Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения

Математика, 11 класс
Колегаева Елена Михайловна
ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И
НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
В течение ряда лет в вариантах выпускных и вступительных работ по математике
встречаются задачи, в решении которых применяется дифференциальное исчисление.
Перечислим примерные типы таких задач. Это могут быть:
 задачи, связанные с исследованием функции и построением ее графика (в том числе при
нахождении площади плоской фигуры);
 задачи на геометрический смысл первой производной (нахождение касательной к
графику функции);
 задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
(представляющие, как правило, наибольшую сложность, связанную с тем, что понятия
наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке часто путают с понятиями
минимума и максимума).
Напомним ряд определений и выясним отличия в используемых понятиях.
Определение 1. Говорят, что функция y  f (x) достигает на множестве X своего
наименьшего (наибольшего) значения в точке x0  X , если для любого x X имеет место
неравенство f ( x0 )  f ( x) ( f ( x0 )  f ( x) ).
Введем для наименьшего и наибольшего значений следующие обозначения:
наим f ( x)  f ( x0 ) ( наиб f ( x)  f ( x0 ) ).
X
X
Рассмотрим различные случаи:
1. Пусть - отрезок. Имеет место теорема.
Теорема 1. Если функция y  f (x) непрерывна на отрезке a, b , то она достигает на этом
отрезке своих наименьшего и наибольшего
значений.
Следствие.
Если
функция
y  f (x) дифференцируема на интервале
a, b , то она достигает на отрезке
a, b наибольшего и наименьшего значений
либо в точках экстремума, принадлежащих
этому отрезку, либо на концах отрезка.
(Смотри рисунок 1.)
Рисунок 1
Для функции, график которой изображен на
рисунке 1, имеются две точки максимума
( x1 и x3 ) и одна точка минимума ( x2 ), но для нее наиб f ( x)  f ( x1 ) , а наим f ( x)  f (a) .
a ,b 
a ,b 
2. Пусть X – некоторый промежуток, на котором функция имеет единственную точку
экстремума. Тогда имеет место теорема.
Теорема 2. Пусть x0 - единственная точка экстремума функции y  f (x) на множестве X.
Тогда, если x0 - точка минимума, то в этой точке функция достигает своего наименьшего
значения. Если же x0 - точка максимума, то в этой точке функция достигает своего
наибольшего значения.
Рассмотрим пример. На рисунке 2а x0 единственная точка минимума функции y  f (x) на
промежутке  , . Поэтому наим f ( x)  f ( x0 ) .
,  
На рисунке 2б x0 - единственная точка
максимума функции y  f (x) на промежутке  , .
Поэтому наиб f ( x)  f ( x0 ) .
,  
Рисунок 2a
3. Пусть y  f (x) - периодическая непрерывная на
интервале  , функция. Тогда имеет место
теорема.
Теорема 3. Если y  f (x) - периодическая непрерывная
на интервале  , функция, то она достигает
своего наибольшего значения в бесконечном числе
точек максимума и наименьшего значения в
бесконечном числе точек минимума.
Например, на рисунке 3 наиб f ( x)  f ( x0  Tn) ,
Рисунок 2b
,  
а
наим f ( x)  f ( x1  Tn) ,
,  
где
Т-
главный период функции, а n Z .
Если
же
исследуемая
функция
y  f (x) не удовлетворяет условиям
теорем 1-3, то будет полезно
построить график этой функции и по
графику выяснить, существуют ли
точки с наибольшим и наименьшим
значениями. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Исследовать функцию на
наибольшее и наименьшее значение на
заданном промежутке Х.
y  43 x 3  4 x, x  0,2
Рисунок 3
Решение.
Исследуемая
функция
дифференцируема и непрерывна на
отрезке, поэтому можно применить теорему 1.
а) Найдем производную: y ' ( x)  43  3x 2  4  4 x 2  4 .
б) Найдем стационарные точки (в них производная обращается в нуль).
4 x 2  4  0  4( x  1)( x  1)  0
x1  1, x2  1.
Точки
x1  1, x2  1 - точки возможного экстремума. При этом
x1  0,2, x1  0,2. Найдем значения функции в точке x1  1 и на концах отрезка и выберем
среди них наибольшее и наименьшее значения. Так как
4
8
4
32
8
f(1 )   1   , f( 0 )  0, f( 2 )   2 3  4  2 
 8  , то
3
3
3
3
3
8
8
наиб f ( x)  f (2)  , наим f ( x)  f (1)   .
0, 2 

