Теория алгоритмов - Основные образовательные программы

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г.Ишиме
УТВЕРЖДАЮ
Директор филиала
______________ /Шилов С.П./
20.11.2014
ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика
очной формы обучения
1
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ
от 20.11.2014
Содержание: УМК по дисциплине Теория алгоритмов
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для специалистов направления подготовки
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения
Автор(-ы): Мамонтова Т.С.
Должность
Заведующий
кафедрой физикоматематических
дисциплин и
профессиональнотехнологического
образования
Председатель УМС
филиала ТюмГУ в
г.Ишиме
Начальник ОИБО
ФИО
Мамонтова
Т.С.
Дата
согласования
Результат
согласования
Примечание
16.10.2014
Рекомендовано
к электронному
изданию
Протокол заседания
кафедры от 16.10.2015
№2
Протокол заседания
УМС от 11.11.2015
№3
Поливаев
А.Г.
11.11.2014
Согласовано
Гудилова
Л.Б.
20.11.2014
Согласовано
2
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г. Ишиме
Кафедра физико-математических дисциплин и профессионально-технологического образования
Мамонтова Татьяна Сергеевна
ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика
очной формы обучения
Тюменский государственный университет
2014
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
Мамонтова Т.С. УМК по дисциплине Теория алгоритмов
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для специалистов направления подготовки
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения.
Тюмень, 2014.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВО по направлению подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: Теория алгоритмов
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.utmn.ru, раздел «Образовательная
деятельность», свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой физико-математических дисциплин и
профессионально-технологического образования.
Утверждено директором филиала ТюмГУ в г. Ишиме.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР Мамонтова Т.С., к.п.н., доцент
Ф.И.О., ученая степень, звание заведующего кафедрой
© Тюменский государственный университет, филиал в г. Ишиме, 2014.
© Мамонтова Т.С., 2014.
4 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Ишимский государственный педагогический институт им. П.П. Ершова"
УТВЕРЖДАЮ
Ректор ФГБОУ ВПО «ИГПИ
им. П.П. Ершова»
_______________ С.П. Шилов
«___» ______________ 2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
СД.Ф.10 ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
050201.65 – Математика с дополнительной специальностью Физика
Ишим 2011
5 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
ПРИНЯТО
На заседании кафедры
математики, информатики и МП
Протокол № 2 от «20» октября 2011 г.
Зав. кафедрой
_______________
роспись
Т.С. Мамонтова
И.О.Ф. зав. кафедрой
ОДОБРЕНО
На заседании УМК факультета
Протокол № 2 от «22» октября 2011 г.
Председатель УМК
_______________ ____Е.В. Ермакова__
роспись
И.О.Ф. председателя
СОГЛАСОВАНО
«23» октября 2011 г.
Начальник ОИБО
_______________ ___Л.Б. Гудилова___
роспись
И.О.Ф. начальника ОИБО
ВВЕДЕНА В ДЕЙСТВИЕ с «1» ноября 2011 г.
РАЗРАБОТАНА ___к.п.н., доцент Т.С. Мамонтова_____________
(наименование структурного подразделения (ий), разработавшего (их) документ или руководитель рабочей
группы и ее члены)
РЕЦЕНЗЕНТЫ
_______к.ф.-м.н., доцент В.Н. Алексеев_______________________
(Ф.И.О., ученая степень, ученое звание, должность)
_______к.п.н., ст. преподаватель М.В. Шустова________________
(Ф.И.О., ученая степень, ученое звание, должность)
Периодичность ПЕРЕСМОТРА – 1 раз в год
Программа составлена на основе ГОС ВПО «31» января 2005
Номер государственной регистрации729 пед/маг (новый)
6 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
Содержание
I. Программа дисциплины ……………………………………………………………………
1. Выписка из ГОС ВПО ………………………………………………………………
2. Введение……………………………………………….................................................
2.1. Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины………....................
2.2. Требования к уровню освоения дисциплины ……………………………..
2.3. Требования к организации дисциплины…………………………………...
2.4. Объем дисциплины и виды учебной работы ……………………………...
II. Содержание дисциплины …………………………………………………………….........
1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий……………………………………
2. Материально-техническое оснащение дисциплины ……………………………
III. Организация аудиторной и самостоятельной работы студентов……………………
1. Организация аудиторной работы студентов ………………………………….....
1.1. Краткий курс лекций………………………………………………………..
1.2. Планы практических занятий и методические рекомендации к ним…….
1.3. Вопросы для самопроверки ………………………………………………...
