d/R

Институт космических исследований РАН
О ПЛАНЕТОЦЕНТРИЧЕСКОЙ
ГРАВИТАЦИОННОЙ СФЕРЕ ДОМИНИРУЮЩЕГО
ВЛИЯНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ОТ СЖАТИЯ
ПЛАНЕТЫ НАД ВОЗМУЩЕНИЯМИ ОТ
ВНЕШНИХ ТЕЛ
И
УСЛОВИЯХ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ОРБИТЫ С
ПОВЕРХНОСТЬЮ ПЛАНЕТЫ
Виктория И. Прохоренко
vprokhorenko@mail.ru
Семинар «Механика, управление, информатика» 11 декабря 2008, Таруса
1
Введение
Идея отыскания верхней границы области, в
которой
гравитационные
возмущения,
обусловленные
сжатием
планеты,
превалируют над возмущениями от третьего
тела, возникла в процессе практической
работы, связанной с качественным анализом
орбит ИСЗ, целью которой является выбор
долгоживущих орбит ИСЗ.
2
Модель движения спутника
Будем рассматривать движение спутника P0
пренебрежимо малой массы в нецентральном
поле тяготения планеты P массы m под влиянием
гравитационных возмущений со стороны
третьего тела P1 массы m1. Точки P и P1
движутся по почти круговым орбитам вокруг
общего барицентра.
3
Возмущающая функция
Воспользуемся полученной М.Л. Лидовым ([1], 1963) двукратно-осредненной
возмущающей функцией, описывающей совместное влияние сжатия планеты и
третьего тела и состоящей из двух слагаемых. Первое слагаемое соответствует
возмущающей функции эллиптической ограниченной задачи трёх тел, второе возмущающей функции первого порядка от сжатия планеты
  cos 2 i

2
1  3/ 2
 2
2
2


W  A
 (1  )(  sin  sin i)   B cos ieq   / 
5
3

 5

(1)
Здесь используются стандартные Кеплеровы элементы: a, i, , , вместо эксцентриситета e
используется параметр  = 1-e2. Наклонение i измеряется относительно плоскости орбиты
возмущающего тела, а ieq – относительно плоскости экватора планеты, аргумент перицентра
 измеряется в плоскости орбиты спутника от восходящего узла на плоскости орбиты
возмущающего тела.
Коэффициенты:
15 n12 a 3 / 2 15 n12 1
3 J 2 r02 
A

; B
;
3/ 2
3/ 2
7/2
4 1
4 n 1
2 a

(2)
Обозначения: r0 - экваториальный радиус планеты, J2 – коэффициент при второй
зональной гармонике (J2 = - c20), n1 и n - средние движения возмущающего тела и
спутника;  – произведение гравитационной постоянной на массу планеты
4
Параметр , характеризующий отношение возмущающего ускорения от
сжатия планеты к возмущающему ускорению от третьего тела.
Радиус d сферы
2 J 2 r02 3 / 2
D
1 ;
2
5 n1
B D
  5;
A a
2
J
r
2
5
2 0  3/ 2
5
d D
1 ,
2
5 n1
Введем обозначение:
(3)
(4)
5
тогда
d 
  .
a
(5)
При a = d выполняется соотношение  = 1/ = 1.
При d < a малый параметр - , а при a < d малый параметр - 1/
из этого следует, что d является радиусом искомой сферы.
5
Учет возмущений от k тел
Для расчета радиуса d сферы, внутри которой
гравитационные возмущения от
сжатия планеты
превалируют над суммарными возмущениями от k тел,
находящихся на компланарных орбитах, можно
использовать следующую формулу:
1
d 
,
k
5
1 / d
i 1
5
i
где di – радиусы d- сфер,
полученные при учете
возмущений от каждого из k
тел в отдельности
6
Значения радиусов d сфер для систем трех тел: Земля –
Солнце – ИСЗ, Земля – Луна – ИСЗ, а также для системы
четырех тел (последняя строка таблицы)
Возмущающее тело
k
Солнце
Луна
Луна,
Солнце
Большая полуось орбиты
Радиус d сферы
км3/ c2
103 км
a/ RE
103 км
d/RE
0.13271244 1012
149597.870
23454.779
44.6338
7.00
4902.7779
384.600
60.3
38.2127
6.00
35.4274
5.56
r0 = 6378.14 км, J2 = .0010826,  = 398600.4 км3/c2, а.е. = 149597870 км, RE = 6371.2 км.
Используемые здесь и далее численные значения констант почерпнуты из
Сборника [2] «Динамика спутников планет» под редакцией Е.П. Аксенова и
информационного справочника [3] Уральской В.С. «Естественные спутники планет»
7
Значения радиусов d-сфер,
внутри которых возмущающие ускорения от сжатия планеты
превосходят возмущающие ускорения от Солнца
(1 = 0.13271244 1012 км3/с2)
Планета

