn2  143  0 .
Pn2 4Pn1
Лабораторная работа № 12. Сочетания
1.
2.
3.
4.
5.
Вопросы к работе.
Что такое сочетание?
Чем отличается сочетание от размещения?
Сколько сочетаний из n элементов по m?
Что такое сочетание с повторениями?
По какой формуле подсчитывается число сочетаний с повторениями?
Образцы решения заданий.
1. Вычислить
С
23
25
.
82
Решение.
25!
25! 23!24  25


 12  25  300
23!(25  23)! 23!2!
23!1  2
2. Сколькими способами читатель может выбрать две книги из пяти
возможных?
Решение.
Искомое число способов равно числу сочетаний из пяти по две:
5! 3!4  5
2
С5  2!3!  1  2  3!  10 .
Итак, из пяти книжек две читатель может выбрать десятью способами.
3. Сколькими способами можно выбрать четыре монеты из четырех
пятирублевых монет и из четырех двухрублевых монет?
Решение.
Эта задача о числе сочетаний из двух по четыре с повторениями:
~4  4  4  5!  5 .
С 2 С 421 С5 4!1!
Итак, мы имеем пять вариантов выбора нужных монет.
С
23
25

Упражнения.
1. Вычислить:
а)
С С  С С  С С
3
2
2
1
1
0
5
4
4
3
3
3
1 3
3
1 2 1
 С 8  С15 
 С6 
3
28
65

б) 
3
РА
3
5
2. Найти все натуральные n , удовлетворяющие условию:
n2
а) С n  2n  9
б)
3C
2
 2 An  n
2
n 1
в) C n  C n
3. Ответить на следующие вопросы:
1) В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных. Сколькими
способами можно выбрать набор из четырех пирожных? (
5
С С
3
4
4
5
4  5 1

8!
 70 ).
4!4!
2) Сколькими способами можно из 20 человек назначить двух дежурных с
2
одинаковыми обязанностями? ( С 20 ).
3) В подразделении 30 солдат и 3 офицера. Сколькими способами можно
3
выделить патруль, состоящий из трех солдат и одного офицера? ( 3  С 30 ).
4) Сколькими способами можно выбрать четыре делегата на конференцию,
4
если в группе 20 человек? ( С 20 ).
5) Из семи гвоздик и пяти тюльпанов надо составить букет, состоящий из
трех гвоздик и двух тюльпанов. Сколькими способами можно это делать?
3
3
( С 7  С 5 ).
83
6) Сколькими способами можно выбрать три книги из четырех книг разных
авторов? ( С 34 ).
7) Имеется собрание сочинений из четырех книг одного автора и собрание
сочинений из шести книг другого автора. Сколько наборов из четырех
книг можно сделать, чтобы в наборе было две книги первого автора и две
книги другого автора? ( С 24  С 62 ).
8) Из двадцати человек надо выбрать семь. Сколькими способами это можно
7
сделать? С 20 .
9) Сколькими способами можно разделить группу из 15 человек на две
группы так, чтобы в одной группе было четыре человека, а в другой 11?
4
С15 .
10) Из пяти офицеров и десяти солдат надо составить наряд так, чтобы в него
входило два офицера и три солдата. Сколькими способами можно это
2
3
сделать? С 5  С10 .
 
 
Задания для самоконтроля.
1. Положение прямой на плоскости определяется двумя точками. Сколько
прямых линий можно провести через 13 точек, если никакие три из них не
лежат на одной прямой?
2. Лифт, в котором находятся восемь пассажиров, останавливается на шести
этажах. Пассажиры выходят группами по одному, три и четыре человека.
Сколькими способами это может произойти, если на каждом этаже может
выйти только одна группа пассажиров, при этом порядок выхода
пассажиров одной группы не имеет значения? ( С 8 (1,3,4)  280 ;
С 6  20  С8 (1,3,4)  С 6  5600 ).
3
3
Лабораторная работа № 13. Бином Ньютона
Вопросы к работе.
1. Прочитать формулу бинома Ньютона.
2. Как строиться треугольник паскаля для нахождения коэффициентов
бинома Ньютона?
3. По какой формуле найти S-й член бинома Ньютона?
Образцы решения заданий.
1. Написать разложение по формуле бинома Ньютона и упростить :
84
(а в) .
4
Решение.
(а  в )  С а в  С а в  С а в  С а в  С а в
4
0
4
0
1
4
3
1
2
4
2
2
3
4
1
3
4
4
0
4
4