2. Организация самостоятельной работы студентов ……………………………...
3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины………………………..……….
3.1. Основная литература………………………………………………………..
3.2. Дополнительная литература………………………………………………..
3.3. Электронные ресурсы ………………………………………………………
4. Методические рекомендации для преподавателя ………………………………
5. Методические рекомендации для студента ………………………………………
IV. Материалы входного, текущего и итогового контроля ………………………………
1. Варианты контрольных работ ……………………………………………………..
2. Вопросы к экзамену………………………………………………………………….
3. Темы рефератов ………………………..………………………………………….....
V. Терминологический минимум …………………………………………………………….
1. Основные термины и понятия курса ……………………………………………..
4
4
4
4
4
5
6
7
7
7
8
8
8
8
23
24
24
24
24
24
25
25
26
26
27
29
31
31
7 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
I. Программа дисциплины
1. Выписка из ГОС ВПО
Введение. Алгоритмы в математике. Основные черты алгоритмов. Необходимость
уточнения понятия алгоритма. Числовые функции и алгоритмы их вычисления. Понятие
вычислимой функции, разрешимого множества.
Частично рекурсивные функции и рекурсивные предикаты. Класс частично рекурсивных
функций. Исходные функции. Операторы подстановки, примитивной рекурсии, минимизации.
Рекурсивные предикаты. Логические операции. Ограниченные кванторы. Подстановка функций
в предикат. Кусочное задание функции.
Машины Тьюринга. Понятие машины Тьюринга Операции с машинами. Тезис ЧерчаТьюринга.
Рекурсивные и рекурсивно-перечислимые множества. Рекурсивно-перечислимые
предикаты, их свойства. Рекурсивно-перечислимые множества. Нумерация. Универсальная
функция. Теорема Клини. Неразрешимые алгоритмические проблемы. Алгоритмическая
сводимость.
2. Введение
Рабочая программа (РП) дисциплины «Теория алгоритмов» разрабатывалась на основе
требований ГОС ВПО в соответствии с нормативно-правовыми актами, учредительными и
нормативными документами ФГБОУ ВПО ИГПИ.
РП дисциплины «Теория алгоритмов» предназначена для студентов физикоматематического факультета педагогического института. РП включает планы практических
занятий и методические рекомендации к ним; вопросы (тесты) для самоконтроля; организацию
СРС и ее методическое обеспечение; материалы входного и итогового контроля; темы
рефератов; терминологический минимум (терминологический словарь).
2.1. Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Теория алгоритмов» является формирование
систематических знаний в области теории алгоритмов, ознакомление с общими свойствами
алгоритмов, с математическими уточнениями интуитивного понятия алгоритма, с
алгоритмически неразрешимыми проблемами.
Задачи преподавания и изучения дисциплины:
- сформировать понимание основных понятий теории алгоритмов, их связи с
усвоенными математическими понятиями из смежных дисциплин;
- доказать тесную связь основных разделов математики (теории алгоритмов) с другими
областями научного знания;
- развить качества личности, необходимые для эффективной научной деятельности в
области теории алгоритмов.
2.2. Требования к уровню освоения дисциплины.
После изучения дисциплины «Теория алгоритмов» студент
знает:
- приемы анализа и обобщения информации по дисциплине;
- основные методы, способы и средства получения, хранения и переработки информации
по дисциплине;
- важнейшие свойства алгоритмов в математике;
- математические уточнения понятия алгоритма и вычислимой функции;
- примеры неразрешимых алгоритмических проблем из теории алгоритмов;
- основные алгоритмические характеристики множеств;
- общую структуру математического знания, взаимосвязь между различными
математическими дисциплинами;
- основные знаки, символы, обозначения, сокращения теории алгоритмов;
- приемы построения математических моделей для решения практических проблем;
- роль и место математики в системе наук, значение математической науки для решения
задач, возникающих в теории и практике, общекультурное значение математики;
8 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
умеет:
- использовать рациональные способы получения, преобразования, систематизации,
хранения информации по дисциплине;
- грамотно формулировать алгоритмические проблемы;
- строить алгоритмы, разрешающие и перечисляющие известные арифметические
множества;
- доказывать рекурсивность простейших арифметических функций, предикатов и
множеств;
- строить алгоритмы Тьюринга, вычисляющие простейшие арифметические функции;
- реализовывать основные методы математических рассуждений на основе общих
методов научного исследования и опыта решения учебных и научных проблем;
- пользоваться языком математики, корректно выражать и
ргументировано
обосновывать имеющиеся знания по дисциплине;
- строить математические модели для решения различных практических проблем;
владеет:
- навыками работы со всевозможными источниками информации по дисциплине;
- методом сведения для доказательства алгоритмической неразрешимости проблем;
- культурой математического мышления, логической и алгоритмической культурой;
- математикой как универсальным языком науки, средством моделирования явлений и
процессов;
- пониманием универсального характера законов логики математических рассуждений,
их применимости в различных областях человеческой деятельности.
