РЯДЫ 1. Числовые ряды. Сходимость числового ряда Числовым рядом называется выражение вида a1 a 2 a 3 an an , (1) n 1 в котором слагаемые a n – числа, называемые членами ряда. Сумма n первых членов ряда Sn a1 a 2 a 3 n a n a k называется n-й частичной суммой ряда. k 1 Если существует конечный предел S limSn , то числовой ряд (1) n называется сходящимся, а число S – суммой ряда; в противном случае числовой ряд называется расходящимся. Ряд a n 1 a n2 ak k n 1 называется n-м остатком ряда; ряд (1) сходится, если его n-е остатки сходятся и их суммы стремятся к нулю. Пример 1. Доказать сходимость рядов: 1 a) ; б) q n , q 1. n 1 (n 2)(n 3) n 0 1 . Эту дробь (n 2)(n 3) можно представить в виде суммы двух простых дробей 1 1 1 . (n 2)(n 3) n 2 n 3 Поэтому n-ю частичную сумму S n ряда можно записать следующим образом: 1 1 1 1 1 Sn 3 4 4 5 5 6 (n 1)(n 2) (n 2)(n 3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 4 5 5 6 n 1 n 2 n 2 n 3 1 1 . 3 n 3 1 1 1 ) . Таким образом, наш числовой ряд Имеем S limSn lim( n n 3 n 3 3 сходится к сумме S 1/ 3 . Решение. а) Общий член ряда a n 1 б) Члены числового ряда q n образуют геометрическую прогрессию с n 0 первым (нулевым) членом a 0 1 и знаменателем q. При q 1 1 прогрессия является убывающей и ряд сходится к S . 1 q Критерий Коши. Для сходимости числового ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого 0 существовало натуральное число N N() такое, что для любых n > N и m > 0 справедливо неравенство Sn m Sn a n1 a n 2 a n m . (2) 1 . n 1 n Пример 2. Доказать расходимость гармонического ряда Решение. Зададимся для любого n N 1 и m n и найдём номер N, такой, что 2 1 Sn m Sn S2n Sn . 2 Имеем Sn 1 1 1 2 3 S2n Sn 1 1 1 , S2n 1 n 2 3 1 1 n 1 n 2 1 1 n n 1 1 , 2n 1 . 2n 1 . 2n Если каждое из слагаемых заменить на меньшее, то сумма уменьшится, поэтому В последней сумме n слагаемых и наименьшее из них равно S2n Sn 1 1 2n 2n 1 1 1 n . 2n 2n 2 1 для любого n и не выполняется условие 2 критерия Коши, следовательно, ряд расходится. Как видим, S2n Sn 2 Необходимое условие сходимости. Если числовой ряд (1) сходится, то lima n 0 . n 2n 1 . n 1 3n 2 Пример 3. Доказать расходимость ряда Решение. Проверим выполнение 2n 1 сходимости. Имеем a n , 3n 2 необходимого условия 1 2n 1 n 2. lima n lim lim n n 3n 2 n 2 3 3 n 2 Так как lima n 2 / 3 0 , то ряд расходится. n Отметим, что необходимое условие сходимости ( lima n 0 ) не n является достаточным для сходимости ряда (пример 2). 2. Признаки сходимости числовых рядов Теорема 1 (первый признак сравнения). Пусть наряду с рядом (1) дан числовой ряд bn и пусть 0 a n b n для любого n N . Тогда n 1 1) `если ряд bn сходится, то ряд (1) также сходится; n 1 n 1 n 1 2) если ряд a n расходится, то ряд bn также расходится. Теорема 2 (второй признак сравнения). Пусть наряду с рядом a (1) дан числовой ряд bn и пусть существует предел lim n q , при n b n 1 n n 1 n 1 этом 0 q . Тогда ряды a n и bn ведут себя одинаково в смысле сходимости (т.е. или одновременно сходятся, или одновременно расходятся). 3 Часто при исследовании на сходимость ряда используется тот хорошо известный факт, что ряд 1 p n 1 n ñõî äèòñÿ ï ðè p 1, ðàñõî äèòñÿ ï ðè 0 p 1. Пример 4. Исследовать на сходимость ряды: а) n 1 n б) 2 , n 1 3n 2 3 n в) , n 1 n 1 n cos 2 2 е) . n 1 (n 2)(n 1) 1 n2 3 г) ln 2 , n 1 n 2 д) n 1 1 n 3 2 , 1 1 tg , n n Решение. а) В качестве вспомогательного ряда bn возьмём n 1 1 , сходимость которого доказана в примере n 1 (n 2)(n 3) 1 1 1 (а). Имеем a n , bn , 2 (n 3) (n 2)(n 3) числовой ряд 0 1 1 для любого n . 2 (n 3) (n 2)(n 3) Согласно первому признаку сравнения, сходимость ряда bn влечёт за n 1 собой сходимость нашего ряда n 1 1 n 3 2 . 1 . Имеем 3/ 2 n 1 n б) В качестве вспомогательного ряда возьмём ряд an 1 n b , , n n 3/ 2 3n 2 2 an n n 3/ 2 n2 1 1 lim lim 2 lim lim . n b n 3n 2 n 2 n 2 2 n n (3 2 ) 3 2 3 n n 4 an 1 0, , то ряды a n , bn ведут себя одинаково в n b n 1 n 1 3 n 1 3 смысле сходимости. Но ряд 3/ 2 сходится (p 1) , следовательно, n 1 n 2 сходится и наш ряд. Так как lim 1 . Имеем 2/3 n 1 n в) В качестве вспомогательного ряда возьмём an 3 1 n , bn 2 / 3 , n n 1 3 an n n2/3 n lim lim lim 1. n b n n n 1 n 1 n an 1 0, , то ряды a n и bn ведут себя одинаково в n b n 1 n 1 n 1 2 смысле сходимости. Ряд 2 / 3 расходится (p 1) , следовательно, n 1 n 3 1 наш ряд 2 / 3 расходится. n 1 n 1 1 г) Для сравнения возьмём ряд 2 . Так как это ряд вида p , n 1 n n 1 n где p 2 1 , то он сходится. Так как lim Применим предельный признак сравнения: 1 n2 3 ln 1 2 ln 2 n 2 n 2 lim lim . n n 1 1 n2 n2 При n 1 1 1 0 и величина ln 1 2 эквивалентна 2 . n 2 n 2 n 2 2 1 ln 1 2 n2 n 2 lim 2 1. Поэтому lim n n n 2 1 n2 5 Так как ряд n 1 1 сходится, то и данный ряд сходится. n2 1 эквивалентна n 1 1 1 . Поэтому для сравнения возьмём ряд . Этот ряд вида p , n 1 n n 1 n n n 3 1 где p 1. Следовательно, ряд сходится. n 1 n n 2 д) При n бесконечно малая величина tg Применим предельный признак сравнения: 1 1 1 1 1 1 tg tg tg n n lim n n lim n lim n 1. lim n n 1 n n 1 1 1 1 n n n n n n 1 Так как ряд сходится, то и данный ряд сходится. n 1 n n е) В качестве вспомогательного ряда возьмём ряд 1 . n 1 (n 2)(n 1) 1 Сравним его со сходящимся рядом n 1 сравнения. 1 по предельному признаку n2 1 n2 1 , а ряд 2 сходится, то и ряд Поскольку lim n (n 2)(n 1) 1 n 1 n 1 сходящийся. n 1 (n 2)(n 1) 1 2 n cos n 1 2 cos 2 1, Так как то . 2 (n 2)(n 1) 1 (n 2)(n 1) 1 Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд сходится. Теорема 3. Если изменить конечное число членов ряда, то это не скажется на сходимости (расходимости) ряда. Отсюда следует, что теорема 1 справедлива и в том случае, если неравенство 0 a n b n выполняется начиная с некоторого номера n. 6 Теорема 4 (признак сходимости Даламбера). Если члены a числового ряда (1) положительны и существует предел q lim n 1 , то: n a n 1) при q 1 ряд (1) сходится; 2) при q 1 ряд (1) расходится. n2 Пример 5. Исследовать на сходимость числовые ряды: а) n , n 1 4 n n 1 8 7 б) , в) 2n 1 . n 1 n! n 1 2 n2 (n 1) 2 Решение. а) Имеем a n n , a n 1 , 4 4n 1 2 a n 1 (n 1) 2 4n 1 n 1 1 q lim lim 2 n 1 lim . n a n n n 4 4 n 4 n Так как q 1 1, то согласно признаку Даламбера ряд сходится. 