4! 4 4! 3
4! 2 2 4!
4! 4
3
4
3
2 2
3
4

в


 а  4а в  6а в  4ав  в
а
а
а
в
ав
в
0!4!
1!3!
2!2!
3!1!
4!0!
2. Найти сумму коэффициентов многочлена относительно x , получаемого в
разложении бинома Ньютона:
(3х  4)
17
(3х  4)
17
. Решение.
 С17 (3х)
17
0
     С17 (3х)
0
17
(4)  С (3х) (4)  С (3х) (4)  С (3х) (4)
0
16
1
1
17
(4)
17
15
2
2
17
3
14
17
3

.
Это равенство истинно при любом значении x , в частности, при x  1 .
Тогда вправе иметь:
С 3 (1)  С 3 1  4  С 3 1 (4)      С (4)
С 3  4  3 С  16  3 С      4  С
0
17
17
1
17
0
16 16
2
17
17
16
17
2
15 15
1
15
17
17
17
17
17
2
17
17

17
17
сумма коэффициентов многочлена, получаемого в разложении бинома.
17
17
Влево имеем: (3 4)  (1)  1 .
Следовательно, искомая сумма коэффициентов равна -1.
3. Найти 13-й член разложения бинома.
15
3
.

3 2
Решение.

12
Т 13  Т 121  С15 (3
3
12
3) ( 2 )
 С5  3  2 
3
6
15!
6 13  14  15
6
3 2 
 3  2  87360
3!12!
1 2  3
Итак, Т 13  87360 .
6
4.
1
3
Найти номер члена разложения бинома  х  
6

Решение.
Для
общего
 х
m
Т м1  С16 3
16m
члена
, не содержащего x .
разложения
имеем
m
 1   m 163m m  m 1634m
  С16 х х С16 х
 х
Член в разложении не зависит от х только тогда, когда
16  4m
 0 , т. е.
3
16-4m=0, т. е. m=4.
Итак, пятый член данного разложения не зависит от x .
5. Построить треугольник Паскаля для нахождения
7
разложения бинома Ньютона. (а в) . Решение.
85
коэффициентов
n
С
0
1
1
1 1
2
1 2 1
3
1 3 3 1
4
1 4 6 4 1
5
1 5 10 10 5 1
6
1 6 15 20 15 6 1
7
1 7 21 35 35 21 7 1
m
n
С С С С С С С С
0
1
2
3
4
5
6
7
7
7
7
7
7
7
7
7
Упражнения.
1. Написать разложение по формуле бинома Ньютона и упростить:
а)
б)
b  2 
6
а  2b
5
13
 1
в)  а  
 а
2. Найти пятый и девятый член разложения:
а)

13

 x 1 
,
б)
z z


 x
10
23
(a  аb)
16
1

 член, не содержащий z.
4. Найти в биномиальном разложении  z 

 z3 
3. Найти два средних члена разложения
3
5. Используя треугольник Паскаля найти коэффициент разложения:
а)
9
(а b) ,
б)
12
(а b)
.
Индивидуальные задания.
1. Разложить по формуле бинома Ньютона и упростить. Коэффициенты
разложения найти используя треугольник Паскаля.
86
7
1
1)  a  b  ;
2

;


5
5) 3  2 ;




6  12 ;
5

5
3) 1  2 ;
4) a  2b 6
7) 1  2 x 5 ;
8)
2) a 3  ba ;
3) a 2  b  ;
4) a  b 2 
6) a 3  b 2  ;
7) a 2  b
2) 1  2 ;
6)

4
8
x  1  ;


