ИНТЕГРАЦИЯ ФИЗИКИ, МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ СРЕДСТВАМИ НОМОГРАФИИ НА УРОВНЕ ПРЕДВУЗОВСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИНТЕГРАЦИЯ ФИЗИКИ, МАТЕМАТИКИ И
ИНФОРМАТИКИ СРЕДСТВАМИ НОМОГРАФИИ
НА УРОВНЕ ПРЕДВУЗОВСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Кузнецова Татьяна Ивановна (Москва, Центр международного
образования МГУ имени М.В. Ломоносова)
Математика дает возможность с помощью математических моделей описывать
самые разнообразные реальные процессы и предсказывать результаты, к которым они
приводят.
Л.Д. Кудрявцев. Среднее образование. Проблемы. Раздумья.
Номограммы – это считающие чертежи.
Это модели функциональных зависимостей.
Разработана методика преподавания основ номографии в средней школе. Доказана
возможность демонстрации эффективности номографических методов не только в
математике, но в других школьных дисциплинах, а также то, что использование и
построение номограмм, организованное в средней школе, повышает математическую
культуру учащихся, под которой понимается «…определенный запас знаний, навыков и
умений учащихся, в том числе и умение применять накопленные знания и навыки в
трудовой и учебной деятельности» (С.И. Шварцбурд).
Сетчатые номограммы –
часто применяются и в математике, и в физике, и вообще в самых разных
областях науки
А.Н. Колмогоров
П р и м е р. Уравнение Ван-дер-Ваальса, которое связывает объем (v) реального газа,
его давление (p) и температуру (T):
(p 
a
)(v - b)  RT
2
v
Изотермы (T=const)
Номограмма из выравненных точек –
для решения уравнения
1 1 1
 
x y z
В.М. Брадис
«Четырехзначные математические таблицы»,
с. 82
«Оптика»
Формула тонкой линзы
«Электричество»
Формула общего сопротивления при
параллельном соединении
1 1 1
 
F d f
1 1
1


R R1 R2
F — фокусное расстояние
d — расстояние от предмета до линзы
f — расстояние от изображения до линзы
R — общее сопротивление
R1, R2 — сопротивления участков
Применение ромбоидальных и транспарантных номограмм
в расчете точечного взрыва в газе
в точке пространства с геометрической координатой r в момент времени t (считая от
момента взрыва)
Исходные данные: E0 — энергия взрыва, p — давление газа до взрыва,  —
плотность газа до взрыва, RГ — газовая постоянная,  — показатель адиабаты,
величина  определяет характер взрыва: 1 — плоский взрыв, 2 — цилиндрический, 3
— сферический;
Искомые: давление p, плотность , скорость v, температура T, полная энергия в
единице объема E.
t
 (q) 
E 
 
 p 
0
1

p  p p
   
  
 
 p 
1
2
(1)
(3)










r
   0 (q)
i  
1

  E 0  



   Rn (q)


  p 


p
1
f 1 ( q ) g 1 ( q, i )
q
(4)
  f 2 ( q ) g 2 ( q, i )
(2)
(3′)
(4′)
v
p
v

(5)
v
1
g 3 ( q, i )
q
(5′)
T
p
T
RГ  
(6)
T
1
f 4 ( q ) g 4 ( q, i )
q
(6′)
(7)
E
1
f 5 ( q ) g 5 ( q, i )
q
(7′)
E  p E
Таблицы для вспомогательной безразмерной переменной q
и вспомогательных безразмерных функций  (q), Rn(q), 0 (q), f1 (q), f2 (q),
f4 (q), f5 (q), g1 (q, i), g2 (q, i), g3 (q, i), g4 (q, i), g5 (q, i)
Таблица 1
Таблица 2
Номографирование расчета точечного взрыва в газе
сводит решение задачи к простым геометрическим
операциям. Расчет осуществляется с помощью двух
номограмм — ромбоидальной и транспарантной.
Неподвижная плоскость
Транспарант
Расчет номограмм произведен на компьютере по специально
составленным программам, предусматривающим квадратичную, а иногда и
третьей степени, интерполяцию по соседним узловым точкам таблиц,
допускаемую этими таблицами.
Важно отметить, что использование номограмм не только существенно
упростило решение задачи, но и позволило наглядно проследить
изменение ответных величин в зависимости от изменения заданных
параметров, что невозможно сделать по таблицам.
Таким образом,
рассчитанные на компьютере таблицы и предложенные номограммы
дополняют друг друга и позволяют быстро исследовать и полностью решить
сложную задачу расчета газодинамических функций точечного взрыва в газе.