Решение систем уравнений второй степени

Решение
систем
уравнени
й второй
степени.
Система уравнений и её
решение
Решением системы уравнений с
двумя переменными называется пара
значений переменных, обращающая
каждое уравнение системы в верное
равенство.
Решить систему уравнений - это
значит найти все её решения или
установить, что их нет.
Способ подстановки
(алгоритм)
Из какого-либо уравнения выразить
одну переменную через другую.
Подставить полученное выражение
для переменной в другое уравнение и
решить его.
Вычислить значение второй
переменной.
Записать ответ: (х ; у) .
Решение системы
способом подстановки
Выразим у через х
y= x2 ,
у- 2x – 3=0;
уу- 2x – 3=0;
x2 =0,
Решим
уравнение
Подставим
y= x2 ,
x= -1;
Подставим
х = -1,
у =1.
y= x2 ,
x2 - 2x – 3=0;
y= x2 ,
x= 3;
Подставим
х =3,
у = 9.
Ответ: (-1; 1) ; ( 3; 9)
Способ сложения
(алгоритм)
Умножить каждое уравнения системы,
подбирая множители так, чтобы
коэффициенты при одной из переменных
стали противоположными числами.
Сложить почленно левые и правые
части уравнений системы.
Решить получившееся уравнение с одной
переменной.
Подставить значение найденной
переменной в одно из уравнений системы
и найти значение другой переменной.
Записать ответ: (х; у) .
Решение системы способом
Умножим
первое
сложения
уравнение
на -1
Сложим уравнения почленно
-у + x2 =0,
у- 2x – 3=0;
____________
х2- 2x – 3=0,
у = х2;
х2- 2x – 3 = 0,
х = -1,
у =1.
y= x2 ,
x= -1;
у - =0, ||·(-1)
у- 2x – 3=0;
x2
Решим
уравнение
Подставим
y= x2 ,
x= 3;
х =3,
у = 9.
Подставим
х = -1
х= 3
Ответ: (-1; 1) ; ( 3; 9)
Алгоритм решения системы уравнений, с
помощью теоремы, обратной теореме Виета
1) Найти р и q.
2) Записать приведенное квадратное
уравнение z 2  pz  q  0 .
3) Решить приведенное квадратное
уравнение.
2
4) Записать две пары решения
системы уравнений.
5) Записать ответ.
 x  y  12,

 x  y  11
p  12 q  11
z  12 z  11  0
z1  11, z2  1
x1  11
x2  1
y1  1
y2  11
Ответ: (11;1), (1;11).
Решение системы с использованием
формулы сокращенного умножения
1. Домножим второе уравнение на такое число,
чтобы получилось удвоенное произведение
у2 +x2 =13,
+ 2ху=12;
2. Сложим оба уравнения
3. Применяем формулу квадрата суммы
4. Добавляем второе уравнение системы
5. Делим второе уравнение на 2 и решаем по
теореме Виета
у+x=5
6. Записываем ответ
Ответ: (2;3); (3;2); (-2;-3); (-3;-2)
у2 +x2 =13,
0,5ху=3; *4
2ху=12
у+x=5
ху=6
у2 +2ху+x2 =25,
(у+x)2 =25,
у+x=-5
2ху=12
у+x=-5
ху=6
Решение системы с использованием
формулы сокращенного умножения
1. Разложим первое уравнение по формуле
разности квадратов
2. В первое уравнение вместо выражения у-х
подставим 2, Т.К. х-у=2
у2 -x2 =16,
у-х=2;
2
(у –x)(у+х) =16,
у-х=2;
3. Первое уравнение делим на 2
4. Решаем систему способом сложения
5. Записываем ответ
2(у+х) =16,
у-х=2;
у+х=8,
+ у-х=2;
Ответ: (5;3)
2у=6
у=3
у=3,
х=5;
:2
Графический способ
(алгоритм)
Выразить у через х в каждом
уравнении.
Построить в одной системе
координат график каждого уравнения.
Определить координаты точек
пересечения.
Записать ответ.
Решение системы графическим
способом
у - x2 =0,
у- 2x – 3=0;
y= x2 ,
y= 2x + 3 ;
Построим график
первого уравнения
y= x2
Построим график
второго уравнения
y= 2x + 3
х 0 1
у 3 5
Ответ: (-1; 1) ; ( 3; 9)