Кузьмина Надя

Квадратичная функция, ее
график и свойства.
«Трудное можно сделать легким,
легкое привычным,
привычное приятным!»
Творческое название проекта:
«Портрет» функции.
Основополагающий вопрос:
«В чем загадка «портрета» квадратичной
функции?»
Проблемный вопрос:
«Как меняется «портрет» квадратичной
функции в зависимости от формулы , задающей
функцию?»
Где в жизни применяется квадратичная
функция?
Задачи проекта:
1.Обобщение знаний по теме
«Квадратичная функция».
2.Применение свойств функции при
решении неравенств второй степени.
3.Выяснение роли квадратичной функции
в окружающей нас жизни.
Квадратичной функцией называется
функция, которую можно задать
формулой вида y=ax²+bx+c, где
х - независимая переменная, a, b и с некоторые числа (причём а≠0).
• Например: у = 5х²+6х+3,
•
у = -7х²+8х-2,
•
у = 0,8х²+5,
•
у = 0,75х²-8х,
•
у = -12х²
квадратичные функции
Графиком квадратичной функции является парабола,
ветви которой направлены
вверх(если а>0) или вниз (если а<0).
• У =2х²+4х-1 – графиком
является парабола, ветви
которой направлены
• вверх (т.к. а=2, а>0).
у
0
х
у
0
х
• У = -7х²-х+3 – графиком
является парабола, ветви
которой направлены вниз
(т.к. а=-7, а<0).
Алгоритм построения графика
1.Определить координату вершины параболы по
формулам:
2. Отметить эту точку на координатной
плоскости.
3.Через вершину параболы начертить ось
симметрии параболы
4.Найти нули функции и 0тметить их на
числовой прямой
5.Найти координаты двух дополнительных точек
и симметричных им
6.Провести кривую параболы , учитывая
направление ветвей параболы.
y
Х -3 -2 -1 0
y 9 4 1 0
9
1 2 3
1 4 9
4
1
x
-6 -5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6
-4
-9
Х -3 -2 -1 0 1 2 3
y -9 -4 -1 0 -1 -4 -9
Координаты вершины параболы,
записанной в виде У=а(х-n)² +m
равны (-n ; m )
У=2(х-4)² +5
(4;5)
У=-6(х-1)²
(1;0)
У = -х²+12
(0;12)
У= х²+4
У= (х+7)² - 9
У=6 х²
(0;4)
(-7;-9)
(0;0)
График функции
у=2х²+4х-6,
и его свойства
График функции у=2х²+4х-6
1. a=2 ветви вверх
2. Вершина (-1;-8)
У
10
3.Ось симметрии графика Х = -1
4.Пересечение с осью ОХ
2х2+4х-6=0
х1=1; х2=-3
5.Дополнительные точки:
Х -4 -3 -2 -1 0 1 2
y 10 0 -6 -8 -6 0 10
1
-4 -3 -2 -1
1 2 3
-2
-6
-8
Х
Свойства функции у=2х²+4х-6
У
1. D(y)= R
10
2. у=0, 2х²+4х-6=0 если х= -1; -8

  1;+
у<0, если х  3;1
3. у>0, если х   ;3
4. у↓, если х
у↑, если х
( ;1]
[ 1;+ )
1
5. унаим= -8, если х= -1
унаиб – не существует.
-4 -3 -2 -1
1 2 3
-2
6. Е(y) = [ 8;+ )
-6
-8
Х
Преобразование графика
квадратичной функции
1.Построение графика функции
у=х2+m перемещением у=х2 в
одной системе координат
2.Построение графика функции
у=(х+n)2 перемещением у=х2 в одной
системе координат.
у=х2+m, m>0
например m=5
У
у=х2+5
m=5
m
у=х2
1
0
1
Х
2
у=х +m,
У
например m= - 5
у=х2
1
0
Х
1
m
m=-5
m<0
у=х2-5
2.Построение графика функции
у=(х+n)2 перемещением у=х2 в одной
системе координат.
2
у=(х+n) ,
n>0
У
у=х2
1
у=(х+6)2, n=6>0
-6
n
0
1
Х
2
у=(х-n) ,
n<0
У
у=(х-6)2, n= -6<0
1
0
1
n
6
Х
Решение квадратного неравенства
с помощью графика
квадратичной функции
Определение: Неравенство, левая часть которого
есть многочлен второй степени, а правая- нуль,
называется неравенством второй степени.
• Все квадратные неравенства могут быть приведены к
одному из следующих видов:
• 1) ах2+bx+c>0;
2) ах2+bx+c<0;
• 3) ах2+bx+c≥0;
4) ах2+bx+c≤0.
