Последовательность

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Содержание
Последовательность. Предел последовательности.
Задача, по которой каждому натуральному числу N, ставится в
соответствие единственное вещественное число – называется числовой
последовательностью.
Числовая последовательность – функция натурального аргумента.
Обозначается: y  f (N ) ,где y  R , xn  f (N ) , x n - члены последовательности;
{xn } - последовательность.
Последовательность, множество значений которой состоит из одного
числа – стационарная.
Верны следующие предложения:
a) последовательность  nx ограничена сверху, если n M : xn  M
b) последовательность xn  ограничена снизу, если n M : xn  M
c) последовательность xn  ограничена, если
M  0 : xn  M , n
 M  xn  M , n
т. е.
все члены последовательности находятся внутри интервала (-М; М).
Постоянное число а называется пределом последовательности
{xn } ,если для любого сколь угодно малого положительного числа  >0,  N
такой номер, что для всех членов последовательности с номерами n  N будет
выполняться неравенство xn  a <  , n  N .
То, что число а является пределом последовательности {xn } ,
xn  a или xn  a при n   .
записывается так : lim
n 
Неравенство xn  a <  , n  N равносильно следующим:
-  < xn  a < 
или a -  < xn< a+  , n  N , то утверждение о том
что а является пределом последовательности {xn } , означает, что разность
между этим числом а и членом последовательности после некоторого номера
N  nостается меньше выбранного нами числа  . Значит все члены данной
последовательности находятся в окрестности точки а.
Последовательность, у которой существует предел, называется
сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется
расходящейся.
Арифметические действия над последовательностью.
Пусть заданы последовательности {xn } и { yn }
Алгебраической суммой двух последовательностей {xn } и { yn } будет
последовательность
{z n } ,
члены
которой
образуются
сложением
соответствующих членов заданных последовательностей.
zn =xn  yn , n
zn =xn  y n , n
zn =
xn
,(yn  0 , n )
yn
Линейная
комбинация
двух
последовательностей
выглядит
следующим образом:
zn = С1 xn+С2 yn
Бесконечно малые величины.
Бесконечно
малой
величиной
называется
последовательность
(переменная величина!), если она имеет своим пределом нуль.
 n - бесконечно малая последовательность ;
lim  n  0 или  n  0, n   .
n 
Верны неравенства  n  0 <  , n  N
 n <  , n  N .
Переменная  n называется бесконечно малой величиной, если она
при своем изменении становится и остается меньше по модулю любого
выбранного нами сколь угодно малого положительного числа  .
Далее по тексту, бесконечно малая величина- б. м. в.
2
Лемма 1 о бесконечно малых величинах.
Алгебраическая сумма б.м. величин есть величина б.м.
Замечание: Лемма справедлива не только для двух б.м.в. , но и для
бесконечного числа слагаемых.
Лемма 2
Произведение б.м.в. на ограниченную величину является б.м.в.
Следствие 1  .
Пусть xn=C, постоянная для n
С  n   , n   т.е. С  n < 
С  n - б.м.в.
Следствие 2  .
Произведение двух бесконечно малых величин есть величина б.м.
{  n }={  n   n }
Cравнение двух бесконечно малых величин и их обозначение.
Даны две б.м.в. {  n }, {  n }
Необходимо найти их отношение  n /  n , ( n  n  0 ).
Если предел отношения двух б.м.в. существует и равен конечному числу А,
то эти две б.м.в. называются б.м.в. одного и того же порядка малости.
lim
n
A
n
n 
Обозначение:  n =О(  n )- это значит  n и  n б.м.в. одного и того же порядка.
Пример:  n =2/n
 n =1/n
lim
n
 2 , значит 2/n=О(1/n)
n
n
Если А=1, то эти б.м.в. называются эквивалентными б.м.в.
Если А=0, то б.м.в.  n называется б.м.в. более высокого порядка малости,
чем б.м.в.  n .
3
Бесконечно большие величины.
