Тригонометрия

Тригонометрия
 Тригонометрия-это часть геометрии, где
с помощью тригонометрических
функций связываются элементы
треугольника.
 Тригонометрия-это объект
математического анализа, где
тригонометрические уравнения
изучаются методами алгебры.
Этапы развития тригонометрии
 Тригонометрия в древности являлась
вспомогательным разделом астрономии.
Древнегреческие ученые разработали
«тригонометрию хорд».
 Древнеиндийские ученые заменили хорды
синусами.
 В VIII веке математики Востока превратили
тригонометрию в самостоятельную
математическую дисциплину. Ими были введены
другие тригонометрические функции и составлены
таблицы.
 Окончательный вид тригонометрия приобрела в
XVIII веке в трудах Л.Эйлера.
Вопросы для повторения:




Основные понятия
Уравнения
Неравенства
Системы неравенств
Основные понятия
тригонометрическая
градусы и радианы
синус и косинус
тангенс и котангенс
окружность
Тригонометрическая окружность
y
B
+
II
I
R=1
A
C
0
x
III
IV
D
Градусы и радианы

2
90
;
0

0
120 ; 3
60
;0  +
2
0
3
3
135 ;
45
;
5 4
0
0 4 
150 ;
30 ;
6
6
x
00 ; 0
1800 ; 
0
0
360 ; 2
7
0
11
0
210 ;
330
;
6
7 6
5
0
0
315 5; 
225 ;
0
4
4 4
300
;
3
0
2400 ;
3
270 ;
3
2
y
0
Градусы и радианы
3
270 ; 
2
y
0
1800 ;  
00 ; 0
x
0

30 ; 
 6
0
45 ; 
0
4

60
;


0
3
90 ; 
2
0
-
Косинус и синус
y
t
sint
0
cost
x
Тангенс
y
t
-
+
0
III
tgt
I
II
+
sin t
tgt 
cos t
IV
0
x
Котангенс
y
cos t
ctgt 
sin t
ctgt
0
t
II
I
-
+
0
+
-
III
IV
x
Значения тригонометрических
функций некоторых углов
t
0
п/6
п/4
п/3
п/2
tg t
0
√3/3
1
√3
-
ctg t
-
√3
1
√3/3
0
Основные тригонометрические
тождества
 sin2x+cos2x=1
 tg t = sin t / cos t, где t≠ п/2+пк
 ctg t = cos t / sin t , где t≠ пк
 tg t ∙ ctg t = 1, где t≠ пк /2
 1+tg2 t=1/cos2t, где t≠п/2+пк, к э Z
 1+ctg2t=1/sin2t, где t≠ пк, к э Z
Тригонометрические функции
углового аргумента
 а0=па/1800 рад.
 10=п/1800 рад.
 1 рад=1800 /п
Угол в 1 радиан-это центральный угол,
опирающийся на дугу длиной 1, длина
которой равна радиусу окружности.
cost = a
sint = a
Уравнения
Уравнение cost = a
-1
t1
y
a
0
1. Проверить условие | a | ≤ 1
1
x
2. Отметить точку а на оси
абсцисс.
3. Построить перпендикуляр в
этой точке.
4. Отметить точки пересечения
перпендикуляра с окружностью.
5. Полученные точки – решение
уравнения cost = a.
6. Записать общее решение
уравнения.
-t1
t  t1  2n,
nZ
Частные случаи уравнения cost = a
cost = 1
π
y 2
π
-1
t  2n,
0
0
1

t   n,
x
2
nZ
cost = 0
nZ
cost = -1
π
2
t    2n,
nZ
Уравнение sint = a
y
1. Проверить условие | a | ≤ 1
1
π-t1
t1
a
0
x
2. Отметить точку а на оси
ординат.
3. Построить перпендикуляр в
этой точке.
4. Отметить точки пересечения
перпендикуляра с окружностью.
5. Полученные точки – решение
уравнения sint = a.
6. Записать общее решение
уравнения.
-1
t1  2n, n  Z
t
   t1  2n, n  Z
Частные случаи уравнения sint = a

t   2n,
2
π
y 2
1
sint = 1
nZ
sint = 0
π
t  n,
0
0
-1
nZ
x
π
2

t    2n,
2
sint = -1
nZ
Примеры уравнений

3
y
-1
0
1
cos t 
2
1
1
2


3
x

t    2n,
3
nZ
Примеры уравнений
5
6
y

6
1
sin t 
2
1
2
-1
0


2

n
,
n

Z
6
t
 5  2n, n  Z
 6
1
x
cost >a, cost ≤ a
sint >a, sint ≤ a
Неравенства
Неравенство cost > a
-1
t1
y
a
0
-t1
1
x
1. Отметить на оси абсцисс
интервал x > a.
2. Выделить дугу окружности,
соответствующую интервалу.
3. Записать числовые значения
граничных точек дуги.
4. Записать общее решение
неравенства.
t   t1  2n; t1  2n  ,
nZ
Неравенство cost ≤ a
t1
-1
a
2π-t1
y
0
1
x
1. Отметить на оси абсцисс
интервал x ≤ a.
2. Выделить дугу окружности,
соответствующую интервалу.
3. Записать числовые значения
граничных точек дуги.
4. Записать общее решение
неравенства.
t  t1  2n; 2  t1  2n,
nZ
Неравенство sint > a
y
1
π-t1
t1
a
0
x
1. Отметить на оси ординат
интервал y > a.
2. Выделить дугу окружности,
соответствующую интервалу.
3. Записать числовые значения
граничных точек дуги.
4. Записать общее решение
неравенства.
t   t1  2n;   t1  2n  ,
-1
nZ
Неравенство sint ≤ a
y
1
t1
3π-t1
a
0
x
1. Отметить на оси ординат
интервал y≤a.
2. Выделить дугу окружности,
соответствующую интервалу.
3. Записать числовые значения
граничных точек дуги.
4. Записать общее решение
неравенства.
t  t1  2n; 3  t1  2n,
-1
n Z
Примеры неравенств
y

6
-1
0
3
2
1
3
cos t 
2
x


6

 

t     2n;  2n  ,
6
 6

nZ
Примеры неравенств
2
3
y
1
3
2
0

2 
3
3
sin t 
2
x
-1
7
 2

t
 2n;
 2n  ,
3
 3

nZ
Система неравенств: cost  a,
ta
y

 sint  b
1
π-tb
tb
b
-1
a
-ta
0
1
x
1. Отметить на окружности
решение первого неравенства.
2. Отметить решение второго
неравенства.
3. Выделить общее решение
(пересечение дуг).
4. Записать общее решение
системы неравенств.
t   tb  2n; ta  2n,
-1
nZ
Примеры систем
y
1

6

3
,
cost 

2
 sint  0

0
-1
0
3
2
1
x
-1



t   2n;  2n  ,
6


nZ
Заключение
Основные понятия
тригонометрическая
градусы и радианы
синус и косинус
тангенс и котангенс
Уравнения
окружность
Неравенства
cost = a
sint = a
cost >a, cost ≤ a
sint >a, sint ≤ a
Система неравенств
cost  a,

 sint  b