2x 

1
9)  3  15  ;
10)   y  .
x

2. Найти два средних члена разложения:
6
6
1) a 3  ab ;
;
31
5) a 2  b 3  ;
13

a b


17
;
9) a  a

17
;
19
21

15

10) a 2  a

15
.
Задание для самоконтроля.
1. Найти сумму:
0
1
2
n
1) С n  2C n  22 C n      2n C n ,
2) 1  C1n  C 2n  C 3n      (1) C nn
2. Доказать справедливость равенства.
0
1
2
4
5
6
C6  C6  C6  C6  C6  C6 .
n
87

19
17
;
8)
ТЕМА 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Сведения из теории
Многие задачи естествознания своими моделями имеют системы
линейных уравнений с несколькими неизвестными.
Линейным уравнением с n неизвестными x1 , x 2 ,  , xn называется
уравнение вида: a1 x1  a2 x2    an xn  b , где a1 , a2 , …, an , b  R (мы
рассматриваем только вещественные уравнения, т.е. уравнения в которых
коэффициенты, свободный член и значения неизвестных являются
вещественными числами).
Решением данного уравнения называется упорядоченный набор n
вещественных чисел c1 , c 2 , …, c n , удовлетворяющих этому уравнению.
Другими словами, упорядоченный набор =( c1 , c 2 , …, c n )
вещественных
чисел
называется
решением
уравнения
a1 x1  a2 x2    an xn  b , если числовое равенство c1 x1  c2 x2    cn xn  b
истинно.
Системой m линейных уравнений с n неизвестными x1 , x 2 ,  , xn
называется система вида:
a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 ,
a x  a x    a x  b ,

22 2
2n n
2
(1)  21 1
где  aik  R , bi  R ,












,

am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm ,
значения неизвестных – вещественные числа.
Заметим, нумерация коэффициентов двойная. Например, a 25 (читается
“а два пять”). Первый индекс указывает номер уравнения, а второй индекс –
номер неизвестного, при котором стоит коэффициент. Например, a 25
означает, что это коэффициент из второго уравнения при пятом неизвестном.
Свободные члены имеют только один индекс – номер уравнения, в котором
этот свободный член находится. Например, b7 означает, что это свободный
член седьмого уравнения.
Число уравнений m может равняться числу неизвестных n . В этом
случае система называется квадратной n – го порядка.
Число m может быть меньше n , число m может быть больше n В
этом случае система называется прямоугольной.
По поведению свободных членов системы подразделяют на два типа:
однородные и неоднородные.
Система линейных уравнений называется однородной, если все ее
свободные члены равны нулю.
Система линейных уравнений называется неоднородной, хотя бы один
из ее свободных членов отличен от нуля.
88
Решением системы (1) называется такой упорядоченный набор n
вещественных чисел c1 , c 2 , …, c n , который удовлетворяет каждому
уравнению системы.
Другими словами, упорядоченный набор =( c1 , c 2 , …, c n ) называется
решением системы (1), если система числовых равенств
a11c1  a12 c2    a1n cn  b1 ,
a c  a c    a c  b ,

22 2
2n n
2
(2)  21 1
– истина.












,

am1c1  am 2 c2    amn cn  bm ,
Решить систему – это значит найти множество ее решений.
Если множество решений системы не пустое, то система называется
совместной.
Если множество решений системы пустое, то система называется
несовместной.
Если длина множества решений системы равна 1 (т.е. система имеет
только одно решение), то система называется совместной и определенной.
Если длина множества решений системы больше единицы (т.е. система
имеет хотя бы два решения), то система называется совместной, но
неопределенной.
Решить линейную систему (найти множество ее решений) можно
различными способами.
В данной теме мы рассмотрим метод, который называется методом
Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных.
Метод Гаусса базируется на применении следующих свойств решений
линейной системы уравнений.
Напомним, две системы линейных уравнений называются
равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают.
Теорема 1. Если в системе поменять местами два уравнения, то система
переходит в эквивалентную ей систему.
Теорема 2. Если в системе какое-нибудь уравнение умножить
(разделить) на число, отличное от нуля, то получится система, эквивалентная
заданной.
Теорема 3. Если в системе отбросить нулевое уравнение, то система
перейдет в эквивалентную ей систему.
Теорема 4. Если в системе есть два одинаковых уравнения, и одно из
них отбросить, то система перейдет в эквивалентную систему.
Теорема 5. Если в системе есть два пропорциональных уравнения, и
одно из них отбросить, то система перейдет в эквивалентную систему.
Теорема 6. Если в системе к какому-нибудь уравнению прибавить
другое уравнение этой же системы, умноженное на любое число, то
получится система, эквивалентная заданной.
89
Все доказательства указанных теорем проводятся на основании
определений решения линейного уравнения с n неизвестными и решения
системы линейных уравнений.
Заметим, что запись системы зависит от числа неизвестных, значений
коэффициентов и свободных членов, но не зависит от названия неизвестных,
а только от их номеров (неизвестные менять местами нельзя).
Поэтому систему удобнее записывать в виде таблицы (матрицы),
состоящей из коэффициентов и свободных членов системы, где вместо
знаков «=» будет стоять вертикальная черта, отделяющая свободные члены
от коэффициентов.
Именно, вместо стандартной записи системы (1) мы будем иметь ее
запись в виде следующей таблицы:
 a 11 a 12  a 1n b1 


