 S 5. Волновые процессы

5. Волновые процессы
5.1 Волновое уравнение
Пусть некоторая физическая величина S описывает
волновой процесс, распространяющийся в направлении оси
x со скоростью . В качестве величины S может выступать
смещение точек резинового шнура, напряженность
электрического или магнитного поля и т.д.
Образование всех волновых процессов происходит по
одному и тому же принципу. А именно, если в какой-то
момент времени в некоторой точке среды А возникло
возмущение, то оно через определенное время появляется в
другой точке среды В.
Покажем, что все волновые процессы описываются
функциями с одинаковым аргументом
S  f (t  x /  )
где
t
– время,
(5.1.1a)
х – координата точки.
Пусть в некоторой точке
А
с координатой
х0
в
t0 физическая величина S имела
значение, равное S(х0, t0). Пусть затем в момент времени
t возмущение (волна) пришло в другую точку В с
координатой х. Это значит, что значения физической
величины в точках А и В совпадают, то есть
S(х0, t0) = S(х, t)
момент времени
Данное равенство должно выполняться для любого
волнового процесса (то есть для функции S любого вида),
для любого момента времени и в любой точке
пространства.
Поэтому координата и время могут входить в
функцию
S
только в такой комбинации, при которой
S(х, t) = const
Найдем явный вид этой комбинации.
Поскольку возмущение распространяется со скоростью ,
то координаты двух точек связаны выражением
x = x0 + (t - t0)
или
x -  t = x0 -  t0
Значит, координата и время возмущения таковы, что их
комбинация x - t = const или x/ - t = const1
есть постоянная величина. Это и есть искомая связь
координаты и времени.
Она является признаком их принадлежности к
одному и тому же возмущению, то есть физической
величине
S.
Значит
S
может зависеть от координаты и
времени только в комбинации
называется фазой волны.
t - x/ = 
, которая
Если
волна
направлении оси
распространяется
в
отрицательном
х, то аргументом функции S
(x/ - t ), то есть
S = f(x/ - t)
будет
(5.1.1b)
Найдем уравнение, которому удовлетворяет функция S.
Для этого продифференцируем формулу (5.1.1а) два раза
 S 1 ''
=
f

2
2
x
υ
2
по координате
 S
''
= f
2
t
2
и два раза по времени
Значит
Волновое уравнение
 S 1  S
=
2
2
2
x
υ t
2
2
(5.1.2)
Такое же уравнение получается, если использовать
волну, распространяющуюся в обратном направлении
(5.1.1b). Обе волны являются двумя частными решениями
волнового уравнения.
Колебание произвольного типа будет описываться
общим
решением
дифференциального
уравнения,
являющимся суперпозицией двух частных решений
S ( x, t )  f1 (t  x /  )  f 2 (t  x /  )
где f1, f2 – произвольные функции, отвечающие волнам,
распространяющимся в противоположных направлениях
оси
x.
Аналогично
можно
рассмотреть
и
волны,
распространяющиеся вдоль других осей y, z. Волновые
уравнения для них будут подобными – надо лишь в
уравнении (5.1.2) заменить аргумент х на y и z.
В трехмерном случае волновое уравнение имеет вид
1  S
S   S  2 2
 t
2
2
2



 2  2  2
x y
z
2
2
(5.1.3)
Все рассмотренные волновые уравнения справедливы
лишь для однородных, изотропных сред, в которых
затухание пренебрежимо мало.
При наличии затухания одномерное волновое
уравнение имеет вид
 S
S
1  S
2

2



S

2
2
2
x
x
 t
2
где  – коэффициент затухания.
Различают волны продольные
2
и
(5.1.4)
поперечные,
зависимости от того, происходит ли изменение величины
вдоль или поперек направления распространения волны.
в
S
5.2 Гармонические волны
Гармонические
волны
описывают
движение
гармонического осциллятора.
Уравнение гармонической волны имеет вид
S ( x, t )  A cos( (t  x /  ))
где
А
– амплитуда волны,

(5.2.1)
- циклическая (круговая)
частота колебаний,  = 2πν , ν – тактовая частота
колебаний (Гц).
Гармоническая волна периодична во времени и
пространстве, ее период равен 2π.
Из периодичности во времени t = 2π
находим промежуток времени, за который происходит одно
колебание
t = T = 2π/
T – период колебаний, T = 1/ν.
Из периодичности в пространстве x/ = 2π
находим расстояние, на котором происходит одно колебание

x =  = 2π/ = T = /ν
-
длина
волны,
расстояние,
на
распространяется за период колебаний T.
которое
волна
Уравнение гармонической волны чаще используют в
другом, более симметричном виде. Для этого представим
 (t  x /  )  t   x /  t  kx
где
k = / = 2π/ - волновое число
Волновое
число
равно
укладывающихся на отрезке длиной
Тогда можем записать
числу
длин
волн,
2.
S ( x, t )  A cos(t  kx)
(5.2.2)
В трехмерном случае оно имеет вид
S (r , t )  A cos(t  (k  r ))
(5.2.3)
– волновой вектор, указывающий
распространения волны и равный
k
ω
2
k = n=
n
υ

