Идеи для разбора

1. Диаметр фигуры, комбинаторный подсчёт, перебор, координаты
1. На плоскости даны 6 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках? (0, 10, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Все6!
 20 треугольников. Кого на 6 точках может быть С 36 
3!3!
гда же три точки попадают на одну прямую, то они не образуют треугольник. Перебор можно устроить по наибольшему
количеству точек на одной прямой.)
2. Пентамино – это пятиклеточный многоугольник, в котором
любая клетка имеет общую сторону хотя бы с одной другой клеткой. Сколько всего различных фигурок пентамино? Изобразите их все. (фигуры, полученные поворотом или симметрией, считаются
одинаковыми)(12)
3. На плоскости отмечены 5 различных точек и середины всех 10 отрезков с концами в этих точках.
Какое наименьшее количество различных точек могло быть среди этих 10 середин? (7 точек, в случае 5 точек на прямой через равные расстояния)
4. На плоскости отмечено 100 точек. Докажите, что можно разбить эти точки на 50 пар, являющихся
концами непересекающихся отрезков.
5. Можно ли на плоскости расположить 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок обоими концами
упирался строго внутрь других отрезков? (Пусть на плоскости расположено 1000 отрезков. Возьмем произвольную прямую l, не перпендикулярную ни одному из них, и спроецируем концы
всех этих отрезков на прямую l. Ясно, что конец отрезка, проецирующийся в самую левую из полученных точек, не может упираться строго внутрь другого отрезка.)
2. Принцип крайнего, принцип Дирихле
1. При каком наибольшем N на шахматную доску можно поставить несколько: а) ладей, б) слонов, в)
королей, г) ферзей, д) коней так, чтобы каждая фигура била ровно N других фигур? (ладьи – 2, слоны
– 2, короли – 4, ферзи – 4, кони – 4)
Наименьший-наибольший угол, наименьшая-наибольшая сторона, ГМТ
2. На плоскости дано бесконечное множество прямоугольников, вершины каждого из которых расположены в точках с координатами (0, 0), (0, m), (n, 0), (n, m), где n и m — целые положительные числа
(свои для каждого прямоугольника). Докажите, что из этих прямоугольников можно выбрать два так,
чтобы один содержался в другом. (У прямоугольника с вершинами в точках (0, 0), (0, m), (n, 0)
и (n, m) горизонтальная сторона равна n, а вертикальная равна m. Выберем из данного множества прямоугольник с наименьшей горизонтальной стороной. Пусть его вертикальная сторона
равна m1. Рассмотрим любые m1 из оставшихся прямоугольников. Возможны два случая.
1. Вертикальные стороны двух из этих m1 прямоугольников равны. Тогда один из них содержится
в другом.
2. Вертикальные стороны всех этих прямоугольников различны. Тогда вертикальная сторона
одного из них больше m1, поэтому он содержит прямоугольник с наименьшей горизонтальной
стороной.)
3. Докажите, что если длины всех сторон треугольника меньше 1, то его площадь меньше 3 / 4 .
(Пусть  — наименьший угол треугольника. Тогда 60. Поэтому S = (bc sin)/2 (sin 60)/2 =
3 / 4 .)
4. Докажите, что круги, построенные на сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах,
полностью покрывают этот четырёхугольник. (Предположим, что некоторая точка, расположенная
внутри данного четырёхугольника, не принадлежит ни одному из указанных кругов. Тогда из
этой точки диаметр каждого круга виден под острым углом. Поскольку четырёхугольник выпуклый, то сумма этих четырёх углов
должна быть равна 360, что невозможно, т.к. по предположению
каждый из углов меньше 90.)
5. В треугольнике АВС угол В  острый. Докажите, что медиана, проведенная из вершины В, больше половины любой из сторон  ABC.
(Пусть М – середина стороны АС, D – точка, симметричная вершине
В относительно точки М. Тогда АВCD – параллелограмм, в котором
М – точка пересечения диагоналей. Угол BAD тупой, т.к. он равен
 ВАС +  ВСА = 180 –  В. Поэтому точки А и С лежат внутри
окружности с центром М радиуса ВМ. Значит, отрезки АВ, ВС и АС меньше диаметра BD этой
окружности, равного 2BM.)
6. В некоторой стране 100 аэродромов, причём все попарные расстояния между ними различны.
С каждого аэродрома поднимается самолет и летит на ближайший к нему аэродром. Какое наибольшее
количество самолётов могло прилететь на один аэродром. (Если самолеты из точек A и B прилетели
в точку O, то AB – наибольшая сторона треугольника AOB, т. е. AOB > 60. Предположим, что
в точку O прилетели самолеты из точек A1,..., An. Тогда один из углов AiOAj не превосходит
360/n. Поэтому 360/n > 60o, т. е. n < 6. Пример строится очевидным образом.)
