Решение Тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических
уравнений
«Дорогу осилит идущий,
а математику-мыслящий.»
2004-11-17, Висагинас
Цели урока:
Актуализировать опорные знания по теме
тригонометрия.
Познакомить с новыми методами решения
тригонометрических уравнений.
Развивать навыки самоконтроля, умение
анализировать задание, выбирать способы
решения.
2
План урока
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Организационный момент
Проверка домашнего задания
Устные упражнения ( Тест )
Объяснение нового способа решения
Закрепление способов решения уравнений
Самостоятельная работа
Домашнее задание
Словарь
3
Тест
1. Сравните с нулём значение выражения
sin205° • cos 129 °
A больше нуля
B меньше нуля
С равно нулю
2. Может ли sin x принимать значение
A да
B нет
3
5 2
4
Тест
3. Тангенс одного из острых углов прямоугольного
треугольника равен 3. Чему равен тангенс второго
острого угла этого треугольника?
A -3
B 1/3
С 3
D - 1/3
2
3
4. Существует ли угол х, для которого sinx = , cosx =
11
11
A да
B нет
5
Тест
5. Какому из указанных промежутков
принадлежит острый угол х, если известно, что
cos x < 1
2

A (0 ; )
2

С (0 ;
)
6
 
B (3 ; 2)


D (6 ; 2)
6. Упростите: 1- cos2x
A sin x
B cos x
C sin2x
D -sin2x
6
Тест
7. Какой степени уравнение относительно
тригонометрических функций
sinx + 5sinx · cosx – 2 = 0 ?
A первой
B второй
С нулевой
cos 2 x
8. Упростить: 1  sin x
A 1- sinx
B 1+ sinx
C 1+ sin2x
D sinx
7
Тест
9. Найти tg х, если sinx=
2 , x  I четверти.
2
A 1
C
2
2
1
2
D
2
B

7
10. Вычислить: cos 24 · sin 24
A
1
2
B
2 3
2
C
D
2 3
4
1
8
Ответы к тесту
1
A
6
C
2
B
7
B
3
B
8
B
4
B
9
A
5
B
10 C
9
Повторение
Решение уравнений разложением на множители
Пример 1. Решите уравнение: 2cos x · cos(2x) = cos x.
Решение: cos x(2cos 2x -1)=0.
Это уравнение равносильно совокупности уравнений:
cos x  0
cos x  0

1
2 cos 2 x  1  0 

cos 2 x 

2



 x  2  n, n  Z
 
2 x     2k , k  Z

3


 x  2  n, n  Z
 
 x     k , k  Z

6
Словарь
10
Повторение
Уравнения, приводимые к квадратному
Пример 2. Решить уравнение 3cos2x - 10cos x + 3 = 0. В ответе
укажите число корней в промежутке [- /2 ;  /2].
Решение: Пусть cosx = t . Уравнение примет следующий вид:
3t2 - 10t + 3 =0
1
t1= 3 , t2=3
1
Тогда cos x 
или
cosx =3
3
не имеет решений
1
x   arccos  2n, n  Z
т.к. | cosx |  1
3
Т.к. 0 < arccos <  /2 , то промежутку [- /2 ;  /2] принадлежат
два корня исходного уравнения:
1 и
1
x   arccos
x   arccos
1
3
1
3
11
Объяснение нового материала
Метод введения вспомогательного угла.
Решим уравнение:
a  cos x + b  sin x = c, где а  b  0
a 2  b2 .
Поделим обе части уравнения на
Получим
a  cos x
b  sin x
=

a 2 b 2
Т.к.

a

 2
2
 a b
a 2  b2
2
 
b
 
  2
2
  a b
c
.
2

 1


Существует угол j такой, что sinj =
Получим sinj  cos х  cosjsin х 
sin(j+х)  a
     
c
2
 b2
a2  b2
a
a2  b2
c
a2  b2
, cosj =
b
a2  b2
.
,
,                   
Словарь
12
Закрепление нового материала
Решить уравнение :
I cпособ:
cos x  3 sin x  2
a  1, b  3
a 2  b2  1  3  4  2
поделим обе части уравнения на 2, получим:
cos x
3 sin x

1
2
2
3

Заменим 1  sin  и 2  cos 6 получим:
2
6


 cos x  cos
sin
6


sin 
 x 1
 6


6
x
x

3

2
6
 sin x  1
 2n, n  Z
 2n, n  Z
13
II способ ( универсальная подстановка):
x
2
tg
Зная формулы:
2
sin x 
1  tg 2
и учитывая, что
1  tg
2
1  tg 2
1 y2 2 3y

2
2
2
1 y 1 y
1 y2  2 3y  2 y2  2
3y2  2 3y 1  0
D0
3
y
3
x
2
cos x 
x
1  tg 2
2
x
2
x 
  k  x    2k , k  Z
2 2
x
2 3tg
2 
x
1  tg 2
2
x
2 2
x
2
cos x  3 sin x  2
,
1  tg 2
, получим
введём замену: tg x  y
2
x
3
tg 
2 3
x 
  k
2 6

x   2k , k  Z .
3
Словарь
14
III способ ( применение основного
тригонометрического тождества):
sin x 0
cos x  3 sin x  2
cos x  3 1  cos 2 x  2
(
)
3  1  cos 2 x  2  cos x

2  cos x 0

2

 3 1  cos x  0
(
)
Можно возвести обе части уравнения в квадрат:
3  3 cos 2 x  4  4 cos x  cos 2 x
4 cos 2 x  4 cos x  1  0
(2 cos x  1)2  0
cos x 
x
x

3

3
1
2
 2k
 2k , k  Z
15
Самостоятельная работа
Решите уравнения. Укажите способ решения.
В ответе запишите наименьшее положительное
решение в градусах.
1Вариант
1. sinx = 3
2Вариант
1
1. cosx= 2
2
2. 2cos2 x + cosx - 1=0
3. sinx + cosx =
3
5 2
2. 2sin2 x + sinx - 1=0
3. sinx + cosx=
5
7 2
3
2
4. sinx + cosx =1
4. sinx + cosx=
5. sin2 x + sinx • cosx-1=0
5. cos2 x - sinx • cosx - 1= 0
16
Домашнее задание
1. А. Н. Колмагоров «Алгебра и начала
анализа»
N 169-174 (г)
2. V. Stakenas «Matematika 11» II dalys
N 54 (p.33), 70(p.40), 84(p.47), 97(p.52)
17
Словарь
•
•
•
•
•
•
•
•
•
10
Синус -sinusas
Косинус-kosinusas
Тангенс-tangensas
Котангенс-kotangentas
Секанс -sekans
Косеканс-kosekans
Арксинус-arksinusas
Арккосинус-arkkosinusas
Угол-kampas
12
14
• Разложение на
множители-išskaidymas
dauginamaisiais
• Однороднoе уравнениevienarūšės lygtys
• Введение
вспомогательного углаpagalbinio kampo įvedimas
• Универсальная
подстановка- universalus
• keitimas
18