2.3. Требования к организации дисциплины
Дисциплина «Теория алгоритмов» предусматривает проведение лекций и практических
занятий. Она реализуется через систему домашних заданий, контрольных работ, курсовых
работ.
Основное содержание лекций – изложение теоретических вопросов дисциплины,
иллюстрация основных теоретических положений примерами применения, образцами решения
типовых задач.
Практические занятия посвящаются, главным образом, отработке приемов и методов
теории алгоритмов для решения разнообразных практических и математических задач.
Самостоятельная работа студентов по теории алгоритмов, как правило, носит практикоориентированный характер: подготовка к практическим занятиям, контрольным работам,
выполнение индивидуальных заданий, консультации с преподавателем.
Контроль знаний проводится в виде оценки качества написания контрольных работ по
основным разделам дисциплины и сдачи экзамена.
9 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
2.4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Таблица 1
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа студента (СРС) (всего)
Индивидуальные консультации (ИК)
Домашние задания (ДЗ)
Другие виды СРС:
Контрольные работы (КР)
СРС в период промежуточной аттестации
Промежуточная
зачет (З), зачет с оценкой (ЗО)
аттестация
экзамен (Э)
50
Семестр № 6
Часов
50
24
26
40
4
14
24
26
40
4
14
12
10
-
12
10
Э
Всего часов
10 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
II. Содержание дисциплины
1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий
№
п/п
1.
Наименование раздела, темы
учебной дисциплины
Понятие об алгоритмах.
Машины Тьюринга
2.
Рекурсивные функции
3.
Нормальные алгоритмы
Маркова
4.
Рекурсивные и рекурсивно-
Таблица 2
Содержание раздела
в дидактических единицах (темы раздела)
- Введение. Алгоритмы в математике
- Основные черты алгоритмов
- Необходимость уточнения понятия алгоритма
- Неформальное понятие алгоритма
- Понятие машины Тьюринга
- Операции с машинами
- Применение машин Тьюринга к словам
- Конструирование машин Тьюринга
- Числовые функции и алгоритмы их вычисления
- Понятие вычислимой функции, разрешимого
множества
- Вычислимые по Тьюрингу функции
- Правильная вычислимость функций на машине
Тьюринга
- Композиция машин Тьюринга
- Тезис Тьюринга
- Происхождение рекурсивных функций
- Тезис Черча
- Примитивно рекурсивные функции
- Примитивная рекурсивность предикатов
- Вычислимость по Тьюрингу примитивно
рекурсивных функций
- Функции Аккермана
- Оператор минимизации
- Общерекурсивные и частично рекурсивные функции
- Класс частично рекурсивных функций
- Вычислимость по Тьюрингу частично рекурсивных
функций
- Частичная рекурсивность функций, вычислимых по
Тьюрингу
- Исходные функции
- Операторы подстановки, примитивной рекурсии,
минимизации
- Рекурсивные предикаты
- Логические операции
- Ограниченные кванторы
- Подстановка функций в предикат
- Кусочное задание функции
- Марковские подстановки
- Нормальные алгоритмы и их применение к словам
- Нормально вычислимые функции и принцип
нормализации Маркова
- Совпадение класса всех нормально вычислимых
функций с классом всех функций, вычислимых по
Тьюрингу
- Эквивалентность различных теорий алгоритмов
- Рекурсивные и рекурсивно-перечислимые множества
11 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
перечислимые множества.
Неразрешимые
алгоритмические проблемы
- Рекурсивно-перечислимые предикаты, их свойства
- Рекурсивно-перечислимые множества
- Нумерация. Нумерация алгоритмов
- Нумерация машин Тьюринга
- Существование невычислимых по Тьюрингу
функций
- Универсальная функция
- Теорема Клини
- Проблемы распознавания самоприменимости и
применимости
- Неразрешимые алгоритмические проблемы
- Алгоритмическая сводимость
- Теорема Райса
- Формальные аксиоматические теории и натуральные
числа
- Формальная арифметика и ее свойства
- Теорема Геделя о неполноте
2. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для обеспечения освоения данной дисциплины имеются: оборудованные аудитории;
технические средства обучения (компьютеры, пакеты компьютерных программ; наглядные
пособия; кодоскопы, кодограммы).