 a 21 a 22  a 2n b 2  .
a

 m1 a m2  a mn b n 
2x1  x 2  3x 3  1,

Например, система x1 - x 2
 5, будет иметь следующую
x  2x  x  0.
2
3
 1
1 3 1
2


таблицу:  1  1 0 5  .
 1 2  1 0


Заметим, если в каком-то уравнении системы пропущена запись
неизвестного, то это значит, что у этого неизвестного коэффициент равен
нулю.
Если известно количество неизвестных системы и их обозначение, то
по таблице системы можно восстановить стандартную запись системы.
Например, известно, что система линейных уравнений имеет
неизвестные а, b, с и имеет таблицу:
1
 1 1 2


0
1
0
2

.
0
0 1  1

1a - 1b  2c  1,

В стандартном виде система имеет вид: 0a  1b  0c  2, или
0a  0b  1c  -1.

a - b  2c  1,

 2,
 b

c  -1.

90
Итак, теперь систему мы будем называть матрицей (таблицей),
уравнение – строкой этой матрицы. Например, вместо «второе уравнение
системы» мы будем говорить «вторая строка матрицы».
Тогда перечисленные выше теоремы 1–6 будут звучать на языке
«матрица, строки» и могут быть сформулированы следующим образом:
Матрицу системы мы имеем право преобразовать:
1) менять в ней местами строки;
2) умножать делить все элементы строки на число, отличное от нуля;
3) отбрасывать нулевую строку;
4) из двух одинаковых строк одну отбрасывать;
5) из двух пропорциональных строк одну отбрасывать;
6) к строке матрицы прибавлять другую строку этой же матрицы,
умноженное на любое число.
При этом мы будем получать матрицу системы, эквивалентной
исходной.
Заметим, чтобы умножить строку на число, надо элемент (число) этой
строки умножить на это число; чтобы к строке прибавить другую строку,
надо к каждому элементу данной строки прибавить соответствующий
элемент другой строки.
Метод Гаусса предполагает выполнение специальных стандартных
шагов преобразования исходной системы для получения эквивалентной
системы наиболее простой конструкции.
Рассмотрим применение метода Гаусса на конкретном примере.
Пусть дана система линейных уравнений:
 x1  x 2  x 3  1,

2x 1  x 2  x 3  2,
 x  x  2 x  1.
2
3
 1
1 1
1 1


Запишем систему в виде матрицы:  2 1  1 2  .
 1 1 2 1


1 шаг. Среди строк таблицы выбираем одну (любую), в которой
содержится хотя бы один отличный от нуля коэффициент. В нашем примере
в качестве такой строки подойдет и первая, и вторая, и третья. Отметим
первую, обведем ее в рамку. Эту сроку назовем рабочей строкой.
1 1
 1 1


2
1

1
2

.
 1 1 2 1


Среди коэффициентов (чисел слева от вертикальной черты) отметим
любой отличный от нуля. В нашем примере это любой из чисел 1, 1, 1. Пусть
это будет второй коэффициент. Этот элемент назовем ведущим. Заключим в
рамочку весь столбик, в котором находится ведущий элемент.
91
1 1
 1 1


