Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
Цель: Использовать способ выделения квадрата двучлена для решения полных квадратных уравнений.
Ход урока
I. Сообщение темы и цели урока
П. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
Вариант 1
1. В перечисленных уравнениях укажите: а) квадратные уравнения, б)
неполные квадратные уравнения, в) линейные уравнения:
А) Зх2~5х + 7 = 0; б) 2х3-21х + 7 = 0; в) 6х2-2х = 0;
Г) -2х + 14 = 0; д) -Зх2 +14 = 0; е) 4х + 7 = 0.
2. Какие корни имеет уравнение Ох2 +с - 0?
3. Решите квадратные уравнения:
A) (2x-lX3x+2)=0; б) 2х2-3х = 0; в) Зх2-6 = 0; г)-5х2 = 0.
Вариант 2
1. В перечисленных уравнениях укажите: а) квадратные уравнения,
б) неполные квадратные уравнения, в) линейные уравнения:
А)-7х + 5 = 0; б) ~2х2 + Зх + 1=0; в) 4х3-13л:2=0;
Г) Зх2 + 5х = 0; д) -2Х2 -13 = 0; е) Зх - П = 0.
2. Какие корни имеет уравнение Ох2 + Ьх = 0?
3. Решите квадратные уравнения:
А) (5х-2ХЗх+1)=0; б) 2х2-10 = 0; в) Зх2+5х = 0; г)-4^ = 0.
III. Изучение нового материала (основные понятия)
Рассмотрим примеры решения Полных квадратных уравнений (т. е. таких уравнений, в которых все три коэффициента отличны от
нуля) способом Выделения квадрата Двучлена. Покажем, что такие уравнения Можно Привести к неполным квадратным
уравнениям. Начнем рассмотрение с уравнений, в которых Старший коэффициент равен 1. Такие уравнения называют
Приведенными уравнениями.
Пример 1
Решим приведенное квадратное уравнение х2-8х + 16 = 0.
Подставим Левую часть уравнения В виде квадрата двучлена И получим: х2-2-х-4 + 42 =0 или (х-4)2 =0. Введем новую переменную
Z = X-4 И получим неполное квадратное уравнение Z2 = 0. Такое уравнение имеет единственный корень (или два одинаковых корня) Z
= 0. Вернемся к старой неизвестной х и получим линейное уравнение Х — 4 = 0, которое имеет корень х = 4.
Пример 2
Решим еще одно приведенное квадратное уравнение Х2 + 6х + 8 = 0.
В отличие от предыдущего примера левая часть уравнения не является квадратом двучлена. Поэтому такой Квадрат двучлена
необходимо выделить. Представим второй член уравнения 6х В виде 6х = 2 • х • 3. Тогда для выделения квадрата двучлена к левой
части уравнения необходимо прибавить (и отнять) число З2 = 9. Получаем: (х2 +6х + 9) - 9 + 8 = 0 или (х+ 3^-1 = 0. Введем новую
переменную Z = Х + 3 и получим неполное квадратное уравнение Z2 — 1 = 0 или Z2 — 1, которое имеет два противоположных по знаку
корня Zl — — 1 и Z2 — 1. Вернемся к старой неизвестной х и получим двалинейныхуравнения:х+3 = -1 (eroKopeiibXj = — 4)их+3= 1
(корень х2 = -2).
Разумеется, квадратное уравнение может иметь не только целые корни (как в примерах 1, 2), но и иррациональные решения.
ПримерЗ
Решим уравнение х2 - 4х - 3 = 0.
Вновь выделим в левой части уравнения квадрат двучлена:
(х2-4х+4)-4-3 = 0 или (х-If -7 = 0- Введем новую переменную Z-X— 2 И получим неполное квадратное уравнение Z2 — 1 = 0 или Z2 = 7,
которое имеет два противоположных по знаку корня Z\ = -лП И Z2 = л/7 . Вернемся к старой неизвестной х и получим два линейных
уравнения: х - 2 = - V7 (его корень X[=2-v7 )и x-2 = v7 (егокорень x2=2+v7 ).
Может оказаться, что квадратное уравнение не имеет корней.
Пример 4
Решим уравнение х2 -6х +11 = 0.
Выделим в левой части уравнения квадрат двучлена: (х2-6х+9)-9+11 = 0
Или (х - З)2 + 2 = 0 - Введем новую переменную Z ~ х — 3 и получим неполное квадратное уравнение Z2 + 2 = 0 или Z2 = —2, которое
не имеет решений. Следовательно, и данное квадратное уравнение корней не имеет.
До сих пор рассматривалось решение только приведенных квадратных уравнений. Разумеется, любое уравнение можно свести к
приведенному, разделив все его члены на старший коэффициент. Затем вновь используется выделение квадрата двучлена.
Пример 5
Решим уравнение Зх2-10х-8 = 0.
Вернемся к старой неизвестной jc и получим два линейных уравнения: Х-— -—г (егокорень л:, =-—)и х_т = Т (егокореньх2 = 4).
IV. Контрольные вопросы
1. Каким способом решают квадратные уравнения?
2. Какое квадратное уравнение называют приведенным?
3. Как выделить квадрат разности? Поясните на примере.
V. Задание на уроке
№ 523 (а); 524 (а, в); 525 (а, б); 526 (б, г); 527 (а).
VI. Задание на дом
№ 523 (б); 524 (б); 525 (в, г); 526 (а, в); 527 (б); 528.
VII. Подведение итогов урока