12 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
III. Организация аудиторной и самостоятельной работы студентов
1. Организация аудиторной работы студентов
1.1. Краткий курс лекций
Лекция № 1.
Алгоритмы вокруг нас. Неформальное понятие алгоритма. Необходимость уточнения
понятия алгоритма. Определение машины Тьюринга. Применение машин Тьюринга к словам.
Лекция № 2.
Конструирование машин Тьюринга. Вычислимые по Тьюрингу функции.
Лекция № 3.
Правильная вычислимость функций на машине Тьюринга. Композиция машин
Тьюринга. Тезис Тьюринга (основная гипотеза теории алгоритмов).
Лекция № 4.
Происхождение рекурсивных функций. Основные понятия теории рекурсивных функций
и тезис Черча. Примитивно рекурсивные функции. Примитивная рекурсивность предикатов.
Вычислимость по Тьюрингу примитивно рекурсивных функций. Функции Аккермана.
Лекция № 5.
Класс частично рекурсивных функций. Исходные функции. Операторы подстановки,
примитивной рекурсии, минимизации. Рекурсивные предикаты. Логические операции.
Ограниченные кванторы. Подстановка функций в предикат. Кусочное задание функции.
Лекция № 6.
Оператор минимизации. Общерекурсивные и частично рекурсивные функции.
Лекция № 7.
Вычислимость по Тьюрингу частично рекурсивных функций. Частичная рекурсивность
функций, вычислимых по Тьюрингу.
Лекция № 8.
Марковские подстановки. Нормальные алгоритмы и их применение к словам. Нормально
вычислимые функции и принцип нормализации Маркова.
Лекция № 9.
Совпадение класса всех нормально вычислимых функций с классом всех функций,
вычислимых по Тьюрингу. Эквивалентность различных теорий алгоритмов. Разрешимость и
перечислимость множеств.
Лекция № 10.
Нумерация алгоритмов. Нумерация машин Тьюринга. Существование невычислимых по
Тьюрингу функций.
Лекция № 11.
Рекурсивные и рекурсивно-перечислимые множества. Рекурсивно-перечислимые
предикаты, их свойства. Рекурсивно-перечислимые множества. Нумерация. Универсальная
функция. Теорема Клини. Неразрешимые алгоритмические проблемы. Алгоритмическая
сводимость. Проблемы распознавания самоприменимости и применимости. Другие примеры
алгоритмической неразрешимости.
Лекция № 12.
Формальные аксиоматические теории и натуральные числа. Формальная арифметика и
ее свойства. Теорема Геделя о неполноте. Гедель и его роль в математической логике XX века.
1.2. Планы практических занятий и методические рекомендации к ним
Практическое занятие № 1. Применение машин Тьюринга к словам
13 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
14 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
Практическое занятие № 2 Применение машин Тьюринга к словам
15 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
16 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
Практическое занятие №3. Конструирование машин Тьюринга
17 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
Практическое занятие №4. Конструирование машин Тьюринга
18 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
19 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
20 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
Практическое занятие № 5. Вычислимые по Тьюрингу функции
21 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
Практическое занятие № 6. Примитивно рекурсивные функции
22 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
Практическое занятие № 7. Примитивно рекурсивные предикаты
23 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
Практическое занятие № 8. Общерекурсивные и частично рекурсивные функции
Практическое занятие № 10. Марковские подстановки
24 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
Практическое занятие № 11. Нормальные алгоритмы и их применение к словам
Практическое занятие № 12. Нормально вычислимые функции
25 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
26 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
1.3. Вопросы для самопроверки
Задание 1:
Машина Тьюринга задается следующей функциональной схемой:
Определите, в какое слово перерабатывает машина данное слово, исходя из начального
стандартного состояния: 1111*11.
Задание 2:
Машина Тьюринга задается следующей функциональной схемой:
Определите, в какое слово перерабатывает машина данное слово, исходя из начального
стандартного состояния: 11111*1.
Задание 3:
Машина Тьюринга задается следующей функциональной схемой:
Определите, в какое слово перерабатывает машина данное слово, исходя из начального
стандартного состояния: 11*111.
Задание 4:
Сконструируйте машину Тьюринга с внешним алфавитом А={а0, 1}, которая каждое слово
длиной n в алфавите А1={1} перерабатывает в слово длиной n+1 в том же алфавите А.
