Дополнительные главы математической физики-3 Линейные уравнения математической физики Николай Николаевич Розанов НИУ ИТМО, 2012 Линейные уравнения математической физики Уравнения или системы уравнений в частных производных. Как минимум, два аргумента. Искомая функция u(x,y) u u P( x, y ), Q ( x, y ) x y P(x,y) и Q(x,y) – заданные функции. 2 u Можно ли задавать их произвольно? 2u P Q (*) xy yx y x Решение системы – в виде контурного (криволинейного) интеграла ( x, y ) u ( x, y ) ( x0 , y0 ) [ P( x, y )dx Q( x, y )dy ] При условии (*) интеграл не зависит от пути интегрирования (полностью определяется начальной и конечной точками) Линейные уравнения с частными производными второго порядка (примеры) u 2 a nu 0 2 t 2 u a 2 nu 0 t nu 0 nu k u 0 2 - волновое уравнение (гиперболическое) - уравнение теплопроводности (параболическое) - уравнение Лапласа (эллиптическое) - уравнение Гельмгольца 2 2 2 2 2 2 2 n 2 , 1 2 , 2 2 2 , 3 2 2 2 x x y x y z m 1 xm n Двумерный оператор Лапласа в полярных координатах-1 2u 2u 2u 2 2 x y x cos , y sin Замена переменных в дифференциальных выражениях u u x u y u u cos sin , x y x y u u x u y u u sin cos x y x y u u sin u u u cos u cos , sin x y Двумерный оператор Лапласа в полярных координатах-2 u u u sin u cos cos 2 x x x sin u sin u cos , 2 2u u ... 2 y y y 2u 1 u 1 2u 2u 2 2 2 Трехмерный оператор Лапласа В цилиндрических координатах x cos , y sin , z z 1 u 1 2u 2u 3u 2 2 2 z В сферических координатах x r sin cos , y r sin sin , z r cos 2u 2 u 1 2u 1 2u 1 u 3u 2 2 2 2 2 ctg 2 2 r r r r sin r r Волновое уравнение (одномерное) u 2 u a 0 2 2 t x 2 Начальные условия Замена переменных 2 u t 0 u ( x ), ( x) t t 0 x at , x at u u u u u ,... x x x 2 2 2u u u 2 2 a 4a 2 2 t x 2u 0 Решение Даламбера u 1 ( x at ) 2 ( x at ) Связь с начальными значениями x at 1 1 u( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( ) d 2 2a x at Частный случай: Ψ = 0, начальное возмущение (при t = 0) ϕ сосредоточено на интервале от α1 до α2 Характеристики 0 t 0 x at x0 at0 , 0 x at x0 at0 . Домашнее задание Проанализировать частный случай: ϕ = 0, начальное возмущение (при t = 0) Ψ сосредоточено на интервале от α1 до α2 Импульс на границе раздела двух сред 2 a1 2u u 2 a 0, a a( x) 2 2 t x a2 x0 x0 u Непрерывность на границе раздела х = 0 функции u и ее производной x Общее решение при x < 0: u( x, t ) f ( x a1t ) g ( x a1t ) Смысл f и g: профили импульсов падающего (задан) и отраженного (ищется) излучения Решение при x > 0 (?) u ( x, t ) h( x a2t ) f (a1t ) g (a1t ) h(a2t ), f (a1t ) g (a1t ) h(a2t ) (только импульс преломленного излучения, h – искомая функция) Штрих означает производную по аргументу функции. Импульс на границе -2 f (a1t ) g (a1t ) h(a2t ), f (a1t ) g (a1t ) h(a2t ) Дифференцируем 1-е уравнение по t a1 f (a1t ) a1 g (a1t ) a2 h(a2t ), f (a1t ) g (a1t ) h(a2t ) Интегрируем по t dt h(a2t ) 2 h(a2t ) f ( a1t ) a2 1 a1 1 1 d ( a t ) h ( a t ) h(a2t ) const 2 2 a2 a2 2 h(a2t ) f (a1t ) a1 1 a2 const = ? Формулы Френеля Случаи a1 a2 , a1 a2 , a1 a2 a2 a1 g (a1t ) h(a2t ) f (a1t ) f (a1t ) a2 a1 Двумерное волновое уравнение Цилиндрические волны u u 2 u a 2 2 0 2 t x y u 2 a 2u 0 2 t 2 2 2 2 u u t 0 ( x, y ), ( x, y ) t t 0 1 ( , ) d d u ( x, y , t ) 2 2 2 2 2 a C a t ( x ) ( y ) 1 ( , ) d d . 2 a t C a 2t 2 ( x )2 ( y )2 at at Cat - круг с центром в точке M(x,y) и радиусом at Трехмерное волновое уравнение u 2 a 3u 0 2 t 2 u t 0 2 2 2 2u u u u 2 a 2 2 2 0 2 t y z x u ( x, y, z ), ( x, y , z ) t t 0 Формула Пуассона t u( x, y , z, t ) 4 2 0 t 0 ( , , ) d t 4 2 0 0 ( , , ) d x at sin cos , y at sin sin , z at cos , d sin d d . Сравнение одномерного, двумерного и трехмерного случаев Уравнение теплопроводности (диффузии) u a 2 nu 0 t u t 0 f ( x, y, z) (n 3) Одномерное уравнение теплопроводности u 2 u a 0 2 t x 2 u t 0 f ( x ) В общем случае параметр а может быть не только вещественным, но и комплексным (дифракция в квазиоптическом приближении). Волновое уравнение: Уравнение Гельмгольца E ( x, z, t ) E ( x, z )e it (знак Re опускается) 2E 2E 1 2E 2 2 2 0 2 x z c t 2E 2E 2 k E0 2 2 x z k c Параксиальное приближение (приближение медленно меняющихся амплитуд) E E 2 k E0 2 2 x z 2 E ( x, z ) E ( x, z )eikz 2 E 2E E 2 2 2 ik k E k E0 2 2 x z z E 2 E 2ik 2 0 z x 2 Уравнение теплопроводности – общие свойства Одномерное уравнение теплопроводности Линейность и принцип суперпозиции 2 u1 u1 2 a 0 2 t x u u 2 0 t x 2 a2 2 u2 u2 2 a 0 2 t x u c1u1 c2u2 Симметрия. Если есть решение u u1 ( x, t ), то решением будет и u2 u1 ( x, t ). Обращение времени? Плосковолновые решения u t 0 u0eikx Решение u 2u 2 0 t x a2 k – вещественная пространственная частота u( x, t ) u0eikx e t Дисперсионное уравнение k 2 Если a 0 , то γ < 0 – экспоненциальное убывание при t и возрастание при t Быстрее всего меняются мелкие неоднородности. 