АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ, ПРЕДСВЕТОВОЙ ПОТОК

Алгебраическая динамика и
фазовое расширение
геометрии Минковского
Владимир В. Кассандров
(лаборатория алгебраической
динамики, полей и частиц)
Пифагорейская первооснова Мира
• А.Эйнштейн: «Природа представляет
собой
реализацию
простейших
математически мыслимых элементов»
• П.Дирак: «Вся история Вселенной есть
история простых чисел»
• Е.Вигнер: «Не приведет ли нас
использование
гиперкомплексных
волновых функций к существенно
новым результатам?»
Кватернионы Гамильтона – алгебра,
исключительная по своим внутренним свойствам.
Кватернионы предопределяют структуру 3-мерного
пространства как физического пространства!
• Бикватернионы
B
–
комплексные
кватернионы): алгебра, объединяющая
две
исключительные
алгебры
–
комплексных чисел и кватернионов.
Алгебра хорошо известна, так как
изоморфна обычной полной матричной
2x2 алгебре с элементами – комплексными
числами.
• В
«алгебродинамической
программе»
структура
алгебры
бикватернионов
полностью определяет как геометрию, так
и физику нашего Мира. Ничего лишнего!
Содержание
• (Би)кватернионный
анализ.
B-функции
как
первичные
физические сущности – физические поля.
• Алгебродинамика на пространстве - времени Минковского M
(«старая» алгебродинамика). Альтернативный взгляд на
электродинамику,
квантование
электрического
заряда,
магнитный монополь. Струны как частицы-сингулярности общего
типа на M. Примеры решений.
• Поток «Предсвета» как главный элемент физической картины
Мира в алгебродинамике. Твисторная («лучевая») структура и
частицы как фокальные точки (каустики) Предсветового потока.
Поток Предсвета как поток Времени и «определение»
физического времени в алгебродинамике.
• Новая (индуцированная алгеброй B) геометрия физического
пространства-времени
(фазовое
расширение
геометрии
Минковского) и «новая» алгебродинамика.
• Ансамбль «дубликонов» и два типа сингулярных образований –
частиц. Концепция «комплексного времени» и квантовая
неопределенность
эволюции.
Геометрическая
фаза
и
объяснение волновых свойств материи в алгебродинамике.
(Би)кватернионный анализ как
обобщение комплексного анализа
• Основное соотношение дифференцируемости,
расписанное
в
координатах,
приводит
к
уравнениям Коши-Римана и уравнению Лапласа:
dF  F   dZ
Z  x  iy , F  F ( Z )  u ( x, y )  iv ( x, y )
du  idy  ( f  ig )  (dx  idy )
du  fdx  gdy, dv  gdx  fdy
u v

 f ( x, y ),
x y
v
u

 g ( x, y )
x
y
 2u  2u
 2v  2v
 2  0,
 2  0.
2
2
x
y
x
y
Обобщение анализа на некоммутативную алгебру
кватернионов (Кассандров,1980)
• НЕКОММУТАТИВНОСТЬ алгебры учитывается
в самом определении «аналитической» функции
кватернионного переменного. Приводит к
НЕЛИНЕЙНОСТИ кватернионного обобщения
уравнений Коши-Римана и уравнения Лапласа.
•
На основе единственно этого соотношения
строится теория ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ
физических полей – функций кватернионного
переменного
dF    dZ  , {F  F ( Z )}
Основные принципы алгебродинамики
• Физическое пространство-время –это
векторное пространство алгебры
кватернионов (или его инвариантное
подпространство)
• Физические поля – это аналитические
функции бикватернионной переменной.
Все уравнения поля есть следствия
кватернионных уравнений Коши-Римана
• Частицы – это особые точки (полюса, точки
ветвления) первичных кватернионных полейфункций. Все их свойства полностью
определяются B-уравнениями Коши-Римана.
Уравнение комплексного эйконала как Qаналог уравнения Лапласа
• Каждая компонента фундаментального Q- поля
удовлетворяет уравнению «светового фронта»
-- эйконала, однако здесь эйконал может сам
уже быть комплексной функцией. Это лоренцинвариантное уравнение естественно
нелинейно, может описывать
взаимодействующие образования и
представляет альтернативу полям Дирака и
Клейна-Гордона в физике элементарных
частиц.
2
1  f 
 f   f   f 
         2  
c  t 
 x   y   z 
2
2
2
Уравнения Максвелла и Янга-Миллса как
следствия условий B-аналитичности
• Основная спинорная система
переопределенная (реализация программы
«сверхпричинности» Эйнштейна!!) и должна
удовлетворять условиям совместности (=0
коммутатора производных), отсюда имеем
условия самодуальности – уравнения
Максвелла