направление
(5.2.4)
В отличие от волнового вектора, фазовая скорость не
является
вектором,
поскольку
в
направлении,
составляющем угол  с волновым вектором
перемещения фазы равна
k , скорость
υ/cosα > υ
а не
υ  cosα
была вектором.
как было бы, если бы фазовая скорость
Действительно
t  (k  r )  const
t  k  r cos   const
r
 (t  cos  )  const

'
скорость перемещения
фазы
r
'


  (t  cos  )    const t


t
r cos 
1
0
t 
r


t cos 
6. Электромагнитные волны
6.1 Волновое уравнение для электромагнитных волн
Как было показано ранее, переменное электрическое
поле создает вокруг себя переменное магнитное поле и
наоборот. В результате этого все новые и новые области
пространства захватываются электромагнитном полем,
порождая волновой процесс.
Покажем, что существование электромагнитных волн
вытекает из уравнений Максвелла.
Рассмотрим однородную, изотропную среду с
постоянными диэлектрической
и магнитной
проницаемостями, в которой нет свободных зарядов   0
и отсутствуют токи проводимости j  0 .


Выразим из материальных уравнений (4.2.12 - 4.2.14)
электрическую
и
магнитную
индукции
через
напряженности электрического E и магнитного H
полей и подставим их в уравнения Максвелла (4.2.8) (4.2.11) , в результате эти уравнения примут вид
H
rotE = - 0
t
(6.1.1a)
divE = 0
(6.1.1c)
E
rotH =  0
t
(6.1.1b)
divH = 0
(6.1.1d)
Применим к первому уравнению (6.1.1a) операцию rot
rot(rotE) = [  [  E ]] =
H
rotH
= - 0 rot(
) = - 0
t
t
С другой стороны раскроем двойное
произведение по правилу “bac” минус “cab”
(6.1.2)
векторное
[  [  E ]]  (  E )  E



 2  2  2
x y
z
2
где
2
Но, согласно (6.1.1c)
поэтому
2
- оператор Лапласа.
divE  (  E )  0
[  [  E ]]  E
Приравнивая левые и правые части и подставляя
(6.1.2), получаем
2
волновое уравнение
(6.1.3а)
0
0
для вектора E
2
 E
E   
t
Аналогично, взяв ротор от уравнения (6.1.1b), получим
волновое уравнение
для вектора H
 H
H   0 0 2
t
2
(6.1.3b)
Коэффициент справа имеет размерность скорости
 0 0 

1

2
- фазовая скорость электромагнитной волны в среде.
Следовательно, фазовая скорость света в среде равна
  c / 
где
(6.1.4)
c  1/  0 0  3 10 м/с - скорость света в вакууме.
8
С учетом (6.1.4) волновые уравнения принимают вид
1  E
E  2 2
 t
2
1  H
H  2 2
 t
2
(6.1.5а)
(6.1.5b)
Решениями волновых уравнений (6.1.5) являются
функции вида
E (r , t )  E ( t  (k  r )   0 )
H (r , t )  H ( t  (k  r )   0 )
где
   t  (k  r )   0
0
-
фаза волны,
-
начальная фаза,

-
круговая частота (угловая скорость),
k
-
волновой вектор
(6.1.6)
Подставим их в волновые уравнения. Для вектора
E
E E 

  E
t  t
 E
E  
 E 
2







E
2
2
t
 t
 t
2
2
 E
 E
2
2



k
E
;