2 Если же - чисто мнимое (квазиоптическое уравнение), то проблемы необратимости нет – симметрия к изменению знака времени при одновременном комплексном сопряжении ур-ния. Моменты (локализованные структуры) u 2u 2 0 t x Момент нулевого порядка - «масса» u( x, t ) dx M 0 const Доказательство ? d u 2u u u( x, t ) dx dx 2 dx 0 dt t x x Момент первого порядка xu( x, t ) dx M 1 const Доказательство (используя интегрирование по частям)? Моменты высших порядков уже не сохраняются. Например, M 2 (t ) x u( x, t ) dx M 2 (t0 ) 2 M 0 (t t0 ) 2 Автомодельное решение u 2u 2 0 t x Решение с сохранением формы при меняющихся со временем масштабах Размерность [] = ? [ x ]2 [ ] [t ] u( x, t ) dx M 0 Безразмерная комбинация: const x2 s t (Четное) автомодельное решение ищем в виде 2 x u( x, t ) At f t Используем сохранение момента нулевого порядка u( x, t ) dx M 0 const Автомодельное решение-2 u( x, t ) dx M 0 x2 s t const 0 0 u ( x , t ) dx 2 u ( x , t ) dx 2 At 1 2 u( x, t ) At 1 2 x2 f t x2 ds f dx At t f s s t 0 Подстановка к исходное уравнение 8sf ( s ) (2 s 4) f ( s) f ( s) 0 d d 2 s 1 4 1 f ( s ) 0 ds ds dh 2s h 0 h? ds dx = ? - ОДУ d h 4 1 f ( s ) ds C1 h s Автомодельное решение-3 C1 s 1 s /4 s /4 f ( s) e ds C2 e s 4 C 4 f f 1 s f ( s) e s /4 Четное решение u( x, t ) At 1/2 x /(4 t ) e 2 u( x, 0) 2 A ( x ) u Решение уравнения теплопроводности u 2 u a 0 2 t x 2 u t 0 f ( x ) Существенно используется линейность задачи (принцип суперпозиции) и постоянство коэффициентов уравнения. Метод Фурье (разделение переменных). Частное решение ищем в виде u ( x, t ) T (t ) X ( x ) T (t ) X ( x ) a 2T (t ) X ( x ) T (t ) X ( x ) 2 const a 2T (t ) X ( x ) Решение одномерного уравнения теплопроводности T (t ) 2a 2T (t ) 0, T (t ) e 2 a 2t u ( x, t ) X ( x) 2 X ( x) 0 , X ( x) A( )cos x B( )sin x e 2 a 2t [ A( ) cos x B( )sin x] d Это общее решение уравнения теплопроводности, но еще не обеспечено выполнение начального условия. Должно выполняться u t 0 f ( x ) [ A( ) cos x B( )sin x] d Решение одномерного уравнения теплопроводности-2 По свойствам преобразования Фурье 1 A( ) 2 1 f ( ) cos d , B( ) 2 С учетом соотношения e 2 2 f ( )sin d cos d e окончательно получаем решение в виде u ( x, t ) 1 2a t f ( )e ( x )2 4 a 2t d , t 0 2 2 4 Задача Начальное распределение температуры f 0 , | x | l f ( x) 0, | x | l С какой скоростью распространяется возмущение температуры? Задание Начальное распределение температуры f ( x ) f 0e ( x / w0 )2 Вычислить распределение температуры при t > 0. Уравнение теплопроводности в полярных координатах (1 + 2) u a 2 2u 0 t Метод Фурье (разделение переменных) u 1 u 1 u 2u 2 2 2 2 u ( x, y, t ) T (t ) R( )( ) 1 1 T R a RT RT 2 TR 1 T R 1 1 2 R 2 const 2 a T R R 2 T (t ) e 2 a 2t 2 продолжение R 1 2 2 R const n 2 R R 2 n 0,1, 2,... n 2 1 cos(n ) 2 sin(n ) 2 2 2 R R ( n ) R 