Примеры неравенств второй степени:
• 1) 6х 2-13х>0;
• 3) (5+x)(x-4)>7;
2) x 2-3x-14>0;
4) 8x2 >0;
• 5) (x-5)2 -25>0;
Алгоритм решения неравенств
второй степени с одной
переменной
1. Приведите неравенство к виду
ax2+bx+c>0 (ax2+bx+c<0)
2. Рассмотрите функцию
y=ax2+bx+c
3. Определите направление ветвей
4. Найдите точки пересечения
параболы с осью абсцисс (для
них y=0; х1и х2 найдите, решая
уравнение ax2+bx+c=0)
5. Схематически постройте график
функции y=ax2+bx+c
6. Выделите часть параболы, для
которой y<0
(y>0)
7. На оси абсцисс выделите те
значения х, для которых y<0
(y>0)
8. Запишите ответ в виде
промежутков
Пример решения неравенства
1.5х2+9х-2<0
2.Рассмотрим функцию
y=5х2+9х-2
3. Графиком функции является
парабола, ветви которой
направлены вверх.
4. 5х2+9х-2=0
х1=-2; х2=
1
5
5,6,7
-2
1
8. хЄ(-2; )
5
1
5
Решу неравенство 1, и неравенство 2:
1.
2
x − 3x− 4≥ 0
x  3x  10 < 0.
2
2.
В таблице 1 находится верное решение неравенства 1,
в таблице 2 – верное решение неравенства 2:
Таблица 2
Таблица 1
а
x  1;4
с
x  1;4
в
x ( ;1]  [ 4;+ )
d
x   ;1  4;+
а
x   2;5
с
x   2;5
в
x   ;2  5;+
d
x ( ;2 ]  [ 5;+ )
В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1,
в таблице 2- решение неравенства 2:
1.
2
x − 3x− 4≥ 0
Таблица 1
а
x∈ − 1;4
с
в
x∈ − ∞;− 1]∪[4; ∞
d
x∈ [− 1;4 ] x∈ − ∞ ;− 1 ∪ 4; ∞
2
x − 3x− 10 0 .
2.
Таблица 2
а
x∈ − 2;5
с
x∈ [− 2;5 ]
в
x∈ − ∞ ;− 2 ∪ 5; ∞
d
x∈ − ∞;− 2]∪[ 5; ∞
1.
В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1,
в таблице 2- решение неравенства 2:
2
2
x − 3x− 4≥ 0
Таблица 1
а
x∈ − 1;4
с
в
x∈ − ∞;− 1]∪[4; ∞
d
x∈ [− 1;4 ] x∈ − ∞ ;− 1 ∪ 4; ∞
x − 3x− 10 0 .
2.
Таблица 2
а
x∈ − 2;5
с
x∈ [− 2;5 ]
в
x∈ − ∞ ;− 2 ∪ 5; ∞
d
x∈ − ∞;− 2]∪[ 5; ∞
1.
2
x − 3x− 4≥ 0
2
x − 3x− 10 0 .
2.
В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1, в
таблице 2 - решение неравенства 2:
x ( ;1]  [ 4;+ )
Таблица 1
а
x∈ − 1;4
с
в
x∈ − ∞;− 1]∪[4; ∞
d
x∈ [− 1;4 ] x∈ − ∞ ;− 1 ∪ 4; ∞
x   2;5
Таблица 2
а
x∈ − 2;5
с
x∈ [− 2;5 ]
в
x∈ − ∞ ;− 2 ∪ 5; ∞
d
x∈ − ∞;− 2]∪[ 5; ∞
примерhttp://files.schoolcollection.edu.ru/dlrstore/2e7210fb-017a4d37-b413-5895ed1baec2/a01.swf
Где в жизни применяется
квадратичная функция?
При работе над проектом мне удалось систематизировать знания
о свойствах и графиках квадратичной функции и применении
квадратичной функции в жизни .
Математика- это содержательное, увлекательное и доступное поле
деятельности, дающее богатую пищу для ума.
Свойства квадратичной функции лежат в основе решения
квадратных неравенств.
Многие физические зависимости выражаются квадратичной
функцией; например, камень, брошенный вверх со скоростью V0 V,
находится в момент времени t на расстоянии
s(t)=-q/2*t2+ V0 t
от земной поверхности (здесь q- ускорение силы тяжести);
Знания свойств квадратичной функции позволяют рассчитать
дальность полета тела, брошенного вертикально вверх или под
некоторым углом.
Этим пользуются в оборонной промышленности. V0
Рефлексия
Работая над проектом я
1.Обобщила знания по теме «Квадратичная функция,
ее свойства и график».
2.Рассмотрела применение свойств функции при
решении неравенств второй степени.
3.Выясненила роль квадратичной функции в
окружающей нас жизни.
4.Для создания презентации использовала
интернет ресурсы.
5.Опыт работы с единой коллекцией цифровых
образовательных ресурсов помог мне в решении
всех учебных вопросов по теме «Квадратичная
функция, ее свойства и график».