Последовательность {xn } называется бесконечно большой величиной,
если она по абсолютной величине становится и остается большей сколь
угодно большого наперед заданного
положительного числа М, после
некотокого номера N.
{xn } , для М>0  N что xn <M, n  N .
Это равносильно следующему lim xn   .
n 
Сравнение
б.б.в.
проводится
аналогично
сравнению
б.м.в.,
обозначение такое же.
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.
Если последовательность {  n }- бесконечно малая, то обратная ей
последовательность {1/  n } будет бесконечно большой и наоборот.
Возьмем М >0 сколь угодно большое положительное число, тогда 1/М- сколь
угодно малое.
1/М=  , тогда 1/  =М
 N, n  N
 n <  т.е.  n <1/M
 N, n  N
1/  n > 1 /  = M т.е. 1/  n > M
ч.т.д.
Теорема 1.
Если последовательность сходится к конкретному пределу, то этот
предел единственный.
Докажем методом от противного.
Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {xn}.
lim xn  a
n 
lim xn  b
n 
Зададим малое положительное число  >0
для
  N1, что xn  a <  , n  N1 ,
для
 
N2, что xn  b <  , n  N 2 .
4
Пусть N- наибольшее из{N1, N2}, тогда для N будет верно, что
xn  a <  и xn  b <  , n  N
Известно a  b  0 , но a  b  (a  xn )  ( xn  b)  a  xn  b  xn <  +  т.е.
a b < 2 .
Мы подучили противоречие, наше предположение не верно, а верно то, что
предел единственный.
ч.т.д.
Теорема 2.
Сходящаяся последовательность ограничена.
Дано: {xn } - сходящаяся последовательность.
Доказать: xn <M, М>0
x n  a   N xn  a <  , n  N
Доказательство: lim
n 
Рассмотрим xn  xn  a  a  xn  a  a <   a
 M1>0 M1>   a , тогда xn <M1 для n  N
 M>0, М>M1 наибольшее из всех М > x1 , x2 ,, xn , тогда
xn <M, n  N ,
тогда xn <M, n .
Из существования конечного предела последовательности следует ее
ограниченность. Обратное утверждение не верно.
Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся.
Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является
сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к
некоторому числу а, то каждая из последовательностей {xn-a} и {xn+1-a}
являлась бы бесконечно малой. Но, тогда (по теореме: Разность бесконечно
малых последовательностей, есть бесконечно малая последовательность.)
{(xn-a) – (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к.
|xn– xn+1| = 2 для любого номера n.
Теорема
3.
Теорема
о
представлении
общего
члена
последовательности через его предел.
5
Для того, чтобы последовательность имела конечный предел,
необходимо и достаточно, чтобы было справедливо равенство хn= a+  n , где
a- предел последовательности {xn } , а  n - б.м.в.
Теорема 4. Теорема о пределе алгебраической суммы двух
последовательностей.
Алгебраическая сумма сходящихся последовательностей {хn} и {yn}
есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов
последовательностей {хn} и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей
{хn} и {yn}.
lim xn  a
n 
lim xn  b
n 
Тогда
lim ( xn  y n )  a  b
n 
Из условия теоремы следует, что хn= a+  n , yn=b+  n , где  n и  n - б.м.в.
Следовательно, (хn  yn) = (а  b) +(  n   n ).
Здесь  n   n есть бесконечно малая по лемме 1; следовательно, по
теореме 3
последователдьность {хn

yn} сходится и имеет своим
пределом число а+b. Теорема доказана.
Замечание 1.Теорема верна для конечного числа слагаемых.
Замечание 2. Обратная теорема не верна.
Теорема 5.
Произведение сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть
сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению
пределов последовательностей {хn} и {yn}.
xn  a
Дано: lim
n 
lim y n  b
n 
( xn  y n )  ab .
Доказать: lim
n 
Доказательство: из того, что хn= a+  n , yn=b+  n
6
xnyn= ab+(a  n+b  n+  n  n).