k
E
;
x
y
2
2
x
y
2
2
E  (k  k  k ) E   k E 
2
x
2
y
2
z
2
 E
2


k
E
z
2
z
2
Приравнивая, согласно (6.1.5а), получаем
 E  
2
k
2

2
E 
Отсюда находим закон дисперсии – то есть связь
частоты с модулем волнового вектора и фазовой скоростью

k

(6.1.7)
Такое же соотношение получается, если в волновое
уравнение (6.1.5b) подставить напряженность магнитного
поля (6.1.6).
Итак, если частота, фазовая скорость и модуль
волнового вектора удовлетворяют (6.1.7), то функции вида
(6.1.6) являются решениями волновых уравнений (6.1.5).
Эти решения получены для случая, когда заряды
отсутствуют. Их называют электромагнитными волнами.
Рассмотрим свойства фазы волны, зафиксируем ее
значение
t  (k  r )  0  const
(6.1.8)
При заданном волновом векторе k это уравнение
определяет поверхность, во всех точках которой фаза одна
и та же. Такую поверхность называют волновой
поверхностью.
Поскольку в уравнение (6.1.8) входит время, то
волновая поверхность движется с течением времени.
Волновая поверхность есть геометрическое место
точек, до которых за время t волна доходит в одинаковой
фазе.
Найдем скорость движения точек волновой поверхности.
Для этого продифференцируем уравнение (6.1.8) по
времени, а результат разделим на круговую частоту

k dr
k dr
1
dr
(  )  (  )  (n  )  1
 dt
 dt 
dt
(6.1.9)
где n = k/k - единичный вектор, направленный вдоль
волнового вектора,
dr
dt
- скорость движения точек,
лежащих на волновой поверхности.
Из (6.1.9) следует, что эту скорость можно записать
как
Значит
dr
 n
dt
dr
(n  )  
dt
(6.1.10)
(6.1.11)
Следовательно,
точки
волновой
поверхности
движутся в направлении волнового вектора с фазовой
скоростью  . Потому эта скорость и называется фазовой.
У разных точек волновой поверхности величина
фазовой скорости  , вообще говоря, разная.
Волновой вектор в каждой точке волновой
поверхности перпендикулярен к плоскости, касательной к
этой поверхности в данной точке. Эта плоскость
называется плоскостью волнового фронта.
Поэтому фазовая скорость есть скорость движения
фронта волны.
Волновой фронт разделяет область пространства, в
которой имеются электромагнитные волны от области, до
которой эти волны еще не дошли.
Частным случаем электромагнитных волн являются
плоские монохроматические электромагнитные волны,
которые изменяются от координаты и времени по
гармоническому закону с фиксированной частотой
E  Em cos( t  (k  r )   0 )
H  H m cos( t  (k  r )   0 )
(6.1.12)
Em - амплитуда напряженности электрического поля
H m - амплитуда напряженности магнитного поля.
Эти волны называются плоскими, потому что их
волновые поверхности и волновой фронт представляют
собой плоскости. Векторы E и H колеблются в одной фазе.
Подставим (6.1.12) в уравнения Максвелла (6.1.1).
Вычислим производные
ex

rotE = [  E ] =
x
Ex
ey

y
Ey
ez

=
z
Ez
E y Ex
Ez E y
Ez Ex
=(
)e x - (
)e y + (
)e z =
y z
x z
x y
 {( k y Emz - k z Emy )e x - ( k x Emz - k z Emx )e y 
+ ( k x Emy - k y Emx )ez }  sin( t  (k  r )   0 ) 
 [k  E m ]  sin( t  (k  r )   0 )
Также находим
H
  H m sin(t  (k  r )  0 )
t
Подставляя эти производные в уравнение Максвелла
(6.1.1а), получаем
rotE = [k  Em ]  sin(t  (k  r )  0 ) 
 0 H m  sin( t  (k  r )   0 )
Значит
[k  Em ]  0 H m
(6.1.13а)
Вычислим дивергенцию
divE  (  E ) 
Ex E y Ez