Задание 5:
Сконструируйте машину Тьюринга с внешним алфавитом А={а0, 1}, которая каждое слово
длиной n в алфавите А1={1} перерабатывает в слово длиной n–1 в том же алфавите А.
Задание 6:
0, åñëèõ  0
Докажите, что функция f(x)= 
вычислима по Тьюрингу, для чего постройте машину
1, åñëèõ  0
Тьюринга, вычисляющую ее.
Задание 7:
0, åñëèõ  0
Докажите, что функция f(x)= 
вычислима по Тьюрингу, для чего постройте машину
1, åñëèõ  0
Тьюринга, вычисляющую ее.
Задание 8:
Сконструируйте машину Тьюринга с внешним алфавитом А={а0, 1}, которая каждое слово
длиной n в алфавите А1={1} перерабатывает в пустое слово, исходя из стандартного начального
положения.
27 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
2. Организация самостоятельной работы студентов
2.1. Содержание занятий
Таблица 3
№
п/п
1.
Наименование раздела учебной
дисциплины
2.
Понятие об алгоритмах. Машины
Тьюринга
Рекурсивные функции
3.
Нормальные алгоритмы Маркова
4.
Неразрешимые алгоритмические
проблемы
Всего
часов
10
Виды СРС
Домашние задания, консультации,
подготовка к контрольным работам
Домашние задания, консультации,
подготовка к контрольным работам
Домашние задания, консультации,
подготовка к контрольным работам
Домашние задания, консультации,
подготовка к контрольным работам
10
10
10
2.2. Формы, виды контроля и сроки выполнения заданий
Таблица 4
Форма
оценочного
средства
Домашние
задания
Индивидуальные
консультации
Подготовка к КР
Услов
обозние
ДЗ
ИК
Номер недели
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
КР
14
+
15
+
16
+
+
+
+
+
3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
3.1. Основная литература
Основная:
1.
Игошин, В.И. Математическая логика и теория алгоритмов [Текст] : учеб.пособие для
вузов / В. И. Игошин. - 2-е изд.,стер. - М. : Академия, 2008. - 448 с. - (10); М. : Академия, 2004. 448 с. - (5 )
2.
Игошин, В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов /
В.И. Игошин. – М.: Академия, 2007 – 3 экз.
3.
Успенский, В.А. Вводный курс математической логики [Текст]: учеб. пособие для матем.
фак.ун-тов, пед. ин-тов / В.А. Успенский, Н.К. Верещагин, В.Е. Плиско. – 2-е изд. – М.:
Физматлит, 2004. – 128 с. – 29 экз.
15 экз.
3 экз.
29 экз.
3.2. Дополнительная литература
Дополнительная:
1. Лавров, И.А. Математическая логика [Текст] : учеб.пособие для вузов / И. А. Лавров ; под ред.
Л.Л. Максимовой. - М. : Академия, 2006. - 240 с.
3 экз.
3.3. Электронные ресурсы
1. Электронно-библиотечная система elibrary: http://elibrary.ru
2. Универсальная справочно-информационная полнотекстовая база данных “East View”
ООО «ИВИС»: http://www.eastview.com/
3. Электронный справочник «Информио»: http://www.informio.ru/
4. Электронно-библиотечная система "Университетская библиотека онлайн":
http://www.biblioclub.ru
4. Методические рекомендации для преподавателя
Для освоения дисциплины «Теория алгоритмов» используются знания, умения и виды
деятельности, сформированные в процессе изучения дисциплин «Математическая логика»,
«Алгебра и теория чисел», «Математический анализ», вариативной части профессионального
28 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
цикла. Знания, умения и личностные качества будущего специалиста, формируемые в процессе
изучения дисциплины «Теория алгоритмов», будут использоваться в дальнейшем при освоении
дисциплин «Элементарная математика», «Практикум решения задач по элементарной
математике». Данная дисциплина является логической основой изучения аксиоматических
математических теорий из разных областей математики, а также теоретической основой
логической составляющей обучения математике.
5. Методические рекомендации для студентов
Студенту следует помнить, что дисциплина «Теория алгоритмов» предусматривает
обязательное посещение студентом лекций и практических занятий. Она реализуется через
систему аудиторных и домашних работ, входных и итоговых контрольных работ, систему
курсовых работ. Самостоятельная работа студентов заключается в выполнении домашних
заданий с целью подготовки к практическим занятиям (см. планы практических занятий),
выполнение курсовых работ и вариантов контрольных работ. Результаты самостоятельной
работы оформляются в виде курсовых работ. Контроль над самостоятельной работой студентов
и проверка их знаний проводится в виде контрольных работ, экзамена.
