ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ
ДИНАМИКИ
лекция
Составитель: Солодовник Е.В.
ТОГУ, кафедра Теоретической механики
mailto:esolodovnik@yandex.ru
Общее уравнение динамики, представляющее собой совмещение
принципа Даламбера и принципа
возможных перемещений, приводит к весьма общему принципу
решения задач динамики.
Рассмотрим движение системы n материальных точек.
Пусть связи, наложенные на
систему являются идеальными.
Mk
Fk
Rk
Силы, действующие на точку системы Mk массой mk:
Fk - равнодействующая всех активных сил,
Rk - равнодействующая реакций связей.
2
Фk
Покажем силу инерции точки
Mk.
Ô k   mk a k .
Mk
Fk
аk
Rk
Согласно принципу Даламбера, для каждой точки механической
системы имеет место уравнение:
Fk+Rk+Фk=0
(k=1, 2,…,n).
3
Фk
Сообщим точкам системы
возможные перемещения
rk
(k=1, 2,…,n).
Mk
Fk
rk
Rk
Сумма работ всех сил на возможных перемещениях должна
быть равна нулю:
n
 (F
k 1
k
 Rk  Ô k )  rk  0
4
n
R
Для идеальных связей
k
k 1
n
Следовательно,
 (F
k 1
k
 rk  0.
 Ô k )  rk  0.
n
F
àê


r


À
k
k
Величина k 1
равна элементарной работе равнодействующей активных сил, приложенных к точке Mk
на возможном перемещении rk ;
k
n
Ô
k 1
k
 rk  Àkèí
- элементарная работа силы инерции ма-
териальной точки, приложенных к точке Mk на возможном перемещении rk .
5
Теперь можно записать
n
n
 À  À
k 1
àê
èí
k
k
k 1
Это уравнение называется общим
 0.
уравнением дина-
мики (ОУД).
Оно может быть прочитано следующим образом:
в любой момент времени сумма работ всех задаваемых
сил и сил инерции материальных точек несвободной механической системы с двусторонними идеальными связями на любом возможном ее перемещении равна нулю.
6
ОУД в декартовых координатах
Обозначим
Fхk , Fуk , Fzk – проекции активных сил Fk на оси декартовых
координат;
Фхk , Фуk , Фzk – проекции сил инерции Фk на оси декартовых
координат;
xk , уk , zk – проекции векторов возможных перемещений
rk на оси декартовых координат.
С использованием декартовых проекции ОУД можно придать следующий вид
 ( F
n
k 1
kx

 Ô kx )  xk  ( Fky  Ô ky )  yk  ( Fkz  Ô kz )  z k  0.
7
Выразим проекции сил инерции точки через проекции ее
ускорения
Ô xk  mk xk ; Ô yk  mk yk ; Ô zk  mk zk .
Подставив эти значения в ОУД, получим:
 ( F
n
k 1
kx

 mk xk )  xk  ( Fky  mk yk )  yk  ( Fkz  mk zk )  z k  0.
8
Исходя из общего уравнения динамики,
можно решать различные задачи о движении механической системы.
При составлении дифференциальных
уравнений движения механических систем с идеальными связями на основе
ОУД исключаются с самого начала реакции связей, что является достоинством
этой методики.
9
пример 1.
К системе блоков
подвешены грузы
М1 массой m1 и
М2 массой m2.
4
Пренебрегая массами блоков и нитей,
составить
дифференциальные уравнения
движения системы
3
М2
М1
10
пример 1.
Рассмотрим движение
ситемы, состоящей из
грузов М1 и М2.
4
O
Связи, наложенные на
систему, - шарнир О
и нерастяжимая нить
– являются идеальными.
Активные силы, действующие
на систему:
Р1=m1g1– сила тяжести груза М1;
Р2=m2g2 – сила тяжести груза М2.
3
М2
P2
М1
P1
11
пример 1.
Покажем силы инерции
грузов
Ô1  ma1; Ô 2  ma2 .
4
O
При этом а2=2а1 , поскольку
точка Р является мгновенным центром скоростей
подвижного блока.
Определив положения грузов
координатами у1 и у2 , получим следующие соотношения:
à2  y2 ; à1  y1; y2  2 y1.
3
а2
Р
Ф2
К М2
P2
М1
P1
Ф1
у2
у1
а1
12
пример 1.
Дадим точкам системы возможные перемещения.
4
s1 – возможное перемещение (вверх) груза М1;
s2 – возможное переме-
3
Ф2
щение (вниз) груза М2 .
При этом s2 =2s1.
Р
К М2
P2
М1
s2
s1
P1
Ф1
13
пример 1.
Вычислим работу всех
активных сил и сил
инерции на этих возможных
перемещениях.
ÀÐ   Ð1  s1 ;
Ф2
1
ÀÐ  Ð2  s2 ;
Р
М2
2
ÀÔ  Ô1  s1 ;
1
ÀÔ  Ô 2  s2 .
2
P2
М1
s2
s1
P1
Ф1
14
пример 1.
Согласно общему уравнению динамики сумма работ активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении
равна нулю.
n
n
àê
èí

À


À

   P1s1  P2s2  Ô1s1  Ô 2s2  0.
k 1
k
k 1
k
Подставляя в это уравнение s2 =2s1 и сокращая на s1, получим:
 P1  P2 2  Ô1  Ô2 2  0.
15
пример 1.
Принимая во внимание,
что а2=2а1; Р1=m1g1; Р2=m2g2;
получим уравнение для
определения а2:
 m1 g1  2m2 g 2 
m1a2
 2m2 a2  0.
2
Так как a2  y2 , то
дифференциальное уравнение движения системы будет иметь вид:
y 
2 g (2m2  m1 )
4m2  m1
М2
М1
s1
а2
s2
а1
16
Если механическая система состоит из
отдельных твердых тел, то силы инерции точек каждого тела можно привести
к силе, равной главному вектору сил
инерции и приложенной в центре приведения, и паре сил, момент которой равен главному моменту сил инерции относительно центра приведения.
17