 2 1 1 2  .
 1 1 2 1


Теперь с помощью рабочей строки изменим все остальные с помощью
преобразований 1–6) так, чтобы против ведущего элемента в отмеченном
столбце получились нули.
1 1
1 1
 1 1
1 1

 -1


  1 0  2 0 .
-1
 2 1 1 2 
 1 1 2 1
0 0
1 0 



Здесь мы ко второй строке прибавили рабочую, умноженную на (-1), а
к третьей строке прибавили рабочую, умноженную на (-1).
Смотрим, не получилась ли в результате нулевая строка. Если
получилась, то ее отбросим.
Смотрим, не получились ли две одинаковые строки. Если «да», то одну
из них отбросим.
Смотрим, не получились ли две пропорциональные строки. Если «да»,
то одну из них отбросим.
Смотрим, не имеют ли все элементы какой-либо строки общий
множитель, отличный от нуля. Если «да», то эту строку на этот множитель
разделим.
На этом заканчивается первый шаг.
2 шаг. Среди строк последней таблицы, которые не были рабочими,
отмечаем рабочую и в ней отмечаем ведущий элемент. С помощью
преобразований 1–6) в столбце, в котором находится ведущий элемент,
напротив ведущего элемента получаем нули. В нашем примере:
1 1
 1 1
 1 1 0 1
-1




  1 0 0 0 .
 1 0 2 0 
-2
 0 0

 0 0 1 0
1
0




Из строк полученной матрицы отбрасываем нулевую (если она
возникла), одну из двух одинаковых строк (если они возникли), одну из
пропорциональных строк (если они возникли), произведем деление на общий
множитель всех элементов строки (если такая возникла).
На этом заканчивается второй шаг.
И так далее до тех пор, пока все строки таблицы не побывают
рабочими.
В нашем примере:
1 1
1 1
 1 1
 1 1
 1 1 0 1  -1
-1

 -1




 1 0 0 0 

-1   1 0  2 0 
 2 1 1 2 
-2
 1 1 2 1
 0 0
 0 0 1 0
1 0 





92
 0 1 0 1


  1 0 0 0 .
 0 0 1 0


В итоге могут возникнуть следующие три случая.
Случай 1.
Среди строк итоговой матрицы найдется строка, в которой все
элементы равны нулю, а свободный член отличен от нуля. Например,
0 0 0 5 . Восстановив по этой строке уравнение, мы получим:
0x1  0x 2  0 x 3  5 . Это уравнение явно не имеет решений. Т. е., в таком
случае система несовместна.
Случай 2.
Итоговая таблица имеет столько же строк, сколько в системе имеется
неизвестных. И ни одна из строк не показывает на несовместность системы.
Например,
0 1
5 0


0
2
0
3

.
 0 0  3 0


В этом случае по таблице восстанавливаем стандартную запись
системы. В этой системе каждое уравнение будет содержать только по
одному неизвестному с коэффициентом, отличным от нуля. Все остальные
коэффициенты будут равны нулю. Например:
 5 x1  0 x 2  0 x 3  1,

 0 x1  2 x 2  0 x 3  3,
 0 x  0 x  3 x  0.
1
2
3

 5 x1  1,

Обычно, члены с нулевыми коэффициентами не пишут:  2 x 2  3,
 3x  0.
3

Разделим каждое уравнение получившейся системы на отличный от
1

x1  5

3

нуля коэффициент этого уравнения:  x 2  . Получилась система
2

x 3  0


простейшего вида, эквивалентная исходной. Последняя система явно имеет
1 3
только одно решение    ; ; 0  .
5 2 
Обратимся к первоначальному примеру.
93
1
 1 1

 2 1 1
 1 1 2

0 1 0

 1 0 0
0 0 1

1

2
1 
1

0 ;
0 
-1
1 1
 1 1
 1 1 0 1  -1
-1




 1 0 0 0 

-1   1 0  2 0 
-2
 0 0
 0 0 1 0
1 0 



x 2  1

x1  0 . Система имеет только одно решение =(0; 1; 0),
x  0
 3
 x1  x 2  x 3  1,

значит и исходная система 2x 1  x 2  x 3  2, имеет только одно решение
 x  x  2 x  1.
2
3
 1
=(0;1;0).
Случай 3.
Итоговая таблица имеет строк меньше, чем число неизвестных.
 x1  x 2  x 3  x 4  1,