29 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
IV. Материалы входного, текущего и итогового контроля
1. Варианты контрольных работ
Входная контрольная работа
1. Дайте определение алгоритма.
2. Перечислите отличительные свойства алгоритма.
3. Приведите пример алгоритмической процедуры.
4. Приведите пример математического алгоритма.
5. Какие типы, виды, структуры алгоритмов вы знаете?
Итоговая контрольная работа
1. Дана машина Тьюринга с внешним алфавитом А={а0 ,1}, алфавитом внутренних
состояний Q={q0 ,q1 ,q2 ,q3 ,q4 ,q5 ,q6 ,q7} и со следующей функциональной схемой (программой):
Изображая на каждом такте работы машины получающуюся конфигурацию (ленту
машины), определите, в какое слово перерабатывает машина каждое из следующих слов,
исходя из начального стандартного положения:
а) 111
е) 1а01
б) 1111
ж) 11111
в) 1а011
з) 1а01а01
г) 11а011
и) 11а01
д) 1а0а01
к) 1а0а0а01
2. Машина Тьюринга с внешним алфавитом А={а0 ,1,*}, алфавитом внутренних
состояний Q={q0 ,q1 ,q2 ,q3 ,q4} определяется следующей функциональной схемой:
Определите, какое слово перерабатывает машина каждое из следующих слов, исходя из
стандартного начального состояния:
а) 11*11
е) 111*11
б) 11*1
ж) 1*1
в) 111*1
з) 111*1
г) 11*11
и) 111*111
д) 1111*1
к) 11*11
3. Машина Тьюринга с внешним алфавитом А={а0 ,1} определяется следующей
программой:
30 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
Остановится ли когда-нибудь эта машина, если она начнет перерабатывать слово,
обозревая в состоянии q1 ячейку, в которой записана самая левая буква перерабатываемого
слова. Если остановка произойдет, то какое слово получается в результате, какая ячейка и в
каком состоянии (перед остановкой) обозревается?
а) 111а0а01
е) 1111а01
б) 11а0а011а01
ж) 1а01а01а01
в) 111111
з) 1а01111
г) 1а0а0а0а01
и) 11а01а01
д) 11а0а011
к) 111а0111
4. Сконструируйте машину Тьюринга с внешним алфавитом А={0 ,1}, которая каждое
слово длиной n в алфавите А1={1} из любого положения перерабатывает:
а) в слово длиной n+2
е) в слово длиной n-3
б) в слово длиной n-2
ж) в слово длиной 2 (две единицы)
в) в слово длиной 2n
з) в слово длиной 1 (одна единица)
г) в слово длиной n+3
и) в слово длиной 3
д) в слово длиной n/2 (при четном n;
к) в пустое слово при четном n (при
при нечетном n – работа бесконечна)
нечетном n – работа бесконечна)
5. Докажите, что следующие функции вычислимы по Тьюрингу, для чего постройте
машины Тьюринга, работающие из начального стандартного положения, вычисляющие их:
x
а) f x, y   x  y
е) f  x  
2
x
0, åñëè x  0
x
ж) f x      öåëàÿ ÷àñòü÷èñëà
б) f x   
2
2
 x  1, åñëè x  0
0, åñëè x  0
в) f x   
1, åñëè x  0
0, åñëè x  0
г) f x   
1, åñëè x  0
д) f x, y   x  y ïðè x  y
0, åñëè x  1
з) f x   
1, åñëè x  1
0, åñëè x íå äåëèòñÿ íà 3
и) f x   
1, åñëè x äåëèòñÿ íà 3
0, åñëè x íå äåëèòñÿ íà 2
к) f x   
1, åñëè x äåëèòñÿ íà 2
6. Докажите, что функция примитивно рекурсивна, пользуясь определением
примитивно рекурсивной функции:
а)  õ =х+3
г)  õ =х+1
ж)  õ =х+2
к)  õ =3х
б)  õ =5
д)  õ =3
з)  õ =2х
в)  õ, ó=х+у
е)  õ, ó=ху
и)  õ =х
7. Докажите, что предикат примитивно рекурсивен, пользуясь перечнем примитивно
рекурсивных функций:
а) Р(х): «х делится на 3»
е) Р(х,у): «х и у взаимно просты»
б) Р(х): «х четно»