0
,
2

3
3
Пример 2. Найти наибольшее значение функции y  ln x  x, при x  0, .
Решение. Условия задачи подходят под условия теоремы 2.
1
1 x
а) Найдем производную функции: y '   1 
.
x
x
1 x
 0,  x1  1, x1  0,  . В точке
б) Найдем стационарные точки: y '  0, 
x
x2  0 - производная не существует, однако x2  0, . Таким образом, на заданном
множестве существует единственная точка, подозрительная на экстремум.
в) Составим таблицу.
x
(0,1)
1
(1,)
f’(x)
+
0
f(x)
max


Так
как
единственная
точка
максимума,
то
x1  1
наиб f ( x)  f (1)  ln( 1)  1  0  1  1 .
0,  
Рассмотрим теперь примеры использования метода нахождения наибольших и
наименьших значений при решении других задач.
Задача 1. Нахождение области значений функции
Напомним, что геометрически область значений функции представляет из
себя промежуток (или несколько промежутков) на оси OY , являющийся проекцией графика
этой функции на данную координатную ось. Например, на рисунках 4а) и 4б) указаны
области значений функции y  f (x) .
y  [1,)
Рисунок 4а
y  (1,6]
Рисунок 4б
Поэтому, если функция y  f (x) - непрерывна, то множество ее значений – это
промежуток (открытый или замкнутый), левый конец которого равен наименьшему, а
правый – наибольшему значениям функции в области ее определения.
x2  1
Пример 3. Найти множество значений функции y  2
.
x  x 1
Решение. Так как знаменатель x 2  x  1 всегда положителен (объясните, почему?),
то областью определения функции является вся числовая ось и функция на ней везде
непрерывна. Исследуем функцию на наибольшее и наименьшее значения.
а) Найдем производную:
y( x) 
( x 2  x  1)  2 x  ( x 2  1)(2 x  1)
=
( x 2  x  1) 2
x 2 1
2x3  2x 2  2x  2x3  x 2  2x 1
=
.
( x 2  x  1) 2
( x 2  x  1) 2
б) Найдем точки возможного экстремума: y ( x)  0 ; x 2  1  0  x1  1, x 2  1.
в) Исследуем функцию на экстремум
x
(-  ;-1)
-1
(-1; 1)
1
(1,)
f’(x)
+
0
0
+

f(x)
max
min



2
f max  f (1)  2 ; f min  f (1)  . При этом, так как степени числителя и
3
x2 1
1
знаменателя равны, то предел lim 2
x  x  x  1
г) Построим для наглядности график функции
2 
Ответ: область значений функции Y   ;2
3 
y  2 sin 2 x  cos 4 x
Пример 4. Найти множество значений функции
Решение. Эта функция является непрерывной и периодической на всей числовой
прямой, поэтому из теоремы 3 следует, что множество ее значений есть
У= [ наим f ( x) , наиб f ( x) ] или У = [ f min , f max ] .
=
,  
 ,  
а) Найдем точки экстремума. Для этого найдем производную функции:
y ( x)  4 cos 2 x  4 sin 4 x = 4 cos 2 x(1  2 sin 2 x) . Приравняем полученную производную к
1

