В=1

Часть 1. Общие понятия
Познание истины – одна из
важнейших потребностей человека
Область
знания
Область
знания
Logos (греч.) –
слово, понятие,
рассуждение,
разум
Мыслить логично – значит
мыслить точно и
последовательно, не
допускать противоречий в
своих рассуждениях, уметь
вскрывать логические ошибки
Логика как
наука
Логика – наука о законах и
формах рационального
мышления, методах
формализации
содержательных теорий
Предмет
исследования –
человеческое
мышление
Основатель Аристотель
 систематизировал формы
и правила мышления;
 исследовал категории
«понятие» и «суждение»;
 разработал теорию
умозаключений и
доказательств;
 описал ряд логических
операций;
 сформулировал основные
законы мышления.
Математическая
(символическая) логика
Основатель – Г. Лейбниц
Основная идея –логическое доказательство
есть вычисление, подобное математическому.
Логический язык – для выражения понятий и
их отношений.
Алгебра человеческого мышления позволит
получать новые истины из известных путем
точных вычислений.
Разделы логики
Логика высказываний
Логика предикатов
Металогика
Алгебра высказываний
изучает строение (форму, структуру) сложных
логических высказываний и способы
установления их истинности с помощью
алгебраических методов
Объекты изучения - высказывания
Обозначение высказывания:
С=Я иду гулять.
С=1, С – истинно; С=0, С – ложно)
Логическое отрицание
(инверсия inverso – лат. переворачивание)
образуется из высказывания с помощью добавления
частицы НЕ к сказуемому или использования оборота
речи «неверно, что».
Обозначение: НЕ
Высказывание
U
Я люблю
петь
U; U; Ū; NOT U
Значение
высказывания
Инверсия
1
Я НЕ люблю
петь
Ū
Значение
инверсии
0
Логическое отрицание
(инверсия)
Таблица
истинности
U
Ū
0
1
1
0
Инверсия высказывания истинна,
когда высказывание ложно, и
ложна, когда высказывание
истинно.
Мнемоническое правило: слово
«инверсия» означает, что белое
меняется на черное, добро на зло,
красивое на безобразное, истина на
ложь, ложь на истину, ноль на один,
один на ноль
Решить:
Запишите значения истинности следующих
выражений:
А=2*2=4
А =
В=2*2=5
В =
С = в Африке всегда
суровые зимы
С =
Выберите пары высказываний, которые являются
отрицаниями друг друга:
1. «На улице темно» «На улице светло»
2. «Он сказал правду» «Он не сказал правду»
3. «Это хорошо» «Это плохо»
Логическое умножение
(конъюнкция)
образуется соединением двух высказываний в одно с
помощью союза И
Обозначение: А
И В; А  В; А & В; А·В; А AND В
А= В саду цвели астры
В = В саду цвели пионы
А & В = В саду цвели астры и пионы
Логическое умножение
(конъюнкция)
Таблица
истинности
А & В = В саду цвели астры и пионы
А В АИВ
А
В
АИВ
0
0
0
Астры не
цвели
Пионы не
цвели
Ложь
0
1
0
Астры не
цвели
Пионы
цвели
Ложь
1
0
0
Астры
цвели
Пионы не
цвели
Ложь
1
1
1
Астры
цвели
Пионы
цвели
Истина
Логическое умножение
(конъюнкция)
Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и
только тогда, когда оба высказывания истинны, и
ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно
Мнемоническое правило:
конъюнкция – это логическое умножение.
Равенства 0·0=0; 0·1=0; 1·0=0; 1·1=1, верные для
обычного умножения, верны и для операции
конъюнкции
Решить:
Найдите значения логических выражений:
A = (0&1)&1
B = 1&(1&1)&1
C = 1&(0&1)&1
С = в Африке всегда суровые зимы
D = 2*2 = 4
C*D=?
C * D = ?
C * D = ?
С = Россия богата лесами
D = Байкал – самое глубокое озеро в мире
C*D=?
C * D = ?
C * D = ?
