Квадратные уравнения - МОУ СОШ №12 г.Королёв
advertisement
ГОУ ДПО МО Педагогическая академия последипломного образования Кафедра математических дисциплин ПРОЕКТ Реализация требований ФГОС ООО при обучении учащихся 8 класса теме: «Квадратные уравнения» Выполнил слушатель учебного курса «Актуальные проблемы развития профессиональной компетентности учителя математики (в условиях реализации ФГОС)» учитель математики МБОУ СОШ № 12, г. Королев Алексеенко Н.Б., группа 127 Руководитель курса: КПН, доцент кафедры математических дисциплин Ерина Т.М. Москва 2012 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................ стр.3 ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения теме «Квадратные уравнения» § 1. Эссе .................................................................................................................. стр.4 § 2. Логико-математический анализ содержания темы «Квадратные уравнения» ................................................................... стр.6 § 3. Цели обучения теме «Квадратные уравнения» ........................................... стр.14 3.1. Развитие познавательных УУД ......................................................................... 3.2. Развитие регулятивных УУД ............................................................................ 3.3. Развитие коммуникативных УУД..................................................................... 3.4. Развитие личностных УУД................................................................................ ГЛАВА 2. Методические рекомендации обучения теме «Квадратные уравнения» § 4. Карта изучения темы и её использование.................................................... стр.36 4.1. Диагностические цели обучения теме «Квадратные уравнения» ................ 4.2. Логическая структура и содержание темы «Квадратные уравнения» ......... 4.3. Средства обучения теме (в том числе ИТ) ..................................................... § 5. Учебный план темы «Квадратные уравнения» .......................................... стр.38 § 6. Примеры реализации целей обучения теме «Квадратные уравнения» ... стр.43 Список литературы................................................................................................ стр.45 ВВЕДЕНИЕ Цель проекта: Реализация требований ФГОС ООО при изучении темы «Квадратные уравнения». Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач. Задачи исследования: 1. Выявить теоретические основы обучения теме, связанные с реализацией ФГОС ООО. 2. Выполнить отбор средств обучения теме, в том числе средства ИКТ. 3. Разработать таблицу целей и карту обучения теме. 4. Составить учебную рабочую программ «Тематическое и почасовое планирование образовательных результатов освоения математики (в соответствии с темой). 5. Разработать методические рекомендации обучения теме и применить их в учебном процессе (фрагментов двух – трех уроков, иллюстрирующих развитие и формирование УУД при обучении данной теме школьного курса математики). Глава 1 Теоретические основы обучения теме «Квадратные уравнения» § 1. Эссе а) Духовно - нравственное и патриотическое воспитание - очень важная, сложная и кропотливая работа, в которой заинтересованно и государство, и общество. Работа требует координации усилий всех государственных органов, общественных объединений и организаций, традиционных религиозных объединений по формированию у молодежи патриотического сознания, готовности к выполнению гражданского долга, важных конституционных обязанностей по защите интересов Родины. Данная концепция призвана поддерживать важнейшее для государства и общества направление внутренней политики - воспитание граждан РФ как сознательных и достойных восприемников отечественной истории и культур через усвоение ими высоких моральных норм, традиций, устоев, семьи, коллектива и общества, приобщение к системе ценностей, отражающих богатство, своеобразие и единство культур народов России. Именно, образованию отводится ключевая роль в духовно - нравственной консолидации российского общества, где развитие и воспитание обеспечено всем укладом школьной жизни. Только в школе должно быть сосредоточено интеллектуальная, гражданская, духовная и культурная жизнь школьника, т.к. ребенок школьного возраста наиболее восприимчив к эмоционально ценностному, духовно - нравственному развитию, гражданскому воспитанию. В связи с этим, все учителя и сотрудники области образования должны быть ознакомлены с "Концепцией духовно - нравственного развития и воспитания личности гражданина России". б) Принципиальным отличием современного подхода является ориентация стандартов на результаты освоение основных образовательных программ. Под результатами понимается не только предметные знания, но и умения применять эти знания в практической деятельности. Современному обществу нужны образование нравственные, предприимчивые люди, которые могут: анализировать свои действия; самостоятельно принимать решения, прогнозируя их возможные последствия; отличаться мобильностью; быть способны к сотрудничеству; обладать чувством ответственности за судьбу страны, ее социально - экономическое процветание. Мое мнение такое - новизна современного урока математики в условиях введения стандарта второго поколения такова: чаще организовать индивидуальные и групповые формы работы на уроке. Именно, на таких уроках постепенно преодолеваться авторитарный стиль общения между учителем и учеником. Какие же требования следует предъявлять к современному уроку? 1) Хорошо организованный урок в хорошо оборудованном кабинете должен иметь хорошее начало и хорошее окончание; 2) учитель должен спланировать свою деятельность и деятельность учащихся четко, сформулировать тему, цель и задачи урока. 3) урок должен быть проблемным и развивающим: учитель сам нацеливает на сотрудничество с учениками и умеет направлять учеников на сотрудничество с учителем и одноклассниками; 4) учитель должен организовать проблемные и поисковые ситуации, активировать деятельность учащихся; 5) ввод учащиеся должны сами; 6) минимум репродукции и максимум творчества и сотворчества; 7) время сбережения и здоровьесбережение; 8) в центре внимания урока - дети; 9) учет уровня и возможностей учащихся, в котором учтены такие аспекты, как профиль класса, стремление учащихся, настроение детей; 10) умение демонстрироваться методическое искусство учителя; 11) планирование обратной связи; 12) урок должен быть добрым. § 2. Логико-математический анализ содержания темы «Квадратные уравнения» I. Определение целей обучения методу, т.к. управления, их конструкции являются математическими моделями очень многочисленных явлений (физических, химических и др.), то решение различных задач сводится к решению уравнений. Поэтому цели указанного метода состоят, в познании явлений, процессов действительности и в получении способа решения многих практических задач. Указанные цели метода управлений являются целями его изучения. Но помимо них можно говорить и о других целях таких, как образовательные и воспитательные, которые в определенной мере преследуют цель установления межпредметных и внутрипредметных связей, а значит, формирования системности знаний, связанных с рядом тем курса алгебры и геометрии. Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное знание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, иррациональных уравнений, дробно - рациональных уравнений, уравнений высших степеней. Основная цель изучения темы "Квадратные уравнения" - выработать умения решать квадрат уравнения и решать задачи, сводящие к ним. Для изучения этой темы отводится 26 часов: 1. Основные понятия - 2 часа 2. Формулы корней квадратного уравнения - 3 часа 3. Рациональные уравнения - 3 часа 4. Контрольная работа №6 - 1 час 5. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - 4 часа 6. Еще одна формула корней квадратных уравнений - 2 часа 7. Теорема Виета - 2 часа 8. Иррациональные уравнения - 3 часа 9. Контрольная работа №7 - 1 час Квадратные уравнения - это одно из основных направлений изучения линии управления в школьном курсе алгебры. Изучение теоремы, алгоритмы решения квадратных уравнений применяют для познания естественных законов, для решения задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира. Овладевая способами их решения, они находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт), сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.). Решение таких задач развивает логическое мышление, творческую деятельность учащегося. Необходимость решать уравнения 2-ой степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математички. Квадрат уравнения - умели решать около 200 лет до нашей эры вавилоняне. Правила решения квадратных уравнений изложенных в вавилонских текстах, совпадают по существу с современными. В "Арифметике" Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится решение задач, при помощи составления квадратных уравнений. Для составления уравнений Диофант умело выбирает неизвестно.... Вот, к примеру; "Найти два числа, значит что сумма их равна 20, а произведение равно 96." Диофант рассуждает следующим образом: "из условия вытекает, что искомые не равны, т.к. если бы они были равны то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше полвины их суммы, т.е. 10+х. Другое же меньше, т.е. 10- х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение: (10+х)(10-х)=96 100-х2=96 х2 -4=0 х=2 отрицательные корни не рассматривались тогда, т.к. греческая школка знала только положительные числа). Значит, одно из искомых чисел 12, другое 8. В алгебраическом тракте Аль - Хорезми дается классификация квадратных уравнений: 1. Квадраты равны корням, т.е. ах2 = вх 2. Квадратные равны числу, т.е. ах2 = с 3. Корни равны числу, т.е. ах = с 4. Квадранты и числа равны корнем, т.е. ах2 + с = вх 5. Квадраты и корни равны числу, т.е. ах2 + вх =с 6. Корни и числа равны квадратам, т.е. вх +с = ах2 Аль - Хорезми дает и способы решения выше указанных уравнений. При решении полных квадратных уравнений автор на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем из геометрического доказательства. II. Логика - математический анализ содержания темы "Квадратные уравнения" Основная математическая идея метода квадратных уравнений заключается в установлении основных связей, зависимостей между элементами, характеризующими изучаемое явление, т.е. в построении словесной модели является, переводе словесной модели на язык математики. В данном случае имеет дело с построением математической модели и работой с этой моделью и переводе полученного результата на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача. "Ядерным" материалом этой темы являются такие понятия, как полные квадратные уравнения, неполные, приведенные, формулы корней. Квадратных уравнений, рациональные и иррациональные уравнения, теорема Виета, алгоритмы решения уравнений. Ведь курс по теме "Квадратные уравнения" строится в систематическом порядке. Причем система эта определяются как принятыми математическими трактовками функциональных понятий, так и развертыванием последующих определений и доказательством теорем. Построение курса "Квадратные уравнения" основаны на дедуктивном подходе, т.е. на определенной аксиоматике, которая вводится постепенно. Степень сложности управлений и их решения постепенно усиливается. На 1-ых уроках следует познакомить учащихся с видами уравнений, с решением неполных уравнений вида: ах2 = 0, ах2 +вх=0, ах2 +с=0. Далее познакомить с графическим решением уравнений, с решением уравнений с помощью разложения левой части на множители методом выделения полного квадрата. Далее выводятся формулы корней квадратного уравнения, и отрабатывается алгоритма решения квадратных уравнений. Постепенно приходим в рассмотрению рациональных уравнениях и иррациональных. Отрабатываются алгоритмы решения таких уравнений. Познакомить и отработать умения и навыки решения рациональных уравнений методом введения новой переменной. На последующих уроках необходимо рассмотреть задачи на составление рациональных уравнений, проходя все этапы (составление математической модели, работа с моделью, ответ на вопрос задачи). Учащихся необходимо познакомить еще с одной формулой нахождения корней, когда 2-ой коэффициент частей, с теоремой Виета и разложением квадратного трехчлена на множители по формуле ах2 + вх + с = а (х-х1) (х-х2), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0. III. Логико - дидактический анализ темы "Квадратные уравнение": Что бы установить возможности для формирования метода уравнений в курсе алгебры нужно установить: 1. те знания и умения, которые являются базовым по отношению к деятельным и гносеологическим компонентам метода 2. место и содержание материала в учебнике 3. возможности того материала с точки зрения успешного применения метода квадратных уравнений. В итоге изучения материала по запоминанию теме учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научится использовать логические средства для обоснования решения. Реализация возможностей усвоения школьниками метода решения квадратных уравнений связано с решением двух задач. Первая состоит в том, чтобы добиться понимания сути метода и владения действия по его применению (деятельные компоненты). Вторая задача заключается в обучении применения метода для решения различных видов задач. Обе эти задачи должны стать цельным деятельности как учителя, так и ученика. Таким образом, учитель ставит следующие задачи: а) образовательные: отработка способов решения и выработка умений выбрать научный, рациональный способ решения б) развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, умение сравнить и обобщать в) воспитательные: воспитание трудолюбия взаимопомощи, математической культуры. Для осуществления поставленных задач учителю следует правильно отработать методы и формы обучения. На уроках по изучению данной темы можно использовать следующие методы: наглядный, практический, словесный, частично - поисковый и следующие формы: общеклассический, индивидуальный, парный, групповой. Следует выделить следующие этапы формирования метода изучения темы "Квадратные уравнения": 1 этап принятия учащимися поставленной учебной задачи. Основным средством, которое учитель использует на этом этапе, могут быть задачи, в процессе решения которых наиболее ярко будет проявляться целесообразность использования именно этого метода. 2 этап усвоения школьниками сути метода. На этом этапе под руководством учителя выделяют действия, определяющие операционные состав метода управления, устанавливают их последовательность, отмечают, что нужно знать и уметь. 3 этап формирования компонентов метода. На этом этапе учитель должен обратить внимание на формирование у учащихся таких действий, как выбор обозначение одного или нескольким неизвестных, введение обозначений для других неизвестный и интерпретаций результата в соответствии, с условием задачи. В действии "составление решающий модели" следует выделить операцию связанную с выделением основного отношения данной задачи, которые и используются для составления уравнения. 