Геометрические приложения двойного интеграла

Геометрические приложения
двойного интеграла
Лекция 8
Примеры
Пример 1.
Вычислить  xy  y 2 dxdy,
D
где D – трапеция с
вершинами А(1;1),
В(5;1), С(10;2),
D(2;2).
Решение
Имеем

2
5y
1
y
xy  y dxdy =  dy  xy  y 2 dx 
2
D
3 5y
2 2
dy
2( xy  y )
2
1 y y ( xy  y ) d ( xy  y )  1
3y
5y
2
1
2 2
3
2 2
2
3
2 2
dx 
y
2 (5 y 2  y )
2 (4 y )
2 8y3
16 2
dy  
dy  
dy   y dy 

31
y
31 y
31 y
3 1
2
2
3 2
16 y

3 3
1
2
16
16
112
 (8  1)   7 
.
9
9
9
2
Примеры
Пример 2.
Вычислить
 ydxdy,
D
где D – треугольник
с вершинами О(0;0),
А(1;1) и В(0;1).
Решение
1
Получаем 1 1
1
1
2
2

y
1 x 
ydxdy=  dx  ydy  
dx     dx
2 x
2 2 
0
0
0
x
D

1
3
1
1
1
x
1
1 1 2 1
2
(
1

x
)
dx

(
x

)

(
1

)



.

=2
2
3 0 2
3 2 3 3
0
Примеры
Пример 3. Изменить
порядок
интегрирования в
двукратном
интеграле
1
y
3
1
0
y2
9
1
y2
9
I   dy  f ( x, y )dx   dy  f ( x, y )dx.
1
I   dx
0
9x
 f ( x, y)dy.
x
Двойной интеграл в полярных
координатах
Элемент площади в
полярных
координатах
вычисляют так:
d = rddr
Замена переменных
 f ( x, y)d =  f (r cos , r sin  )rddr
D
D
Выражение d = rddr называется
двумерным элементом площади в
полярных координатах.
Замена переменных
Для того чтобы в двойном интеграле
перейти к полярным координатам,
достаточно координаты x и y положить
равными r cos  и r sin 
соответственно, а вместо элемента
площади подставить его выражение в
полярных координатах.
Вычисление
В полярных
координатах
двойной интеграл
всегда вычисляют в
таком порядке:

r2 ( )

r1 ( )
F
(
r
;

)
d

dr

d



D
F
(
r
;

)
dr
.

Площадь плоской фигуры
Площадь плоской фигуры в декартовых
координатах вычисляют по формуле:
S   dxdy,
D
Площадь в полярных
координатах
Если фигура ограничена кривыми,
заданными в полярных координатах,
или ее уравнение содержит двучлен
x y
2
2
S   rddr.
D
Вычислить площадь
Фигура ограничена
кривыми х+у=2 и
y  4x  4
2
2
2 y
2
2 y
2
1
y2
S   dxdy   dy  dx   x
dy   (2  y 
 1)dy  21 .
2
3
4
D
6
6 y  4
6
y 2 4
4
4
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями
x  y  2 x , x  y  4 x,
y  x, y  0.
2
2
2
2
Перейдем к полярным координатам и
изобразим фигуру.
y
0
r  4 cos 
Y=x
r  2 cos 
4
x
Решение
Площадь области D вычислим в
полярных координатах 4cos

4cos 

r2
S   rd dr   d  rdr  
2
D
0
2cos 
0
4
4
4
d  6  cos 2  d 
0
2cos 


sin
4

sin 2  4

2
 3 (1  cos 2 )d  3   

3



2
2

0
0
4





 3
  (  2).
 4

Вычисление объемов тел с
помощью двойного интеграла
Пусть тело
ограничено с боков
цилиндрической
поверхностью с
образующими,
параллельными оси
Оz, а снизу и сверху
соответственно
поверхностями
z  f1 ( x, y), z  f 2 ( x, y)
Формула для вычисления
объема
Тогда объем тела равен разности
объемов цилиндроидов и вычисляется
по формуле:
V   f 2 ( x, y )dxdy 
D
f
(
x
,
y
)
dxdy

1

D
  [ f 2 ( x, y )  f1 ( x, y )]dxdy.
D
Вычислить объем тела, ограниченного
поверхностями
x+z=4, z=0, y  x , y  2 x .
y x
Вычислить объем тела
Запишем объем в виде двойного
интеграла:
V   (4  x)dxdy 
D
4
2 x
4
2 x
0
x
0
x
 dx  (4  x)dy   (4  x)dx  dy 

 2x
x
  (4 x  x x )dx   4 
 2
3
5
0


4
3
2
5
2
4


128
.
 
15

0
Найти объем тела, ограниченного
цилиндром радиуса 1, плоскостью Оxy и
конусом
Запишем объем
V   (1  x 2  y 2 )dxdy.
Вычислим его в
полярных
координатах
D
2
1
r
r 
 1 1 5
V   d  (1  r )rdr  2      2      .
 2 3 3
 2 3 0
0
0
1
2
3