0 R Z n ( ) - цилиндрические функции n-го порядка 2 (в том числе функции Бесселя) 2 d 2 Z 1 dZ n 2 ( 2 )Z 0 2 d d Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка d 2u du p( z ) q( z )u 0 2 dz dz (однородное уравнение) p(z) и q(z) – аналитические в области S функции комплексного аргумента z за исключением конечного числа полюсов. Точки области S обыкновенные (в них p(z) и q(z) – аналитические) и особые (полюса) 1z d 2v u ( z ) v( z ) exp p( ) d 2 J ( z )v 0 dz 2 1 dp 1 2 J ( z ) q( z ) p ( z) 2 dz 4 Асимптотика на бесконечности d 2u du p( z ) q( z )u 0 2 dz dz z 1/ z1 Характер решения диф. уравнения при больших |z| отвечает таковому при малых | z1 | Задача: выполнить в (*) замену переменной z z1 d dz1 d 1 d 2 d 2 z1 dz dz dz1 z dz1 dz1 d2 d d 2 d 2 d z1 z1 2 dz dz dz dz1 dz1 2 1 d u 3 2 1 du 4 z1 2 2 z1 z1 p q u 0 dz1 z1 dz1 z1 Общее (фундаментальное) решение Для уравнения второго порядка – два линейно независимых решения u1 ( z ), u2 ( z ) Общее решение u ( z ) C1u1 ( z ) C2u2 ( z ), C1,2 const Условие линейной независимости: (второе решение не сводится к первому, домноженному на const) Определитель Вронского Формула Лиувилля dW ? dz W 0 u1 u2 W u1 u2 z W ( z ) W ( z0 ) exp p( z )dz z0 Доказать формулу Лиувилля Определение 2-го решения по известному 1-му z u1 ( z ) u2 ( z ) W ( z) u1u2 u1u2 W0 exp p ( z )dz u1( z ) u2 ( z ) z0 z du2 du1 u1 u2 W0 exp p ( z )dz dz dz z0 z dy du1 u1 y exp p ( z )dz dz dz z0 y u2 / W0 ... y A( z ) B ( z ), u1 ( AB AB) u1 AB exp( pdz ) u1 A u1 A 0 A u1 z z 1 dz1 2 u1 B exp( pdz ) B 2 exp( p ( z2 )dz2 ) u1 ( z1 ) z z 1 dz1 y ( z ) u1 ( z ) 2 exp( p ( z2 )dz2 ) u1 ( z1 ) Решение в виде степенных рядов d 2u du p( z ) q( z )u 0 2 dz dz n 0 n 0 (окрестность обыкновенной точки) p( z ) pn z n , q( z ) qn z n Ищем решение в виде u ( z ) n(n 1)an z n2 n2 pn z n 0 n - аналитические в точке z = 0 функции c радиусом сходимости R n a z n n 0 nan z n 1 (*) n 1 qn z n 0 n n a z n 0 (?) n 0 z 0 2 1a2 p0 a1 q0 a0 0 a2 ... (?) z1 3 2a3 2 p0 a2 p1a1 q1a0 0 a3 ... z 2 4 3a4 3 p0 a3 2 p1a2 p2 a1 q0 a2 q1a1 q2 a0 0 ... z n (n 2)(n 1)an 2 Q(a0 , a1 ,..., an 1 ) 0 an 2 ... В круге радиуса R ряд (*) сходится Q – однородный полином 1-й степени от своих аргументов Правильные/неправильные точки дифференциального уравнения Точка z = c называется правильной, если в ней аналитичны функции ( z c) p( z ), ( z c)2 q( z ) 2 d u du 2 ( z c) ( z c) P( z c) Q( z c)u 0, 2 dz dz P( z c) p0 p1 ( z c) p2 ( z c) 2 ... Q( z c) q0 q1 ( z c) q2 ( z c) 2 ... Ряды сходятся в круге с центром в точке с и