Перпендикуляр и наклонная

министерство образования и науки Волгоградской области
государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Волжский политехнический техникум»
Методические рекомендации
к практической работе
по теме «Перпендикуляр и наклонная»
Учебная дисциплина: Математика
Курс: 1
Преподаватель: Курлович Е.П.
Практическое занятие №1
Тема: Перпендикуляр и наклонная.
Цели:
Дидактические:
1) Проконтролировать уровень усвоения теоретического материала.
2) Рассмотреть связь между перпендикуляром, наклонной и проекцией
наклонной, систематизировать и закрепить эти понятия в ходе решения
типовых задач по этой теме.
3) Корректировка знаний, умений, навыков.
Развивающие:
1) Развивать пространственное воображение.
2)Развивать умение выделять главное, развивать умение обобщать, делать
вывод на основе сравнения;
Воспитательные:
1)
поддерживать
интерес
познавательную активность,
к
предмету,
воспитывать
способствовать
формированию
коммуникативной компетентности.
План занятия:
1) Подготовительный этап.
Повторение опорных знаний.
1) Определение наклонной (чертёж).
2) Перпендикуляр из точки к плоскости (чертёж).
3) Расстояние от точки до плоскости.
4) Проекция наклонной (чертёж).
5) Угол между наклонной и плоскостью (чертёж).
6) Угол между наклонными (чертёж).
7) Угол между проекциями наклонных (чертёж).
8) Расстояние между основаниями наклонных (чертёж).
9) Теорема Пифагора.
10) Теорема о трёх перпендикулярах.
2) Теоретический этап.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости,
называется любой отрезок, соединяющий даную точку с точкой
плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.
Конец отрезка, лежащий в
плоскости, называется основанием наклонной.
AB - наклонная.
B - основание наклонной.
Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной плоскости,
называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и
лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.
Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием
перпендикуляра.
AC - перпендикуляр.
C - основание перпендикуляра.
Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра,
проведенного из этой точки к плоскости.
Отрезок,
соединяющий
основания
перпендикуляра
и
наклонной,
проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
CB - проеция наклонной AB на плоскость α.
Треугольник ABC прямоугольный.
Углом
между наклонной
и
плоскостью
называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость.
CBA - угол между наклонной AB и плоскостью α.
Если AD>AB, то DC>BC
Если из данной точки к данной плоскости провести
несколько наклонных, то большей наклонной
соответствует большая проекция.
DAB - угол между наклонными
DCB - угол между проекциями наклонных
Отрезок DB - расстояние между основаниями
наклонных.
Применение знаний при решении типовых заданий.
Задача 1
Из точки К, на расстоянии 9 см, к плоскости 𝛼 опущен перпендикуляр КС
и проведена наклонная КМ, равная 15 см.
Найти проекцию наклонной. ( Устно, менять условие, найти наклонную,
найти перпендикуляр)
Решение:
Рассмотрим
прямоугольный
треугольник
КСМ: (КС-перпендикуляр, по условию), по
теореме Пифагора:
МС2 = МК2 − КС2
МС = √152 − 92 = √144 =12 (см)
Ответ: Проекция наклонной МС=12 см.
Задача2
К плоскости α проведена наклонная AB (A∈α). Длина наклонной равна 8 см,
наклонная с плоскостью образует угол 60°. Вычисли, на каком расстоянии от
плоскости находится точка B.
Решение:
Рассмотрим треугольник АВО:
В
прямоугольный, ВОрасстояние от точки В до плоскости 𝛼,
перпендикулярно АО. Следовательно угол
А
𝛼
В=30°, а АО =4 см, как катет лежащий против
О
угла в 30°.
По теореме Пифагора:
ВО2 = АВ2 − АО2
ВО2 = 82 − 42
ВО =√48 = 4√3 (см)
Ответ: 4√3 см.
Задача 3
АВ перпендикулярно плоскости α. Наклонная AС образует с плоскостью α ,
угол 60°, а
наклонная АD
равна
√7.
Длина
наклонной ВD равна 2 см.
Вычисли длину наклонной АС.
Решение:
А
В
𝛼
D
С
Решение:
1) Рассмотрим ∆АВ𝐷, по теореме Пифагора: АВ2 = А𝐷2 − 𝐷𝐵2 ;
АВ=√3.
2) Угол АСВ = 60°(по условию), следовательно < САВ=30°.
3) Рассмотрим ∆АСВ,
АС =
АВ
;
sin 60°
АС = 2.
АВ
АС
= sin 60° ;
проекции
Ответ: 2см.
Задача 4
Отрезок АB длиной 6√3 м, пересекает плоскость β в точке O. Расстояние
от концов отрезка до плоскости соответственно равны 3 м и 6 м. Найди
острый угол, который образует отрезок АB с плоскостью β.
В
Р
О
К
А
Решение:
1. Пусть АО=х, тогда ОВ=6√3х.
2. ∆АРО подобен ∆ВОК (угла при вершине О, равны как вертикальные,
углы Р и К , равны 90°).
РА
АО
3
х
=
=
ВК
ВО
;
6
;
6√3−х
х = 2√3;
3. Рассмотрим ∆АРО:
sin РАО =
sin РАО =
РА
АО
3
2√3
< РАО = 60°
Ответ: 60°
3) Практический этап.
Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.
Провести самостоятельную работу в 16 вариантах.
Планируемый результат: после выполнения практических заданий студент
должен:
a) уметь: выполнять чертежи по условию задачи, находить на чертежах
перпендикуляр,
наклонной
и
наклонную,
плоскостью,
проекцию
угол
между
наклонной,
проекциями
угол
между
наклонных,
применять ранее изученный теоретический материал при решении задач
по их нахождению, обосновывать решения задач и письменно
оформлять их;
b) знать: основные определения и теоремы по теме «Перпендикуляр и
наклонная»;
Требуемое время: 2 академических часа.
Раздаточный материал:
1.Справочный материал по теме;
2.Дидактические карточки 15 вариантов.
Основная литература:
1. Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа, часть 2.-М.,Наука,1981.
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике -М.,ВШ,1990.
3. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика -М., Дрофа, 2006.
4. Ковалёва Г.И. Геометрия 10-11 классы. Задания на готовых чертежах.
5. Интернет рессурсы: http://www.yaklass.ru/
6. Учебник для техникумов и вузов. Богачкина Наталия .Шпаргалка по
педагогической психологии.