Логическое сложение
(дизъюнкция)
образуется соединением двух высказываний в одно с
помощью союза ИЛИ
Дизъюнкция
Нестрогая
-союз ИЛИ
объединяющий
Строгая
- союз ИЛИ
разъединяющий
Строгая и нестрогая
дизъюнкция
Петя сидит на западной или восточной трибуне
стадиона
Строгая
Студент едет в электричке или читает книгу
Нестрогая
Он учится в школе или окончил ее
Строгая
Числа можно складывать или перемножать
Нестрогая
Оля любит писать сочинения или решать задачи
Нестрогая
Земля движется по круговой или эллиптической
орбите
Строгая
Завтра дождь будет или не будет
Строгая
Нестрогая (дизъюнкция)
Обозначение: А
ИЛИ В; А  В; А В; А+В; А OR В
Таблица
истинности
А  В = В саду цвели астры ИЛИ пионы
А В АВ
А
В
АВ
0
0
0
Астры не
цвели
Пионы не
цвели
Ложь
0
1
1
Астры не
цвели
Пионы
цвели
Истина
1
0
1
Астры
цвели
Пионы не
цвели
Истина
1
1
1
Астры
цвели
Пионы
цвели
Истина
Нестрогая дизъюнкция
Нестрогая дизъюнкция двух высказываний ложна тогда
и только тогда, когда оба высказывания ложны, и
истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.
Мнемоническое правило:
дизъюнкция – это логическое сложение.
Равенства 0+0=0; 0+1=1; 1+0=1, верные для
обычного умножения, верны и для операции
дизъюнкции, но 1  1=1.
Символ  (дизъюнкция) образован из первой
буквы слова Vel («или»).
В слове конъюнкция одна буква И, в слове
дизъюнкция – две буквы И, как и в слове ИЛИ.
Нестрогая дизъюнкция
В теории множеств соответствует операция –
объединение множеств
Графическая иллюстрация
А
В
А – множество спортсменов
В – множество танцоров
А  В – множество
учащихся, занимающихся
танцами или спортом
Решить:
Найдите значения логических выражений:
A = (0 v 1) v 1
B = (1 v 1) v (1 v 0)
C = (0 v 1) v (1 v 0)
С = 2*2=5
D = 2*2 = 4
C*D=? CvD=?
A = ((0 v 1) & (1 &1)) & (0 v 1)
B = ((1 & 0) v (1 & 0)) v 1
C = ((1 & 1) v 0) & (1 v 0)
D = ((0 & 0) v 0) & (1 v 1)
C * D = ? C v D = ?
Логическое следование
(импликация)
образуется соединением двух высказываний в одно с
помощью оборота речи «если…, то…»
Обозначение: А
→ В; А ⇒ В
Если число делится на 9, то оно делится на 3
Если на улице дождь, то асфальт мокрый
Если коровы летают, то 2+2=5
Логическое следование
(импликация)
В = Асфальт мокрый
А= На улице дождь
Таблица
истинности
(А
⇒ В) = Если на улице дождь, то асфальт
мокрый
А В А⇒В
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
А
В
А⇒В
Дождя нет
Асфальт сухой
Истина
Дождя нет
Асфальт мокрый
Истина
Дождь идет
Асфальт сухой
Ложь
Дождь идет
Асфальт мокрый
Истина
Логическое следование
(импликация)
Задание 3. Используя таблицу истинности,
определите истинность или ложность следующих
высказываний
Если коровы летают, то 2+2=5
Если 2*2=4, то белые медведи живут в Африке
Если белые медведи живут в Африке, то 2*2=4
Логическое следование (импликация)
Импликация двух высказываний ложна тогда и только
тогда, когда из истинного высказывания следует
ложное.
Графическая иллюстрация
А
В
(А =0) ∩ (В=0)
А
В
А
В
(А =0) ∩ (В=1)
А
(А =1) ∩ (В=1)
В
Логическое равенство
(эквивалентность)
образуется соединением двух высказываний в одно с
помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда»
Обозначение: А
≡В; А ⇔ В; А ~ В
(А ⇔ В) = Угол называется прямым тогда и только
тогда, когда он равен 90º.