Например: 2x1  x 2  3 x 3  x 4  2,
3x  2x  4 x  2x  3.
2
3
4
 1
 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1

 -1


1 1 1 1 1
2
1
3
1
2
1
0
2
0
1

 






1
0
2
0
1
-2


 3 2 4 2 3
 1 0 2 0 1  отбрасываем




 0 1  1 1 0
 . Последняя таблица имеет две строки, а неизвестных
 
 1 0 2 0 1
системы четыре.
Среди столбиков коэффициентов последней таблицы отмечаем
столько, сколько строк в этой таблице. Именно, отмечаем такие столбики,
которые после перестановки могут задать таблицу, в которой все элементы
главной диагонали (элементы, стоящие по диагонали с верхнего угла к
правому нижнему) были отличны от нуля, а все остальные элементы – нули:
c1
0 , c  0 .

i
ck
0
В нашем примере этими столбиками могут быть первый и второй. Если
1 0
в уме их поменять местами, то получится
0 1
Неизвестные, коэффициенты которых попали в отмеченные столбики,
называют главными. В нашем примере это х1 и х2. Все остальные
неизвестные называются свободными.
Теперь по последней таблице восстанавливаем стандартную запись
системы так, чтобы слева от знаков “=” были члены только с главными
94
неизвестными, а справа – только свободные члены и члены со свободными
неизвестными.
При этом: 1) если коэффициент главного неизвестного в уравнении
равен нулю, то этот член писать не будем; 2) если коэффициент свободного
неизвестного равен нулю, то этот член будем писать обязательно; 3)
нумерация неизвестных в каждом уравнении слева от знака “=”
возрастающая, справа – тоже возрастающая.
В нашем примере: х1, х2 – главные неизвестные, х3, х4 – свободные
неизвестные.
x 2  0  x 3  x 4 ,

 x1  1  2 x 3  0 x 4 .
Если свободным неизвестным придать конкретные числовые значения,
то согласно последней системе мы найдем соответствующие числовые
значения главных неизвестных и тем самым найдем решение последней
системы, а, следовательно, заданной.
Например, 1 = (1-6+0; 0+3-5; 3; 5) = (-5; -2; 3; 5.)
Это так называемое «частное решение» системы.
Итак, частное решение системы получается при конкретных (частных)
числовых заданиях свободных неизвестных систем. Т. к. свободных
неизвестных у системы по крайней мере одно, и оно может принять любое
числовое значение из R , то частных решений будет бесконечно много.
Чтобы описать (задать) бесконечное множество, нужно указать
характеристическое свойство его элементов. Это можно сделать следующим
образом. Обозначим множество решений нашей системы М. Тогда
М = {  = (1-2с1+0с2; 0+с1-с2; с1 ;с2), с1, с2  R }.
Решение системы записанное в виде
 = (1-2с1+0с2; 0+с1-с2; с1 ;с2) = (1-2с1; с1-с2;с1 ; с2).
Называют общим решением системы.
Другими словами, общим решение системы с бесконечным
множеством решений называют решение, в котором свободным неизвестным
приписаны значения, обозначенные буквами, в зависимости от которых
произведена запись главных неизвестных.
Заметим, т. к. выбор главных неизвестных, а следовательно, и
свободных, может происходить неоднозначно, то вид записи общего решения
тоже неоднозначен.
Например, в нашем случае в качестве главных неизвестных можно
взять х1 и х4. тогда свободными неизвестными будут х2 и х3.
Итоговая система принимает вид:
x 4  0  x 2  x 3 ,