4 этап обучения школьников применению метода для решения квадратных уравнений определенного вида 5 этап обучения школьников применению метода для решения широкого круга задач. Для обучения большое значение имеет становление уровня подготовки учащихся - уровня определенных стандартов необходимых знаний. Для этого необходимо проверять оценивать знания, навыки и умения своих учеников, опрашивать их изученному материалу, проводить письменные проверочные работы, диктанты, тестирование, зачетные уроки, диагностировать, контролировать проверять и оценивать знания и умения школьников...... последовательно. Умелое создание учителем различными программами контроля знаний способствует повышению заинтересованности учащихся в изучении предмета, предупреждает отставание, обеспечивает активность ребят на уроке. При изучении темы "Квадратные уравнения" можно использовать различные темы организации учебной деятельности как, например, прием заполнения пустых мест в таблице; сравнение решения задачи с помощью алгоритма и без него, что дает возможность воспитывать творческий подход; прем составления серии задач с нарастающей сложностью преобразовании; прием поиска ошибки в данном решении, что позволяет воспитывать критичность мышления; с выборочными ответами. Пояснительная записка Примерная программа по математике составлена на основе федерального компонента Государственного стандарта среднего (полного) общего образования на базовом уровне. Изучение математики на базовом уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей: формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики; развитие логического мышления, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности; овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественно-научных дисциплин на базовом уровне; воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики. При изучении курса математики на базовом уровне решаются следующие задачи: систематизация сведений о числах; изучение новых числовых выражений и формул; совершенствование практических навыков и вычислительной культуры; расширение и совершенствование алгебраического аппарата, сформулированного в основной школе, и его применение к решению математических задач. В ходе освоения содержания математического образования учащиеся овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт: построения и исследования математических моделей для решения задач; выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; выполнения расчётов практического характера; использования математических формул; самостоятельной работы с источниками информации; подведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов; самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов и результатов группы, соотнесение своего мнения с мнением других. Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все учащиеся. Эти требования структурированы по трём компонентам: знать (понимать), уметь и использовать приобретённые знания и умения на практике. Основными технологиями развивающего обучения являются проблемнопоисковая, исследовательская. Согласно Федеральному базисному учебному плану для образовательного изучения темы «Квадратные уравнения» отводится 23 часа, куда включены: 1. Основные понятия, связанные с квадратными уравнениями; 2. Обзор известных способов решения квадратных уравнений (метод разложения на множители, метод выделения полного квадрата, графические методы); 3. Формулы корней квадратного уравнения; 4. Теорема Виета; 5. Разложение квадратного трехчлена на множители; 6. Рациональные уравнения; 7. Задачи на составление уравнений; 8. Иррациональные уравнения; 9. Равносильность уравнений; 10. Равносильные преобразования. § 3. Цели обучения теме «Квадратные уравнения» Формулировки обобщённых целей Ц 1: приобретение и преобразование УИ и формирование ПУД٭٭ Ц 2: контроль усвоения теории Таблица целей обучения квадратных уравнений Формулировки учебных задач, с помощью которых Опознаваедостигается обобщённая цель мость целей цель считается достигнутой, если ученик: на первом на втором на третьем уровне уровне уровне а) сравнивает а) составляет а) даёт а) общая схема уравнения по схему определение определения заданным определения типов понятия; б) признакам и понятия уравнений, классификация составляет конкретного составляет типов уравнений схему типа уравнения классификацию определения с типов понятия использованием уравнений; конкретного набора набор типа уравнения объектов; б) уравнений; б) с выполняет выполняет использованием анализ и анализ и учебника (др. выявляет выявляет помощи); в) преобразования, преобразования, сравнивает нужные для нужные для решение решения решения однотипных уравнений, с уравнений, в) уравнений 1-го использованием составляет уровня помощи; в) приёмы сложности обобщает решения решение уравнений уравнений данного типа с одного типа помощью указаний. знает: а) определение уравнения, классификацию и информационные определение типов уравнений; б) стандарты схемы, карточкиуравнений каждого типа и их решение; в) способы информаторы выполнения проверки; г) приёмы графического решения уравнений; д) приём решения текстовых задач с помощью уравнений; е) приём анализа вида выражения; ж) приёмы саморегуляции; з) мировоззренческое значение уравнений Ц 3: применение знаний и умений умеет: а) использовать основные преобразования для решения простейших уравнений в соответствии со стандартами; б) решать простейшие текстовые задачи и составлять их, используя простейшее уравнение умеет: а) использовать все преобразования для решения уравнений;б) решать текстовые задачи 2-го уровня сложности умеет использовать: а) функциональный метод для решения уравнений; б) решать текстовые задачи третьего уровня сложности г) составлять задачи: по данному уравнению, аналогичную задачу; обобщать и конкретизировать данную задачу; составлять текстовую задачу Ц 4: фор- на своём уровне освоения темы: а) работая в мирование группе , оказывает помощь, рецензирует ответы организа- товарищей, организует взаимоконтроль, ционных взаимопроверку на всех этапах УПД по умений выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; б) оказывает помощь товарищам, работающим на предыдущих уровнях; в) в соответствии с темой готовит сообщение и выступает с ним; г) составляет контрольную работу в соответствии со своим уровнем освоения темы, предлагает её для решения товарищу и проверяет решение Ц 5: фор- в соответствии со своим уровнем освоения темы мирование а) сам выбирает уровень освоения темы; б) организа- выбирает темы для дополнительного изучения; в) ционных формулирует цели своей учебной деятельности; г) умений осуществляет самопроверку с использованием образцов, алгоритмов, приёмов; д) оценивает свою УПД по данным объективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями; е) делает выводы по итогам предыдущей УПД, о дальнейших действиях, направленных на её коррекцию, планирует коррекцию УПД Приём саморегуляции, предписания; стандарты уравнений, их решение приёмы контроля, оценки и др.; таблица коммуникативной компетентности приёмы саморегуляции УПД ٭УИ – учебная информация; ٭٭ПУД – познавательные учебные действия По субъекту деятельности средства обучения условно можно разделить на средства преподавания и средства учения. Средства обучения включают в себя: наглядные пособия, учебники, таблицы, плакаты, справочники, тренажёры, карточки-задания и т.