7. Какое наибольшее количество точек можно разместить внутри круга радиуса 1 так, чтобы расстояние между любыми двумя из них было не менее 1? (7 точек – центр и вершины правильного шестиугольника, вписанного в круг. Предположим, что можно разместить не менее 8 точек нужным образом, тогда по крайней мере семь точек отличны от центра O окружности. Поэтому
наименьший из углов AiOAj, где Ai и Aj — данные точки, не превосходит 360/7 < 60. Если A
и B – точки, соответствующие наименьшему углу, то AB < 1, так как AO1, BO1 и угол AOB не
может быть наибольшим углом треугольника AOB.)
8. Шесть кругов расположены на плоскости так, что некоторая точка O лежит внутри каждого из них.
Докажите, что один из этих кругов содержит центр некоторого другого. Один из углов между шестью
отрезками, соединяющими точку O с центрами кругов, не превосходит 360o/6 = 60o. (Пусть
O1OO260, где O1 и O2 — центры кругов радиуса r1 и r2 соответственно. Так как O1OO260o,
то этот угол не является наибольшим углом треугольника O1OO2 поэтому либо O1O2O1O, либо
O1O2O2O. Пусть для определенности O1O2O1O. Так как точка O лежит внутри кругов, то O1O <
r1. Поэтому O1O2O1O < r1, т. е. точка O2 лежит внутри круга радиуса r1 с центром O1.)
9. Внутри остроугольного треугольника взята точка P. Докажите, что наибольшее из расстояний от
точки P до вершин этого треугольника не меньше удвоенного наименьшего из расстояний от P до его
сторон. (Опустим из точки P перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на стороны BC, CA и AB и выберем
наибольший из углов, образованных этими перпендикулярами и лучами PA, PB и PC. Пусть для
определенности это будет угол APC1. Тогда APC160, поэтому PC1 : AP = cos APC1cos 60 = 1/2,
т. е. AP2PC1. Ясно, что неравенство сохранится, если AP заменить на наибольшее из чисел AP,
BP и CP, а PC1 — на наименьшее из чисел PA1, PB1 и PC1.)
10. Длины биссектрис треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит
1/ 3 . (Пусть для определенности  — наименьший угол треугольника ABC; AD – биссектриса.
Одна из сторон AB и AC не превосходит AD/cos(/2), так как иначе отрезок BC не проходит через
точку D. Пусть для определенности ABAD/cos(/2) AD/cos 30 2 / 3 2. Тогда SABC =
hcAB/2lcAB/2 1/ 3 .)
Наименьшее расстояние
11. На плоскости дано n3 точек, причем не все они лежат на одной прямой. Докажите, что существует окружность, проходящая через три из данных точек и не содержащая внутри ни одной из оставшихся точек. (Пусть A и B — те из данных точек, расстояние между которыми минимально. Тогда
внутри окружности с диаметром AB нет данных точек. Пусть C — та из оставшихся точек, из
которой отрезок AB виден под наибольшим углом. Тогда внутри окружности, проходящей через
точки A, B и C, нет данных точек.)
12. На плоскости расположено несколько точек, все попарные расстояния между которыми различны.
Каждую из этих точек соединяют с ближайшей. Может ли при этом получиться замкнутая ломаная?
(Предположим, что получилась замкнутая ломаная. Пусть AB — наибольшее звено этой ломаной, а AC и BD — соседние с ним звенья. Тогда AC < AB, т. е. B — не ближайшая к A точка, и BD
< AB, т. е. A — не ближайшая к B точка. Поэтому точки A и B не могут быть соединены. Получено противоречие.)
13. В космическом пространстве летает 2011 астероидов, на каждом из которых сидит астроном, причём все расстояния между астероидами различны. Каждый астроном наблюдает за ближайшим астероидом. Докажите, что за одним из астероидов никто не наблюдает.
14. Докажите, что по крайней мере одно из оснований перпендикуляров, опущенных из внутренней
точки выпуклого многоугольника на его стороны, лежит на самой стороне, а не на ее продолжении.
(Пусть O – данная точка. Проведем прямые, содержащие стороны многоугольника, и выберем
среди них ту, которая наименее удалена от точки O. Пусть на этой прямой лежит сторона AB.
Докажем, что основание перпендикуляра, опущенного из точки O на сторону AB, лежит на самой
стороне. Предположим, что основанием перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую AB,
является точка P, лежащая вне отрезка AB. Так как точка O лежит внутри выпуклого многоугольника, отрезок OP пересекает некоторую сторону CD в точке Q. Ясно, что OQ < OP,
а расстояние от точки O до прямой CD меньше OQ. Поэтому прямая CD менее удалена от точки O, чем прямая AB, что противоречит выбору прямой AB.)