4 8n 8n 1 б) В данном случае a n , a n 1 , n! n 1! a n 1 8n 1 n! n! n! q lim lim 8lim 8lim n a n (n 1)! 8n n (n 1)! n n!(n 1) n 1 80 0. n n 1 8lim Так как q 0 1, то ряд сходится. 7 n 1 7 n 11 7 n 2 в) Имеем a n 2n 1 , a n 1 2(n 1)1 2n 3 , 2 2 2 a n 1 7 n 2 22n 1 7 7 q lim lim 2n 3 n 1 2 . n a n 2 7 2 4 n 7 q 7 1, следовательно, ряд расходится. 4 Теорема 5 (радикальный признак Коши). Если члены числового ряда (1) неотрицательны и существует предел q lim n a n , то: n 1) при q < 1 ряд сходится; 2) при q > 1 ряд расходится. Пример 6. Исследовать 3n 4 а) n 1 4n 3 2n 3 на 2n 1 б) , n 1 n 1 2n 1 в) n 1 2n 2 n , сходимость 3n 4 Решение. а) Имеем a n 4n 3 3n 4 q lim n a n lim n n n 4n 3 4 3 n lim n 3 4 n 2 2n 3 числовые n ряды: 2 . 2n 3 , 3n 4 lim n 4n 3 2n 3 n 3 n 2 9 3 . 4 16 Так как q = 9/16 < 1, то согласно радикальному признаку Коши ряд сходится. 2n 1 б) Имеем a n , n 1 n 2n 1 2n 1 q lim n a n lim n lim 2. n n n n 1 n 1 n Этот ряд расходится, так как q = 2 > 1. n2 2n 1 в) В этом случае a n , 2n 2 8 2n 1 q lim n a n lim n n n 2n 2 n2 2n 1 lim n 2n 2 n n 3 3 lim 1 lim 1 n 2n 2 n 2n 2 lime n 3n 2n 2 e Так как q 3 2 1 e e 1 e e 2n 2 3 n 3 2n 2 . 1 , то этот ряд сходится. Теорема 6 (интегральный признак Коши). Пусть функция f(x) определена на [1; + ) и является невозрастающей неотрицательной функцией. Пусть f (n) a n для любого n. Тогда числовой ряд (1) и несобственный интеграл f (x)dx сходятся или расходятся 1 одновременно. Пример 7. Исследовать на сходимость числовые ряды: 1 а) , n 2 n ln n 1 . 2 n 2 n ln n б) 1 . Эта x ln x функция определена на [2; +), положительна и монотонно убывает в 1 этом промежутке. Более того, при n > 2 f (n) an . n ln n 1 Следовательно, согласно теореме 6, ряд и несобственный n 2 n ln n dx интеграл ведут себя одинаково в смысле сходимости. 2 x ln x Решение. а) Введём в расcмотрение функцию f (x) Исследуем интеграл на сходимость: b b dx dx d ln x b lim lim lim ln(ln x) 2 b x ln x b b 2 x ln x 2 2 ln x 9 lim (ln ln b ln ln 2) . b Видим, что несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и наш ряд. 1 , определённую на [2; + ). x ln 2 x 1 an . Она монотонно убывает и положительна на [2; +) и f (n) n ln 2 n 1 Выполнены все требования теоремы 6, поэтому ряд и 2 n 2 n ln n б) Рассмотрим функцию f (x) несобственный интеграл f (x)dx ведут себя одинаково в смысле 2 сходимости. Имеем b b 1 dx dx d(ln x) f (x)dx lim lim lim 2 2 2 b b b x ln x x ln x ln x 2 2 2 2 ln x 2 b 1 1 1 . lim b ln b ln 2 ln 2 Видим, что несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и наш ряд. 3. Знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные. Знакочередующимся рядом называется числовой ряд вида a1 a 2 a 3 a 4 (1) n 1 a n где a n 0 . (1) n1 a n , n 1 (3) Теорема 7 (признак Лейбница). Пусть дан знакочередующийся (a n a n 1 ); ряд (3) и пусть выполнены два условия: 1) a1 a 2 a 3 2) lim a n 0 . Тогда ряд (3) сходится. Более того, если rn – n-й остаток n ряда, то при выполнении условий 1), 2) для знакочередующегося ряда rn a n 1 . 10 (1) n 1 Пример 8. Исследовать на сходимость числовой ряд . n 1 n Решение. Данный ряд является знакочередующимся. Обозначим 1 an . Проверим выполнение условий 1), 2) теоремы 7. n 1 1 1 a n 1 , что означает, что первое 1) a n 1 , an n 1 n n 1 условие выполнено. 1 0 – выполнено и второе условие. 2) lim a n lim n n n Следовательно, данный ряд сходится. Числовой ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов: a1 a 2 an an . n 1 (4) Если же ряд (1) сходится, а ряд (4) расходится, то говорят, что ряд (1) сходится условно. Теорема 8. Если ряд (1) абсолютно сходится, то он сходится. 4. Функциональные ряды Функциональным рядом называется выражение вида u1 (x) u 2 (x) u n (x) u n (x) , n 1 (5) членами которого являются функции u n (x) с общей областью определения. Совокупность всех значений переменного x, для которых сходится функциональный ряд (5), называется областью сходимости этого ряда. Функция n S(x) limSn (x) lim u k (x) , n n k 1 определённая в области сходимости ряда (5), называется суммой функционального ряда (5). Абсолютная сходимость функционального ряда определяется так же, как и абсолютная сходимость числового ряда. Область абсолютной сходимости функционального ряда можно находить с помощью признаков Даламбера и Коши. Пример 9. Найти область абсолютной сходимости функционального ряда 11 (1)n 1 , x 3. n 2 (x 3) Решение. Для данного ряда 1 , x 3. u n (x) n n n 2 (x 3) Найдём предел 1 1 1 q(x) lim n u n (x) lim n = lim . n n n n n n 2 x 3 n 2 x 3 n 2 (x 3) n 1 n n (мы здесь воспользовались тем, что lim n n 1). Согласно радикальному n 1 1 . Решением 2 x 3 последнего неравенства является (13/4; +). Учитывая область определения членов функционального ряда, получаем, что областью абсолютной сходимости является пересечение множеств (13/4; + ) и (3; + ), т.е. (13/4; + ). n 1 1 13 При x получим числовой ряд . Согласно признаку n 1 4 n Лейбница, он сходится. Таким образом, областью сходимости 13 исходного ряда является ; . 4 Говорят, что функциональный ряд (5) сходится в области (D) равномерно к функции S(x), если для любого 0 существует такое n 0 , что для всех n n 0 и для любого x (D) справедливо неравенство Sn (x) S(x) (или rn (x) ). признаку Коши, ряд сходится, если q(x) 1, т.е. Теорема 9 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости). Пусть функциональный ряд (5) сходится в области (D) и пусть существует такой сходящийся числовой ряд a n , a n 0 , что n 1 u n (x) a n для любого n и любого x (D) . Тогда ряд (5) сходится равномерно и абсолютно в (D). Ряд a n в теореме 9 называется мажорирующим рядом для n 1 функционального ряда (5). 12 5. Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида C0 C1 (x x 0 ) C2 (x x 0 ) 2 Cn (x x 0 ) n Cn (x x 0 ) n . (6) Числа C0 , C1 , C 2 , называются коэффициентами ряда. Интервалом сходимости ряда (6) является интервал (x 0 R; x 0 R) . Число R, называемое радиусом сходимости, может быть найдено с помощью формулы 1 C R lim или R lim n . n n n C Cn n 1 При этом R может равняться 0 или + . Степенной ряд может сходиться, может расходиться на концах интервала сходимости. Таким образом, областью сходимости степенного ряда (6) могут быть интервал, полуинтервал или замкнутый промежуток с центром в точке x0 . Если степенной ряд (6) в интервале (x 0 R; x 0 R) сходится к функции f(x), то будем писать n Cn (x x 0 ) f (x) . n 0 Степенной ряд сходится в любом замкнутом промежутке, принадлежащем интервалу сходимости, абсолютно и равномерно. В интервале сходимости степенного ряда его можно дифференцировать почленно сколько угодно раз, т.