с таким радиусом, что внутри круга имеется только одна особая точка уравнения Формальное решение (в окрестности правильной точки) u ( z ) ( z c) 1 an ( z c) n -ищем решение в таком виде, искомые и an n 1 ( z c) ( 1) an ( n)( n 1)( z c) n n 1 ( z c) P( z c) an ( n)( z c) n n 1 Обозначение : ( z c) Q( z c) 1 an ( z c) n 0 F ( ) 2 ( p0 1) q0 n 1 Определяющее уравнение : F ( ) 0 Уравнения для определения an : F ( 1)a1 p1 q1 0, F ( 2)a2 a1[( 1) p1 q1 ] p1 q1 0, ... n 1 F ( n)an an m [( n m) pm qm ] pn qn 0] m 1 Показатели дифференциального уравнения Показатели диф. уравнения в точке с : 1 , 2 F ( ) 2 ( p0 1) q0 0 квадратное уравнение. Если F ( ) 0 при n 1, 2,3,..., то коэффициенты an находятся однозначно ( разность показателей 1 2 0, 1, 2,...) Фундаментальная система решений 1 n u1 ( z ) ( z c) 1 an ( z c) , n 1 u2 ( z ) ( z c) 2 1 an ( z c) n n 1 Задача Найти показатели в точке 0 и первые члены рядов для решений уравнения d 2u 1 4m2 1 u 0, m целому числу 2 2 dz 4 z 4 Дома: найти все коэффициенты и радиусы сходимости рядов Если разность показателей – целое число (или 0) Пусть - показатель с большей вещественной частью, 1 2 s, s 0 или 1 или 2 или... Тогда второе решение в виде ряда может потерять смысл или совпасть с первым. В этом случае второе решение можно найти по известному первому (см. выше). Ответ: s 0 : u2 ( z ) C1u1 ( z ) C2 [u1 ( z ) ln( z c) ( z c) 2 hn ( z c) n ] n 1 1 n s 1, 2,...: u2 ( z ) ( z c) hn ( z c) s n 1 2 Уравнение Бесселя z 2 y zy ( z 2 p 2 ) y 0 Особая точка: z = 0 Определяющее уравнение: 2 p 2 0 1 p, 2 p, 1 2 2 p Первое решение y1 z p z p 1 : [( p 1) 2 p 2 ]a1 0 n p a z a z n n n n 0 n 0 z p 2 : [( p 2) 2 p 2 ]a2 a0 0 ... z p n : [( p n) 2 p 2 ]an an 2 0 z2 z4 z6 y1 z 1 ... 2 3 2 2( p 1) 2 4 2 ( p 1)( p 2) 2 4 6 2 ( p 1)( p 2)( p 3) p Второе решение y2 z p p p z2 z4 z6 1 ... 2 2( p 1) 2 4 22 ( p 1)( p 2) 2 4 6 23 ( p 1)( p 2)( p 3) Линейная независимость при p 0,1, 2,... Например, при p = 0 … Функции Бесселя с целым индексом 1 p n, J n ( z ) n y1 ( z ) 2 n! Частные случаи: (1) m z J 0 ( z) 2 ( m !) 2 m0 m n2m J n ( z ) (1) n J n ( z ) - линейно зависимы 2m 2 1 (1) z J n ( z) m 0 m !( n m)! 2 Радиус сходимости ? 4 1 z 1 z 1 z ... 2 2 2 (1!) 2 (2!) 2 (3!) 2 Второе решение уравнения Бесселя K n ( z ) CJ n ( z ) ln z z n cm z m K n (0) m0 Общее решение уравнения Бесселя при p = n: y( z ) C1 J n ( z ) C2 K n ( z ) J n (0) n ,0 6 n,0 1 (n 0) 0 (n 0) - символ Кронекера Степенной ряд для произвольных индексов z J ( z ) 2 (1) z m 0 m ! ( m 1) 2 m 2m Г – гамма-функция (обобщение факториала) (n) (n 1)! ( z 1) z( z ) 1 ( ) 2 1 (n ) n (2n 1)!! 