15. Докажите, что в любом выпуклом пятиугольнике найдутся три диагонали, из которых можно составить треугольник. (Пусть BE — наибольшая диагональ пятиугольника ABCDE. Докажем, что
тогда из отрезков BE, EC и BD можно составить треугольник. Для этого достаточно проверить,
что BE < EC + BD. Пусть O — точка пересечения диагоналей BD и EC. Тогда BE < BO + OE < BD
+ EC.)
16. На плоскости дано конечное число точек, причем любая прямая, проходящая через две из данных
точек, содержит еще одну данную точку. Докажите, что все данные точки лежат на одной прямой
(Сильвестр). (Предположим, что не все данные точки лежат на одной прямой. Проведем через
каждую пару данных точек прямую (этих прямых
конечное число) и выберем наименьшее ненулевое
расстояние от данных точек до этих прямых. Пусть
наименьшим будет расстояние от точки A до прямой
BC, где точки B и C данные. На прямой BC лежит
еще одна из данных точек — некоторая точка D.
Опустим из точки A перпендикуляр AQ на прямую
BC. Две из точек B, C и D лежат по одну сторону от
точки Q, например C и D. Пусть для определенности
CQ < DQ (рис.). Тогда расстояние от точки C до прямой AD меньше, чем расстояние от точки A
до прямой BC, что противоречит выбору точки A и прямой BC.)
17. На плоскости дано конечное число попарно непараллельных прямых, причем через точку пересечения любых
двух из них проходит еще одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
(Предположим, что не все прямые проходят через одну
точку. Рассмотрим точки пересечения прямых
и выберем наименьшее ненулевое расстояние от этих
точек до данных прямых. Пусть наименьшим будет расстояние от точки A до прямой l. Через точку A проходят
по крайней мере три данные прямые. Пусть они пересекают прямую l в точках B, C и D. Опустим из точки A перпендикуляр AQ на прямую l. Две из точек B, C и D лежат по одну сторону от
точки Q, например C и D. Пусть для определенности CQ < DQ (рис.). Тогда расстояние от точки C до прямой AD меньше, чем расстояние от точки A до прямой l, что противоречит выбору A
и l.)
18. На плоскости дано n точек и отмечены середины всех отрезков с концами в этих точках. Докажите,
что различных отмеченных точек не менее 2n–3. (Пусть A и B – наиболее удаленные друг от друга
данные точки. Середины отрезков, соединяющих точку A (соответственно точку B)
с остальными точками, все различны и лежат внутри окружности радиуса AB/2 с центром A (соответственно B). Полученные два круга имеют лишь одну общую точку, поэтому различных отмеченных точек не менее 2(n–1)–1=2n– 3.)
Наибольшая площадь
19. На плоскости расположено n точек, причем площадь любого треугольника с вершинами в этих
точках не превосходит 1. Докажите, что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4.
(Выберем среди всех треугольников с вершинами в данных точках треугольник наибольшей
площади. Пусть это будет треугольник ABC. Проведем через вершину C прямую lc| AB. Если
точки X и A лежат по разные стороны от прямой lc, то SABX > SABC. Поэтому все данные точки
лежат по одну сторону от прямой lc. Аналогично, проводя через точки B и A прямые lb| AC и la|
BC, получаем, что все данные точки находятся внутри (или на границе) треугольника, образованного прямыми la, lb и lc. Площадь этого треугольника ровно в 4 раза больше площади треугольника ABC, поэтому она не превосходит 4.)
Наибольший треугольник
20. Докажите, что если центр вписанной окружности четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей, то четырехугольник — ромб. (Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Для определенности можно считать, что AO CO и DO BO. Пусть точки B1
и C1 симметричны точкам B и C относительно точки O. Так как точка O является центром вписанной окружности четырехугольника, то отрезок B1C1 касается этой окружности. Поэтому отрезок AD может касаться этой окружности, только если B1 = D и C1 = A, т. е. если ABCD — параллелограмм. В этот параллелограмм можно вписать окружность, поэтому он – ромб. )
Принцип крайнего (прочее)
21. Дан выпуклый многоугольник A1...An. Докажите, что описанная окружность некоторого треугольника AiAi + 1Ai + 2 содержит весь многоугольник. (Рассмотрим все окружности, проходящие через две
соседние вершины Ai и Ai + 1 и такую вершину Aj, что AiAjAi + 1 < 90o. Хотя бы одна такая
окружность есть. В самом деле, один из углов AiAi + 2Ai + 1 и Ai + 1AiAi + 2 меньше 90o; в первом случае положим Aj = Ai + 2, а во втором Aj = Ai. Выберем среди всех таких окружностей (для всех i и j)
окружность S наибольшего радиуса; пусть для определенности она проходит через точки A1, A2
и Ak. Предположим, что вершина Ap лежит вне окружности S. Тогда точки Ap и Ak лежат по одну
сторону от прямой A1A2 и A1ApA2 < A1AkA2 < 90. Из теоремы синусов следует, что радиус описанной окружности у треугольника A1ApA2 больше, чем у треугольника A1AkA2. Получено протиA1...An.
