Геометрический смысл производной в задачах ЕГЭ. Алгебра 11

Геометрический смысл
производной в задачах
части В.
ЕГЭ по математике.
k  tg
У
У
y  k xb
k 0
y  k xb
k 0
α
α
0
0
Х
Х
У
k1  k2  k3
α
α
α
Х
Геометрический смысл производной
У
y  f (x)
k – угловой коэффициент
прямой (касательной)
y  k xb
α
0
x0
Х
Значение производной функции в точке равно
угловому коэффициенту касательной к графику
функции в этой точке.
f ( x0 )  k  tg
Уравнение касательной к графику
функции
У
y  f (x)
α
0
x0
Х
у  f ( x0 )  f ( x0 )  ( x  x0 )
4
На рисунке изображён график функции y = f(x). Прямая, проходящая через
начало отсчета касается графика этой функции в точке с абциссой 8.
Найдите значение производной функции f(x) в точке х₀ = 8.
f ( x0 )  k
10
α
8
8
k  tg
10
tg   1,25
8
Функция возрастает, следовательно
f (8)  1,25
k 0
6
α
8
7
f (8)  0,75
6
Для вычисления углового коэффициента
касательной, где k = tgα, достаточно найти
отрезок касательной с концами в вершинах
клеток и, считая его гипотенузой
прямоугольного треугольника, найти
отношение катетов у
х
у
х
у
х
7
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в
точке с абсциссой x0 . Найдите значение производной функции f(x) в
точке x0.
8
2
f ( х0 )  0,25
8
На рисунке изображён график производной функции y = f (x),
определённой на интервале (-10;2). Найдите количество
точек, в которых касательная к графику функции y = f(x)
параллельна прямой у = -2х – 11 или совпадает с ней.
f ( x)  k
f ( x)  2
Ответ: 5
9
На рисунке изображён график производной функции y = f (x),
определённой на интервале (-5;5). Найдите количество
точек, в которых касательная к графику функции y = f(x)
параллельна прямой у = 3х +9 или совпадает с ней.
Ответ: 2
10
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной
на интервале (-10; 3). Найдите количество точек, в
которых производная функции равна нулю.
Ответ: 9
11
На рисунке изображён график производной функции y = f (x),
определённой на интервале (-12;5). Найдите количество
точек, в которых производная функции равна нулю.
Ответ: 3
12
Прямая y=7x-5 параллельна касательной к графику
функции y=x2+6x-8 . Найдите абсциссу точки касания.
Решение:
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда
равны их угловые коэффициенты.
k=7, k=f’(х)
f’(х)=7
f’(х)=2x+6
2x+6=7
x=0,5
Ответ: 0,5
13
Прямая y= -4x-11 является касательной к графику
функции y=x3+7x2+7x-6. Найдите абсциссу точки
касания.
Решение:
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда
равны их угловые коэффициенты.
k= -4, k=f’(х)
f’(х)=3x2+14x+7
3x2+14x+7= -4
3x2+14x+11=0
x= -1, x= -11/3
y(-1)= -7, y(-1)=-7
Ответ: -1
14