2 2 Рекуррентные формулы для функций Бесселя z J ( z ) 2 Из степенного ряда J ( z ) 1 z 2 (1) z m ! ( m 1) 2 m0 (1) z m 0 m ! ( m 1) 2 m d J ( z ) 1 (1) z dz z 2 m 1 (m 1)!( m 1) 2 J 1 ( z ) 1 d J ( z ) 1 ; ... z dz z z 1 d z J ( z ) z 1 J 1 ( z ) z dz m m 2m 2m 2 m 1 J 1 ( z ) z Рекуррентные формулы J ( z ) d dz J ( z ) J 1 ( z ) z d J ( z ) J ( z ) J ( z ) 1 dz z 2 J ( z ) J 1 ( z ) J 1 ( z ) z J ( z) J ( z) 2 d J ( z) 1 1 dz В частности J 0 ( z ) J1 ( z ) Формулы справедливы для любых цилиндрических функций Функции Бесселя с полуцелым индексом 2n 1 p 2 Полученные ранее решения линейно независимы: 2 4 6 z z z y1 z p 1 ... 2 3 2 2( p 1) 2 4 2 ( p 1)( p 2) 2 4 6 2 ( p 1)( p 2)( p 3) y2 z p 1 p 2 z2 z4 z6 1 ... 2 2( p 1) 2 4 22 ( p 1)( p 2) 2 4 6 23 ( p 1)( p 2)( p 3) z2 z4 z6 y1 z 1 ... 2 3 2 4 35 2 4 6 357 sin z 1 z3 z5 z7 z ... 3! 5! 7! z z 1/2 2 2 J1/2 ( z ) y1 sin z z J 1/2 ( z ) 2 y2 2 cos z z продолжение Привлекаем рекуррентные соотношения … J J n 1 2 n ( z) 1 2 (1) (2 z ) ( z) n n 1 2 d n sin z (dz 2 ) n z (1) n (2 z ) n 1 2 d n cos z (dz 2 ) n z - элементарные функции Пары решений уравнения Бесселя z y zy ( z p ) y 0 2 2 2 z J p ( z) 2 p (1) z m 0 m ! ( p m 1) 2 m {J p , J p } функции Бесселя ( p целому числу ) N p ( z) J p ( z ) cos p J p ( z ) sin p функции Неймана {J p , N p } H p(1) ( z ) J p ( z ) iN p ( z ), H p(2) ( z ) J p ( z ) iN p ( z ) функции Ханкеля {H p(1) , H p(2) } 2m При малых аргументах zp zn J p ( z) p , J n ( z) n 2 ( p 1) 2 n! 2n (n 1)! 2 z Nn ( z) , N 0 ( z ) ln , ln 0.5772 n z 2 При больших аргументах J p ( z) 2 2 cos z p , N p ( z ) sin z p , z 2 4 z 2 4 H p(1,2) ( z ) 2 exp i z p z 2 4 2 1 p z 2 y zy ( z 2 p 2 ) y 0 y y (1 2 ) y 0 z z z y y 0 y A cos( z ) Функции Бесселя с целым индексом • Бесконечное число нулей (вещественных, неотрицательных и простых , за исключением x = 0 при n > 0) • Чередование максимумов и нулей функций J n ( x) и J n1 ( x) . У этих функций нет общих нулей. Наименьший положительный корень J n ( x) ближе к 0, чем у J n1 ( x) Ортогональность функций Бесселя Пусть 1 , 2 - корни уравнения J ( ) J ( ) 0, 0, 0, 1 Тогда 1 2 2 xJ ( x ) J ( x ) dx 0 ( 1 2) 1 2 0 2 2 1 1 2 2 0 xJ (1 x)dx 2 [ J ( 1 )] 2 1 12 J ( 1 ) 1 Доказательство d dJ ( 1 x) 2 2 x 1 x J ( 1 x) 0, dx dx x J ( 2 x) d dJ ( 2 x) 2 2 x 2 x J ( 2 x) 0. dx dx x J ( 1 x) Интегрируем по интервалу (0,1) 1 dJ ( 2 x) dJ ( 1 x) d 0 dx x J (1x) dx J (2 x) dx dx 1 ( 22 12 ) xJ ( 1 x) J ( 2 x) dx, 0 x 1 J ( 2 x) J ( 1 x) 2 J ( 1 