е. n n 1 Cn (x x 0 ) nCn (x x 0 ) , C (x x ) n(n 1)C (x x ) , C (x x ) n(n 1)(n 2) (n k 1)C (x x ) n 0 n 0 n 0 n 0 n n 0 n 2 n 0 (k ) n 0 n n 0 n n 0 0 n k , при этом интервал сходимости степенного ряда, получающегося из исходного путём почленного дифференцирования, остаётся тем же. Степенной ряд допускает и почленное интегрирование в интервале сходимости, т.е. если (x 0 R; x 0 R) – интервал сходимости степенного ряда (6) и x 0 R a b x 0 R , то 13 b b n 0 a n Cn (x x 0 ) dx Cn (x x 0 ) dx . a n n 0 Пример 10. Найти область сходимости степенного ряда: (2x 1) n а) ; n 1 n 3n (1) n x 2n 1 . б) n n 1 (n 2) 3 Решение. а) Ряд является степенным (так как 1 (2x 1) n 2n (x ) n ), поэтому он сходится абсолютно в интервале 2 (2x 1) n 1 (2x 1) n сходимости. Обозначим u n , тогда u n 1 . n 1 n (n 1) 3 n 3 Согласно признаку Даламбера, для абсолютной сходимости ряда u n n 1 достаточно потребовать, чтобы lim n u n 1 u 1 (при lim n 1 1 ряд будет un un расходиться). Имеем 2x 1 2x 1 u n 1 (2x 1)n 1 n 3n n . lim lim lim n u n (n 1)3n 1 (2x 1) n n n 1 3 3 n 2x 1 1 и расходится при 2x 1 1. Решим 3 3 первое неравенство: 2x 1 3 ; –3 < 2x – 1 < 3; –2 < 2x < 4; –1 < x < 2. Таким образом, (–1; 2) является интервалом сходимости ряда. Исследуем поведение ряда на концах интервала. ( 3) n ( 1) n При x = –1 получаем числовой ряд . Это n n 1 n 3 n 1 n знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы 1 1 1 an a n 1 , lim a n lim 0 . Поэтому ряд Лейбница: n n n n n 1 ( 1) n сходится, и точка x = –1 принадлежит области сходимости. n 1 n 1 3n При x = 2 получаем числовой ряд . Это гармонический n n 1 n 3 n 1 n ряд, и он расходится. Следовательно, точка x = 2 не принадлежит области сходимости степенного ряда. Наш ряд сходится при 14 (2x 1) n Итак, областью сходимости степенного ряда n 1 n 3n полуинтервал [–1; 2). (1) n 2n 1 x б) Ряд является степенным. Обозначим n n 1 (n 2)3 (1) n x 2n 1 (1) n 1 x 2(n 1)1 (1)n 1 x 2n 3 un , тогда u n 1 . (n 2)3n (n 2 1)3n 1 (n 3)3n 1 Имеем u n 1 x 2n 3 (n 2)3n x2 n 2 x2 lim lim 2n 1 lim . n 1 n u n x n n 3 (n 3)3 3 3 n является x2 1 или x ( 3; 3) . Исследуем ряд на Ряд будет сходиться при 3 сходимость на концах интервала, т.е. при x 3 . ( 1) n ( 3) 2n 1 ( 1) n 1 При x 3 получаем числовой ряд , 3 n 0 n 0 n 2 (n 2)3n являющийся знакочередующимся. Он сходится по признаку Лейбница, т.к. абсолютные величины его членов монотонно убывают и 3 lim a n lim 0 . Следовательно, точка x 3 принадлежит n n n 2 области сходимости. (1) n При x 3 получаем числовой ряд 3 и он тоже сходится по n2 признаку Лейбница. Таким образом, областью сходимости нашего степенного ряда является отрезок [ 3; 3] . 6. Ряды Тейлора Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в этой точке производные любого порядка (бесконечно дифференцируема). Рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки x0 называется степенной ряд f (n) (x ) 0 (x x 0 ) n n 0 n! (при этом полагаем f (0) (x) f (x) ). 15 Теорема 10. Если степенной ряд интервале (x 0 R; x 0 R) сходится Cn (x x 0 ) n n 0 к функции в некотором f(x) (т.е. f (x) Cn (x x 0 ) n ), то этот ряд является рядом Тейлора этой n 0 f (n) (x 0 ) функции, т.е. Cn . Тогда получим n! f (n) (x ) 0 (7) f (x) (x x 0 ) n . n 0 n! Не для всякой бесконечно дифференцируемой функции f(x) ряд Тейлора этой функции сходится к f(x). Достаточное условие для этого даёт следующая теорема. Теорема 11. Если f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 и существует такая постоянная величина M , что для любых n N и x из этой окрестности f (n ) (x) M , то f(x) разлагается в ряд Тейлора: f (n) (x ) 0 f (x) (x x 0 ) n . n 0 n! Известны следующие разложения некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (в скобках указана область сходимости ряда): ( 1) 2 ( 1)( 2) 3 (1 x) 1 x x x 2! 3! ( 1)( 2) ( n 1) n x , ( x 1) ; n! 1 1 x x 2 x3 xn , ( x 1) ; 1 x 1 1 x x 2 x 3 (1) n x n , ( x 1) ; 1 x x x 2 x3 xn x e 1 , ( x ) ; 1! 2! 3! n! 2n x2 x4 x6 n x cos x 1 (1) , ( x ) ; 2! 4! 6! (2n)! x3 x5 x7 x 2n 1 n sin x x (1) , ( x ) ; 3! 5! 7! (2n 1)! 16 n x 2 x3 x 4 n 1 x ln (1 x) x (1) 2 3 4 n 3 5 7 2n 1 x x x x arctgx x (1) n 3 5 7 2n 1 , ( x 1) ; , ( x 1) . Пример 11. Разложить функцию f (x) ex sin x в ряд Тейлора по степеням x. Решение. 1 способ. Разложить функцию по степеням x означает, что её нужно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0= 0. Для этого найдём производные заданной функции и их значения в точке x0 = 0. Займёмся этим. f (x) ex sin x , f (0) 0 ; f (x) e x (sin x cos x) e x 2 sin(x ), f (0) 2 sin ; 4 4 f (x) e x 2(sin(x ) cos(x )) e x ( 2) 2 sin(x ) , 4 4 2 2 f (0) ( 2) 2 sin ; 4 3 3 f (x) e x ( 2)3 sin(x ) , f (0) ( 2) 3 sin ; 4 4 . . . . . . . . . n n f (n ) (x) e x ( 2) n sin(x ) ; f (n ) (0) ( 2) n sin . 4 4 (n) Найденные значения f (0) подставим в (7), это даст нам требуемое разложение f(x) по степеням x: n n ( 2) sin 4 xn . f (x) n 0 n! 2 способ. Воспользовавшись записанными выше разложениями функций ex и sinx, имеем x x 2 x3 xn x e sin x 1 n! 1! 2! 3! x3 x5 x7 x 3! 5! 7! x 2k 1 (1) (2k 1)! k 17 x2 1 1 3 1 1 1 5 1 1 1 6 x x x x 5! 3!2 5! 1! 2! 3! 5! 2! 3! 4! Замечание. В последнем примере мы поставили знак равенства между самой функцией f (x) ex sin x и её рядом Тейлора. Вообще говоря, это требует обоснования. Сформулируем ещё одно достаточное условие для сходимости ряда Тейлора функции f(x) к самой функции f(x) (более сильное, чем теорема 11). Теорема 12. Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке [x 0 ; x 0 ] и бесконечно дифференцируема на (x 0 ; x 0 ) . Обозначим M n sup x(x 0 ; x 0 ) f (n) (x) . Если M n n (8) lim 0, n n! то ряд Тейлора функции f(x) на промежутке x 0 ;x 0 равномерно сходится к f(x): f (n) (x) f (x) (x x 0 ) n . n 0 n! n 1 M (При этом R n (x) n 1 ). (9) (n 1)! Покажем, что для функции f (x) ex sin x из примера 11 выполняется условие (8) при любом конечном . Действительно, f (n ) (x) e ( 2) n , отсюда M n e ( 2) n . Несложно доказывается, что e ( 2) n n ( 2) n lim e lim 0, n n n! n! откуда и следует справедливость вышеупомянутого равенства. Пример 12. Разложить функцию ln(3 4x) в ряд Тейлора по степеням (x 2) , используя разложения основных элементарных функций. Решение. Выражение, стоящее под знаком логарифма, преобразуем таким образом, чтобы выделить выражение (x 2) : (3 4x) [3 4(x 2 2)] [3 4(x 2) 8] [11 4(x 2)] 4 11[1 (x 2)] . 11 Тогда 18 ln(3 4x) ln[11(1 4 4 (x 2))] ln11 ln[1 (x 2)] 11 11 ln11 ln(1 u) , 4 где u (x 2) . Теперь воспользуемся разложением в ряд Тейлора 11 для функции ln(1 u) при u 1: (1)n 1 4 ln(3 4x) ln11 (x 2) n 1 n 11 n n 4 11 (x 2) , x2 . ln11 n 1 11 4 n n 19 3 Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости ; . 4 4 ( 1) n 19 При x получаем знакочередующийся ряд ln11 , n 1 4 n 3 сходящийся согласно признаку Лейбница. При x получаем 4 гармонический ряд, который, как известно, расходится. Таким образом, 19 3 полученный степенной ряд сходится на промежутке ; . 4 4 Пример 13. Разложить функцию f (x) (x tgx)cos x в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 0 , используя разложение основных элементарных функций. Решение. Заданную функцию преобразуем следующим образом: (x tgx)cos x xcos x sin x . Воспользовавшись известными разложениями в ряд Тейлора функций cos x и sin x , получим 2n x2 x4 x6 xn n x x cos x sin x x 1 (1) 2! 4! 6! n! (2n)! 3x 3 x 3 5x 5 x 5 x3 x5 x7 x 2n 1 n x (1) 3! 3! 5! 5! 3! 5! 7! (2n 1)! 2n 1 2n 1 x 2n 1 n (1) x (1) (2n 1)! (2n 1)! n 19 2x 3 4x 5 6x 7 3! 5! 7! 2n x 2n 1 (2n 1)! Так как ряды Тейлора для cosx и sinx сходятся при любых значениях x, то и полученный ряд функции f(x) будет сходиться для любых x. (1)n 1 в ряд Тейлора x 2 3x 2 x 0 1 , используя разложение основных Пример 14. Разложить функцию f (x) в окрестности точки элементарных функций. Решение. Заданную функцию разложим на сумму простейших дробей: 1 1 1 1 . x 2 3x 2 (x 1)(x 2) x 2 x 1 Полученные слагаемые можно представить в виде ï î ëüçóåì ñÿ ðàçëî æåí èåì 1 1 1 1 = f1 (x) 1 x 2 x 1 3 3 1 x 1 ô óí êöèè 1 x 3 2 3 (x 1) n 1 x 1 x 1 x 1 1 , n n 1 0 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 x 1 1 x 2 (x 1) 2 1 x 1 2 2 3 (x 1) n 1 x 1 x 1 x 1 1 . n n 1 0 2 2 2 2 2 Отсюда (x 1) n (x 1) n f (x) f1 (x) f 2 (x) n 1 n 0 n 0 3 2n 1 1 1 n 1 n 1 (x 1)n . n 0 2 3 Осталось выяснить интервал сходимости последнего ряда. Он является пересечением областей сходимости рядов Тейлора для функций f1 (x) и x 1 x 1 f 2 (x) , т.е. множеств, задаваемых неравенствами 1 и 1. 3 2 Это пересечение даёт 3 x 1. f 2 (x) 20 Пример 15. Вычислить e0,1 с точностью до 0,001. Решение. Для вычисления приближённого значения функции f (x) ex воспользуемся её разложением в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 0 , при этом возьмём конечное число членов ряда, а возникающую при этом погрешность оценим с помощью остаточного члена ряда. Имеем 0,12 0,13 0,1n 0,1 (10) e 1 0,1 2! 3! n! Определим сколько членов ряда (10) нужно взять, чтобы обеспечить требуемую точность. Для этой цели воспользуемся формулой (9): e0,1 0,1n 1 R n (x) , 0 x 0,1 . (n 1)! Учитывая, что e0,1 2 , получим 2 0,1n 1 R n (x) . (n 1)! Потребуем, чтобы дробь в правой части была меньше 0,001 (тогда и погрешность будет меньше ): 2 0,1n 1 1 , (n 1)! 1000 или (n 1)! 2 102n . Для выполнения последнего неравенства достаточно взять n = 2: (2 1)! 6, 2 1022 2 . Следовательно, 0,12 0,1 e 1 0,1 1,105 . 2! Пример 16. Вычислить 630 с точностью 0,0001 . Решение. В данном случае мы воспользуемся рядом Тейлора для функции (1 x) при 1/ 2 . Предварительно выполним следующие преобразования: 1 5 1 12 630 625 5 625(1 ) 25(1 ) 25(1 0,008) 2 . 625 125 Так как 21 1 2 x x 2 x 3 5x 4 (1 x) 1 2 8 16 128 , то 0,008 (0,008) 2 (0,008)3 1 12 25(1 ) 25 1 125 2 8 16 = 25 + 0,1 – 0,002 + 0,0000008 – Полученный ряд является знакочередующимся. Поэтому, ограничившись первыми тремя членами последнего ряда, мы достигнем погрешности, по абсолютной величине не превышающей четвёртого члена прогрессии, что обеспечивает требуемую точность. Итак, 630 25 0,1 0,0002 25,0998 . Пример 17. Вычислить значение cos100 с точностью 0,0001. Решение. Переведём градусную меру в радианную 10 : воспользуемся рядом Тейлора для cosx при x 0 0 и x 180 18 и 1 1 cos10 cos 1 18 18 2! 18 4! 2 4 0 Полученный числовой ряд является знакочередующимся и удовлетворяет условиям Лейбница. Поэтому для достижения нужной точности можно остановиться на том члене, который по абсолютной величине меньше . В данном случае это третий член: 1 1 1 1 0,0001 . 18 4! 5 4! 15000 4 4 Таким образом, 1 1 cos10 1 1 (0,1745) 2 0,9848 . 2 18 2! 2 0 22 0,1 Пример 18. Вычислить приближённо интеграл 0 ln(1 x) dx , x используя известные разложения элементарных функций, с точностью до 0,001. Решение. Имеем 1 1 x 2 x3 x 4 ln(1 x) x x x 2 3 4 1 x x 2 x3 ln(1 x) 1 x 2 3 4 , x 1; x 1. , Ряд сходится в интервале интегрирования (0; 0,1) (1;1) . Поэтому 0,1 ln(1 x) x x2 x3 dx 1 x 2 3 4 0 0 x 2 x3 x 4 dx x 4 9 16 0,1 0,1 0 0,12 0,13 0,14 0,1 4 9 16 Получим знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница. Поэтому заданную точность 103 можно обеспечить, взяв три члена полученного ряда. Следовательно, ln(1 x) 0,12 0,13 dx 0,1 0,098 . x 4 16 0 0,1 Пример 19. Найти первые четыре ненулевые члена разложения решения дифференциального уравнения в степенной ряд y 2xy 4y 0, y(0) 0 , y(0) 1. Решение. Будем предполагать, что неизвестная функция, являющаяся решением дифференциального уравнения, представима степенным рядом y(0) y(0) 2 y(0) 3 y(x) y(0) x x x 1! 2! 3! 23 y (n) (0) n x n! , (11) коэффициенты которого определяются путём последовательного дифференцирования исходного уравнения и y 2xy 4y подстановкой в него x 0, y(0), y(0) и найденных позже значений y(0), y(0), . Итак, имеем: y(0) 0, y(0) 1, y(x) 2xy 4y , y(0) 2 0(1) 4 0 0 ; y(x) (2xy 4y) 2y 2xy 4y 2xy 6y , y(0) 6 ; yIV (x) (2xy 6y) 2y 2xy 6y 2xy 8y , yV (x) (2xy 8y) 2xyIV 10y , yIV (0) 0 ; yV (0) 60 ; yVI (x) (2xyIV 10y) 2xyV 12yIV , yVI (0) 0 ; yVII (x) (2xyV 12yIV ) 2xyVI 14yV , yVII (0) 840 . Осталось подставить найденные значения в ряд (11): 6 60 840 7 y(x) x x 3 x 5 x , 3! 