J2
км3/с2
Земля
r0
км
398600.4 .0010827
Средний
радиус
Большая
полуось
орбиты
км
103 км
Радиус d сферы
103 км
d/RP
6378.14
6371.0
149597.87
44.634
7.00
Марс
42828.3
.001960
3400.0
3389.5
227939.18
32.204
9.50
Юпитер
126686537.
.014735
71492.0
69911.0
778298.36
1684.548
24.10
Сатурн
37931200.
.016292
60268.0
58232.0 1429394.12
1816.142
31.20
Уран
5793939.
.003343
25559.0
25362.0 2875038.60
980. 544
38.66
Нептун
6835107.
.003410
24764.0
24622.0 5911835.00
1548.429
62.89
8
Значения радиусов d-сфер для Юпитера, рассчитанные при
использовании в качестве возмущающих тел Солнца и каждого из
Галилеевых спутников отдельно, а также значение радиуса сферы
(d), полученное при учете суммарного возмущения от системы этих
тел (последняя строка таблицы)
Возмущающее тело
k
Большая полуось орбиты
км3/ sec2
103 км
0.13271244 1012
778298.355
5.20260
1684.4
24.10
Каллисто
7094.350153
1883.0
.01259
1291.0
18. 42
Ганимед
9937.973573
1070.6
.00715
860.1
12.30
Европа
3250.555737
671.1
.00449
812.9
11.63
Ио
5951.997986
421.8
.00282
545.0
7.80
520.8
7.32
Солнце
 тел
а.е.
Радиус d сферы
103 км
d/RJ
9
Сопоставление радиусов d – сфер с известной классификацией
естественных спутников планет по доминирующему
возмущающему фактору, влияющему на их орбиты
Сравнение полученных значений радиусов d – сфер со
значениями больших полуосей орбит всех спутников
планет, для которых, согласно классификации В.М.
Чепуровой ([4], 1991), основным является возмущение от
сжатия планеты, показывает, что во всех случаях значения
больших полуосей спутников не превосходят значений
радиусов d - сфер соответствующих планет. Будем считать
этот факт первым тестом на жизнеспособность d – сферы.
А теперь попробуем извлечь из этого понятия
определенную пользу.
10
Параметрический анализ условий пересечения орбит
спутников с поверхностью планеты радиуса R при  = 0
и свободных значениях параметров:
a0>R, 0<i0<180 и *< 0
При фиксированном a>R критическое значение  = * соответствует
значению радиуса перицентра, равному радиусу планеты R, и вычисляется
по формуле М.Л. Лидова:
* (a/R) = 1 - (1 – R /a)2 = (2a/R-1)/(a/R)2.
При  <* орбита спутника пересекает поверхность планеты радиуса R.
В своей работе ([1], 1963) на примере гипотетической орбиты,
получившей название «Вертикальной Луны», М.Л. Лидов показал
неизбежность пересечения с поверхностью планеты орбит спутников при
наклонениях к плоскости орбиты возмущающего тела, близких к i = 90.
11
Многообразия I, II, III начальных условий,
приводящих (или не приводящих) к
пересечению орбиты спутника с поверхностью
центрального тела радиуса R
В работе автора ([8], 2007) получены неравенства,
определяющие многообразия I, II, III начальных условий,
приводящих (или не приводящих) к пересечению орбит
спутников с поверхностью центрального тела радиуса R, для
интегрируемых эволюционных уравнений спутникового
варианта двукратно осредненной ограниченной задачи трех
тел, полученных Лидовым в работе ([5], 1961).
На следующих слайдах показано графическое представление
соответствующих многообразий.
12
Многообразие I
При a0/R>1, 0 > *(a0/R) орбиты спутников пересекают поверхность
центрального тела радиуса R
при начальных значениях
i0,
удовлетворяющих неравенству:
cos2i0 < (3/5) *(a0/R),
при любых начальных значениях остальных орбитальных элементов.
а)
б)
I
а) Зависимость значений * от a0/R
б) Многообразие I значений (i0, a0 /R),
удовлетворяющих приведенному
выше неравенству
13
Многообразия II, III
При a0/R>1, *(a0/R) < 0 <1
и начальных значениях i0 и 0, принадлежащих многообразию II:
(3/5)* < cos2i0,  < 0<1,
орбиты спутников не пересекает поверхность центрального тела радиуса
R независимо от выбора начального значения 0,
а при начальных значениях i0 и 0<1, принадлежащих многообразию III:
(3/5)* < cos2i0, * < 0   ,
орбиты спутников пересекают (или не пересекает) поверхность
центрального тела радиуса R, в зависимости от выбора начального
значения 0.