д. В современном процессе обучения используется следующий ряд новых технических средств: учебные электронные издания, компьютерные обучающие системы, аудио, видео – учебные материалы. В последние годы всё более глубоко исследуется вопрос о применении мультимедийных технологий в школе. Использование мультимедийных средств обучения помогает реализовать личностно-ориентировочный подход в обучении, обеспечивает индивидуализацию и дифференциацию обучения с учётом особенностей детей, их уровня подготовки и склонностей. Наиболее широко распространены программные средства типа «опросник», тест или тренажёр для контроля знаний учащихся или закрепления определённых учебных умений или навыков. При изучении темы «Квадратные уравнения» для контроля знаний, умений и навыков учащихся предлагаю следующий тест: Часть 1 А1. Укажите корни уравнения: (х – 2) • (х + 5) = 0 1) 2; -5 2) -2; 5 А2. 4) 2; 5 Упростить: а(а-4)-(а-2)² 1) 2а² 2) 4-а² А3. 3) -2; -5 3) а²-4 4) -4 Соотнесите каждое уравнение с его большим корнем: 1. 2х²+3х-5=0 2. х²+7х=0 3. х²=25 А) х=0 Ответ Б) х=1 В) х=5 А Б В А4. Два мастера, работая вместе, могут выполнить работу за шесть дней. За сколько дней может выполнить эту работу каждый мастер, работая отдельно, если первый может выполнить всю работу быстрее, чем второй. Пусть первый мастер, работая отдельно, закончит работу за х дней. Какое уравнение соответствует условию задачи? 1) 3) 1/х + 1/х+9 = 1/6 2) 6х = 6(х+9) 4) 1/х = 1/х+9 1/6-х = 1/ х+9 Часть 2 В1. Найти значение выражения: (а-2)(а+2)(а²+4) – (а²-1)², при а=2 Ответ: В2. Найти наименьший корень уравнения: 2х²-х=0 Ответ: В3. Найти сумму корней уравнения: 3х² - 18х = 0 Часть 3 С1. Решить уравнение: 1/х-1 + 1/х²- 1 = 5/8 С2. При каких значениях параметра а уравнение 3х² - 5х + 2а = 0 имеет различные положительные корни. Самостоятельная работа – еще одна из форм средств обучения, которая позволяет осуществить дифференцированный контроль знаний. Например, по теме « Квадратные уравнения » можно предложить следующую самостоятельную работу. Задание 1 . Заполни таблицу. Квадратный трехчлен a b x2 – 2x 5x2 – 7x – 1 x – 3x2 + 2 2x + 5 x2 x2 x2 + px + q 2x2 – mx + m - 2 (x – 3)2 (x – 2)(x – 5) - 2 (x + a )2 Задание 2. Выдели квадрат двучлена в следующих трехчленах: x2 + 2x = 2x2 + 4x = x2 – 7x = x2 + px + q = Задание 3. Найти дискриминант. x2 +2x +1 ; x2 +2x ; x2 +1 ; 2x2 - 6x -20; 4x2 – 12mx +9m2 ; D= D= D= D= D= Задание 4. Решить уравнение. 5x2 - 9x +4 = 0, -2x2 + 18x = 0, 3x2 = 12x, -2,5x2 = 0, 3x2=0. Задание 5. Разложи на множители квадратный трехчлен. x2 - 2x - 3 = 4x2 - 15x +11 = c 4x2 – 12mx +16m2 = Задание 6. Пусть x1 и x2 – корни квадратного трехчлена x2 + px + q. Вырази данное выражение через коэффициенты p и q. x12 + x22 = x13 + x23 = 1/ x1 + 1/ x2 = Задание 7. При каких значениях p один их корней уравнения равен нулю. x2 - 2x + p = 0 x2 - 2x + p - 3 = 0 Дидактические игры можно широко использовать как средства обуч5ения, воспитания и развития. Основное обучающее воздействие принадлежит дидактическому материалу, игровым действиям, которые как бы автоматически ведут учебный процесс, направляя активность детей в определенное русло. Основными структурными компонентами дидактической игры являются : игровой замысел, правила, игровые действия, познавательное содержание или дидактические задачи, оборудование, результаты игры. Правила дидактических игр разрабатываются с учетом цели урока и индивидуальных возможностей учащихся. Например, обобщающий урок по алгебре в 8 классе по теме «Квадратные уравнения» : «Полёт на Луну». Цели и задачи 1. Повторить темы «Неполные квадратные уравнения», «Формулы для решения квадратного уравнения», «Задачи, решаемые с помощью квадратного уравнения» 2. Решить задачи и номера для подготовки к контрольной работе. 3. Научить эстетическому восприятию алгебраических уравнений и задач (красивая и стройная запись на доске и в тетрадях) 4. Развить более глубокий интерес к предмету через необычное представление алгебраического материала. Оборудование: 1. Учебник Алгебра 8; 2. Карточки – лото с заданием; 3. Рисунок на доске для полета на Луну; 4. Карточки – задания для решения уравнений и задач. План урока: 1. Вступление; 2. Допуск к началу урока; 3. Решение уравнений и задач; 4. Заключение; 5. Домашнее задание. Ход урока. 1 . Вступление «Наш класс - космодром» Для того, чтобы на следующем уроке хорошо написать контрольную работу, мы сегодня совершим «полёт» на Луну. Чтобы совершить этот полет, необходимо пройти на космодром. На доске записаны основные понятия темы «Квадратные уравнения». Необходимо дать им определения, записать формулы для решения неполного, полного квадратного уравнения, условия дискриминанта, формулы теоремы Виета. 1. Квадратное уравнение 2. Полное квадратное уравнение 3. Неполное квадратное уравнение 4. Приведенное квадратное уравнение 5. Неприведенное квадратное уравнение 6. Дискриминант 7. Корни квадратного уравнения 8. Теорема Виета Все правильные ответы дают допуск на космодром. 2. «Стартовая площадка» Чтобы попасть на стартовую площадку надо собрать карточку – лото. (класс разбивается на две группы, каждая группа имеет свою карточку – пропуск) 1 команда 1) 2x2 + 7x – 9 = 0 D= 121 x1 = - 4,5 x2=1 2) 3x2 - 13 x – 10 = 0 D = 289 x1 = -2/3 x2 = 5 3) 4x2 - 36x = 0 x1 = 0 x2=9 4) x2 - 4x = 0 x1=0 x2=4 2 команда 1) 3x2 =27x x1 = 0 x2 = 9 2) 2x2 - 50x = 0 x1=5 x2= -5 3) x2 + 20x +91 = 0 D =36 x1 =-13 x2= -7 2 4) x - 16x + 63 = 0 D=4 x1=7 x2 =10 3. «Космический корабль» Получив карточку- доступ необходимо перейти к следующему этапу. Каждая команда должна занять место в «космическом корабле», преодолев при этом три ступени подъёма: занять место командира корабля ( если все задания выполнены все правильно и быстро), штурмана и выполнить команду «ключ на старт» 1 команда I ступень 5x2 = 45 2 команда x2 - 25 = 0 II ступень 4x2 - x = 0 5x2 – 12x = 0 III ступень 9x2 - 7x - 2 = 0 2x2 + 18x - 63 = 0 IV ступень (задание командиру экипажа) Дано : x2 + px +24 = 0, x1=0 Дано : x2 - 7x + q = 0, x1=8 Найти : x2 и p Найти : x2 и q 4. «Ключ на старт» Решение задач на составление уравнений для двух команд. 1 команда Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24см2. Найти длины сторон прямоугольника. 2 команда Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь 21см2. Найти длины сторон прямоугольника. 5. Заключение и подведение итогов. Ракета оторвалась от Земли и взяла курс на Луну. Знания, закрепленные на уроке, помогут в исследовании неизвестных миров. Первая станция после прилунения будет на следующем уроке, и носит она название «Контрольная работа». По итогам подготовке к полету выставляются оценки всем, кто принял непосредственное участие в этой работе. 6. Домашнее задание 1. Повторить все определения, теоремы и формулы по пройденной теме. 2. Проверь себя.