Лекция 2. Арифметические основы цифровой техники: 1)Системы счисления 2)Двоичная арифметика

Лекция 2. Арифметические основы
цифровой техники:
1)Системы счисления
2)Двоичная арифметика
3) Перевод из одной системы счисления в другую
Системы счисления
Под системой счисления понимают способ
записи чисел с помощью ограниченного набора
символов (цифр, букв). Различают два вида
систем счисления: позиционные и
непозиционные. К позиционным относятся
системы счисления, в которых значение цифры
зависит от ее места в числе.
Целое m-разрядное число N(q) в системе счисления с основанием q можно
представить в виде полинома по степеням основания (здесь и в
дальнейшем индекс "( q)" будет указывать основание СС, в которой
представлено число):
N(q) = m-1qm-1 + m-2qm-2 + … + iqi + … +1q1 + 0 q0,
(1)
где i (i = 1, 2, …, m) – цифры, используемые в системе счисления.
Запись числа N(q) по форме (1) называют развернутой. Число N(q) можно
представить и в несколько ином виде, позволяющем ввести понятие вес
разряда
N(q) = m-1 pm-1 + m-2 pm-2 + … + i pi + … +1p1 + 0 p0,
(2)
где pi = qi (i = 0, 1, …, m- 1) – целочисленные значения весов разрядов; i –
значение цифр разрядов, определяющих сколько раз надо повторить веса
этих же разрядов, чтобы определить долю данного разряда в значении
числа.
Десятичная система счисления. Эта система счисления является
наиболее известной и распространенной. В ней для записи чисел
используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Количество цифр,
используемых в любой позиционной системе счисления при записи чисел,
называют основанием системы счисления.
Двоичная система счисления. Свое название эта система счисления
получила потому, что в ней для записи любых чисел используются всего две
цифры: 0 и 1. Основание системы счисления число два записывается как и
в десятичной системе счисления с помощью двух цифр, т. е. q(2) = 10.
В двоичной системе счисления также используется понятие веса разряда.
Веса разрядов в двоичной системе счисления показаны на рис. 2.
Шестнадцатеричная система счисления. В этой системе счисления для
записи чисел используются 16 цифр. Десять младших из них (0, 1,…,9)
взяты из десятичной системы счисления. В качестве шести других
используются буквы латинского алфавита: A – 10, B – 11, C – 12, D – 13, E –
14 и F – 15. Основание системы счисления число шестнадцать также
записывается с помощью двух чисел и по форме совпадает с записью
оснований десятичной и двоичной систем счисления, т. е. q(16) = 10. Веса
разрядов в шестнадцатеричной системе счисления показаны на рис. 3.
Двоичная арифметика
Арифметические действия над двоичными
числами выполняются по тем же правилам, что и в
десятичной системе счисления, но более просты.
При выполнении операций сложение, вычитание и
умножение нужно руководствоваться следующими
таблицами:
Примечание.
При выполнении операции вычитания следует помнить, что "1", занятая в
отдаленном старшем разряде, оставляет по "1" в каждом промежуточном
разряде и две единице в младшем разряде, например
Перевод из одной системы счисления в
другую
Веса разрядов в любой триаде, например,
соответственно равны 4, 2, 1, что позволяет любую триаду заменить одной
восьмеричной цифрой. Поэтому для перевода двоичных чисел в восьмеричные
их разбивают на триады влево и вправо от запятой. Если крайние триады
оказались неполными, то они дополняются нулями.
Литература
1) Основы вычислительной техники: Учебное пособие/ Д.П. Гонтов,
К.Г. Кречетников и др: Владивосток: ТОВВМУ, 1996.
2) Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы:
Учебное пособие для вузов. – М.: Энергоатомиздат, 1991.
3) Калиш Г.Г. Основы вычислительной техники. Учеб. пособ. для
средн. проф. учебных заведений. – М.: Высш. Шк., 2000.
4) Евреинов Э. В. Цифровая и вычислительная техника. – М.:
Энергоатомиздат, 1991.
5) Цифровые устройства и микропроцессоры. Сборник заданий для
лабораторных работ/ А. А. Гайзюмов, Д. П. Гонтов, А. Н. Карелин и
др.: Владивосток: ТОВМИ, 1999.