ж) Р(х,у): «х  у»
в) Р(х): «х нечетно»
з) Р(х,у): «х=у»
г) Р(х): «х делится на 2 и на 3»
и) Р(х,у): «х>у»
д) Р(х): «х простое число»
к) Р(х,у): «х<у»
8. Нормальный алгоритм в алфавите А= à, b задается схемой:
bb→ba ; ba→a ; a→  ;  →.b
Примените его к слову:
31 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
а) bbaab
б) aabbbaa
в) bababab
г) aabaabb
д) abbbbba
е) baab
ж) bbbaaa
з) abbabba
и) abbbaaab
к) ababab
9. Нормальный алгоритм А= à, b, ñ, d  задается схемой:
ad→.dc ; ba→  ; a→bc ; bc→bba ;  →a
Примените его к слову:
а) dcb
г) cdb
ж) dca
б) dbc
д) dacb
з) bacd
в) bcd
е) dac
и) dabc
к) cdba
10. Сконструируйте нормальный алгоритм, вычисляющий функцию:
а) f(x)=х+5
г) f(x)=х-6
ж) f(x)=х+6
б) f(x)=х-4
д) f(x)=х+4
з) f(x)=х-5
в) f(x)=х+3
е) f(x)=х-3
и) f(x)=х+7
к) f(x)=х-7
Варианты контрольной работы:
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
а
д
и
г
е
ж
к
в
з
б
к
з
г
е
и
д
к
ж
а
б
2
б
а
к
д
г
е
в
з
в
ж
б
и
з
г
д
и
ж
а
з
е
3
д
б
а
з
д
в
е
и
к
в
ж
б
д
и
г
ж
а
к
е
г
4
ж
и
б
а
в
г
ж
е
и
з
в
д
б
д
е
а
и
з
г
а
Номер задачи
5
6
и
к
з
г
г
д
б
е
а
б
д
а
г
з
ж
г
е
ж
к
д
д
з
в
ж
е
в
б
а
а
б
г
е
д
г
и
д
ж
и
з
в
7
г
ж
е
в
з
б
а
к
г
е
и
к
а
в
к
б
з
г
в
ж
8
з
е
в
к
ж
и
б
а
д
г
е
а
ж
з
в
к
б
в
д
и
9
е
в
з
ж
и
к
д
б
а
и
а
г
к
ж
з
в
е
б
к
д
10
в
к
ж
и
к
з
и
д
б
а
г
е
и
к
ж
з
в
е
б
к
2. Вопросы к экзамену
Билет 1
1. Понятие алгоритма.
Неформальное понятие алгоритма. Типичные черты и особенности алгоритмов.
Применимые и неприменимые алгоритмы. Примеры алгоритмов.
2. Машина Тьюринга задается следующей функциональной схемой:
32 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
Определите, в какое слово перерабатывает машина данное слово, исходя из начального
стандартного состояния: 1111*11.
Билет 2
1. Машины Тьюринга.
Машины Тьюринга. Внешний алфавит и алфавит внутренних состояний машины
Тьюринга. Программа машины Тьюринга. Слово в алфавите машины Тьюринга.
2. Машина Тьюринга задается следующей функциональной схемой:
Определите, в какое слово перерабатывает машина данное слово, исходя из начального
стандартного состояния: 11*111.
Билет 3
1. Конструирование машин Тьюринга.
Конструирование машин Тьюринга. Пример конструирования. Программа машины
Тьюринга. Стандартное начальное положение.
2. На ленту подряд вписаны два конечных набора единиц, разделенные звездочкой.
Составьте программу машины Тьюринга, которая выписывала подряд (без разделения
звездочкой) столько единиц, сколько их в обоих наборах (сложение единиц).
Билет 4
1. Вычислимые по Тьюрингу функции.
Вычислимые по Тьюрингу функции. Два этапа конструирования машины Тьюринга.
Пример конструирования машины Тьюринга, вычисляющей какую-либо функцию.
0, åñëèõ  0
2. Докажите, что функция f(x)= 
вычислима по Тьюрингу.
1, åñëèõ  0
Для доказательства постройте машину Тьюринга, вычисляющую функцию.
Билет 5
1. Правильная вычислимость функций на машине Тьюринга.
Правильная вычислимость функций на машине Тьюринга. Примеры программ,
правильно вычисляющих функции. Композиция машин Тьюринга. Тезис Тьюринга.
0, åñëèõ  0,
2. Докажите правильную вычислимость функции sg x   
на машине
1, åñëèõ  0.
Тьюринга.
Для доказательства постройте машину Тьюринга, правильно вычисляющую функцию.
Билет 6
1. Понятие рекурсивных функций.