А = Угол прямой
В = Угол равен 90º
(А ⇔ В) = Голова думает тогда и только тогда, когда
язык отдыхает.
Логическое равенство (эквивалентность)
А= Число делится на 3 без остатка (кратно 3)
В = Сумма цифр числа делится нацело на 3
⇔ В) = Число кратно 3 тогда и только
тогда, когда сумма его цифр делится нацело
(А
Таблица
истинности
на 3
А В А⇔В
А
В
А⇔В
Число не кратно 3
Сумма цифр не
кратна 3
Истина
0
0
1
0
1
0
Число не кратно 3
Сумма цифр
кратна 3
Ложь
1
0
0
Число кратно 3
Сумма цифр
не кратна 3
Ложь
1
1
1
Число кратно 3
Сумма цифр
кратна 3
Истина
Логическое равенство (эквивалентность)
Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и
только тогда, когда оба высказывания истинны или оба
ложны.
Графическая иллюстрация
А
В
Свойства логических операций
Инверсия истинна
Дизъюнкция ложна
Конъюнкция истинна
высказывание ложно
тогда
и
только
Дизъюнкция истинна
Конъюнкция ложна
тогда,
когда
оба высказывания
ложны
истинны
истинно
хотя бы одно высказывание
ложно
Импликация ложна
из истинного высказывания
следует ложное высказывание
Эквивалентность
истинна
оба высказывания истинны
или оба высказывания ложны
Логические формулы
А,В – логические переменные
Логическое выражение
(формула) - содержит
переменные,
соединенные знаками
логических операций и
скобками, и
превращается в
высказывание при
подстановке вместо
переменных простых
суждений.
Приоритет логических
операций:
1) скобки
2) инверсия;
3) конъюнкция;
4) дизъюнкция;
5) импликация и
эквивалентность.
Приоритет логических операций
Скобки; инверсия; конъюнкция; дизъюнкция;
импликация и эквивалентность
Пример 1.
Пример 2.
Порядок вычисления:
Порядок вычисления:
UВ⇒С&D⇔Ū
1) Ū
2) С & D
3) U  В
4) U  В ⇒ С & D
5) U  В
⇒С&D⇔Ū
U  (В ⇒ С) & D ⇔ Ū
1) Ū
2) (В ⇒ С)
3) (В ⇒ С) & D
4) U  (В ⇒ С) & D
5) U  В ⇒ С & D ⇔ Ū
Приоритет логических операций
инверсия; конъюнкция; дизъюнкция; импликация и
эквивалентность
Задание 2
Ӯ & Ӣ ⇒ (Ū & D)
У= Человек с детства давал нервам властвовать над собой.
И = Человек в юности давал нервам властвовать над собой.
U = Нервы привыкнут раздражаться.
D = Нервы будут послушны.
Если человек с детства и юности не давал нервам властвовать
над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут
послушны. (К. Д. Ушинский)
Приоритет логических операций
инверсия; конъюнкция; дизъюнкция; импликация и
эквивалентность
Задание 3
(В & Ӣ ) ⇒ Ū
В = Больной поговорил с врачом.
И = Больному стало легче.
U= Некто является врачом.
Если больному после разговора с врачом не становится
легче, то это не врач. (В. М. Бехтерев)
инверсия; конъюнкция; дизъюнкция; импликация и
эквивалентность
Задание 4. Определите простые высказывания и составьте
формулы сложного высказывания:
Сложное высказывание
Простые
высказывания
Е= Идет дождь, а у меня
нет зонта
А = идет дождь
U = у меня есть зонт
Е= Когда живется
весело, то и работа
спорится
А = живется весело
В = работа спорится
Е= Идет налево песнь
заводит, направо сказку
говорит
Форма сложного
высказывания
E=A&Ū
E=A→B
А = идет налево
В = идет направо
С= песнь заводит
D=сказку говорит
E=(A→C) v (B →D)
Самостоятельная работа
инверсия; конъюнкция; дизъюнкция; импликация и
эквивалентность
Задание 5. Определите простые высказывания и составьте
формулы сложного высказывания:
Сложное высказывание
Простые высказывания
Е = Ваш приезд не является ни
необходимым, ни желательным
Q = Ваш приезд необходим;
Y = Ваш приезд желателен
Е = Поиски врага длились уже
три часа, но результатов не
было, притаившийся враг
ничем себя не выдавал
Q = Поиски врага длились три
часа;
Е=ŪQY
Y = Врага нашли (результат есть);
U = Враг себя выдал.