5! 7! 5 7 x x y(x) x x 3 . 2 6 7. Ряды Фурье Система непрерывных на отрезке [a; b] функций 1 (x), 2 (x), 3 (x), , n (x), называется ортонормированной, если b 0 ï ðè m n, 1 ï ðè m n. m (x) n (x)dx a Примером ортонормированных систем являются: 1 cos x sin x cos 2x sin 2x cos nx sin nx 1) , , , , , . . ., , ,... 2 на отрезке [– ; ]; cos nx sin nx 1 cos x sin x cos 2x sin 2x 2) , , , , , ... , , , ... T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 T на отрезке [a; b ]; здесь T = b – a, 2 / T ; 3) система полиномов Лежандра 24 (1)n 2n 1 d n P0 (x) 1 , Pn (x) n n (1 x 2 ) n , n = 1, 2, 3, ... 2 2 dx на отрезке [–1; 1 ]. Имеется множество других примеров ортонормированных систем функций. Ортонормированные системы функций играют роль ортонормированного базиса в некотором пространстве Гильберта функций, определённых на промежутке [a, b ]. Любой функции f(x) из этого пространства ставится в соответствие ряд f (x) ~ Ck k (x) , (12) k 1 где Ck находится по формуле b Ck f (x)k (x) dx , k = 0, 1, 2, .... (13) a При этом коэффициенты Ck, вычисляемые по формулам (13), называются коэффициентами Фурье функции f(x), а ряд (12) – рядом Фурье функции f(x). Важную роль играют полные ортонормированные системы функций. Говорят, что функция f(x), определённая на промежутке [a; b], является функцией с интегрируемым квадратом, если 2 f(x) и f (x) интегрируемы на [a; b] (интеграл может быть и несобственным). Теорема 13. Пусть k (x)k 0 – ортонормированная система функций на промежутке [a; b]. Следующие утверждения равносильны: 1) для любой функции f(x) с интегрируемым квадратом справедливо равенство b f (x) 2 dx C 2k , k 0 a где Ck – коэффициенты Фурье по системе k (x)k 0 ; 2) для любой функции f(x) с интегрируемым квадратом b 2 lim f (x) C k k (x) dx 0 n a n k 0 (при выполнении этого равенства говорят, что ряд Фурье функции f(x) сходится к f(x) в среднем); 3) если f(x) – функция с интегрируемым квадратом и для любого k b f (x)k (x)dx 0 , то f (x) 0 . a Ортонормированная система функций, обладающая любым из условий 1), 2), 3) (а следовательно, и двумя другими), называется полной. 25 Приведённые выше примеры ортонормированных систем функций обладают свойством полноты. Если k (x)k 0 – полная ортонормированная система функций, то для любой функции с интегрируемым квадратом на [a, b] знак «~» в формуле (12) можно в некотором смысле заменить на «=» (фразу «в некотором смысле» проясняет пункт 2) в формулировке теоремы 13). Будем говорить, что функции f(x) и g(x) с интегрируемым квадратом на [a, b] равны в смысле среднеквадратичного отклонения, если b 2 (f (x) g(x)) dx 0 , a и будем при этом писать f(x) =c.o. g(x). Теорема 14. Пусть k (x)k 0 – ортонормированная система функций на [a; b] и пусть f(x) и g(x) – функции с интегрируемым квадратом на [a;b]. Тогда f(x) = c.o. g(x) на [a; b] в том и только в том случае, если коэффициенты Фурье функций f(x) и g(x) совпадают. Чаще других применяют тригонометрическую ортонормированную систему cos nx sin nx 1 cos x sin x cos 2x sin 2x , , , , , ... , , , ... T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 T на [a; b], T = b – a, 2 / T . Ряд Фурье по системе этих функций обычно называют тригонометрическим рядом Фурье: a f (x) ~ 0 (a n cos nx b n sin nx) , 2 n 1 2b a n f (x)cos nxdx , n = 0, 1, 2, ... , Ta 2b n = 1, 2, 3, ... bn f (x)sin nxdx , Ta Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a; b], если этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов (a; b1 ), (b1 ; b 2 ), (b 2 ; b3 ), ,(b n ; b) , в каждом из которых f(x) монотонна. Аналогично определяется понятие кусочно-непрерывной функции при этом слово «монотонность» заменяется на «непрерывность». Теорема 15 (Дирихле). Если функция f(x), определённая на отрезке [a;b], является на нём кусочно-непрерывной, кусочномонотонной и ограниченной, то её тригонометрический ряд сходится во всех точках отрезка [a;b] к некоторой функции S(x). Кроме того: 1) если x – точка непрерывности функции f(x), то S(x) = f(x); 26 2) если x – точка разрыва (устранимая или первого рода) функции f(x), то f (x 0) f (x 0) S(x) ; 2 1 3) S(a) S(b) (f (a 0) f (b 0) . 2 Пример 20. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию x 2, 2 x 0, f (x) 0 x 2. 3, Решение. Заданная функция кусочно-непрерывна, кусочномонотонна и ограничена на [–2, 2], следовательно, её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье. Найдём коэффициенты Фурье. Имеем T = 4, 2 / T / 2 , 2 12 1 0 a 0 f (x)dx (x 2)dx 3dx 4 , 2 2 2 2 0 2 12 n 1 0 n n a n f (x)cos xdx (x 2)cos xdx 3cos xdx 2 2 2 2 2 2 2 0 2 (1 (1) n ) , n = 1, 2, 3, ... , 2 (n) 2 12 n 10 n n bn f (x)sin xdx (x 2)sin xdx 3sin xdx 2 2 2 2 2 2 2 0 1 (1 (1) n ) . n Таким образом, 2 n 1 n n n f (x) ~ 2 (1 ( 1) )cos x (1 ( 1) )sin x . 2 n 1 (n) 2 n 2 Причём f (x), åñëè x {2; 0; 2}, S(x) 5/ 2, åñëè x 0, 3/ 2, åñëè x 2 èëè x 2. Пример 21. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию f (x) x , –1 < x < 2. 27 Решение. Данная функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Ввиду непрерывности f(x) на (–1; 2) a f (x)~ 0 (a n cos nx b n sin nx) . 2 n 1 2 2 Имеем T = 3, . Найдём коэффициенты an и bn: T 3 2 2 0 2 22 20 x2 2 5 5 2 x a 0 f (x)dx ( x)dx xdx . 3 1 3 1 0 3 2 1 2 0 3 2 3 2 22 20 a n f (x)cos nxdx ( x)cos nxdx x cos nxdx 3 1 3 1 0 1 2 4 3 2 3 4 3 , sin n 2sin n cos n cos n n 3 3 2n 3 2n 3 n n = 1, 2, 3, ... , 2 22 20 b n f (x)sin xdx ( x)sin nxdx x sin nxdx 3 1 3 1 0 1 4n 2n 3 2n 4n 2cos cos sin sin . n 3 3 2n 3 43 Таким образом, 5 2n 2n –1 < x < 2, f x ~ a n cos bn sin , 6 n 1 3 3 где an, bn, n 1 найдены выше. Если функция f(x), определённая на интервале ( ; ) и удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле, является чётной, то в её разложении в ряд Фурье будут участвовать лишь косинусы: a n f (x) ~ 0 a n cos x , 2 n 1 т.