1  *

2
 (i0 , *)   * 1 
sin i0 
 1  3  *

5


1
14
Многообразия I, II и III на плоскости (a0/R, 0),
соответствующие значению i0=70
I: cos2i0 < (3/5) *(a0/R)
II: cos2i0 >(3/5)*,  (i0, *) < 0 <1;
III: cos2i0 > (3/5)*, * <0   (i0, *)
15
а)
Положение на плоскости
(a0/R,0) границ
многообразий I, II и III
при различных
значениях i0
от 39.23 до 82(а)
Многообразия I, II и III
при i0=30(б) i0=82 (в)
б)
в)
16
I
Фазовые портреты интегральных
кривых на плоскости
(,  mod 360) при i0=70 и
различных значениях *, 0,
определяющих различные
многообразия (I, II, III)
III
II
Окружности радиуса 0 показаны утолщенной линией.
Окружности радиуса * - красной штриховой линией.
На рис. I * = 0.23, на рис. II и III *= 0.16.
17
Радиусы d-сфер, выраженные через радиусы планет, для шести планет
Солнечной системы,
показанные на фоне границ, разделяющих многообразия I, II и III в
ограниченной задаче трех тел при разных значениях параметра i0.
18
Фазовые портреты интегральных кривых в интегрируемой
задаче, соответствующей значению =0 при значениях c1(0,1)
c0  a0 ; c1  ε 0 cos 2 i0 ; c2  (1  ε 0 )( 2 / 5  sin 2 ω0 sin 2 i0 ).
c1= 0, i0=90
0<c1< 3/5, cos2i0<3/5
3/5<c1< 1, 3/5<cos2i0
Координаты седловых особых точек :  = 1, sin2=2/5/(1- c1)
Координаты особых точек типа центр :  = (5/3c1)1/2, sin2=1
19
Исследование одного интегрируемого решения эволюционных уравнений,
описывающих совместное влияние сжатия планеты и третьего тела,
полученного М.Л. Лидовым и В.Я. Ярской ([6], 1974) i0 = 90, sin2 0 = 1
(в этом случае c1=0, a ieq 0 = 90)

c0  a ; c1  ε cos i  0; c2  (1  ε)(2 / 5  sin ω)  3/ 2 .
3
2
d
  (1  )1/ 2 sin 2,
dn
2
d 1/ 2  2
 