x
y
z
 (k x Emx  k y Emy  k z Emz )  sin( t  (k  r )   0 )
 (k  Em )  sin( t  (k  r )   0 )  0
Следовательно
( k  Em ) = 0
(6.1.13b)
Аналогичный расчет для напряженности магнитного
поля дает
[k  H m ]   0 Em
(k  H m ) = 0
(5.1.13c)
(5.1.13d)
Из 4-х уравнений (5.1.13а - 5.1.13d) следует взаимная
ортогональность векторов
k H
; k E ; EH
(5.1.14)
Поэтому плоские электромагнитные волны являются
поперечными волнами - векторы E и H перпендикулярны
друг к другу и распространяются с фазовой скоростью  в
направлении волнового вектора k .
Три вектора в написанном порядке E , H и k образуют
правовинтовую систему.
E
z
k
z
E
k
y
y
H
H
H
E
x
x
Из ортогональности векторов и формул
(6.1.13с) следует связь модулей амплитуд
kEm  0 H m
(6.1.13а),
(6.1.15)
kH m   0 Em
Поделив одно уравнение на другое, получаем связь
модулей напряженности электрического и магнитного
полей
E  0  H 0
(6.1.16)
6.2 Энергия электромагнитных волн
Электромагнитные волны переносят энергию, что
проявляется в различных действиях, которые они
оказывают на предметы – нагревании, давлении и т.д.
Количество энергии W, переносимое волной через
некоторую поверхность за 1 сек называется потоком
энергии Ф
Ф = dW/dt
[Ф] = Вт
(6.2.1)
Через разные участки поверхности в общем случае
проходит разное количество энергии.
Поэтому
для
характеристики
неравномерного
распространения энергии вводят плотность потока энергии
j – она равна потоку энергии через единичную площадку,
перпендикулярную
направлению,
вдоль
которого
переносится энергия
ΔФ
j=
ΔS 
(6.2.2)
где ΔS 
- площадка, перпендикулярная направлению
распространения волны,
ΔФ - поток энергии, переносимый через эту площадку.
Введем плотность энергии
содержащееся в 1 м3
ΔW
w=
ΔV
w – количество энергии,
(6.2.3)
где ΔW - количество энергии, содержащееся в объеме ΔV
Выразим плотность потока энергии
через
j
плотность энергии w .
Рассмотрим площадку ΔS , через которую за время Δt
переносится энергия ΔW .
S

t
Эта энергия заключена в объеме с основанием ΔS 
высотой t , где
- фазовая скорость волны.

и
Объем равен
поэтому
Тогда
ΔV = t S
ΔW = w V = wt S
wt S
ΔФ
ΔW
j=


 w
ΔS  ΔS  Δt
ΔS  Δt

или в векторном виде
j = w

(6.2.4)
где
- вектор, модуль которого равен фазовой скорости,
а направление совпадает с направлением распространения
волны.
Если вектор j известен во всех точках некоторой
конечной поверхности S, то можно определить поток
энергии через эту поверхность.
Для этого разобьем эту поверхность на малые участки dS .
dS

n


j
dt
За время dt через площадку dS пройдет энергия,
заключенная внутри косого цилиндра с объемом
dV =  dt  dS  cos
В этом объеме содержится энергия
dW = wdV = w  dt  dS  cos  jdScos dt = (j  dS)dt
Поэтому поток энергии через площадку dS равен
dW
dФ =
 (j  dS)
dt
Полный поток энергии через поверхность S равен
Ф =  (j  dS)
S
(6.2.5)
Применим
полученные
формулы
электромагнитным волнам в вакууме, тогда
 =c
Плотность энергии электрического поля в вакууме равна
2
(1.26.10)
 E
wE =
0
2
Аналогично, плотность энергии магнитного поля равна
wH =
0 H
2
2
Полная плотность электромагнитного поля есть
w = wE + wH =
0 E
2
+
0 H
2
к
Согласно (6.1.16) для вакуума
E  0  H 0
Потому
wE = wH
и можем записать
(E  0 ) (H 0 )
w = wE + wH =
+

2
2
EH
  0 0 EH 
c
2
2
Откуда получаем
j = wc = EH
(6.2.6)
Векторы E и H взаимно перпендикулярны и образуют с
направлением волны правовинтовую систему, поэтому
(6.2.6) можем переписать в виде
j = [E  H ]
Вектор
j
(6.2.7)
называется вектором Умова-Пойтинга.
Для электромагнитных волн вектор Умова-Пойтинга
обозначают через
S
S = [E  H ]
(6.2.8)
Таким
образом
плотность
потока
энергии,
переносимой электромагнитной волной, дается вектором
Умова-Пойтинга.
Модуль вектора Умова Пойтинга S = EН равен
энергии, переносимой волной за единицу времени через
единичную площадку, перпендикулярную направлению
В изотропной среде вектор Пойнтинга направлен в ту
же сторону, что и волновой вектор.
В анизотропной среде их направления в общем случае
не совпадают.
Для оптического диапазона электромагнитных волн
частота изменений вектора Пойнтинга равна 2 ~ 1015 гц.
Глаз не успевает следить за столь частыми
изменениями потока энергии и регистрирует лишь
усредненный поток за время его восприятия  ~ 0.2 сек.
Среднее по времени

значение модуля вектора
Пойнтинга
| S | дает интенсивность света
данной точке пространства.
I
в
Из (6.1.12) получаем выражение для интенсивности
света
I | S |  Em H m  cos (t  kx   0 )  
2
(6.2.2)
1
1
n
2
2
 H m Em 
Em 
Em
2
20 
2 c 0 
Таким образом, интенсивность света пропорциональна
квадрату амплитуды световой волны Em.
Линии, вдоль которых распространяется световая
энергия называются лучами.