Методика решения уравнения

Уравнения
Преподаватель математики
«Профессионального
училища №28»
Макарова Любовь
Валентиновна
План урока



ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Определение: Уравнение, содержащее
переменную под знаком корня,
называется иррациональным.
Методика решения уравнения




Решение иррационального уравнения основано на
преобразовании его к рациональному уравнению, что достигается
возведением обе их частей в одну и ту же степень (иногда
несколько раз)
При возведении обеих частей иррационального уравнения в
четную степень получается уравнение, являющиеся следствием
исходного.
Уравнению-следствию удовлетворяют все корни исходного
уравнения, но могут появится и корни, которые являются корнями
исходного уравнения («посторонние» корни).
Чтобы выявить «посторонние» корни, все найденные корни
уравнения-следствия проверяют подстановкой в исходное
уравнение и посторонние корни отбрасывают.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ



Исходное иррациональное уравнение равносильно
смешанной системе, состоящей из уравнения-следствия и
ограничений, определяемых областью допустимых
значений переменных.
В этом случае «посторонние» корни не будут входить в
область допустимых значений и проверять их подстановкой
в исходное уравнение не требуется.
При возведении обеих частей иррационального уравнения
в нечетную степень получается уравнение, равносильное
исходному.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
Пример
3х-4=2
Решение
Возведем оби части
уравнения в третью
степень
(3х-4)3=23
Х-4=8
Х=8+4
Х=12
ОДЗ
Х-4>0
X>4
x€(4;∞)
Ответ
Методика решения уравнения
Пример
х-3=х-9
Решение
Возведем оби части
уравнения в квадрат
(х-3)2=(х-9)2
Х-3=х2-18х+81
Х2-18х+81-х+3=0
Х2-19х+84=0
Д=361+336=25
Х1=(19+5)/2=12
Х2=(19-5)/2=7
ОДЗ
Ответ
Х-9>0
X>9
x€(9;∞)
Х=12
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Определение: Уравнение, содержащее
переменную в показателе степени,
называется показательным.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ


Решение показательных уравнений часто
сводится к решению уравнения вида ах=ах, где
а>0, а=1,х – неизвестное.
Это уравнение решается с помощью свойств
степени: степени с одинаковыми показателями
а>0, а=1 равны только тогда, когда равны их
показатели.
ПРИМЕР
ПРИМЕРЫ
3*27х=1
РЕШЕНИЕ
ОТВЕТ
Запишем уравнение в виде
3*(33)х=1
3*33х=30
31+3х=30
1+3х=0
3х=-1
Х=-1/3
Х=-1/3
ПРИМЕР
ПРИМЕР
(5/2)х = (4/25)2
РЕШЕНИЕ
Приведем правую часть
уравнения к основанию 5/2
(5/2)х = ((2/5)2)2
(5/2)х = (2/5)4
(5/2)х = ((5/2)-1)4
(5/2)х = (5/2)-4
Х=-4
ОТВЕТ
Х=-4
ПРИМЕР
Пример
Решение
4х+2х+1-8=0
Приведем 4х к основанию 2, а
2х+1 распишем по свойству
степени 22х+2х * 2 – 8=0
Введем новую переменную 2х=t,
t>0
t2+2t-8=0
D= 4 + 32 = 36
t1 = (-2+6)/2=2
t2 = (-2-6)/2=-4( посторонний
корень)
2х=2
Х=1
Ответ
Х=1
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Определение: Уравнение содержащее
переменную под знаком логарифма,
называется логарифмическим.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ



Решением логарифмического уравнения вида
log аf(x)=logad(x) равносильно каждой из систем:
f(x)>0
или
d(x)>0
f(x)=d(x)
f(x)=d(x)
Заметим, что переход от уравнения logаf(x)= logаd(x) к
уравнению f(x)=d(x) может привести к появлению
«посторонних» корней.
Эти корни можно выявить либо с помощью подстановки их
в исходное уравнение, либо с помощью нахождения
области определения исходного уравнения, которое
задается системой неравенств f(x)>o
d(x)>o.
ПРИМЕР
Пример
Решение
ОДЗ
Log2(5-x)=3
Прологарифмируем показатель
степени 3 по основанию 2
log2(5-x) = log28
5–x=8
-x = 8 – 5
X=-3
5–x>0
-X > -5
X< 5
X € (∞ ;5)
Ответ
Х=-3
ПРИМЕР
Пример
Решение
ОДЗ
log5(x+1)+log5(x-1)=3log52 Представим левую
X + 1> 0
X > -1
X - 1 >0
X>1
х€(1;+∞)
часть уравнения в виде
логарифма
произведения, а правую
сведем к логарифму
степени
log5((x+1)*(x-1)) =log523
Log5(x2 -1)=log58
X2 - 1 = 8
X2 = 8 + 1
X2 = 9
x1 =3
X2 =-3
Ответ
Х=3
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
Пример
log2(2х+1)-log2x=log464
Решение
Представим разность
логарифмов в левой
части уравнения в виде
логарифма частного, а
правую часть упростим
по определению
логарифма.
log2(2x+1)/x=3
(2x+1)/x=23
(2x+1)/x=8
2x+1=8x
2x-8x=-1
-6x=-1
X=1/6
ОДЗ
Ответ
X>0
2x+1>0
2x>-1
X>-1/2
x€(o;∞)
Х=1/6