x) J ( 2 x) 0 1 1 ( 22 12 ) xJ ( 1 x) J ( 2 x) dx. 0 Окончание Из асимптотики при x 0 на нижнем пределе 0 1 1 0 xJ (1 x) J (2 x) dx 22 12 1J (2 ) J (1 ) 2 J (1 ) J (2 ) (*) По исходным условиям J ( 1 ) 1 J ( 1 ) 0, J ( 2 ) 2 J ( 2 ) 0 Det 0 1 J ( 2 ) J ( 1 ) 2 J ( 1 ) J ( 2 ) 0 1 2 2 xJ ( x ) J ( x ) dx 0 ( 1 2) 1 2 0 Предел в (*) 2 1 1 2 xJ (1 x) dx lim 2 1 0 1 J ( 2 ) J ( 1 ) 2 J ( 1 ) J ( 2 ) 2 2 1 2 1 1 1 2 J ( 1 ) J ( 1 )[ J ( 1 ) 1 J( 1 )] ( ур ние Бесселя) 2 21 1 1 2 2 2 J ( 1 ) 1 2 J ( 1 ). 2 2 1 Разложение функций в ряд f ( z ) Am J n (km z ), J n (km R ) 0 m 1 Из условий ортогональности R 2 2 J ( k z ) J ( k z ) z dz 0 ( 1 2) n 1 n 2 0 R 0 R f ( z ) J n (km z ) z dz Am J n2 (km z ) z dz 0 R R Am f ( z ) J n (km z ) z dz / J (km z ) z dz 2 n 0 0 R 1 2 2 0 J (km z ) z dz 2 R J n1 (km R) 2 n (см. предыдущий слайд). Можно доказать, что система базисных функций является полной. Двумерное волновое уравнение (полярные координаты) 2 u Разделение переменных U ( x, y, t ) T (t ) R ( )( ) 2u a 0 2 (метод Фурье) t 2 T (t ) cos(t ) sin(t ) k / a - волновое число n 0,1, 2,... 1 cos(n ) 2 sin(n ) R Z n (k ) C1 J n (k ) C2 K n (k ) Задача для внутренней области круга радиуса R: Случай нулевого граничного условия: J n (kR) 0 C2 0 U ( R, , t ) 0 - бесконечное число положительных корней Частные решения: km( n ) : k1( n ) , k2( n ) , k3( n ) ,... (1) (2) U mn ( , , t ) [ mn cos(mnt ) mn sin(mnt )]cos(n ) J n (km( n ) ) (1) (2) [ mn cos(mnt ) mn sin(mnt )]sin(n ) J n (km( n ) ), n 0,1, 2,... m 1, 2,... продолжение Общее решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям: (1) (2) U ( , , t ) [ mn cos(mnt ) mn sin(mnt )]cos(n ) J n (k m( n ) ) n 0 m 1 (1) (2) [ mn cos(mnt ) mn sin(mnt )]sin(n ) J n (km( n ) ) U U t 0 f1 ( , ), f2 ( , ) t t 0 U (1) (2) mn [ mn sin(mn t ) mn cos(mn t )]cos( n ) J n ( km( n ) ) t n 0 m 1 Начальные условия (1) (2) [ mn sin(mn t ) mn cos(mn t )]sin( n ) J n ( km( n ) ) (1) (1) f1 ( , ) [ mn cos(n ) mn sin(n )]J n (km( n ) ), n 0 m 1 (2) (2) f 2 ( , ) mn [ mn cos(n ) mn sin(n )]J n (km( n ) ) n 0 m 1 Продолжение. Разложение по F0(1) (1) f1 ( , ) [Fn cos( n ) Gn(1) sin( n )], 2 n 1 Ряды Фурье F0(2) (2) f2 ( , ) [Fn cos( n ) Gn(2) sin( n )] 2 n 1 1 (1,2) Fn ( ) f1,2 ( , ) cos( n ) d , (1,2) n G ( ) 1 f 1,2 ( , ) sin( n ) d n 0,1, 2,... m 1 m 1 (1) F0(1) 2 m(1),0 J 0 (km(0) ), Fn(1) mn J n (km( n ) ), (1) n G J n (k ) m 1 (1) mn (n) m Аналогично для (2) Окончание. Разложение по 1 2 2 xJ ( x ) J ( x ) dx 0 ( 1 2) 1 2 Используем ортогональность функций Бесселя l (1) m ,0 1 2 