е. все b k окажутся равными нулю. Если же f(x) является нечётной функцией на ( ; ) , то её ряд Фурье будет содержать лишь синусы: n f (x) ~ b n sin x. n 1 28 y 0 x Если ставится задача разложить функцию f(x), определённую на интервале (0; ) в ряд по косинусам, то её доопределяют на интервале ( ; 0) чётным образом и разлагают новую функцию f1(x) в тригонометрический ряд Фурье на интервале ( ; ) ; этот ряд Фурье будет содержать лишь косинусы. Ввиду того, что f(x) и f1(x) совпадают на (0; ) , при этом получается разложение функции f(x) в ряд по косинусам a n f (x) ~ 0 a n cos x , 2 n 1 где 2 n a n f (x)cos xdx . 0 Аналогично, если требуется разложить функцию f(x), определённую на (0; ) в ряд по синусам, то f(x) y продолжают на ( ; 0) нечётным образом и разлагают новую (нечётную) функцию f2(x) в тригонометрический ряд Фурье на интервале ( ; ) ; этот ряд будет содержать лишь синусы. В результате x 0 получим разложение f(x) в ряд по синусам: n f (x) ~ b n sin x, n 1 где 2 n bn f (x)sin xdx . 0 x , определённую на 4 2 интервале (0; ) , в ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам. Пример 22. Разложить функцию f (x) 29 2 x Решение. а) a 0 dx 0 , 0 4 2 2 x 1 (1) n . a n cos nxdx 2 0 4 2 n Запишем разложение f(x) в ряд по косинусам: 1 ( 1) n cos(2n 1)x f (x) ~ cos nx 2 , 0 < x < . 2 n 1 n 0 (2n 1) n 2 2 x (1) n 1 б) b n sin nxdx . 0 4 2 2n Отсюда получаем разложение f(x) в ряд Фурье по синусам: ( 1) n 1 sin 2nx , 0 < x < . f (x) ~ sin nx n 1 n 1 2n 2n y 2 1 0 1 2 3 x Пример 23. Разложить на интервале (0; 3) в тригонометрический ряд Фурье только по косинусам и только по синусам функцию f(x), заданную графиком. Решение. Найдём аналитическое выражение заданной функции, а затем поступим так же, как в предыдущем примере. 0 x 1, 0, f (x) 2(x 1), 1 x 2, 2, 2 x 3. Находим коэффициенты an и bn: 3 23 22 a 0 f (x)dx 2 x 1 dx 2dx 2 , 30 31 2 3 23 n 2 2 n n a n f (x)cos xdx 2 x 1 cos xdx 2cos xdx 30 3 3 1 3 3 2 6 2n n n = 1, 2, 3, ... , 2 2 cos cos , n 3 3 3 23 n 2 2 n n bn f (x)sin xdx 2 x 1 sin xdx 2sin xdx 30 3 3 1 3 3 2 2 4 3 2n n ( 1) n 1 sin sin 3 . 3 n 3 3 n 30 Отсюда получаем разложение f(x) в ряд Фурье только по косинусам 6 2n n n f (x) 1 2 2 cos cos cos x , 0 < x < 3 n 1 n 3 3 3 и разложение f(x) в ряд Фурье только по синусам 2 4 3 2n n n n 1 f (x) sin sin ( 1) sin x, 0 < x < 3. n 1 3 n 3 3 3 Ещё одним важным примером ортонормированной системы функций является e2ix eix 1 eix e2ix , , , , , , T T T T T на отрезке [a;b]; здесь, как и прежде T = b – a, 2 / T . Любую функцию, удовлетворяющую условиям теореме Дирихле, можно разложить в ряд Фурье по этой системе (при этом справедлива теорема Дирихле): f (x) ~ Cn einx . n (14) Коэффициенты Фурье находятся по формуле 1b Cn f (x)einx dx . Ta Ряд (14) называется рядом Фурье в комплексной форме. При этом между Cn и коэффициентами Фурье an, bn функции f(x) ортонормированной системы cos nx, sin nxn0 существует следующая связь: a a ib n a ib n C0 0 , Cn n , C n n . 2 2 2 Пример 24. Разложить функцию f(x) = x на интервале (0; ) в ряд Фурье в комплексной форме. Решение. В нашем случае T = , = 2. Имеем C0 1 1 f (x)dx xdx / 2 , 0 0 1 1 i2nx 1 1 i2nx Cn f (x)e dx xe dx xd(e i2nx ) 0 0 2ni 0 31 i i2nx 2inx i i2n 1 2inx x e e dx e 0 e 0 0 2n 2n 2in 0 i i 2in 0 i i i . e e (1 1) 2n 2n 2n 2n 2n Таким образом, i 2inx f (x) ~ e . n 2 2n n 0 Задание 1 Для заданного ряда: а) найдите сумму первых 4-x членов ряда; б) докажите сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости; в) найдите сумму ряда. 1 1) , n 1 n(n 1) 1 2) , n 1 (n 1)(n 3) 1 3) , n 2 (n 1)n 1 4) , n 1 (n 2)(n 4) 1 5) , n 3 (n 2)(n 1) 1 6) , n 3 (n 2)(n 1) 1 7) , n 1 (2n 1)(2n 1) 1 8) , n 4 n(n 3) 1 9) , n 2 (n 1)(n 2) 1 10) , n 1 (2n 21)(2n 3) 1 , n 1 (n 1)(n 2) 1 , n 1 (n 2)(n 3) 1 , n 1 n(n 2) 1 , n 1 (n 2)(n 5) 1 , n 3 (n 2)n 1 , n 2 (n 1)(n 1) 1 , n 1 n(n 4) 1 , n 4 (n 2)(n 3) 1 , n 2 (n 1)(n 3) 1 , n 1 (2n 1)(2n 1) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 32 1 2n n , n 0 3 2 n 3n , n 0 4n 3 n , n 1 n(n 1)(n 3) 2n 1 , 2 2 n 2 n (n 1) 3 , n 1 (3n 1)(3n 2) 11) 12) 25) 26) 27) 1 , n 3 n(n 1)(n 2) 2 24) , n 4 (n 1)(n 2)(n 3) 2 28) , n 2 (n 1)n(n 1) 1 3n 29) n , n 0 5 8n 30) . 2 2 n 1 (2n 1) (2n 2) 23) Задание 2 Установите расходимость ряда, используя критерий Коши или необходимый признак сходимости ряда. n 1 1) , 12) 2 , n 1 n 3 n 1 n(n 2) n 2) cos , n 0 3 1 3) , n 3 (n 1)(n 2) 3n 13) , n 0 n n 14) sin , n 0 7 n2 15) 3 , n 1 n n 1 n 16) , n 1 n(n 1) 2n 17) , n 1 3n 1 n 4) , n 1 n(n 1)(n 2) n! 5) 2 , n 1 n 1 n 6) , n 1 3n 1 n 7) , n 1 (n 1)(n 2) n2 8) , 2 n 1 (2n 1) n 9) , n 1 100n 1 18) (1 (1)n ) , n 0 (n 1)! , n 1 n 1 3 19) n 1 20) , n 1 n 1 33 2 n 10) , n 1 n 1 11) n cos , n 12 n n 1 23) 2 , n 0 n 2 2 4n 21) , 2 n 0 (n 1) 22) 27) ln n , n 1 n 24) 28) 2 n! 25) n , n 1 3 n 26) , n 3 (n 12)(n 2) 2n 1 , n 0 2n 1 n , n 1 2n n n n 1 , n 1 n 2 n2 1 , 2 n 0 n 5n 2 n 100 . n 1 n(n 10) n 29) 30) Задание 3a Исследуйте сходимость ряда с помощью признаков сравнения. arctgn sin( / 3n ) 1) , 11) 3 , n 1 n 5 n 1 4n 2 arctg 2n 1 n2 2) ln 2 12) , , 3 2 n 1 n 1 n 9 n 3) , n4 2 ln((n 1) / n) , n 1 n2 4 3sin n , 3 n 1 n 1 3 n 3 2 5 4, n 1 2 n n 1 1 sin , n 1 n n 2 , n 2 n(n 1)(n 2) n 1 4) 5) 6) 7) 8) sin(n / 3) 13) , n15 2 cos n 7 5 , n 1 n n 2 cos 2 (n 1) , n 1 n4 7 2 sin 2 n , 5 6 n 1 n 1 3cos( n / 4) , n 1 5 n 1 3 tg 3 2 , n 1 n 1 n 1 14) 15) 16) 17) 18) 4 3 2n 1 34 8 9) 1 n 4 ln 1 3 n 2 1 2n 10) n , n 1 3 2 n 1 21) n 1 n 3 3 3n 1 5 2 8cos n 19) , n 1 3n 2 1 8 , 5 , 7 n 1 sin(3/ n ) 20) , 4 n 2 22) 2 sin (3 (1) n ) , n 1 n 4 n 23) , n 1 3 3 n 7 ln((n 1) /(n 3)) , n 1 arctgn cos( n / 4) 25) 3 , n 1 n n 26) 27) 28) 29) 30) , 2n 3 n2 , 4 n 1 n (2 cos( n / 3)) 2 , 2 n 1 n arctg 3 n 2 3 n n , 7 2 n 1 n 3n 5 1 . 3 n 1 n arctg n 3 n 1 24) arctg(n 3 / 3) Задание 3б Исследуйте сходимость ряда с помощью признаков сравнения. n 1 2n 1 1) , 10) 3 , n 1 n 2 n 1 n n 2 n n 4 , 3 n 1 n 2n 5 3 n 8 , n 1 4n 5 n3 n 2 , 2 n 1 n n 1 n2 , 2 3 n 1 n n n 1 n 2 3n 1 , 3 n 1 n n 4 2) 3) 4) 5) 6) 11) n 1 12) n 4 , n2 7 3 n2 , n n 6 n2 n 1 13) 4 , n 1 n 5n 1 4n 1 14) 3 , n 1 n n 5n 2 n2 n n 2 15) 3 , n 1 n 3n 4 n 1 35 n 3 7) 2 , n 1 n 2n 3 n2 n 5 8) 4 , 2 n 1 2n n n 2 2 n n9 9) 2 3 , n 1 n n n 5 n n n4 19) 3 , 2 n 1 n n 7 3 n 3 20) , n 1 2n 7 2n 3 21) , n 1 n 3 n 2 n 1 n n 4 22) 2 , n 1 2n 3n 1 2n 1 23) 3 , n 1 n n n 1 5n 2 n 2 24) 3 , n 1 6n n n2 1 3n 2 , n 1 n n 5n 1 n 4 n n 1 , 2 n 1 n 3n 7 n 3 n , 2 n 1 n 6 n2 n 1 , 3 2 n 1 n 3n 4n 2 n 4 n 3n 1 , 2 n 1 n n 5 5n 2 n 1 , 3 n 1 3n n 2 3 n 2 , 4 n 1 n n n 1 4n n 1 , 3 n 1 n n 3 n2 n n 2 . n 1 n 3 3 n 2 n 1 16) 17) 18) 25) 26) 27) 28) 29) 30) Задание 4 Исследуйте сходимость ряда с помощью признака Даламбера. 