2
    sin    2 .
dn
5
 2
при 0 < 4/5 имеются следующие особые точки:
седловые особые точки :  = 1, sin2=2/5-/2,
особые точки типа центр :  = (5/4)2/5, sin2=0
(см. следующий слайд).
20
а)
в)
б)
г)
Фазовые портреты
интегральных
кривых на плоскости
(,  mod 360) при
i0=90, c1= 0
и различных
значениях :
а)  = 0,
б)  = 0.15,
в)  = 0.6,
г)  = 1
Красным цветом
показаны
окружности,
соответствующие
значениям *(, d/R)
при d/R =5.5 (см.
следующий слайд)
21
Для перехода от значений  к значениям большой
полуоси a воспользуемся выражением для
параметра  через радиус d-сферы, а для расчета *
его выражением через a и радиус планеты R
5
d 
  ,
a
d
a
.
5 
* (a/R) = (2a/R-1)/(a/R)2.
22
Многообразия I, II и III на плоскости (a0/R,0) при
i0=90, sin20=1 для планеты Земля при учете
гравитационных возмущений от Солнца и Луны
23
Многообразия I, II и III на плоскости (a0/R,0) при
i0=90, sin20=1 для планеты Марс при учете
гравитационных возмущений от Солнца
24
Многообразия I, II и III на плоскости (a0/R,0) при
i0=90, sin20=1 для планеты Юпитер при учете
гравитационных возмущений от Солнца
25
Заключение
Заметим в заключение, что задача о влияния сжатия
недаром многими авторами признается главной
задачей в теории движения спутников. В этой задаче
нет того единообразия, которое свойственно
ограниченной двукратно- осредненной задаче трех
тел, поэтому при учете гравитационных возмущений
от сжатия такой же полноты анализ сделать будет не
так просто даже для известных интегрируемых
случаев.
26
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Лидов М.Л. О приближенном анализе эволюции орбит искусственных спутников // Сб.
Проблемы движения искусственных небесных тел. Доклады на конференции по общим и
прикладным вопросам теоретической астрономии. Москва 20-25 ноября 1961. М:
Астрономический Совет АН СССР, 1963. С. 119-134.
Динамика спутников планет. Под редакцией Е.П. Аксенова // Итоги науки и техники.
Исследование космического пространства. М.:ВИНИТИ, 1991. Т. 35.
Уральская В.С. Естественные спутники планет (информационный справочник). ГАИШ
МГУ, http://www.sai.msu.ru/neb/rw/natsat/.
Чепурова В.М. Классификация спутников по действующим на них возмущениям // Сб.
Динамика спутников планет // Итоги науки и техники. Исследование космического
пространства. М.:ВИНИТИ, 1991. Т. 35. С.185-197.
Лидов М.Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием
гравитационных возмущений внешних тел // Сб. Искусственные спутники Земли. 1961. №.
8. С. 5.
Лидов М.Л., Ярская М.В. Интегрируемые случаи в задаче об эволюции орбиты спутника
при совместном влиянии внешнего тела и нецентральности поля планеты // Космические
Исследования 1963. XII. 2. с. 155-170
Прохоренко В.И. Долговременная эволюция орбит ИСЗ под влиянием гравитационных
возмущений, обусловленных сжатием Земли, с учетом возмущений от внешних тел // Изв.
Вузов. Физика. Издание ТГУ. 2006. № 2. Приложение. С. 63-73.
Прохоренко В.И. Об условиях пересечения орбиты спутника с поверхностью центрального
тела конечного радиуса в двукратно осредненной ограниченной задаче трех тел // Труды
МИАН РАН , 2007. Т. 259. С. 156-173.
27