 


 
  i  0,  
   i     0
ct


Новый взгляд на электродинамику
•
•
•
Обычно: следим за движениОем зарядов (точечных или распределенной
плотности в плазме и т.п.), задаем их (через δ-функции и т.п.), затем
вычисляем поля и смотрим их взаимодействие – эволюцию. Практически
удобно, но ничего не говорит о СТРУКТУРЕ источников, ДВЕ независимые
сущности – поле и заряды.
У нас: первично только поле, оно «почти всюду» аналитично и
удовлетворяет ВАКУУМНЫМ уравнениям Максвелла, «без источников»!
Однако в некоторых точках оно сингулярно (обращается в бесконечность),
определяя тем самым как ФОРМУ источников, так и их относительное
расположение и ДИНАМИКУ.
Если допустить, что ЭМ-поле, как и другие физические поля, КОМПЛЕКСНО
(«волновая функция фотона» -- Фейнман), то источники общего вида –
СТРУНЫ (примеры будут приведены дальше):
A( x, y, z , t )
E ( x, y , z , t )   
 D ( x, y , z , t )  0
D ( x, y , z , t )
 2 ур  ния для 4 неизвестных  {x, y, z} зависят от {t , s}
Переопределенность уравнений АД и
квантование электрического заряда
• А.Эйнштейн (концепция «сверхпричинности):
фундаментальные уравнения должны быть настолько
жестки, чтобы определять не только эволюцию поля во
времени, но и накладывать сильные ограничения на
возможные распределения поля (материи) в пространстве,
тем самым фиксируя, в частности, и характеристики
элементарных частиц.
• У нас: Уравнения Максвелла – вторичны, первичная
«мастер-система» - нелинейна и переопределена.
• Следовательно, не всякое решение УМ допустимо (у нас):
кулоновское решение НЕ с любым зарядом, а только с q=±1
– ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ЗАРЯД возникает сам собой!!
Отсутствие магнитных монополей
•
Если Q-электродинамика «вакуумная», то она «дуально
инвариантна», например относительно замены (E,H) (H,-E) или
более общего непрерывного вращения в плоскости (E,H). Поэтому
всегда можно «кулоновскую» сингулярность считать отвечающем
либо электрическому, либо магнитному (либо смешанному) полю.
Имеет смысл только инвариантный заряд – исторически считаем
его электрическим – магнитных монополей не существует в силу
самой структуры ВАКУУМНЫХ, СИММЕТРИЧНЫХ уравнений
Максвелла!!
E  0, H  0,   E   t H ,   H   t E
q   qCos  mSin , m  mCos  qSin
e  q  m  e  invaiant
2
2
Фундаментальное решение с кольцевой
сингулярностью
Пример решения (сингулярного множества)
«вакуумных» уравнений Максвелла
Решение УМ, описывающее процесс аннигиляции:
Пример (сингулярного множества)
решения УМ «фотоноподобного» типа
Пара «скрещенных» колец, равномерно
перемещающаяся со скоростью света
υ=c
«Предсветовая» структура Мира
• Структура основного уравнения алгебродинамики тесно
связана со структурой конгруенций (пучков)
светоподобных лучей и фронтов (уравнение эйконала).
Каждое кватернионное поле соответствует некоторому
спинорному полю. Отношение двух компонент основного
спинора G(x,y,z,t) определяет поле направлений n(x,y,z),
n2=1, которое распространяется вдоль собственных
направлений (лучей) с постоянной скоростью c .
• Таким образом, основной элемент картины Мира,
возникающей в алгебродинамике – это поток первичного
(невидимого?) света – ПРЕДСВЕТ. Своего рода 3-мерная
«световая река», или иначе – релятивистский
инвариантный и нестатичный ЭФИР (+ многозначность
поля – суперпозиция «подпотоков» -- стохастическое
изменение, «мигание» поля в каждой точке!)
Мир из Света
Поле направлений – световых лучей.
Первичное спинорное поле g(x,y,z) распространяется
(«воспроизводится») вдоль этих направлений с
фундаментальной скоростью
1
 ( X )   ,
g

n
2
n 1
1
*
*
*

g  g , i ( g  g ), 1  gg 
*
(1  gg )