Е = Вчера было пасмурно, а
сегодня ярко светит солнце
Е - И добродетель стать
пороком может, когда ее
неправильно приложат.
А = Вчера было пасмурно;
В = Сегодня ярко светит солнце.
Форма
сложного
высказывания
E = Q& Y
Е = А&В
А = Добродетель неправильно
E=AB
приложат;
В = Добродетель стать пороком
может
Самостоятельная работа
Пример 3.
В классе разбили стекло. Учитель объясняет директору.
Это сделал Коля или Саша. Но Саша этого не делал, т.к.
сдавал мне зачет. Это сделал Коля. Прав ли учитель?
К= сделал Коля
U = сделал Саша
n=2
Е=(К  U) & Ū ⇒К
1
К
0
Число строк в таблице0
истинности = 2n +2=1
4+2 = 6
1
Число столбцов = n+
число логических
операций = 2+4=6
2
U
0
1
0
1
3
4
Ū
2
КU
5
(К  U) & Ū
1 2 4&3
6
(К
 U) & Ū ⇒К
5⇒1
Алгоритм построения таблицы истинности
Е=КŪ
⇒Ӣ
1.Определить число простых высказываний n.
2.Вычислить количество строк (2n +2) и столбцов
(n+число операций).
3. Начертить таблицу и заполнить заголовок.
4. Заполнить столбцы простых высказываний:
1 столбец: 2n/2=k (чередуем k нулей и k единиц);
2 столбец: k/2=m (чередуем m нулей и m единиц);
3 столбец: m/2=p (чередуем p нулей и p единиц)/
5. Заполнить остальные столбцы соответственно
логическим формулам
Е=КŪ
1 2 3
4
Ū
К U И
2
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
5
Ӣ
3
⇒Ӣ
6
КŪ
14
7
КŪ⇒
6 ⇒5
Ӣ
Е=КŪ
1 2 3
4
Ū
К U И
5
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
2
Ӣ
3
⇒Ӣ
6
КŪ
14
1
1
0
0
1
1
1
1
7
КŪ⇒ Ӣ
6 ⇒5
1
0
1
1
1
0
1
0
Типы сложных высказываний
Тождественно истинное (тавтология) – высказывание
истинно при всех значениях входящих в него
переменных ( обозначается константой 1): U  Ū
Тождественно ложное – высказывание ложно при
всех значениях входящих в него переменных
(обозначается константой 0): U & Ū
Тождественные (равносильные, эквивалентные) –
высказывания, значения которых совпадают при всех
возможных значениях входящих переменных: А=В
Пример 4. Докажите тождественность следующих высказываний
X=Не может быть, что Матроскин выиграл приз и отказался от него
Y=Или Матроскин не отказался от приза, или он не выиграл его
Х=К & U
Y=К  Ū
1
К
2
U
0
0
0
1
1
0
1
1
3
4
5
6
К
1
Ū
К&U
1&2
Х=(К & U)
5
2
7
8
Y = К   U X ⇔ Y
3 4
6⇔7
Пример 4.
X=Не может быть, что Матроскин выиграл приз и отказался от него
Y=Или Матроскин не отказался от приза, или он не выиграл его
Х=К & U
Y=К  Ū
1
К
2
U
3
4
5
6
7
8
К
1
Ū
Х=(К & U)
5
Y = К   U X ⇔ Y
2
К&U
1&2
3 4
6⇔7
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
Задание 5. Докажите справедливость следующих тождеств
А & (В ⋁ С) = (А & В) ⋁ (А & С)
А ⋁ (А & В) = А
А ⋁ (В & С) = (А ⋁ В) & (А ⋁ С)
А⋁В=А&В
А&В=А⋁В