(вопросы из учебника) 3. Номера из учебника. Проблема обучения самостоятельной работе является актуальной для учителей математики. Для успешного овладения современным содержанием школьного математического образования необходимо повысить эффективность процесса обучения в направлении активизации самостоятельной деятельности. Все эти проблемы успешно могут быть решены путем использования модульной технологии, которая представляет собой совокупность различных форм и способов совместной деятельности учителя и учащегося. Основными целями такой технологии являются: комфортный темп работы обучаемого, определение им своих возможностей. Интеграция различных его видов и форм, формирование регулятивных УУД (целеполагание, планирование, контроль, коррекция, оценка). Основное средство модульного обучения – модульная программа, где следует учитывать целевое назначение материала; сочетание комплексных, интегрирующих и частных целей; полноту учебного материала в модулях; относительную самостоятельность элементов модуля; реализацию обратной связи; оптимальную передачу информационного материала. Использование модульной технологии способствует повышению уровня знаний, умений и навыков. При этом у учащихся формируются: умение ставить перед собой учебную цель и намечать пути ее достижения; умение оценивать и анализировать свою деятельность; навыки работы с источниками информации; навыки самоконтроля, взаимоконтроля, учебного, делового общения, самообучения; умение работать в паре, в группе, самостоятельно по алгоритму и творчески; адекватная самооценка полученных результатов. Например, описание и содержание одного из разработанных модулей по теме «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения». Работа учащихся состоит из нескольких этапов, так называемых учебных элементов (УЭ). Учебный модуль № УЭ0 УЭ1 Название учебного элемента Содержание, формы, методы (советы учителя) Интегрирующая цель: 1. Усвоить понятия квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения. 2. Получить приемы решения неполных квадратных уравнений. 3. Уметь находить корни неполных квадратных уравнений. 4. Освоение данного модуля будет способствовать развитию учебных умений и навыков в самостоятельной работе с учебников, умению обобщать и делать выводы. Актуализация знаний Частная дидактическая цель – подготовиться к изучению нового материала. В процессе работы с УЭ-2 и УЭ-3 вы должны: Выучить определения квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения; Научиться решать неполные квадратные 1) Закончите предложения. Равенство, содержащее переменную, называется… Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство, называется… 2) Устно решите уравнения (на доске): 4х = -2 5х – 4 = 2х + 8 3х( х + 2) = 0 0,5х2 = 32 УЭ2 УЭ3 уравнения, используя имеющиеся в учебнике примеры; Уметь решать неполные квадратные уравнения в общем виде, выделять коэффициенты квадратного уравнения. Частная дидактическая цель – изучить новый материал данной темы и начать его первичное усвоение Частные дидактические цели: Задание 1 а)прочитайте определение квадратного уравнения; б)запишите определение в тетрадь, приведите свои примеры (2-3 квадратных уравнения); в)расскажите определение друг другу. Задание 2: а)прочитайте определение неполного квадратного уравнения; б)запишите определение в тетрадь и приведите 2-3 своих примера неполных квадратных уравнений; в)расскажите определение друг другу; г)запишите в общем виде 3 вида неполных квадратных уравнений; д)существенны ли замечания: 1) с ≠ 0; 2) b ≠ 0. Закончив изучение определений, дайте знать учителю о готовности к беседе. Вопросы для беседы с классом. 1. Дать определение квадратного уравнения, назвать коэффициенты (почему а ≠ 0), привести примеры. 2. Дать определение неполного квадратного уравнения, привести примеры. 3. Записать 3 вида неполных квадратных уравнений (в общем виде). Укажите в квадратном уравнении его коэффициенты: а)5х2 – 9х + 4 = 0 5, -9, 4 – коэффициенты квадратного уравнения (5 – первый коэффициент, 9 – второй, 4 – свободный член). Задание 3: 1. Разобрать в учебнике пример 1, а)научиться приемам решения неполных квадратных уравнений; б)научиться правильно записывать решение УЭ4 Частная дидактическая цель – проверить полноту и качество усвоенного материала УЭ5 Рефлексия УЭ6 Домашнее задание пример 2. 2. Разобрать решение в общем виде неполного квадратного уравнения вида ax2 + c = 0 3. Всегда ли данное квадратное уравнение имеет корни? 4. Решить уравнения из учебника. 5. Подготовиться к ответу у доски. Задание 4: 1. Разобрать в учебнике пример 3. 2. Разобрать решение в общем виде неполных квадратных уравнений вида ax2 + bx = 0 и ax2= 0. 3. Какой способ используется при решении квадратного уравнения вида ax2 + bx = 0? 4. Сделать вывод о числе корней этих двух квадратных уравнений. 5. Решите уравнения из учебника. 6. Подготовиться к ответу у доски. Задание 1. По таблице 1 ответьте на вопросы: а) Всегда ли неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0 имеет корни? Если имеет, то сколько? б) Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение вида ax2 + bx = 0? Почему? в) Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение вида ax2= 0? Почему? Задание. Выполните самостоятельно по вариантам работу, используя таблицу 2. Через 15 минут сдайте ее учителю. Проведите самоконтроль, ответив на вопросы: достигли ли вы поставленной цели на уроке? Для этого вернитесь к началу модуля УЭ-2, к интегрирующей цели урока. Запишите домашнее задание из учебника. Использование цифровых образовательных ресурсов (ЦОР) в процессе обучения математике в условиях реализации ФГОС наряду с предметными компетенциями способствуют эффективному формированию информационной компетенции, общепредметной компетенции, связанной с математическим моделированием. Целями использования ЦОР являются повышение качества математического образования и увеличение степени его доступности. При характеристике ЦОР следует обращать внимание на его содержание: организация теоретического материала, виды практикумов и упражнений в них, наличие подсказок, виды проверочных работ. В ЦОР по данной теме можно включить: электронное пособие (использовать фрагменты при фронтальной работе с классом при организации групповой и индивидуальной работы); видео-урок, комплекс «Репетитор» (в форме аудио-визуальных интерактивных демонстраций), диски с уроками, наглядные пособия. На уроках с использованием ЦОР учитель может организовать работу для учеников, учитываю их опыт, умения проводить мини исследования: 1 группа учащихся 2 группа учащихся 3 группа учащихся Учащиеся Учащиеся для решения Учащиеся обращаются к самостоятельно без задачи используют пошаговым подсказкам подсказок (со стороны наводящие вопросы и и ответам (иллюстрации учителя и компьютера) подсказки (со стороны на них). решают задачу и учителя и компьютера) представляют результат Некоторые ЦОР содержат знания поискового эврического характера. Учащиеся могут включаться в экскурсию, которая может быть организована не только в классе, но и виртуально, например, на сайтах учебных центров. ЦОР могут быть использованы при организации лекционной форма обучения. В каждой лекции можно встретить такие элементы: обоснование необходимости изучения темы, проблемные ситуации и их анализ, работа с математическими предложениями по определенной схеме, обсуждение круга вопросов. Современные школьники могут воспринимать обучение через интернет, могут получить любую информацию по теме, получать консультацию. Обучаясь в центрах дистанционного обучения (ЦДО) можно приблизиться к решению нескольких проблем: подготовка к ГИА, ЕГЭ и поступлению в ВУЗы, поднять свой уровень и ликвидировать проблемы. Современная школа видит свою основную цель в изучении ученика как неповторимой индивидуальности, в создании оптимальных условий для его становления, личностного развития, в поддержке на пути самоопределения и самореализации через образование. Безусловно, все это имеет большое значение для перехода к экспериментированию новых идей и педагогических решений. Ориентированность на действие предполагает самостоятельное добывание учащимися необходимых знаний в процессе решения определенной проблемы с обязательным выполнением всех фаз полного действия: информирование, планирование, принятие решения, выполнение, контроль и оценка. Основой обучения методики дидактических задач становится не только самостоятельное планирование учащимися, проведение и контроль деятельности, но и организация ими собственного учебного процесса. Понимание постановки задания, добывание информации и планирование работы, выполнение деятельности, ее контроль и оценка образуют ядро обучения. В центре обучения стоит усвоение базы знаний, необходимой для успешного усвоения учебной деятельности. Например, рассмотрим последовательность фаз такого занятия при изучении темы «Решение квадратных уравнений». Структуру этого урока представим в виде технологической карты (табл.2), указав соответствующие цели (табл.1) и методико-дидактическое обеспечение (МДО) (табл.3). Таблица 1. Цели урока Знать Уметь Формулу корней квадратного 1. Определять последовательность действий уравнения общего вида при решении квадратных уравнений. 