X  X 0  n  ct
Частицы как фокальные точки (каустики)
предсветового потока. Смысл и определение
физического Времени
•
•
•
Поток Предсвет
определяет не только основные физические поля –
электроматнитное, спинорное (= твисторное = бикватернионное) и др. Этот
поток порождает также все материальные образования которые представляют
собой здесь каустики -- «сгущения» пучков предсветовых лучей. Т.о., в
возникающей картине Мира
Вся материя порождается Предсветом!
Частицы-каустики – это «вихри» или источники-стоки 3-мерной
(пред)световой реки!
Поток Предсвета может, с другой стороны, рассматриваться и как поток
Времени. Физическое время имеет смысл параметра вдоль направлений
(лучей), сохраняющих значение первичного спинорного (= лучевого=
твисторного= би- кватернионного) поля, смысл автоморфизма первичного
поля («движения» в смысле евклидовой геометрии). Однако каустики-частицы
при этом НЕ сохраняются (функция изменчивости).
Это определение
универсального и равномерного физического Времени
может быть
естественно комплексифицировано (см. ниже).
Почему не чувствуем НАПРАВЛЕНИЯ Времени? Это связано с многозначностью
направления лучей Времени – Предсвета в каждой точке и с их стохастическим
изменением во Времени. В отличие от этого, СКОРОСТЬ ХОДА Времени
универсальна и не зависит от системы отсчета.
Новая геометрия: фазовое расширение
пространства Минковского
•
•
•
•
Рассмотрим преобразования
симметрии (автоморфизмы)
алгебры B – «школьной» алгебры
2X2 матриц с элементами -комплексными числами.
Эти преобразования – известные
«преобразования» подобия,
сохраняющие основные инварианты
матрицы – след и детерминант (при
этом первый вообще не
преобразуется!)
Т.о., основной комплексный
инвариант алгебры B определяет
комплексное 3-мерное
пространство с «метрикой»
типа Евклидовой:
Группа симметрий SO(3,C) – 6параметрическая группа
комплексных 3-вращений –
изоморфна группе Лоренца!!!
 u w   z0  z3 z1  iz 2 

  
Z  
 p v   z1  iz 2 z0  z3 
1
Z  M ZM
Sp Z  z 0
Det Z  z  z  z  z
2
0
2
1
2
2
 z z z
2
1
2
2
2
3
2
3
Модульная часть комплексного инварианта σ
индуцирует вещественную геометрию Минковского!
•
•
•
Будучи всегда
неотрицательным, он
тождественно представим в
виде интервала Минковского c
индуцированными и
квадратичными временной и
пространственной
координатами
При преобразованиях
симметрии SO(3,C) координаты
T и {X} ведут себя как временная
и пространственные физические
координаты при
преобразованиях Лоренца!!!
Имеет смысл лишь
внутренность светового конуса!
Т.е. автоматически получаем
ПРИЧИННУЮ СТРУКТУРУ (в ОТО
постулируется!)
2
  2
 * 2
S    z  ( z  z )  i z  z ,
2
2
2
S  T  X  0 !!!

 
 *
T : ( z  z ), X  i z  z
2

Основные свойства новой
геометрии пространства-времени
• Имеет в своем основании первичную числовую
структуру – алгебру комплексных кватернионов B
• Автоматически обосновывает причинную структуру
физического пространства-времени
• Приводит к НЕОБРАТИМОСТИ «кинематического»
времени, так что каждое перемещение в С3 приводит
к положительному приращению временной
координаты
 