Выражение в скобках, в силу лемм 1 и 2, есть бесконечно малая
величина. Следовательно по теореме 3, последовательность { xn yn },
действительно, имеет пределом ab.
Замечание 1.Теорема верна для конечного числа слагаемых.
Замечание 2. Обратная теорема не верна.
Лемма.
Если последовательность {yn} имеет конечный предел, отличный от
нуля, то обратная ей последовательность после номера N, является
ограниченной величиной.
yn  b  0
Дано: {yn}, lim
n 
Доказать: yn  0 n ,
1
<M, , n  N т.е. {1/yn} – ограничена.
yn
y n  b  yn  b <  , n  N
Доказательство: lim
n 
Рассмотрим b  b  yn  yn , тогда b  yn  yn  b  yn  yn 
b <  + yn
b -  < yn т.к.  - любое положительное число пусть  = b /2
b /2< yn 
1
< b/2 , n  N . Значит {1/yn} – ограничена.
yn
Теорема 6.
Предел отношения двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn}
при условии, что предел {yn} отличен от ноля, есть сходящаяся
последовательность, предел которой равен отношению пределов данных
последовательностей .
Дано: {xn} и {yn} ; yn  0 , n
lim xn  a
n 
lim y n  b  0
n 
7
Доказать: lim
n 
xn a
 .
yn b
Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с
некоторого номера N, элементы последовательности {yn} отличны от ноля и
1
 ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем
 yn 
последовательность 
xn 
 . Из того, что хn= a+  n , yn=b+  n ,
 yn 
рассматривать последовательность 
имеем
x n a x n  b  yn  a 1 
a 
 
  n   n  . в, величина бесконечно малая. Так
yn b
yn  b
yn 
b 
1
a 

 ограничена, а последовательность  n   n 
b 

 yn 
как последовательность 
бесконечно
мала
силу
лемм
1
и
2,
то
последовательность
1 
a   x n a 
  n   n      бесконечно малая, а она представляет разность
b   y n b 
 yn 
xn 
x 
a
a
.Итак, предел  n  есть .
 и числом
b
b
 yn 
 yn 
между последовательностью 
Теорема доказана.
Теорема 7. Переход к пределам в неравенствах.
Если для двух последовательностей {xn} и {yn} всегда выполняется
неравенство xn  yn, причем каждая из них имеет конечный предел:
lim xn  a
n 
lim y n  b , то и а  b.
n 
Доказательство: Допустим противное: пусть b< а, выберем  , такое, что 0
< <
a b
.
2
Тогда по определению предела  N1, что xn  a <  , n  N1 ,
 N2,
y n  b <  , n  N 2,
из этих неравенств следуют следующие: a-  < xn, n  N1 ,
yn< b+  , n  N 2,
8
выберем N- наибольшее из {N1, N2}, тогда для всех n  N выполняется
yn< b+  < a-  < xn, n  N т.е.
xn> yn , получили противоречие
условию (xn  yn). Значит наше предположение не верно, а верно то, что а  b.
Следствие
1:
последовательностей
Если
{xn}
и
элементы
{yn},
удовлетворяют неравенству xn

xn
начиная
и
с
уn
сходящихся
некоторого
номера,
уn, то их пределы удовлетворяют
x n  lim y n .
аналогичному неравенству lim
n 
n 
Элементы последовательности {yn-xn} неотрицательны, а поэтому
y n  x n   lim
y n  lim x n . Отсюда следует, что
неотрицателен и ее предел lim
n 
n 
n 
lim x n  lim y n .
n 
n 
Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности
{xn} находятся на сегменте [a,b], то и предел с данной последовательности
также находится на этом сегменте.
Это выполняется, так как а<xn<b, то a<c<b.
ч.т.д.
Теорема 8.
Теорема о сжатой переменной. (Принцип двойного ограничения.)
Если последовательности {xn} и {yn} сходятся и имеют одинаковые конечные
пределы, и для третьей последовательности {z n } выполнено неравенство
xn<zn<yn, n (или для  n  N ), то {z n } тоже сходится и имеет тот же предел,
что и {xn} , {yn}.