воречие,
поэтому
окружность S
содержит
весь
многоугольник
Пусть для определенности A2A1AkA1A2Ak. Докажем, что тогда A2 и Ak — соседние вершины.
Если AkA3, то 180 - A2A3AkA2A1Ak < 90, поэтому радиус описанной окружности
у треугольника A2A3Ak больше, чем у треугольника A1A2Ak. Получено противоречие, поэтому
окружность S проходит через соседние вершины A1, A2 и A3.)
3. Выпуклая оболочка, опорные прямые, прямоугольная оболочка,
организация процесса с улучшением («причёсывание»)
1. На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что хотя бы один из треугольников с вершинами в этих точках не является остроугольным.
2(была выше). На плоскости дано n3 точек, причем не все они лежат на одной прямой. Докажите,
что существует окружность, проходящая через три из данных точек и не содержащая внутри ни одной
из оставшихся точек. (Пусть AB — сторона выпуклой оболочки данных точек, B1 — ближайшая
к A из всех данных точек, лежащих на AB. Выберем ту из оставшихся точек, из которой отрезок
AB1 виден под наибольшим углом. Пусть это будет точка C. Тогда
описанная окружность треугольника AB1C будет искомой.)
3. Докажите, что любой выпуклый многоугольник площади 1 можно
поместить в прямоугольник площади 2. (Пусть AB – наибольшая диагональ (или сторона) многоугольника. Проведем через точки A и B
прямые a и b, перпендикулярные прямой AB. Если X — вершина
многоугольника, то AXAB и XBAB, поэтому многоугольник находится внутри полосы, образованной прямыми a и b. Проведем
опорные прямые многоугольника, параллельные AB. Пусть эти
прямые проходят через вершины C и D и вместе с прямыми a и b
образуют прямоугольник KLMN (рис.). Тогда SKLMN = 2SABC + 2SABD
= 2SACBD. Так как четырехугольник ACBD содержится в исходном многоугольнике, площадь которого равна 1, то SKLMN2.)
4. Из прямоугольника вырезали треугольник. Докажите, что площадь треугольника не превосходит
половины площади прямоугольника.
5. На плоскости дано конечное число точек. Докажите, что из них всегда можно выбрать точку, для
которой ближайшими к ней являются не более трех данных точек. (Выберем наименьшее из всех
попарных расстояний между данными точками и рассмотрим точки, у которых есть соседи на
таком расстоянии. Достаточно доказать требуемое утверждение для этих точек. Пусть P — вершина их выпуклой оболочки. Если Ai и Aj — ближайшие к P точки, то AiAjAiP и AiAjAjP, поэтому AiPAj60. Следовательно, у точки P не может быть четырех ближайших соседей, так
как иначе один из углов AiPAj был бы меньше 180/3 = 60. Поэтому P – искомая точка.)
6. На плоскости дано несколько точек, попарные расстояния между которыми не превосходят 1. Докажите, что эти точки можно покрыть правильным треугольником со стороной 3 . (Рассмотрим три
прямые, попарно образующие углы 60, и проведем к данному множеству точек три пары опорных прямых, параллельных выбранным прямым. Проведенные опорные прямые задают два
правильных треугольника, каждый из которых накрывает данные точки. Докажем, что сторона
одного из них не превосходит 3 . На каждой опорной прямой лежит хотя бы одна из данных точек. Расстояние между любой парой данных точек не превосходит 1, поэтому расстояние между
любой парой опорных прямых не превосходит 1. Возьмем одну из данных точек. Пусть a1, b1 и c1
— расстояния от нее до сторон одного правильного треугольника, a2, b2 и c2 — расстояния до
сторон другого. При этом мы предполагаем, что a1 + a2, b1 + b2 и c1 + c2 — расстояния между
опорными прямыми. Как только что было доказано, a1 + a21, b1 + b21 и c1 + c21. С другой стороны, a1 + b1 + c1 = h1 и a2 + b2 + c2 = h2, где h1 и h2 — высоты построенных равносторонних треугольников. Следовательно, h1 + h23, а значит, одна из высот h1 и h2 не превосходит 3/2. Но тогда сторона соответствующего правильного треугольника не превосходит 3 .)