T  z  z  0
• Определяет существование второго ФАЗОВОГО
инварианта преобразований Лоренца отвечающего,
м.б., за объяснение волновых свойств материи
«Новая» алгебродинамика в
первичном комплексном пространстве
• Комплексное
расширение
пространстваМинковского СМ
(Ньюмен, Керр,
Буринский и др.).
«Лучи», испускаемые
«виртуальным»
зарядом, движущимся
в СМ, на
вещественном «срезе»
порождают структуру
решений уравнений
Максвелла-Эйнштейна
(кольцо Керра –
модель электрона в
ОТО.)
• Проблема: как интерпретировать 3
«дополнительные» («мнимые») координаты
«Зазеркалья»? А.П.Ефремов -- концепция «3мерного времени». Однако в этом случае
временные координаты ничем не отличаются от
пространственных??? И не раскрыт смысл 2-х
редукции 3-мерного времени к физическому
одномерному, как и в концепции 4-мерного
времени .Г.Павлова.
• В нашем подходе вся ПЕРВИЧНАЯ динамика
имеет место в комплексном пространстве С3, а
пространство Минковского – эффективное
пространство МАКРОНАБЛЮДАТЕЛЯ,
отвечающее МОДУЛЬНОЙ, НЕКОМПАКТНОЙ части
комплексного «квазиметрического» инварианта σ
Комплексный «световой конус» и концепция
«дубликонов»
• Введение комплексного
пространства позволяет
реализовать известную идею
Уилера-Фейнмана: «Почему все
электроны одинаковы? Потому
что это один и тот же электрон!
• Действительно, вся информация о
Мире приходит со световыми
сигналами, из всего M
наблюдается только ГРАНИЦА
СВЕТОВОГО КОНУСА. Процедура
Лиенара-Вихерта – ОДИН электрон
в прошлом создает поле в данной
точке
( x  x( s))  ( y  y( s))  ( z  z ( s))  c (t  s)
2
2
2
2
2
Комплексный «световой конус» и концепция
«дубликонов»
2
• В комплексном пространстве
уравнение «комплексного»
светового конуса имеет сколь
угодно больщое число корней
– наблюдатель видит много
копий одной и той же частицы
– ансамбль «тождественных
дубликонов» (В.К., 2005)
• Сама точка наблюдения
может лежать на Мировой
линии генерирующей частицы
– «электрон наблюдает сам
себя!»
( z1  zˆ1 ( s ))  ( z 2  zˆ 2 ( s))  ( z 3  zˆ3 ( s))  ( z 0  s)
2
2
2
2
3: каустикисигналы, и частицы-каспы (cusps)
концепция «дубликонов»
• Конкретный сигнал представляет
собой каустику,
распространяющуюся от (к)
наблюдателя к одному из
дубликонов. Она отвечает моменту
усиления поля луча при слиянии
двух дубликонов (кратные корни
уравнения конуса)! Сигнал всегда
распространяется по комплексной –
вещественной прямой!
• Второй тип частиц отвечает каспам
– «остриям каустик». Они движутся
НЕ по прямой. Каждый касп связан
с соответствующим дубликоном
«условием конуса».
Концепция «комплексного времени» и
неопределенность из детерминизма
• Параметр «автоморфизма» первичного поля – физ. Время -становится комплексным и «собственным». Кадрат его модуля –
это интервал Минковского. Каждое знач z0 однозначно
определяет положение дубликонов и проч. – детермин. – однако
порядок следования событий уже не определен. Кривая
эволюции ?? Должна быть очень сложной (фрактальной?). Для
нас эффективно – случайная кривая.
Re z 0  f1 (s), Im z 0  f 2 (s)
s  z0
2
S
Фаза комплексного времени и
квантовая интерференция без корпволнового дуализма
• Геометрическая фаза позволяет естественно
объяснить явление квантовой интерференции. А
именно, частица наблюдается только в моменты
слияния двух дубликонов (“In” и “Out”), между ними
траектории случайны. «Набег» фазы по каждой
траектории пропорционален интервалу собственного времени – классическая интерференция!
Mc
d 
 dS

   d  2N
Ссылки
• Статьи на английском языке: на сайте
www.arXiv.org/find по фамилии
Kassandrov в разделах (All), скачивается
в разных редакторах (кроме Word)
• Статьи на русском – на сайте Института
Времени www.chronos.msu.ru (в ближ.
время обновятся). Спасибо!