Эллипс – это множество точек М плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек А и В равна постоянной величине,большей |AB|. Гипербола – это множество точек, разность расстояний от которых до двух данных точек А и В равна (по модулю) постоянной величине а (0 < а < |AB|). Парабола – это множество точек М, одинаково удалённых от данной точки Р и данной прямой l. 1. На плоскости даны точки А и В. Найти множество точек М, для которых: а) периметр треугольника АМВ равен постоянной величине р; б) периметр треугольника АМВ не больше р; в) разность |МА| – |МВ| не меньше с. 2. Даны отрезок АВ и точка Т на нём. Найти множество точек М, для которых окружность, вписанная в треугольник АМВ, касается стороны АВ в точке Г. 3. Найти множество центров окружностей, касающихся а) данной прямой и проходящих через данную точку; б) данной окружности и проходящих через данную точку внутри окружности; в) данной окружности и проходящих через данную точку вне окружности; г) данной окружности и данной прямой; д)* двух данных окружностей. 4. а) На плоскости заданы две точки А и В, расстояние между которыми — целое число п. Проведены все окружности целочисленных радиусов с центрами А и В. На полученной сетке отмечена последовательность узлов (точек пересечения окружностей), в которой каждые два соседних узла — противоположные вершины криволинейного четырёхугольника. Доказать, что все точки этой последовательности лежат либо на одном эллипсе, либо на одной гиперболе. б) На плоскости задана прямая I и на ней — точка Р. Проведены все окружности целочисленных радиусов с центром Р и все прямые, параллельные I и находящиеся от I на целочисленном расстоянии. Доказать, что все точки последовательности узлов сетки, построенной так же, как в задаче а), лежат на одной параболе с фокусом Р. 5. Дана прямая I и две точки А и В по одну сторону от неё. Найти на прямой / такую точку X, для которой сумма расстояний |АХ|+ |ХВ| до точек А и В наименьшая. Доказать, что точка Х – точка касания некоторого эллипса с фокусами A и B с прямой l. Доказать, что отрезки АХ и ВХ составляют одинаковые углы с прямой I. 6. Сформулируйте и докажите аналогичное свойство для гиперболы. 7. Как выглядит аналогичное свойство для параболы? 8. Рассмотрим все параболы с данным фокусом и данной вертикальной осью. Они естественно разбиваются на два семейства: у парабол одного семейства ветви идут вверх, а у другого – вниз. Доказать, что любая парабола одного семейства ортогональна любой параболе другого семейства. 9. а) Пусть задан эллипс с фокусами А и В. Доказать, что множество точек, симметричных фокусу А относительно всех касательных к эллипсу, – окружность. б) Доказать, что множество оснований перпендикуляров, опущенных из фокуса А на все касательные к эллипсу, – окружность. 10. а), б). Доказать утверждения пунктов а) и б) задачи 6.9 для гиперболы. 11. Пусть задана парабола с фокусом Р и директрисой I. а) Найти множество точек, симметричных фокусу Р относительно всех её касательных. б) Доказать, что множество оснований перпендикуляров, опущенных из фокуса Р на касательные к параболе, есть прямая, параллельная I. 12*. а) Доказать, что произведение расстояний от фокусов эллипса до его касательной – постоянная величина (не зависящая от касательной). б) Найти множество точек, из которых эллипс виден под прямым углом.