2 n n! (n!) 2 1) 2 , 9) , n 1 (n 1)! n 1 3n (n 2)! 2) n , 2 n 1 2 (n!) 5 n3 3) , n 1 (2n 1)! (n 1)! 4) n , 2 n 1 (2 1)(n!) 2 n n! 5) n 2 , n 2 n 5n n! 10) n , n 1 n (n 2)! , n 1 n n 1 (2n)! 12) , 2 n 1 (n!) (2n)! 13) n , 2 n 1 (5 1)(n!) 11) 36 32n 6) , n 1 (2n)! 6 2n 7) , n n 1 n! 3 (n 2 1) 32n 8) , 2 n 1 ((n 1)!) 7 2n (n 1)! 17) , n 1 (2n) n 3n (n!) 2 18) , n 1 (3n)! (n!) 2 19) 2 , n 1 3n n n n 2n 20) , n 1 (2n 1)! 2 n 1 n n 21) 2 , n 1 n n! (n 2)! 22) n , n 1 4 (2n)! n2 nn 23) , n 2 (n 1)! nn , n 2 (n 1)! (2n 1)! , 2 n n 1 (n!) 2 nn , n n 1 5 (n 1)! (3n 4) n n , n 1 (n 2)! (3n) n , n 1 (n 1)! 3n 1 (n 2 1) , n 1 (n 2)! 5n n! , n 1 (2n 1)! nn , n n 1 2 n! 53n , 2 n 1 ((2n)!) n! . n n 1 (n 1) (2n 1)! 14) 15) 16) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) Задание 5 Исследуйте сходимость ряда с помощью радикального признака Коши (в некоторых случаях следует воспользоваться тем, что lim n n 1). n n2 2n 1) , n 1 n 3 2n 1 1 2) , n 1 2n 1 n3 n 3) , n 1 2n 5 n4 1 1 7) 1 3 n , n 1 n 2 n 1 3n 1 8) 1 , n 1 n 2n 1 9) n sin n n 1 37 , 2n 3n 1 4) , n n 1 (2n) n2 10) , n n 1 (log 2) 3 n 3 1 11) , n n 1 (3n 1) 5) n 2 (arctg n 1 n ) , 3n n 2 1 n2 6) , n 1 3n 1 (sin( / 2n)) n 13) , n 1 n 4n 1 n 12) , n 1 n 2n n 2 22) n 2 2 , n 1 n 3n 2 14) 2n , n 1 n 5n 23) n 1 3n 2 n 1 15) 3 2 n 1 n 5 2 n 2 2n n n 2 2n 16) , n 1 n 3n n2 26) 2 n 1 n 1 3n 2 1 n 2 18) n 1 e n n 2n 19) n , n 1 3n 1 n2 n2 20) en , n 2 n 1 21) n(log5 2)n , n 1 n n2 25) n 1 2n 1 3 , n 2 n 1 n 17) , 2 n 1 n 2 n 1 24) (n 1) , n 1 2n 3 , n2 n 2n 2 1 , n 3 1 , , 27) en 1 2 n , n 1 28) n arctg , n 1 3n n n2 n 29) 5n 2 , n 1 n 1 n3 30) n 3 n 2 n 2 1 . Задание 6 Исследуйте сходимость ряда с помощью интегрального признака Коши. 3n 2 1 1) , 4) , 2 n 1 4n n 1 (n 2)ln(n 2) 38 1 , n 1 n ln 2n ln(ln 2n) 1 3) , 2 n 1 (n 2) 1 2) 7) n 1 n e n2 , arctgn , 2 n 1 1 n 1 9) , n 2 n ln n 1 10) 2 , n 1 n 4n 13 1 11) 2 , n 1 n 2n 3 2n 3 12) , 8 n 1 9 n 2n 5 13) 2 , 2 n 1 (n 5n 2) 1 14) 2 e 1/ n , n 1 n n2 1 15) 3 , n 1 n 3n 3 3n 16) , 2 n 1 4 n 2 17) 2 , n 1 n 8n 7 1 18) , n 1 (n 3)ln(n 3) 8) 1 , 2 n 1 (n 1)ln (n 1) 1 6) , n 1 2 2 1 n sin n 1 19) , n 1 3 2 1 n cos 2 n e n 20) , n 1 n 1 21) 2 , n 1 n 6n 10 1 22) , n 2 n ln n 2n 23) , 4 n 1 5 n 3n 24) , n 1 n 2 2 1 25) 2 , n 1 n 2n 5 1 26) 2 , n 1 n 6n 7 1 27) , 3 n 2 n ln n 3n 2 4 28) , 2 3 n 1 cos (n 4n 3) 4 29) 2 , n 1 n 4n 8 1 30) . 2 n 2 n ln n 5) 39 Задание 7 Исследуйте ряд на абсолютную и условную сходимость. 3n 2 n 1 n ( 1) 1) (1) , 4) , n 1 n 1 3n 2 (5n 2) n (1) n 1 2) n , n 1 5 2 ( 1) n 3) , n 1 n 2 1 n 2 n n n 1 7) (1) 2 , n 1 2n n 1 (1) n 1 n 8) , n 1 3n 1 2n 1 9) (1) n 2 , n 1 n 1 n n 1 2 1 10) (1) , n 1 3n 1 ln n 11) (1) n 1 , 3 n 1 n n (1) 12) , n 1 n 2n 1 2 13) (1)n ln 1 2 , n 1 n ( 1) n 1 2 n 1 14) , n 1 nn n3 15) , n n 1 ( 3) (n)n 16) , n n 1 (n 1) 2n 1 ( 2) n 1 17) , n 1 n 1 (n 1) n 1 , n 1 n2 1 ( 1) n n 3 6) , n 1 8n 5) ( 1) n (1)n 1 (n 2) 19) , n 1 4n ( 2) n 1 18) , n 1 (n 1)! (1) n (n 2 1) , n 1 n3 n 1 (n 1)! , (1) n 1 3n n! n 1 (1) sin 3 , n 1 n n 1 ( 1) , n n 1 (2n 1) ( 1) n 1 , n n 1 n 3 3n 1 n 1 , (1) n 1 n 2 (n 1)2 ( 1) n , n 1 n 2 ( 1) n 1 , n 1 3n 2 (1) n , 2 n 1 (2n 1) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) (1) n 1 n 1 2n 1 , 3n 2 2 n n 1 3 30) (1) . n 1 n! 40 Задание 8 Найдите область сходимости степенного ряда (x 1) n (3x 2) n 1) , 3) , 2 n n n 1 (3n 1) 3 n 1 (2n 1) 4 (x 3) n 2) , 2 n 1 2n 1 (2x 1) n 5) , n 1 5n (3n 1)(x 3) n 6) , 2 n 3 n 1 (n 1) 2 n 2 (x 3) n 7) , n 1 n3 1 n(2x 5) n 8) 2 , n n 1 (n 2) 3 (x 2) 2n 9) , n n 1 (n 3) 2 (x 2) n 10) , n n 1 (2n 1) 3 4 n (x 1) 2n 11) , n 1 n n(x 5) n 12) , n n 1 (3n 2) 2 (3n 2)(x 3) n 13) , 2 n 1 n 1 (n 1) 2 n xn n, 14) n 1 n 1 3 xn 15) , n 1 n! (x 3) n 16) 2 n , n 1 3n 2 ( 1) n 1 x n 17) n 1 , n 1 3 (n 2) (x 3) n 3 4) , 2 n 1 n 3 2n n 1 (x 2) 18) (1) , n 1 9n (x 5) 2n 1 19) n 2 , n 1 2 (n 1) (3x 1) n 20) 2 , n n 1 (n 1) 2 x 2n 21) n , n 1 5 n 4 x 2n 1 22) , n 1 (2n 1)! (x 5) 2n 1 23) , n 1 3n 8 (3x 1) n 24) n , n 1 2 n (x 2) n 25) , n n 1 (3n 1) 2 (x 1) n 26) 2 , n n 1 (n 3n 2) 3 (x 8)3n 27) , n 1 n2 ( 1) n 1 x n 28) n 1 , n 1 3 n (x 1) n 29) , 2 n n 1 (2n 1) 5 (x 2) n 30) . n n 1 n 6 41 Задание 9 Запишите три первых ненулевых члена разложения функции f(x) в окрестности указанной точки x0 в ряд Тейлора. 1) f (x) sin x 2 , x 0 / 2 ; 2) f (x) xesin x , x 0 ; 3) f (x) ln(2 2x x 2 ) , x 0 1 ; 4) f (x) tgx , x 0 / 4 ; 5) f (x) cos2 x , x 0 / 2 ; 6) f (x) (ln(1 x x 2 ) , x 0 1 ; 7) f (x) 1/ sin x , x 0 / 2 ; 1 x 8) f (x) ln , x 0 1; 2x 9) f (x) 1/ cos x , x 0 0 ; 10) f (x) x ln(2 x 2 ) , x 0 1 ; 11) 12) 13) 14) 2 f (x) e x x , x 0 1 ; f (x) arcsin x , x 0 1/ 2 ; f (x) xe , x 0 / 2 ; f (x) arccos x , x 0 1/ 2 ; 15) f (x) 3 x 2 , x 0 1 ; 16) f (x) x ln x , x 0 1 ; 17) f (x) 3 7 x , x 0 1 ; 18) f (x) sin 2x cos3x , x 0 0 ; 19) f (x) (1 x 2 )ex1 , x 0 1 ; 20) f (x) 1/ 10 x , x 0 1 ; 21) f (x) x sin x , x 0 / 6 ; 22) f (x) sin x / x , x 0 / 2 ; 23) f (x) ln(4 x 2x 2 ) , x 0 1 ; 24) f (x) sin x cos2x , x 0 0 ; 25) f (x) (x 1) / cos x , x 0 0 ; 26) f (x) 3 3 2x , x 0 1 ; 27) f (x) 1/ 12 3x , x 0 1 ; 42 28) f (x) lg(14 x 2 ) , x 0 2 ; 29) f (x) (1 x )sin 2x , x 0 0 ; 30) f (x) (1 x 2 ) / x , x 0 1 ; Задание 10 Разложите функцию f(x) в окрестности указанной точки x0 в ряд Тейлора, пользуясь разложениями основных элементарных функций. 