Теорема 9.
Если последовательность сходится и имеет конечный предел
отличный от нуля, то после некоторого номера N, для всех  n  N , члены
этой последовательности принимают значения того же знака, что и предел
этой последовательности.
xn  a , а  0
Дано: lim
n 
Доказать: I.
II.
(I. a>0 , II. a<0) .
xn >0 при  n  N .
xn <0 при  n  N .
9
а
2
xn  a  a    xn  a   , возмем  = >0, тогда
Доказательство: lim
n 
а
2
а- < xn,  n  N . Т.е.
а
< xn,  n  N  xn >0 ,  n  N .
2
а
2
Аналогично во втором случае (берем  =- ).
Следствие.
Если
все
члены
последовательности
{xn}
принимают
неотрицательные значения  n, то предел так же будет неотрицательным
числом, т.е. а>0.
Аналогично, если {xn}<0, тo и а<0.
Теорема 10.
Теорема для монотонных последовательностей.
Если {xn} монотонно возрастающая и ограничена сверху, то такая
последовательность имеет конечный предел т.е. сходится.
Дано: х1  x2    xn1  xn  
xn <M,  n М>0
Доказательство: Пусть М*=Sup{xn} (точная верхняя грань), это означает:
1) xn  М*,  n
2)  N, xN > М*-  ,   >0.
Значит
М*-  < xN < М*+  , n  N  хn  M  <  , n  N ,
последнее, в свою очередь значит, что
lim xn  М 
n
Пределом является точная верхняя грань.
ч.т.д.
Теорема доказывается аналогично и для монотонно убывающей
последовательности.
Если {xn} монотонно убывающая и ограничена снизу, то такая
последовательность имеет конечный предел, это точная нижняя грань.
10
Замечание: Для монотонно возрастающих (убывающих), но не
ограниченных
сверху
(снизу)
последовательностей,
предел
также
существует, но бесконечный.
Понятие вложенных отрезков.
Системой вложенных отрезков называется совокупность отрезков,
когда каждый предыдущий отрезок содержит в себе последующий.
a1 , b1   a2 , b2   a3 , b3     an , bn   
a1 a2 …an x=c bn… b2 b1
{an}- последовательность левых концов отрезка, монотонно возрастающая,
ограничена сверху;
{bn}- последовательность правых концов отрезка, монотонно убывающая,
ограничена снизу.
an< bn ,  n
На основании теоремы 10 последовательности {an},{bn} имеют предел
lim a n  c
n 
lim bn  c / .
n
Теорема о вложенных отрезках.
Если
дана
система
вложенных
отрезков,
и
длина
отрезка
an , bn   0 , n   , то существует некоторая точка x=c, принадлежащая всем
отрезкам системы. Другими словами последовательности {an},{bn} имеют
пределы, которые равны.
Докажем, что с = с/.
Доказательство:
lim bn  an   lim bn  lim an  c /  c ;
n
n
n
длина отрезка an , bn  =bn-an ;
11
bn  an   0 , тогда с/- с=0  с =с/.
но длина отрезка an , bn   0 , n    lim
n 
lim bn  lim a n  c
n 
n 
ч.т.д.
Подпоследовательность.
Дана некоторая последовательность {xn} .
Последовательность
{уn},
составленная
из
некоторых
элементов
последовательности {xn}, данной в том же порядке, что и последовательность
{xn}, называется подпоследовательностью последовательности {xn}.
Члены подпоследовательности обозначаются так : хn ; k =1,2,3…
k
n1  n2  n3  
xn  a , то
Лемма. Если данная последовательность {xn} сходится и lim
n 
любая ее подпоследовательность хn
k
 также сходится и имеет пределом, то
же число а.
xn  a    0, N , n  N
Доказательство: lim
n 
xn  a <  . Рассмотрим любую
подпоследовательность, номер nk  N , тогда
xn k  a <  , nk  N  lim xnk  a .
k 
Имеет место обратное утверждение:
Если любая подпоследовательность хn , сходится и имеет общий предел а ,
k
то последовательность {xn}, также сходится и имеет тот же предел.