Основные понятия теории рекурсивных функций. Операторы суперпозиции,
примитивной рекурсии, минимизации. Примитивно и частично рекурсивные функции.
Тезис Черча.
2. Докажите, что следующая функция примитивно рекурсивна:
φ(x)=х+n, где n – постоянная величина.
Билет 7
1. Примитивно рекурсивные функции и предикаты.
Примитивно рекурсивные функции и предикаты. Оператор условного перехода.
Примеры примитивно рекурсивных функций и предикатов.
2. Докажите, что следующий предикат примитивно рекурсивен:
Е(х): «Число х четно».
Билет 8
33 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
1. Общерекурсивные и частично рекурсивные функции.
Общерекурсивные и частично рекурсивные функции. Оператор минимизации.
Вычислимость по Тьюрингу частично рекурсивных функций.
2. Докажите, что всякая примитивно рекурсивная функция будет и частично
рекурсивной, и общерекурсивной.
Билет 9
1. Нормальные алгоритмы Маркова.
Нормальные алгоритмы и их применение к словам. Марковская подстановка. Схема
нормального алгоритма. Примеры нормальных алгоритмов.
2. Нормальный алгоритм А= à, b, ñ, d  задается схемой: ad→.dc ; ba→  ; a→bc ; bc→bba ;
 →a.
Примените его к слову dcb.
Билет 10
1. Нормально вычислимые функции.
Нормально вычислимые функции. Примеры нормально вычислимых функций. Принцип
нормализации Маркова.
2. Сконструируйте нормальный алгоритм, вычисляющий следующую функцию:
f(x)=x+1.
Билет 11
1. Разрешимость и перечислимость множеств.
Разрешимость и перечислимость множеств. Примеры разрешимых и перечислимых
множеств. Эффективно заданное множество.
2. Сконструируйте нормальный алгоритм, вычисляющий следующую функцию:
f(x)=x-2.
Билет 12
1. Основы программирования.
Математическая логика и теория алгоритмов в основе программирования. Четыре
направления в программировании. Алгоритмическая логика и логический синтез.
2. Сконструируйте нормальный алгоритм, вычисляющий следующую функцию:
f(x)=10х.
3. Темы рефератов
1. Машины Тьюринга и современные электронно-вычислительные машины.
2. Частичная рекурсивность функций, вычислимых по Тьюрингу.
3. Эквивалентность различных теорий алгоритмов.
4. Неразрешимые алгоритмические проблемы.
5. Формальная арифметика.
6. Свойства аксиоматических теорий.
7. Формальные теории первого порядка.
8. Формальные аксиоматические теории.
9. Язык ПРОЛОГ в системах искусственного интеллекта.
10. Теория алгоритмов и математическая логика как основа программирования.
34 стр. из 32 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория алгоритмов»
V. Терминологический минимум
1. Основные термины и понятия курса
Алгоритм
–
четкая
система
инструкций,
определяющая
дискретный
детерминированный процесс, ведущий от варьируемых начальных данных к искомому
результату, если таковой существует, через конечное число тактов работы алгоритма; если же
искомого результата не существует, то вычислительный процесс либо никогда не оканчивается,
либо попадает в тупик.
Машина Тьюринга – абстракция автоматически работающего устройства. В каждый
дискретный момент времени устройство, находясь в некотором состоянии, обозревает
содержимое одной ячейки протягиваемой через устройство ленты и делает шаг,
заключающийся в том, что устройство переходит в новое состояние, изменяет (или оставляет
без изменения) содержимое обозреваемой ячейки и переходит к обозрению следующей ячейки
– справа или слева. Причем шаг осуществляется на основании предписанной команды.
Совокупность всех команд представляет собой программу машины Тьюринга.
Марковская подстановка – операция над словами, задаваемая с помощью
упорядоченной пары слов (Р, Q), состоящая в следующем. В заданном слове R находят первое
вхождение слова Р (если таковое имеется) и, не изменяя остальных частей слова R, заменяют в
нем это вхождение словом Q. Полученное слово называют результатом применения
Марковской подстановки (Р, Q) к слову R. Если же первого вхождения Р в слово R нет (и,
следовательно, вообще нет ни одного вхождения Р в R), то считается, что Марковская
подстановка (Р, Q) неприменима к слову R.
Алгоритмическая проблема – это проблема, в которой требуется найти единый метод
(алгоритм) для решения бесконечной серии однотипных единичных задач. Такие проблемы
называют также массовыми проблемами.
35 стр. из 32 стр.