2 x   n, n  Z или
нулю: 4 cos 2 x(1  2 sin 2 x)  0 

c o2sx  0 или sin 2 x 
2
2

2 x  (1) k   k , k  Z . То есть получим следующие точки возможного экстремума:
6

3

5
x1   n, n  Z ; x2 
 k , k  Z ; x3   l , l  Z ; x4 
 m, m  Z .
4
4
12
12
б) Найдем значение функции в полученных точках и выберем из них самое большое и
самое маленькое значение.

f ( x1 )  2 sin(  2n)  cos(  4n)  2  1  1 ;
2
3
f ( x2 )  2 sin(
 2k )  cos(3  4k )  2  1  3 ;
2


1 3
f ( x3 )  2 sin(  2l )  cos(  4l )  1   ;
6
3
2 2
5
5
1 1
f ( x4 )  2 sin(
 2m)  cos(  4m)  1   .
6
3
2 2
3
Следовательно наиб f ( x) = ; наим f ( x) = -3.
 ,  
2 ,  
3

Ответ: Y   3;  .
2

Пример 5. (Выпускной экзамен по математике для классов с углубленным изучением
математики) Найти множество значений функции f ( x)  sin( x  6 )  cos 2 x .
Решение. Преобразуем функцию
f ( x) 
1  cos(2 x  3 )
 cos 2 x  12  12 cos 2 x cos 3  sin 2 x sin 3   cos 2 x  12  54 cos 2 x 
2
3
4
sin 2 x
,
f ( x)  12  54 cos 2 x  43 sin 2 x . Данная функция непрерывна на всей числовой оси и
периодична, поэтому множество ее значений является отрезком  f max , f min  . Найдем
производную f (x) . f ( x)  52 sin 2 x 
3
2
sin 2 x . Приравняв производную к нулю найдем точки
3
. Особенность данной задачи в том, что нам не нужно
5
находить значения x, при которых производная равна нулю, достаточно только узнать
значения функции в этих точках и выбрать среди них наибольшее и наименьшее значение.
Пользуясь известными тригонометрическими тождествами выразим через тангенс
значения cos 2x и sin 2 x в точках экстремума:
(cos 2 x)1  2825
(cos 2 x) 2   2825
.


3
3
 (sin 2 x)1  28
 (sin 2 x) 2   28
возможного экстремума tg 2 x 
Подставив эти значения в (преобразованную) функцию f (x) получим f ( x1 ) 
Поэтому f наим 
1 7
и.
2
1  7 1  7 
1 7
,
, и множество значений функции равно 
.
2
2
2


Задачи для самостоятельного решения
Необходимо решить предложенные ниже задачи, оформить их решения отдельно от
заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физикоматематической школы.
М11.11.1. Исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значения на данном
промежутке.
а) y  x 3  x , x  0;4
б) y  x 4  8 x 2  9 , x   1;3
в) y  x  2 ln x , x  1; e
г) y  2  2 3 x  9  2 2 x  12  2 x , x   1;1
 
д) y  2 sin 2 x  cos 4 x , x  0;  .
 3
М11.11.2. Найти множество значений функции
x2  2
а) y  ln x  x
б) y  2
x  x 1
1

в) y  sin 2 x  cos x 
г) y  cos 2 x  2 sin( 2 x  )
2
4
М11.11.3. Найти точку графика функции y  ln x , сумма расстояний, от которой до оси
ординат и до прямой y  2,4 x наименьшая (задача выпускного экзамена для классов с
углубленным изучением математики)
М11.11.4. Из гранита нужно вырубить постамент в форме прямоугольного параллелепипеда,
высота которого, должна быть равна диагонали основания, а площадь основания – 4 кв.м.
При каких значениях сторон основания площадь поверхности постамента наименьшая.
М11.11.5. Определить значение параметра а так, чтобы сумма квадратов корней трехчлена
x 2  (2  a) x  a  3  0 была наименьшей.
М11.11.6. Найти все значения а из промежутка 1; , при каждом из которых больший
корень уравнения x 2  6 x  2ax  a  13  0 принимает наибольшее значение.