Решение логических задач1
advertisement
Ответьте на вопросы да – нет 2.Определить Являются высказывания отрицаниями друг 1.3.Являются лили следующие истинно ли выражение: предложения логическими 1)друга: «наличие высказываниями: аттестата о среднем образовании 1) «существуют белые слоны» и «все слоны 1) достаточно сегодня отличная для поступления погода; в институт» 2) 2)серые» 2«наличие + 3 = 4; аттестата о среднем образовании 2) «10 > 9» для и «10 ≤ 9» необходимо поступления в институт» Ответ Способы решения задач: • С использованием средств алгебры логики • Табличный • C помощью рассуждений переход на последний слайд Решение задач средствами алгебры логики. 1. Изучается условие задачи. 2. Вводится система обозначений для логических высказываний. 3. Конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи. 4. Определяются значения истинности этой логической формулы. 5. Из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности логических высказываний. Задача 1. История с амфорой Алеша, Боря и Гриша нашли а земле сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения: Алеша: «Это сосуд греческий и изготовлен в V веке.» Боря: «Это сосуд финикийский и изготовлен он в III веке.» Гриша: «Это сосуд не греческий и изготовлен в IV веке.» Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд? Ввод системы обозначений Сосуд греческий – Г Сосуд финикийский – Ф Сосуд изготовлен в III веке – В3 Сосуд изготовлен в IV веке В4 Сосуд изготовлен в V веке В5 Формализация задачи Из слов учителя следует, что Алеша прав только в чем-то одном: или Г=1 или В5=1. Тождественно истинным будет высказывание Г В5 ГВ5 Из слов Бори и учителя следует: Ф В3 ФВ3 1 Из слов Гриши и учителя следует: Г В4 ГВ 4 1 Конструирование логической формулы Логическое произведение данных истинных высказываний должно быть тождественно истинным ( Г В5 ГВ5 ) (Ф В3 ФВ3 ) ( Г В4 ГВ 4 ) 1 Определение истинности формулы Сосуд не может быть одновременно греческим и не греческим, значит это выражение равно 0 Сосуд не может быть Сосуд не может Сосудбыть не может быть одновременно греческим одновременно греческим иизготовлен одновременно и финикийским, значит не греческим, это значит это в 4значит и 3 веках, это выражение равно выражение 0 равно 0 выражение равно 0 Упростим высказывание Сосуд не может быть Сосуд не может быть быть (Фне В3может ФВ ) ( Г В5 ГВ5 ) Сосуд ( Г В ГВ ) 3 4 4 одновременно одновременно греческимодновременно изготовлен греческим и не и финикийским, значит в 5 и 3 веках, значит это греческим, значит это выражение равно 0 это выражение равно 0 3 4 5 4 5 3 4выражение 5 равно 3 0 4 Г В5ФВ3 Г В Г В ФВ ГВ Г В ФВ Г В Г В ФВ ГВ Г В5ФВ3 Г В4 Г В5ФВ3 ГВ4 Г В5 ФВ3 Г В4 Г В5 ФВ3 ГВ4 0 0 0 0 Г В5ФВ3 Г В4 0 0 0 Г В5ФВ3 Г В4 Определение значений истинности логических высказываний Высказывание Г В5Ф В3 Г В4 истинно только при Г 1 , В5 1 , Ф 1 , В3 1 , В4 1 . Таким образом, сосуд финикийский и изготовлен в V веке. Задача решена. Вернуться к оглавлению Дорожное происшествие Виновник ночного дорожно-транспортного происшествия скрылся с места аварии. Первый из опрошенных свидетелей сказал работникам ГИБДД, что это были «Жигули», первая цифра номера машины – единица. Второй свидетель сказал, что машина была марки «Москвич», а номер начинался с семерки. Третий свидетель заявил, что машина была иностранная, номер начинался не с единицы. При дальнейшем расследовании выяснилось, что каждый из свидетелей правильно указал либо только марку машины, либо только первую цифру номера. Какой марки была машина и с какой цифры начинался номер? Ответ Марка машины – «Жигули», номер начинается с семерки Табличный способ решения задач При использовании этого способа условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц Задача 1 Симфонический оркестр В симфонический оркестр приняли на работу трех музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе. Известно, что: 1) Смит – самый высокий; 2) играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте; 3) играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу; 4) когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их 5) Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое. На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами? Так как музыкантов трое, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на инструментах, которыми остальные не владеют. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание. Музыкант Музыкант Браун Браун Смит Смит Вессон Вессон Музыкальный Музыкальный инструмент инструмент скрипка флейта альт кларнет гобой труба скрипка флейта альт кларнет гобой труба 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 Из условий 3 и 5 следует, что Браун не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и гобое, Следовательно, инструменты Брауна – альт и кларнет. Занесем это в таблицу, а оставшиеся ячейки столбцов «альт» и «кларнет» заполним нулями. Из условия 4 следует, что Смит не играет на трубе, поставим в соответствующую ячейку 0 Музыкальный Музыкальный инструмент инструмент Музыкант Музыкант скрипка скрипка Браун Браун Смит Смит Вессон Вессон 00 0 флейта флейта альт альт кларнет кларнет гобой гобой труба труба 00 11 00 11 00 00 00 00 Из таблицы видно, что на трубе играть может только Вессон. В соответствующую ячейку поставим 1. Из условий 1 и 2 , следует, что Смит не скрипач. Заполняем соответствующую ячейку 0 00 00 1 Музыкант Музыкант Браун Браун Смит Смит Вессон Вессон Музыкальный инструмент Музыкальный инструмент скрипка флейта альт кларнет гобой труба скрипка флейта альт кларнет гобой труба 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 00 0 Так как на скрипке не играет ни Браун ни Смит, то скрипачом является Вессон. Оба инструмента, на которых играет Вессон определены, поэтому остальные ячейки строки «Вессон» можно заполнить 0 00 00 11 Музыкант Музыкант Браун Браун Смит Смит Вессон Вессон Музыкальный Музыкальный инструмент инструмент скрипка скрипка флейта флейта альт альт кларнет кларнет гобой гобой труба труба 0 00 0 1 1 0 0 1 0 0 1 01 0 0 0 1 01 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 1 1 Из таблицы видно, что на флейте и гобое играть Задачатолько решена: может Браун Браун играет на альте и кларнете, Смит – на флейте и гобое, Вессон на скрипке и трубе Вернуться к оглавлению Задача 2. Спортсмены. На зимние соревнования приехали Джессика, Ник и Линда из городов Лас-Вегаса, Монреаля, Денвера. Ребята занимаются разными видами спорта: фигурным катанием, хоккеем, горнолыжным спортом. Известно, что: 1) Джессика не любит хоккей, но хотела бы съездить и посмотреть Монреаль и Денвер; 2) Ник хотел бы поехать в Денвер; 3) Линда плохо катается на коньках. Кто в каком городе живет каким видом спорта занимается? Ответ Джессика живет в Лас-Вегасе и занимается фигурным катанием Ник живет в Монреале и занимается хоккеем Линда из Денвера, катается на горных лыжах Решение задач с помощью рассуждений Данные метод решения называют еще методом перебора. Выдвигается некая гипотеза, которая подтверждается или опровергается в ходе дальнейших рассуждений. Гипотезы выдвигаются до тех пор, пока не найдется единственный вариант. Если при рассмотрении какой-то гипотезы получен ответ на вопрос задачи, надо обязательно проверить и другие варианты для подтверждения того, что найденное решение является единственным. Задача 1. Фамилии попутчиков. В поездке пятеро друзей – Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша познакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причем каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение. Дима: «Моя фамилия – Мишин, а фамилия Бориса – Хохлов» Антон: «Мишин – это моя фамилия, а фамилия Вадима – Белкин» Борис: «Фамилия Вадима – Тихонов, а моя фамилия – Мишин» Вадим: «Моя фамилия – Белкин, а фамилия Гриши – Чехов» Гриша: «Да, моя фамилия – Чехов, а фамилия Антона – Тихонов. Какую фамилию носит каждый из друзей? Допустим сначала, что фамилия Димы – Мишин. Но если это утверждение истинно, то у Антона и у Бориса должны быть другие фамилии, значит утверждения Антон - Мишин и Борис - Мишин ложны. В этом случае должны быть истинны утверждения Вадим - Белкин и Вадим - Тихонов, но Вадим не может одновременно носить две фамилии. Получили противоречие. Значит предположение, что фамилия Димы – Гришин, неверно Допустим, что фамилия Бориса – Хохлов. Этот случай приводит к цепочке умозаключений: утверждение Борис Хохлов истинно утверждение Борис Мишин ложно утверждение Вадим Тихонов истинно утверждение Антон Тихонов ложно утверждение Гриша Чехов истинно утверждение Вадим Белкин ложно утверждение Антон Мишин истинно. Из данной цепочки можно сделать вывод, что фамилия Димы – Белкин. Задача решена: Борис – Хохлов Вадим – Тихонов Гриша – Чехов Антон – Мишин Дима - Белкин Задача 2. Иностранные языки. Вадим, Сергей и Михаил изучают разные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два остальных ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей? Ответ Сергей изучает китайский язык Михаил изучает японский язык Вадим изучает арабский язык. Выводы Способ решения текстовых логических задач выбирается в зависимости от условия задачи Универсальным способом решения задач является способ рассуждений Домашнее задание Шорти Финелли был найден убитым, полиция арестовала по подозрению в убийстве троих: Бака, Джо и Тилпи. На допросе задержанные дали следующие показания. Бак: «Я не убивал. Я никогда не видел Джо раньше. Я знаю Шорти». Джо: «Я не убивал. Бак и Тилпи – мои приятели. Бак никогда никого не убивал». Тилпи: «Я не убивал. Бак лжет, говоря, что он никогда раньше не видел Джо. Я знаю, кто из двух других подозреваемых – убийца». Известно, что одно из высказываний каждого из задержанных ложно и один из подозреваемых – убийца. Кто убийца?