F J 0 (k ) d (1) 0 (0) m 0 l 0 d f1 ( , ) J 0 (km(0) ) d 2 (0) J ( k )d 0 m 0 (1) mn l 0 2 J 02 (km(0) ) d 0 l d f1 ( , ) cos(n ) J n (km( n ) ) d 0 l J n2 (km( n ) ) d 0 (1) mn , l l d f1 ( , ) sin(n ) J n (km( n ) ) d 0 l J n2 (km( n ) ) d 0 , (2) (2) mn , mn аналогично Задание Аналогично решить задачу для двумерного уравнения теплопроводности в полярных координатах -функция (Дирака) Обобщенная функция. Определение (область интегрирования включает точку а) 0 x a ( x a) xa Свойства ( x a)dx 1 ( x) ( x), ( x) Трехмерная -функция 1 ( x), Точечный источник f ( x) ( x a)dx f (a) (r a) ( x ax ) ( y a y ) ( z az ) Производные от -функции ( x a) df (a) f ( x) dx , x da f ( x) ( n ) ( x a)dx (1) n f ( n ) (a) -функция (окончание) ( x) lim 0 1 x 2 2 , f ( x) ( x a)dx lim f ( x) ( x a, )dx 0 1 sin kx 1 ( x) lim k , ( x) x 2 Родственные функции 1 ikx ( x) e dk 2 0 V.P. – главное значение интеграла ikx e dk 1 cos kx dk 0 1 i 1 ( x) ( x) V .P. 2 2 x ( x) ( x) ( x) a2 a1 f ( x) ( x)dx a2 1 i f ( x) f (a) V .P. dx 2 2 xa a1 a2 a f ( x ) 1 i f ( x) f (a) lim 0 dx dx 2 2 x a a1 x a a a1 a a2 , 0 Метод Фурье на конечном интервале (1D) u 2 u a 2 2 t x u ( x 0, t ) 0, u ( x l , t ) 0 2 2 u u ( x, t 0) ( x), ( x, t 0) 1 ( x) t Разделение переменных u ( x, t ) T (t ) X ( x), XT a TX , 2 T X 2 const k 2 aT X 2 2 2 X k X 0, T a k T 0 T (t ) A cos(akt ) B sin(akt ), X ( x) C cos(kx) D sin(kx) u ( x, t ) [ A cos(akt ) B sin(akt )][C cos( kx) D sin( kx)] Граничные условия при x = 0, x = l: C 0, sin(kl ) 0 k kn n / l , n 1, 2,... n at n at n x un ( x, t ) [ An cos Bn sin ]sin l l l n at n at n x u ( x, t ) An cos Bn sin sin l l l n 1 Начальные условия n at n at n x un ( x, t ) [ An cos Bn sin ]sin l l l n x n a n x ( x) An sin , 1 ( x) Bn cos l l l n 1 n 1 2 n z 2 n z An ( z ) sin dz, Bn 1 ( z ) sin dz l 0 l n a 0 l l l Использовано выражение для коэффициентов разложения в ряд Фурье Вынужденные колебания 2 2u u 2 a f ( x, t ) 2 2 t x u ( x 0, t ) 0, u ( x l , t ) 0 u ( x, t 0) ( x), u ( x, t 0) 1 ( x) t u vw 2 2v 2 u a f ( x, t ) 2 2 t x v( x 0, t ) 0, v( x l , t ) 0 v( x, t 0) 0, v ( x, t 0) 0 t 2w 2 2w a 0 2 2 t x w( x 0, t ) 0, w( x l , t ) 0 w( x, t 0) ( x), w ( x, t 0) 1 ( x) t Разделение переменных n x v( x, t ) Tn (t ) sin l n 1 n a n l n x 2 f ( x, t ) [Tn (t ) n Tn (t )]sin l n 1 f ( x, t ) n 1 n x f n (t ) sin , l 2 n z f n (t ) f ( z , t ) sin dz l 0 l l Tn(t ) n2Tn (t ) f n (t ) n 1, 2,... Tn (0) 0, Tn(0) 0 Tn (t ) 1 n t f n ( ) sin[n (t )]d 0 n z Tn (t ) d dz f ( z , ) sin[n (t )]sin ln 0 0 l 2 t l Задачи