Любую
последовательность
можно
рассматривать
как
подпоследовательность.
Теорема Больцано- Вейерштрасса.
Если данная последовательность {xn} ограничена, то из нее всегда
можно выделить подпоследовательность, которая сходится.
12
Дана последовательность {xn}, она ограничена xn <M,  n ; а  хn  b ,  n .
Рассмотрим отрезок [a, b] . Доказательство основано на делении
отрезка пополам.
Разделим отрезок [a, b] пополам, при этом могут быть следующие случаи:
бесчисленное множество членов последовательности расположено в одной
половине или в обеих.
Рассмотрим ту половину отрезка, в которой находится бесчисленное
множество членов последовательности {xn}, (если в обеих половинкахрассмотрим обе).
Этот новый отрезок отметим [a1, b1], где b1= b. Он содержится внутри [a, b]
[a1, b1]  [a, b] .
Снова разделим [a1, b1] пополам- в одной или в обеих половинах
отрезка расположено бесчисленное множество членов последовательности;
отрезок отметим [a2, b2], где a2= a1
[a2, b2]  [a1, b1] и.т.д.
а, b  a1 , b1   a2 , b2   a3 , b3     an , bn   
Получим систему вложенных отрезков. Левые концы составляют {an},
а правые- {bn}.
bn  lim a n  c .
Согласно теореме о вложенных отрезках lim
n 
n 
Длина вложенных отрезков стремиться к нулю.
Так как длина [a, b] равна b-a;
длина [a1, b1] равна
b1  a1
;
2
длина [a2, b2] равна
b2  a 2
;
22
..........................
длина [ak, bk] равна
bk  ak
 0; k   .
2k
Выделим подпоследовательность. Возьмем х n  члену множества из [a1, b1];
1
хn2  члену множества из [a2, b2];
13
............................
хnk  члену множества из [ak, bk];
Таким образом будет составлена подпоследовательность ak  xk  bk ,
a n  c и lim bn  с  lim xn  с .
по теореме 8 о сжатой переменной, т.к. lim
n 
n 
k 
k
ч.т.д.
Последовательность, из которой можно выделить сходящуюся
подпоследовательность
называется
компактной.
Ограниченная
последовательность- компактная.
Критерий Больцано- Коши.
Внутренней признак сходимости последовательности.
Для того, чтобы последовательность {xn} была сходящейся необходимо и
достаточно, чтобы для любого
  0, N , n  N и для всех p = 1,2,3…имело
место неравенство- условие Коши:
xn  p  xn  
или xm  xn   , n  p  m,
m, n  N , т.е. члены последовательности после номера N должны отличаться
сколь угодно мало.
14
Контрольные вопросы
1.
Что называется числовой последовательностью?
2.
Что называется стационарной последовательностью?
3.
Что называется пределом последовательности?
4.
Какая последовательность называется сходящейся?
5.
Какая последовательность называется расходящейся?
6.
Что называется алгебраической суммой последовательностей?
7.
Что называется бесконечно малой величиной?
8.
Что называется бесконечно большой величиной?
9.
Какая связь существует между бесконечно малыми и бесконечно
большими величинами?
10. Сформулируйте теорему о пределе алгебраической суммы двух
сходящихся последовательностей?
11. Сформулируйте теорему о пределе произведения (отношения) двух
сходящихся последовательностей?
12. Что называется системой вложенных отрезков?
13. Что называется подпоследовательностью?
14. Сформулируйте
лемму
о
связи
между
данной
сходящейся
последовательностью и ее подпоследовательностью?
15. Какая подпоследовательность называется компактной?
16. Сформулируйте внутренний признак сходимости последовательности?
Литература
1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. М.: Наука, 1977.
2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т.1.- М.: Высшая
школа, 1981.
3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1.М.: Наука, 1978.
15