1) f (x) x ln x , x 0 2 ; x 2) f (x) , x0 0 ; 2 9x 3) f (x) 9 x , x 0 0 ; x 4) f (x) , x0 3; 4x x cos x sin x 5) f (x) , x0 0 ; x2 3 6) f (x) , x0 0 ; 1 x 2x 2 x 7) f (x) , x 0 1 ; 4 8x arcsin x 1, x 0 0 ; 8) f (x) x 9) f (x) x ln(10 x) , x 0 9 ; x 10) f (x) , x 0 1; 2x 1 11) f (x) , x0 0 ; 5 2x 12) f (x) 3 8 x 3 , x 0 0 ; 13) f (x) sin(5 x) , x 0 0 ; 14) f (x) xsin 2 x 2 , x 0 0 ; 15) f (x) (1 x 2 )arctgx , x 0 0 ; 16) f (x) sin x , x 0 / 6 ; 17) f (x) cos x , x 0 / 3 ; 18) f (x) ln(2 2x x 2 ) , x 0 1 ; 43 19) f (x) xarctgx ln 1 x 2 , x 0 0 ; 20) f (x) (x 1)sin x , x 0 1 ; 21) f (x) ln(3 2x x 2 ) , x 0 1 ; 22) f (x) ln(1 x 6x 2 ) , x 0 0 ; x 3 23) f (x) , x0 2 ; (x 1) 2 x2 24) f (x) , x0 0 ; 2 1 x 25) f (x) ln(1 x 2x 2 ) , x 0 0 ; 26) f (x) (1 x)ln(2 x) , x 0 1 ; 27) f (x) (x 2)cos x , x 0 2 ; x 28) f (x) 2x cos x , x 0 2 ; 2 1 2x 29) f (x) ln , x 0 1; 1 2x 30) f (x) (e3x e3x 1) / x 2 , x 0 0 . Задание 11 Используя соответствующие разложения в степенной вычислите указанные интегралы с точностью до 0,0001. sin x 1) dx , x 0 1 0,5 2) 3 1 x 3 dx , 0 0,5 dx , 2 0 1 x 3) 1 4) x ln(1 x)dx , 0 0,5 5) ln(1 x )dx , 0 0,5 6) 0 3 x 2 cos xdx , 1 10) cos x dx , 0 1,5 11) 0 0,2 1 x arctg dx , x 4 12) 3 1 x 2 dx , 0 0,5 2 13) e x dx , 0 1 14) sin x 2 dx , 0 1 1 15) (cos x 1)dx , 0 x 44 ряд, 0,5 7) x arctgxdx , 2 0 1 dx , 4 01 x 8) 1 3 9) xe x dx , 0 0,5 19) x e x dx , 0 0,5 20) x 2 ln(1 x 2 )dx , 0,5 16) cos x 2 dx , 0 0,5 17) 3 4 3x 2 dx , 0 0,5 18) ln(1 x 3 )dx , 0 2 25) e1/ x dx , 1 0,5 26) x ln(1 x )dx , 0 1 21) (e x 1) dx , 1 x 2 0,5 22) arctgx 2 dx , 1 2 27) e x dx , 0 1 28) x sin x dx , 0 0,5 0 0,5 23) 0,5 x cos x dx , 0 0,4 24) ln(1 x 3 )dx , 0 29) x 2 cos x dx , 0 0,5 30) sin x 2 dx . 0 Задание 12 Найдите первые четыре ненулевых члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с начальными условиями. 1) y (1 x 2 )y 0, y(0) 2, y(0) 2; 8) y cos y 2x, y(0) 0, y(0) 1; 2) y xyy, y(0) 1, y(0) 1; 9) y xy y 2 0, y(0) 1, y(0) 0; 3) xy y 0, y(0) 0, y(0) 1; 10) y x 2 y y, y(0) 0, y(0) 1; 4) y xy y, y(0) 0, y(0) 1; 11) y xy y e x , y(0) 1, y(0) 1; 5) y xy 0, y(0) 0, y(0) 1; 12) y ycos y x, y(0) 1, y(0) 1; 45 6) y (y) 2 y, y(0) 0, y(0) 1; 13) y xy y 0, y(0) 1, y(0) 0; 7) y y 2 xy, y(0) 1, y(0) 0; 14) y yy x 2 , y(0) 1, y(0) 1; 15) y y x 0, y y(0) 1, y(0) 0; 23) y (y) 2 xy, y(0) 4, y(0) 2; 16) y xy y3 0, y(0) 1, y(0) 1; 24) y (2x 1) y 1, y(0) 0, y(0) 1; 17) y y xe y , y(0) 0, y(0) 1; 25) y (x 2 1) y 0, y(0) 2, y(0) 2; 18) y x 2 y y 0, y(0) 1, y(0) 0; 26) y xy y 0, y(0) 0, y(0) 1; 19) y yx 2 y 2 , y(0) 0, y(0) 1; 27) y (y) 2 2, y(0) 1, y(0) 1; 20) y ye y xy, y(0) 0, y(0) 1; 28) y xy x 2e x , y(0) 0, y(0) 1; 21) y 2xy 4y, y(0) 0, y(0) 1; 29) y 2xy 2 2x 2 yy, y(0) 1, y(0) 1; 22) 4xy 2xy y 0, y(0) 2, y(0) 0; 30) y 2x 2yy, y(0) 0, y(0) 1. Задание 13 Выполните следующие действия: а) разложите заданную функцию f(x) на указанном промежутке в тригонометрический ряд Фурье; б) постройте графики функций f(x), S(x). 3x 2, 2 x 0, 3, 3 x 0, 1)f (x) 3) f (x) 2, 0 x 1; 2 3, 0 x 1; 46 2, 1 x 0, 2)f (x) 1 2 3 x, 0 x 2; 1 1 x, 4 x 0, 4)f (x) 4 1, 0 x 2; 5 x 1, 1 x 0, 17)f (x) 2 4, 0 x 2; 4 x, 2 x 0, 18)f (x) 3, 0 x 1; 1 2x , 3 x 0, 19)f (x) 2 4, 0 x 3; 4x 1, 1 x 0, 20)f (x) 2, 0 x 4; 1 x 1, 1 x 0, 21)f (x) 2 3, 0 x 5; 9, 5 x 0, 5)f (x) x 6, 0 x 1; 2x 2, 3 x 0, 6)f (x) 5, 0 x 1; 3 x 1, 1 x 0, 7)f (x) 2 2, 0 x 3; 8, 4 x 0, 8)f (x) 3x 2, 0 x 1; 3x 2, 2 x 0, 9)f (x) 5, 0 x 1; 1 1 x, 2 x 0, 10)f (x) 3 7, 0 x 4; 2, 3 x 0, 11)f (x) x 2 1, 0 x 1; 3x 2, 4 x 0, 12)f (x) 1, 0 x 2; 2, 1 x 0, 13)f (x) 3x 5, 0 x 2; 1 x 2, 3 x 0, 14)f (x) 3 4, 0 x 1; 2, 1 x 0, 15)f (x) 3x 4, 0 x 2; 2x 3, 1 x 0, 22)f (x) 3, 0 x 5; 4, 2 x 0, 23)f (x) 2 3 x 1, 0 x 2; 1, 2 x 0, 24)f (x) 2x 3, 0 x 1; 2x 1, 4 x 0, 25)f (x) 3, 0 x 1; 5, 2 x 0, 26)f (x) 4x 1, 0 x 3; 6x 1, 2 x 0, 27)f (x) 1, 0 x 2; 47 4, 1 x 0, , 28)f (x) 1 x 2, 0 x 2; 2 2, 2 x 0, 30)f (x) 3x 1, 0 x 1. 3, 3 x 0, 16)f (x) 2x 4, 0 x 1; 3, 4 x 0, 29)f (x) 2x 3, 0 x 2; Задание 14 Разложите заданную функцию f(x) на указанном интервале в тригонометрический ряд Фурье. x2 1) f (x) , (1;1) ; 2 2) f (x) sin 2x, ( ; ) ; 4 4 3) f (x) x 1, (1;1) ; 4) f (x) sin x , ( ; ) ; 2 4 x 5) f (x) cos , ( ; ) ; 2 2 2 2 6) f (x) x / 3, (1;1) ; x 2 2 7) f (x) , ( ; ) ; 4 12 2 2 3x 8) f (x) sin , ( ; ) ; 4 9) f (x) x sin x, ( ; ) ; 2 2 2 10) f (x) 1 x / 4, (4; 4) ; 11) f (x) 2 x , (2; 2) ; 12) f (x) 1 x 2 / 2, (2; 2) ; x 13) f (x) 2sin , ( ; ) ; 2 2 2 cos x 1, ( ; ) ; 14) f (x) 2 4 4 2 15) f (x) 3x , (2; 2) ; 48 4 2 x , ( 3; 3) ; 3 x f (x) 2sin , ( ; ) ; 3 f (x) 2 3x 2 , ( ; ) ; 2 2 x f (x) 3cos , ( ; ) ; 2 3 3 2 x f (x) 1, (6; 6) ; 2 x f (x) 1, (2; 2) ; 2 f (x) 2cos 2x, ( ; ) ; 8 8 2 f (x) x x , ( 1;1) ; 1 1 f (x) 1 2 x , ( ; ) ; 2 2 f (x) sin x , ( ; ) ; 4 4 f (x) cos3x, ( ; ) ; 12 12 f (x) x x x, (1;1) ; f (x) x sin x, ( ; ) ; 4 4 f (x) x cos x, ( ; ) ; 4 4 f (x) cos x , ( ; ) . 2 2 16) f (x) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) Задание 15 Разложите заданную функцию f(x) на указанном интервале в тригонометрический ряд: а) только по косинусам, б) только по синусам. 4 1) f (x) x 2, (0;1) ; 4) f x x 2 , 3;3 ; 3 49 2) f (x) 3 x, (0;3) ; x, (0; ) ; 2 2 7) f (x) 2x, (0; ) ; 4 x 8) f (x) 1 , (0; 2) ; 2 1 9) f (x) 2x 1, (0; ) ; 2 3) f (x) 10) f (x) (x 1) / 2, (0;1) ; 1 x, (0;1) ; 4 x 12) f (x) 1, (0; 2) ; 4 11) f (x) 13) f (x) x / 2, (0; ) ; x , (0; 3) ; 3 6) f (x) cos 2x, (0; ) ; 8 5) f (x) 2 19) f (x) 2x 3, (0;1) ; 20) f (x) x 1, (0; 3) ; 3 21) f (x) 3 x, (0; 3) ; x 22) f (x) 2 , (0;1) ; 3 23) f (x) sin 3x, (0; ) ; 6 x 24) f (x) cos , (0; ) ; 4 2 x 25) f (x) 2, (0; 4) ; 4 3 14) f (x) 2x 3, (0; ) ; 2 1 15) f (x) 2x, (0; ) ; 2 16) f (x) 3x 1, (0;1) ; x 17) f (x) 3, (0; 2) ; 2 26) f (x) 4 x, (0; 4) ; 18) f (x) 2 3x, (0; 2) ; x 30) f (x) 2 , (0; 4) . 2 3 x, (0;1) ; 2 28) f (x) 3 x, (0; 3) ; 27) f (x) 29) f (x) 2x 1, (0; 6) ; 50 Задание 16 Разложите функцию f(x), заданную на интервале (0; 3) графически, в тригонометрический ряд Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам. 1 4 7 y y y 2 2 2 1 1 1 0 x 1 2 3 0 2 x x 0 1 2 3 5 8 y y 2 1 y 2 1 0 2 1 x 1 2 3 0 3 x 1 2 3 6 0 0 y y 2 1 2 1 1 2 3 x 1 2 3 9 y 2 1 1 2 3 x 0 1 2 3 51 x 0 1 2 3 x 10 14 18 y y y 2 1 2 1 2 1 0 x 1 2 3 0 11 1 2 3 x 0 15 y y 2 1 x 1 2 3 2 2 1 1 0 12 1 2 3 x 16 x 1 2 3 13 0 x 1 2 3 0 x 1 2 3 21 y y y 2 1 2 1 1 2 3 x 2 1 17 2 1 1 2 3 y y 2 1 0 0 0 20 y 2 1 x 19 y 0 1 2 3 x 0 1 2 3 52 x 0 1 2 3 x 22 25 28 y y 2 1 2 1 0 y x 1 2 3 0 2 1 2 3 1 x 0 23 26 y y 2 2 2 1 1 1 0 0 1 2 3 24 1 2 3 x 27 0 y 2 2 1 1 1 1 3 x x y 2 2 1 2 3 30 y 0 x 29 y x 1 2 3 0 1 2 3 53 x 0 1 2 3 x