Решение простейших тригонометрических уравнений

«Без уравнения нет математики как
средства познания природы»
академик П.
С.Александров
Решение
простейших
тригонометрических
уравнений.
Учитель Горбунова В.А
1) уметь отмечать точки на числовой
окружности;
2) уметь определять значения синуса, косинуса,
тангенса и котангенса точек числовой
окружности;
3) знать свойства основных
тригонометрических функций;
4) знать понятие арксинуса, арккосинуса,
арктангенса, арккотангенса.
Обратная функция
Функция у = sin x
у
1

0

2
-1

2
х
Обратная функция у = arcsin x
у

2
-1
0

1

2
х
Функция у =
cos
x
у
1



2
0
-1

2

х
Функция у = уarccos x


2
-2
0
-1


2
1
2
х
arcsin a
arccos a
Единичная окружность

2
у
 
y = arcsin x E(y)= [  2 ; 2 ]
sin t
D(y) = [-1;1]


0
y = arccos x E(y) = [0; ]


cos t
х

2
D(y) = [-1;1]
arctga
arcctga
Найди ошибку.
1
2
arcsin 45 
2
2
 1  2
arccos    
33
 2
0
?
3
3
arcsin 3  arcsin 1  3   3 
4
4
4


arctg 1  arctg
4 4
5




3

arcctg  3  
46
Имеет ли смысл выражение?
arcsin(-1/2)
arcsin1,5
arccos 5
arccos(- 3 +1 )
arcsin(3 - 20 )
arccos 
5
y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.
1
1) IаI>1
1
Нет точек пересечения с
окружностью.
Уравнение не имеет
решений.
1
x
1
y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.
1
arccos а
2) IаI<1
arccos a  2k
t
 arccos a  2k
1
а
x
или
t   arcCosa  2k , k  Z
1
- arccos а
1
Общий
случай
y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.
1
3) IаI=1
1
0

Cost  1
t  2k , k  Z
Cost  1
t    2k , k  Z
1
x
1
Частные
случаи

1 2
y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.
4) а=0
1
0
Cost  0

t   k , k  Z
2
1
x


2
Частный
случай
y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение sin t=a.
1
1) IаI>1
1
Нет точек пересечения с
окружностью.
Уравнение не имеет
решений.
1
x
1
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение sin t=a.
y
1
П-arcsin а
а
arcsin а
2) IаI<1
1
1
arcsin a  2k
t
  arcsin a  2k
или
t   1 arcSina  k , k  Z
k
x
1
Общий
случай
y 
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение sin t=a.
1 2
3) IаI=1
1
1
x
S int  1
S int  1
t

2
 2k , k  Z
t

2
 2k , k  Z
1 
2
Частные
случаи.
y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение sin t=a.
1
4) а=0
S int  0
t  k , k  Z
1
1

0
x
1
Частный
случай
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение tg t=a.
y

2
а
arctg a
a – любое число.
0
tgt  a
t  arctga  k , k  Z
x


2
Частных
случаев нет
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение сtg t=a.
a – любое число.

ñtgt  a
t  arñctga  k , k  Z
y
а
arcctg a
0
x
Частных
случаев нет
sin x  a
cos x  a
tgx  a
ctgx  a
Установите соответствие:

1
sin x = 0
2
cos x = -1
3
sin x = 1
4
5
6
7
cos x = 1
tg x = 1
sin x = - 1
cos x = 0
2
 2k , k  Z
k , k  Z
2k , k  Z

2


2
 k , k  Z
 2k , k  Z
  2k , k  Z

4
 k , k  Z
3
à )Cosx 
;
2
â)tgõ  1;
2
á) Sinx 
;
2
1
ã)ctgõ 
.
3
Ответы
à) õ  

6
á ) õ  (1)
â) õ 
ã) õ 

4

3
 2k , k  ;
k

4
 k , k  ;
 k , k  ;
 k , k  .
1. Решение какого уравнения показано
на тригонометрической окружности?
5
6
1
2

6
sin x = 1/2
х

6
 2п, п  Z
5
х
 2п, п  Z
6
2. Решение какого уравнения показано
на тригонометрической окружности?

4
2
2
cos x = √2/2
х


4
х

4

4
 2п, п  Z
 2п, п  Z
3. Решение какого уравнения показано
на тригонометрической окружности?
tg x = -√3/3
х


6
3

3

6
 п, п  Z
4. Решение какого уравнения показано
на тригонометрической окружности?

6
3
ctg x = √3
х

6
 п, п  Z
Самостоятельная работа
I вариант
1
à )Cosx  ;
2
1
á )tgõ 
;
3
2
â) Sinx  
.
2
II вариант
III вариант
à )ctgõ  1;
3
à) Sinx 
;
2
1
á) Sinx   ;
2
á )tgõ   3;
2 â)Cosx  1.
â)Cosx  
.
2