2. Решать квадратные уравнения общего вида. 3. Анализировать выполненную работу. Практика организации занятий, ориентированных на действие, показывает, что введение новых знаний целесообразно строить по методике дидактических задач. Изучение нового материала начинается с его подачи. Действие начинается с анализа информационной базы, в результате чего учащийся получает задание. Затем планируется ход действий, и выбирается одна из возможных альтернатив действий. Наконец выполняется запланированное действие. Таблица 2. Технологическая карта урока Этапы занятия Цели Время Содержание (мин.) деятельности 1. Постановка Мотивировать 2 Обоснование темы и целей учащихся на значимости активную рассматриваемого познавательную материала в деятельность практической деятельности. Формирование целей 2. Постановка Воспринять и 3 Ознакомление с задачи осмыслить дидактической задание задачей. Выяснение возможностей разрешения заданной ситуации (лист 1) 3. Усвоить новую 7 Работа с Информирование информацию. информационным Знать формулу листом нахождения (справочным корней материалом) (лист квадратного 2) уравнения Формы и методы Фронтальная беседа Фронтальная беседа Индивидуальная работа 4. Планирование/ Уметь принятие рационально решения использовать новую информацию 5. Выполнение Уметь составлять алгоритм решения квадратных уравнений; решать квадратные уравнения; анализировать выполненную работу 3 Составление плана Самостоятельная действий (лист 3) работа в группах 19 6. Контроль Проверить полноту и правильность выполнения заданий 6 7.Оценка Уметь 5 оценивать деятельность в соответствии с предложенными критериями Определение последовательности действий при решении квадратных уравнений (лист 4); решение уравнений (лист 6); проверка предложенных решений (лист 7); решение дидактической задачи (лист 1) Сравнение последовательности действий при решении квадратных уравнений с эталоном (лист 5); выявление собственных ошибок (лист 8); анализ предложенного решения; проверка решения дидактической задачи Заполнение оценочного листа (лист 10) и обсуждение достижения поставленных целей Работа в группах; индивидуальная работа; фронтальная работа Контроль учителя; самоконтроль; фронтальная беседа; взаимопроверка Самооценка; работа в группах Таблица 3. МДО урока по теме «Решение квадратных уравнений» № 1 2 3 4 Содержание Текст дидактической задачи (задание 4) Информационный лист по теме «Решение квадратных уравнений» Лист-планирование Определение последовательности действий при решении квадратных уравнений (задание 1) 5 Эталон последовательности действий при решении квадратных Лист 1 2 3 4 5 уравнений 6 Примеры для решения (задание 2) 6 7 Примеры для проверки (задание 3) 7 8 Проверочный лист 8 9 Таблица перевода баллов в отметку 9 10 Оценочный лист 10 Рассмотрим последовательность фаз приведенного выше урока. Следует отметить, что перед началом занятия класс делится на группы и каждому учащемуся предлагается папка, содержащая МДО, т.е. определенный набор листов формата. 1. Информация. Занятие начинается с формирования целей (метоплан на доске) и постановки дидактической задачи практического характера (лист 1). Таким образом, через близкую к реальной жизни постановку задания достигается двойная цель. Во-первых, учащиеся видят, с какими требованиями они могут столкнуться в реальной дальнейшей жизни, и, вовторых, возникает адекватная ситуация запроса необходимых в обучении знаний и умений. Лист 1 Дидактическая задача После выпуска из школы ученики обменялись фотографиями. Сколько было учеников, если по свидетельству одного выпускника они обменялись 870 фотографиями? Задание 4 Решение задачи: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 2. Планирование. Поскольку задание для учащихся является новым и подобрано так, что с помощью имеющихся знаний и умений его решить нельзя, то у них возникает информационный дефицит. Учащиеся запрашивают недостающую информацию, и учитель предоставляет ее в форме информационных листов, фрагмент которого приведен на листе 2, причем эта информация необязательно предлагается в форме каких-либо конкретных листов. Она может быть представлена подобранной литературой, информацией на электронных носителях и т.д. Эти особенности зависят от мастерства учителя и возможностей учащихся. Обучающиеся изучают предложенную им информацию и направляют ее для решения ранее возникшей проблемы. Лист 2 Информационный лист по теме «Решение квадратных уравнений Рассмотрим квадратное уравнение общего вида: ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0. (*) Формулу (*) называют формулой корней квадратного уравнения общего вида. Выражение b2 – 4ac называют дискриминантом и обозначают D = b2 – 4ac. Пример. Решить уравнение 6x2 + x – 2 = 0. Решение: Здесь a = 6, b = 1, c = - 2, тогда D = 12 – 4∙6∙ (-2) = 49. По формуле (*) находим: , Ответ: , откуда получаем . , . 3. Принятие решения. В этой фазе занятия планируется дальнейший ход действий для решения дидактической задачи. Число и последовательность учебных этапов определяется так же, как и средства, необходимые для каждого учебного этапа и может быть записано в Лист-планирования (лист 3). Лист 3 Лист-планирование Вам необходимо научиться решать квадратные уравнения. Спланируйте свои действия в соответствии с целями урока. Как вы действуете? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. Выполнение. За принятием решения следует воплощение запланированного в конкретные действия. В нашем случае на этой фазе происходит групповое составление алгоритмов решения примеров (лист 4) с подробным и полным решением, которые предлагает учитель в готовом виде на «Информационных листах» или посредством подобранной литературы; индивидуальное выполнение конкретных примеров (лист 6), групповой анализ решения задачи предложенного учителем типа «Найти ошибку в предложенном решении» (лист 7). Завершает этот этап решение дидактической задачи (возврат к листу 1). Лист 4 Задание 1 Группа 1 Составить алгоритм решения примера 1 из информационного листа 2. Группа 2 Составить алгоритм решения примера 2 из информационного листа 2. Группа 3 Составить алгоритм решения примера 3 из информационного листа 2. Лист 5 Алгоритм решения квадратных уравнений 1. Определить коэффициенты а, b, с. 2. Вычислить дискриминант(D). 