 x1  1  0 x 3  2 x 3 .
И общее решение системы будет иметь вид:
 = (1+0с1-2с2; с1 ;с2; 0-с1+с2) = (1-2с2; с1; с2; -с1+с2), с1, с2  R .
95
Лабораторная работа № 14. Метод Гаусса решения систем
линейных уравнений
Вопросы к работе.
1. Какая система называется системой линейных уравнений?
2. Какие типы систем линейных уравнений?
3. Что такое решение системы n уравнений?
4. Что значит «решить» систему?
5. На какие свойства эквивалентных систем опирается метод Гаусса?
6. Как записать систему линейных уравнений в виде таблицы?
7. Какие преобразования таблицы системы линейных уравнений мы
имеем право делать?
8. В чем заключается выполнение шага метода Гаусса? Сколько шагов в
методе Гаусса?
9. В каком случае система линейных уравнений будет несовместна?
10.В каком случае система линейных уравнений будет иметь только одно
решение?
11.Как найти общее решение неопределенной системы линейных
уравнений?
12.Что такое частное решение неопределенной системы?
Образцы решения заданий.
1. Решить систему методом Гаусса.
 3 х1  х2  х3  4

а) 2 х1  5х2  3х3  17

х1  х2  х3  0

Решение.
Записываем систему в виде таблицы и преобразуем эту таблицу:
3 1 1
4

 2  5  3  17

1 1 1 0
 0
 
  0
 
 1
0 1 1 1 0 0 1

 
0 1 0 2  0 1 0
1 0 0 0 1 0 0

 
4 4
4   0  1 1
1   0  1 1
1 



 7  1  17    0  7  1  17    0  8 0  16  


1  1 0   1 1  1 0   1 0 0
1 


3

2
1 
Записываем систему в стандартном виде:
 х3  3

 х 2  2 ; система имеет только одно решение
 1
 х1
α=(1,2,3).
Проверим, удовлетворяет ли это решение исходной системе.
96
 3 1  2  3  4

2  1  5  2  3  3  17

1 2  3  0

4  4(и )
 17  17(и ) Ответ: α=(1,2,3).
0  0(и )

зх1  х2  5

б)  2 х1  х2  х3  0

х1  х3  1

Решение.
Записываем систему в виде таблицы:
 3 1 0 5  3 1 0 5   0 0 0 4 

 
 

  2 1 1 0     3 1 0  1    3 0 0  1


0 1 1   1
0 1 1   1 0 1 1 
 1
восстанавливаем по таблице первое уравнение: 0х1  0х2  0х3  4 . Это
уравнение решений не имеет. Значит и система решений не имеет.
Следовательно, заданная система несовместима.
2 х1  х2  3х3  2 х4  4

в)  3х1  х2  х3  2 х4  6
  
 х1 х2 7 х3  2 х4  2
Записываем таблицу заданной системы и преобразуем ее:
 2 1 3 2 4  1 0  4 0 2

 
  1 0  4 0 2  1 0  4 0 2
 
 3 1 1 2 6   2 0  8 0 4  

 1  1 7 2 2    0  1 11 2 0 

 





 1 1 7 2 2  1 1 7 2 2
Главные неизвестные: х1 , х2 .
Свободные неизвестные: х3 , х4 .
Восстанавливаем систему:
 х1  2  4 х3  0 х4
;

 х2  0  11х3  2 х4
 х1  2  4 х3  0 х4

 х2  0  11х3  2 х4
Общее решение системы:
  2  4c1  0c2 ; 0  11c1  2c2 ; c1 ; c2   2  4c1 ; 11c1  2c2 ; c1 ; c2  , где c1 ,
c2  R
2(2  4c1)  (11c1  2c2)  3c1  2c2  4
Проверка:  3(2  4c1)  (11c1  2c2)  c1  2c2  6
 (2 
4c1)  (11c1  2c2)  7c1  2c2  2

 4  8c1 11c1  2c2  3c1  2c2  4

 6  12c1 11c1  2c2  c1  2c2  6 ;
2 
 4c1 11c1  2c2  7c1  2c2  2
4  4

6  6
2  2

Ответ:   (2  4с1 ;11с1  2с2 ; с1 ; с2) . где c1 , c2  R
97
Упражнения.
Решить систему линейных уравнений:
 3х1  2 х2  х3  5
3)  2 х1  3х2  х3  1

2 х1  х2  3х3  11
 х1  х2  х3  х4  1




6
2)  х1 2 х2 3х3 4 х4
3х1  2 х2  х3  5 х4  2
 х  5 х  х  8 х  5
2
3
4
 1
 х1  2 х2  х3  4
4)  3х1  5 х2  3х3  1