3. По значению дискриминанта (D) определить количество корней и найти их: 3а) если D›0, то уравнение имеет два корня; 3б) если D=0, то уравнение имеет один корень; 3в) если D‹0, то уравнение не имеет действительных корней. Лист 6 Задание 2 Решить уравнения: Вариант 1 1) x2 – 2x + 1 = 0 2) 18x2 + 3x + 1 = 0 3) 2x2 + 5x + 3 = 0 Каждый учащийся группы получает свой вариант. Лист 7 Задание 3 Проверь правильность решения и исправь найденные ошибки. Решить уравнение x2 + 4x + 4 = 0. Решение: 1) a = 1; b = 4; .c = 4. 2) D=0. Ответ: Действительных корней нет. Каждая группа получает своё задание. 5. Контроль. После выполнения задания наступает этап контроля решения. 6. Оценка. Занятие заканчивается оценкой решения дидактической задачи. Следует заметить, что фазы «контроль» и «оценка» могут идти параллельно (листы 5 и 8), причем сразу по мере выполнения промежуточных задач заполняется оценочный лист (лист 10). В конце занятия осуществляется перевод полученных баллов в отметку (лист 9). Лист 8 Проверочный лист Вариант 1 1) x1,2 = 1 2) Действительных корней нет. 3) x1 = 1; x2 = 0,5. Лист 10 Оценочный лист № п/п Фамилия, имя учащихся Баллы Оценка Задание Задание Задание Задание Всего 1 2 3 4 Критерии оценки Баллы Задания 1 2 1 0 2 3 4 Найдена и Полное соответствие Все примеры Задача решена правильно алгоритму решены верно правильно исправлена ошибка Ошибки в формулировке Ошибка Допущены 1 алгоритма решения _ найдена, но не или 2 ошибки квадратных уравнений исправлена Алгоритм составлен Допущено 3 и Задача решена Ошибка не неправильно более ошибок неправильно найдена Лист 9 Таблица перевода баллов в отметку Баллы Отметка 8 5 7–6 4 5–4 3 Познавательные УУД Регулятивные УУД Изучение темы; доказательство теорем; проверочные работы; исследовательская работа Рефераты по теме; исследовательская работа; лабораторная Коммуникативные УУД Работа в парах, группах; КВН по теме Глава 2 Методические рекомендации обучения теме «Квадратные уравнения» При использовании методики дидактических задач учитель на подготовительной фазе продумывает и планирует учебную ситуацию до мелочей, но в конкретной ситуации, как правило, ограничивается ролью консультанта. Здесь методической стороной учения являются тема и результат совместной беседы. Обучение, ориентированное на действие, предполагает сочетание самых разных способов взаимодействия на учебных занятиях, в основе которых лежит индивидуальное приобретение и присвоение знаний. Методика дидактических задач позволяет строить процесс обучения в рамках деятельного подхода, развивать мышление учащихся, умение разрабатывать При изучении какой-либо темы по математике следует ознакомить учащихся с картой целей и учебных задач, на основе которых учитель составляет карту соответствующей темы, что позволяет ученику: выбрать уровень усвоения темы, дополнительный материал для самостоятельного изучения по теме, определить цели и средства освоения цели, то есть построить собственную образовательную траекторию. § 4. Карта изучения темы и её использование Карта изучения темы «Квадратные уравнения» I Логическая структура и цели изучения темы (23 часа) §24 §25 §26 §27 §28 §29 §30 Контрольная Коррекция работа (6-7) Ц 1-5 Ц 1-5 Ц 2, 3, Ц 1-5 Ц 2, 3, Ц 2, 3, Ц 2, Ц 2, 3, 5 Ц 3, 4, 5 4 4, 5 4 3, 4, 5 II Блок актуализации знаний учащихся Знать: определение уравнений (квадратных, полных, неполных, приведённых, неприведенных, рациональных, иррациональных); стандартны уравнения каждого вида, знать алгоритмы решения уравнений, знать способы выполнения проверки, знать приемы анализа и саморегуляции, знать теоремы. Уметь: решать уравнения; задачи с помощью уравнения, делать проверку, уметь обобщать уравнение и задачи, решаемые с помощью уравнения. III Основные понятия, теоремы, типы задач, методы, изучаемые в теме ( Ц 1, 2) Понятия: Теоремы: Типы задач: Квадратных Т1: если D меньше 0, Задачи на движения, задачи на уравнений, полных, то уравнение не имеет сплавы и смеси, задачи на работу неполных, корней. и т.д. приведенных, Т2: если D = 0, то неприведенных, уравнение имеет один рациональных, корень. иррациональных. T3: если D > 0, то уравнение имеет два корня. Теорема Виета Теорема: если квадратных трехчлен раскладывается, то он имеет корни IV Образца заданий итоговой контрольной работы (Ц5, Ц3) Контрольная 5 Контрольная 7 1 уровень 1 уровень. Задание 1. Решить уравнения 1. Найдите корни уравнений: 2 а) x – 4x + 3=0; a) x2/(x+6) = ½; б) x2 + 9x = 0; б) (x2 – x)/(x +3) = 12/(x+3) в) 7x2 – x – 8 = 0; г) 2x2 – 50 = 0 2. Решите задачу: Длина прямоугольника на 5 см больше ширины, а его площадь равна 36 см2. Найдите стороны прямоугольника. 3. Определите значения y, при которых верно равенство: y2 – (9y-2)/7 = 0 4. Один из корней данного уравнения равен 4. Найдите второй корень и число а. x2 + x – a = 0 5. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны -5и8 2. Решите задачу: Катер прошел 80км по течение реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2км/ч. 3. Функция задана формулой y = (x2 – 3x + 2)/(x2 – 1) определите, при каком значении x значение данной функции равно нулю. 4. Решите уравнение: 3/(a + 2) + 1 = 4/(a2 + 4a + 4) 2 уровень 1. Найдите корни уравнений: а) (3x + 1)/(x – 2) = (2x – 10)/(x + 1); б) (x+2)/(x – 1)+x/(x+1) = 6/(x2 – 1) 2. Решите задачу: Из города в село, расстояние до которого равно 120 км, выехал велосипедист. Через 6 2 Уровень. часов вслед за ним выехал мотоциклист, 1. Решите уравнения: скорость которого на 10км/ч больше 2 a) x + 2x – 63 = 0; скорости велосипедиста. Определите 2 б) 0,9x – 3x = 0; скорости велосипедиста и мотоциклиста, 2 в) 2x – 5x + 2 = 0; если в село они прибыли одновременно. 2 г) x – 2x – 6 = 0. 3. Функция задана формулой 2. Решите задачу: y = (2x2 – 5x – 3)/(x2 – 9) Найдите длины сторон определите, при каком значении x график прямоугольника, периметр которого этой функции пересекаются с прямой y =1. равен 32 см, а площадь равна 55 см2. 4. Решите уравнение: 3. Определите значения y, при 1/(a2 – 4a + 4)-4/(a2 – 4)=1/(a+2) которых верно равенство: 3 уровень. 2 (y + 6y)/6) – (2y+3)/2) = 12 1. Найдите корни уравнений: 4. Решите задачу: а) (x2-12)/(x2 – 4) + x/(x-2)=1; Один из корней уравнения 2x2 + 10x б) x/(x+1) – 1/x = 1/(x2+x) + q = 0 на 3 больше другого. 2. Решите задачу: Найдите свободный член q. Два слесаря, работая совместно, могут 5. Составьте квадратное уравнение, выполнить задание на 8 дней быстрее, чем корни которого равны один первый слесарь, и на 18 дней быстрее, -3 и – (1/3) чем один второй. Сколько дней 3 уровень потребуется слесарям на совместное 1. Решите уравнения: выполнение задания? 2 а) x + x = 90; 3. При каких значениях а уравнение б) -4x = 7x2; (x2 – 8x +15)/(x – a)=0 в) (1/5)x2 + x – 10 = 0; будет иметь один корень? 2 г) x + 4x + 5 = 0. 4. Решите уравнение: 2. Решите задачу: 1/(a – 2)+2/(a2+1)=5/(a3 – 2a2 + a – 2) Когда от квадратного листа фанеры отрезали прямоугольную полосу шириной 2 м, площадь листа составила 24м2. Найдите первоначальную площадь листа. 3. Определите значения x, при которых верно равенство: (x – 3)2/16) – (x – 2)2/4) = (1 – x)/2. 4. Решите задачу: Разность корней уравнения 2x2 – 5x + c = 0 равна 1,5. Найдите с. 5. составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2 + √3 и 2 - √3. § 5. Учебный план темы «Квадратные уравнения» Тематическое и почасовое планирование по теме «Квадратные уравнения» (8 класс; 22 часа) № Раздел, тема урока уроков Форма урока; форма обучения 1 Основные понятия. Средства обучения: таблица, карточки с приёмами, карта темы Урок смешанного типа, фронтальная и индивидуальная формы обучения 2 Основные понятия. Средства обучения: Вводно-обзорный семинар, групповая Предметные и метапредметные результаты Ц1 (ПЛ УУД), Ц2 (ПО УУД, РУУД), Ц3, Ц4 (КсУУД, КРУУД), Ц5 (ПОУУД, РУУД) Ц 5: введение в тему, постановка и формулирование целей своей учебной деятельности; развитие организационных умений (целеполагание, планирование, реализация плана, саморегуляция УПД) Ц 1: приобретение учебной информации и развитие интеллектуальных умений при изучении понятий, теорем, типов задач Ц 2: контроль усвоения теоретических знаний; 3 4 5 6 7 таблицы, предписания, карточки-задания, тест работа Формула нахождения корней квадратного уравнения. Средства обучения: таблицы, карточки с приёмами, карта темы Формула нахождения корней квадратного уравнения. Средства обучения: таблицы, карточки с приёмами, карта темы Формула нахождения корней квадратного уравнения. Средства обучения: таблицы, карточки с приёмами, карта темы Рациональные уравнения. Средства обучения: таблицы, подсказки к поиску решения задач, карточки с приёмами, тесты, самостоятельные работы, карта темы Рациональные уравнения. Средства обучения: таблицы, подсказки к поиску решения задач, карточки с приёмами, Лекция-диалог, форма обучения фронтальноиндивидуальная Ц 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении уравнений; Ц 4: развитие коммуникативных умений через: включение в групповую работу; взаимопомощь, рецензирование ответов; организацию взаимоконтроля и взаимопроверки на всех этапах УПД Ц1 Ц2 Ц4 Урок смешанного типа, форма обучения фронтальноиндивидуальная Ц5 Ц1 Практикум, форма обучения фронтальная и парная Ц2 Ц3 Ц4 Ц5 Урок смешанного типа, форма обучения фронтальноиндивидуальная Ц5 Ц1 Урок смешанного типа, фронтальная и индивидуальная формы обучения Ц5 Ц1 8 9 10 11 12 тесты, самостоятельные работы, карта темы Рациональные уравнения. Средства обучения: таблицы, подсказки к поиску решения задач, карточки с приёмами, тесты, самостоятельные работы, карта темы Контрольная работа № 6. Средства обучения: текст Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Средства обучения: Подсказки к поиску решения задач, карточки с приёмами, карта темы Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Средства обучения: Подсказки к поиску решения задач, карточки с приёмами, карта темы Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Средства обучения: Подсказки к поиску решения задач, карточки с приёмами, Практикум, фронтально – групповая форма обучения Ц2 Ц3 Ц4 Практикум, индивидуальная форма обучения Ц2 Ц3 Ц5 Вводно-обзорный семинар, фронтальная и индивидуальная формы обучения Ц2 Ц4 Ц5 Ц1 Смешанный тип, Ц5 фронтальная форма Ц 1 обучения Смешанный тип, фронтальная и индивидуальная формы обучения Ц2 Ц3 Ц4 Ц5 13 14 15 16 17 18 19 карта темы Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Средства обучения: Подсказки к поиску решения задач, карточки с приёмами, карта темы Ещё одна формула для нахождения корней квадратного уравнения. Средства обучения: таблица, предписание, карта темы Ещё одна формула для нахождения корней квадратного уравнения. Средства обучения: таблица, предписание, карта темы Теорема Виета. Средства обучения: подсказки к поиску решения задач, тесты, карта темы Теорема Виета. Средства обучения: подсказки к поиску решения задач, тесты, карта темы Иррациональные уравнения. Средства обучения: предписание, карточки с приёмами, карта темы Иррациональные уравнения. Средства обучения: предписание, карточки с приёмами, карта темы Практикум, Индивидуальная Ц2 Ц3 Ц4 Ц5 Смешанный тип, фронтальноиндивидуальная Ц5 Ц1 Практикум, индивидуальный Ц2 Ц3 Ц4 Ц5 Лекция-диалог, фронтальноиндивидуальная Ц1 Ц2 Ц4 Практикум, групповая Ц2 Ц3 Ц4 Вводно-обзорный семинар, фронтальноиндивидуальная Ц2 Ц3 Ц4 Ц5 Урок смешанного типа, групповая Ц2 Ц3 Ц4 20 21 22 Иррациональные уравнения. Средства обучения: предписание, карточки с приёмами, карта темы Контрольная работа №7 Средства обучения: текст Практикум, индивидуальная Ц2 Ц3 Ц4 Практикум, индивидуальная форма обучения Ц2 Ц3 Ц4 Ц5 Урок коррекции и рефлексии. Средства обучения: таблицы, карточкизадания, тесты, карта темы Рефлексивный семинар, индивидуальная, парная (взаимопомощь) Ц2 Ц 4: анализирует собственные ошибки, с помощью товарищей исправляет их Ц5 V. Задания для внеудиторной самостоятельной работы (Ц 2; 3; 4; 5) Часть I Часть II Часть III Количество баллов I 1-10 1 2 3 4 5 1 2 3 II III 4 Схема перевода рейтинга в школьную оценку «2» «3» «4» «5» 0–6 7 – 12 13 – 15 16 - 23 всего § 6. Примеры реализации целей обучения теме «Квадратные уравнения» Часть I 1. Укажи коэффициенты в квадратном уравнении (3х + 1)(2х – 3) + 4(х – 2) = 5(4 – 3х) 2. Реши уравнение 12 - х² + 3х = 0 3. Реши уравнение (х – 2)(х + 4) = 0 4. Реши уравнение (х²- х) + х = 0 2 3 5. При каких значениях параметра р уравнение имеет один корень х²- рх + 9 = 0 6. Реши уравнение 3х + 4/х = 7 7. Реши уравнение (2х – 7) _ (х + 2) = (х + 6)___ (х – 4) (х + 1) (х – 4)(х + 1) 8. Реши уравнение, используя формулу, когда b чётное х² - 14х + 33 = 0 9. Не используя формулу корней, найти корни уравнения х² + 3х + 2 = 0 10.Площадь прямоугольника равна 675 см². Найти его стороны, если одна из них на 30 см меньше другой. Часть II 1. Реши уравнение: ____ √х² - 1 = 2 2. Реши уравнение: _____ ____ √15 – х + √3 – х = 6 3. Сократи дробь: (2х² + 5х – 7) = 0 (х² - 8х + 7) 4. Найти такие значения k, при которых уравнение х² - 2kx + 2k + 3 = 0 имеет только один корень. 5. Задумали двузначное число. Оказалось, что если к квадрату этого числа прибавить 36, то получится число, большее задуманного в 20 раз. Какое число задумали? Часть III 1. Решить уравнение с параметром: х² - (2р – 2)х + р² - 2р = 0 2. Решить уравнение: (х² + 2х)²- 2(х + 2х) – 3 = 0 3. Упростить: (х² + 14)__ + _10 _ = __3х__ (х² - х – 2) (х + 1) (х – 2) 4. Сократить: _ (х - 5√х – 14) _ (х - 2√х – 8) VI. Темы индивидуальных заданий (Ц 4; 5): рефераты, доклады по теме «Квадратные уравнения» VII. Перечень универсальных учебных действий для усвоения темы (Ц 1 – 5) СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Федеральный государственный образовательный стандарт общего основного образования / М-во образования и науки РФ. – М.: Просвещение, 2011.-48с. 2. Асмолов А.Г. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система знаний: пособие для учителя / под редакцией А.Г. Асмолова. – М.:Просвещение, 2010.-159с. 3. Данилюк А.Я., Кондаков А.М., Тишков В.А. Концепция духовнонравственного развития и воспитания личности гражданина России. – М.: Просвещение, 2009.-24с. 4. Примерные программы по математике. – М.: Просвещение, 2010.-67с. 5. Л.И. Баженова. Алгебра в схемах, таблицах, алгоритмах. М. 2012г. 6. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 8 класс под редакцией А.П. Ершова. Москва 2002 г. 7. Алгебра I и II часть 8 класс под редакцией А.Г. Мордковича. Москва 2009 г. 8. Поурочное планирование по алгебре 8 класс под редакцией И.В. Комисаровой, издательство «Экзамен» 2008 г. 9. Программа по алгебре 8 класс, Москва 2009 г., автор И.И. Зубарев. 10. Математика в таблицах и схемах под редакцией Калбергенова Г.Е., Москва 2004 г. 11. Математические диктанты для 8 класса под редакцией Е.Б. Арутюняна. 12. Квадратичные уравнения. Учебное пособие. Под редакцией Э.Г. Гельфмана, Москва 1997 г. 13. Сборник задач по математике под редакцией Лебедева В.В. Издательство МАИ; 2006. 14. Тесты по алгебре для 7-9 классов под редакцией А.Г. Мордковича. Москва, 2004. 15. За страницами учебника алгебры, Л.Ф. Пичурин, Москва, 1990 г.