4 х1  3х2  4 х3  0
 5 х1  8х2  х3  4
5)  х1  2 х2  3х3  1

2 х1  3х2  2 х3  9
 7 х1  4 х2  х3  13
6) 2 х1  3х2  х3  10

9 х1  х2  1

 х1  х2  2 х3  х4  1
1)  2 х1  х2  х3  х4  5

 х1  2 х2  х3  4
Индивидуальное задание. Решить систему.
2 х1  х2  3х3  7
1) а)  2 х1  3х2  х3  1

3х1  2 х2  х3  6
 3х1  х2  х3  12

3) а)  х1  2 х2  4 х3  6

5 х1  х2  2 х3  3
 2 х1  7 х2  3х3  х4  6

б) 3х1  5х2  2 х3  2 х4  4

 9 х1  4 х2  х3  7 х4  2
 2 х1  3х2  5 х3  7 х4  1

б)  4 х1  6 х2  2 х3  3х4  2

2 х1  3х2 11х3 15 х4  1
 3х1  4 х2  х3  2 х4  3

б)  6 х1  8х2  2 х3  5х4  7

9 х1  12 х2  3х3  10 х4  13
 2 х1  х2  3х3  4

4) а)  х1  3х2  х3  11
 
 х1 2 х2  2 х3  7
3х1  2 х2  5х3  4 х4  2

б) 6 х1  4 х2  4 х3  3х4  3

9 х1  6 х2  3х3  2 х4  4
3х1  2 х2  4 х3  12

5) а)  3х1  4 х2  2 х3  6

 2 х1  х2  х3  9
 2 х1  х2  3х3  7 х4  5

б)  6 х1  3х2  х3  4 х4  7

4 х1  2 х2  14 х3  31х4  18
 9 х1  3х2  5х3  6 х4  4

б)  6 х1  2 х2  3х3  х4  5

3х1  3х2  3х3  14 х4  8
 2 х1  х2  2 х3  3

2) а)  х1  х2  2 х3  4

4 х1  х2  4 х3  3
8х1  3х2  6 х3  4

6) а)  х1  х2  х3  2

 4 х1  х2  3х3  5
 4 х1  х2  3х3  9

7) а)  х1  х2  х3  2

8 х1  3х2  6 х3  12
2 х1  3х2  4 х3  33

8) а)  7 х1  5х2  24

 4 х1  11х3  39
 х1  5 х2  4 х3  3х4  1

б)  2 х1  х2  2 х3  х4  0

5 х1  3х2  8 х3  х4  1
 х1  х2  х3  х4  х5  6

б)  х1  3х2  х3  3х4  3х5  8

х1  х2  3х4  х5  4

98
2 х1  3х2  4 х3  12
9) а)  7 х1  5х2  х3  33

4 х1  х3  7

3х1  х2  х3  2 х4  4
б)  х1  х2  х3  2 х4  1
   
 х1 х2 х3 6 х4  6
 х1  4 х2  х3  6
10) а)  5х2  4 х3  20

3х1  2 х2  5 х3  22
 х1  х2  2 х3  х4  0
б)  2 х1  х2  2 х3  х4  2
 
 х1 2 х2  4 х3  2 х4  2
1.
2.
3.
4.
Задания для самоконтроля.
Можно ли в таблице системы линейных уравнений преобразовать
столбики? Почему?
Может ли быть однородная система линейных уравнений
несовместимой?
Может ли линейная система, в которой число уравнений меньше числа
неизвестных иметь только одно решение?
Может ли линейная система, в которой число уравнений больше числа
неизвестных иметь только одно решение?
99
ЛИТЕРАТУРА
1. Бочкарев Д.П. Лекции по высшей алгебре. Саранск: 1955.
2. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Алгебра. Справочное
пособие. – М.: «Наука», 1988, 432 с.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математика. М.: «Просвещение», 1977, 351 с.
4. Виленкин Н.Я. и др. Задачник-справочник по математике. – М.:
«Просвещение», 1977, 205 с.
5. Калужкин Л.А. Введение в общую алгебру. М.: «наука», 1973, 447 с.
100