Приложение 8. Графическое решение задач с параметром

Приложение 8. Графическое решение задач с параметром
Пример 1.
Найдите число корней уравнения x 2  2 x  3 =a в зависимости от а.
Воспользуемся графическим методом. Строям в плоскости хОу графики функций. График
y= x 2  2 x  3
и
y=a. График первой функции получается с помощью отображения
относительно оси Ох в верхнюю полуплоскость параболы у= x2-2x-3 (см. риc.1). Проводя
прямые у = а, параллельные оси Ох, получаем искомое множество решений.
Рис. 1.
Ответ; при а<0 решений нет;
при а=0 уравнение имеет 2 решения;
при 0<а<4 уравнение имеет 4 решения;
при а=4 уравнение имеет 3 решения;
а >4 уравнение к имеет 2 решения.
Пример 2.
При каких значениях параметра а уравнение x 2  2 x  2 =a имеет более четырех решений.
В данной задаче требуется определить, при каких а уравнение имеет 5 или более корней.
Графический метод решения делает эту задачу более наглядной. Построим в плоскости хОу
график функции, стоящей в левой части.
Рис. 2.
Заметим, что эта функция является четной, поэтому ее график симметричен относительно
оси ординат, причем он расположен в верхней полуплоскости (см. рис. 2).
1
Теперь проводим прямые у=a при различных значениях параметра. Эти прямые пересекают
построенный график в различном количестве точек. При а = 2 уравнение имеет 5 решений, при
а =3 уравнение имеет 4 решения, значит условию задачи удовлетворяет полуинтервал [2;3).
Ответ: уравнение имеет более четырех решений при a  2;3 .
Пример 3.
Найдете все значения параметра а, при которых уравнение (а + 1- x  2 ) (x2+ 4х+1-а)= 0
имеет ровно 3 корня.
Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: a+1- x  2 =0, или x2+4x+1-a=0.
Выразим переменную а через переменную х. Получаем a= x  2 -1, или a=x2+4x+1.
Введем систему координат хОа и построим графики полученных функций (см. рис. 3).
Важно заметить, что графиком исходного уравнения является объединение построенных
графиков.
рис. 3.
Теперь задаем различные значения: для a и проводим прямые, параллельные оси Ох.
По рисунку определяем, при каком значении а прямая пересечет построенный график ровно в
трех точках. Очевидно, что этому требованию удовлетворяет прямая а=-1.
Ответ: при а=-1 уравнение имеет ровно 3 корня.
Пример 4.
При каких значениях параметра a уравнение x+2=a· x  1 имеет единственное решение.
Найдите это решение.
Сразу заметим, что х = 1 не является решением уравнения. Поэтому можем выразить a :
a=
x2
.
x 1
2
Раскрыв выражение, стоящее в знаменателе по определению модуля, получаем: a=
или a=
x2
при x1
x 1
x2
при x1.Теперь задача сводится к нахождению всех значений функции a(x),
 x 1
которые она принимает только один раз.
Для построения графика полученной функции выделим целую часть: a=1+
или a=1+
3
при x1,
x 1
3
при x1. Построим график кусочной функции в плоскости xOa.
x 1
Данное уравнение имеет единственное решение при а   1;1 , причем данное уравнение
имеет единственное решение при а=
x2
a2
. Отсюда выразим x=
.
1 x
a 1
Ответ: уравнение имеет единственное решение при а   1;1 ; x=
a2
.
a 1
Пример 5.
Найдите все значения параметра a, при которых неравенство
cosx- 2 x 2  9  -
x2  9
 a имеет единственное решение.
a  cos x
Перенесем все слагаемые неравенства в левую часть и преобразуем его. В числителе
(cos x  a  x 2  9) 2
получится – полный квадрат трехчлена и неравенство примет вид:
0.
a  cos x
Для того, чтобы данное неравенство имело единственное решение, необходимо
выполнение условия (cosx+a- x 2  9 )2=0, т. е. cosx+a= x 2  9 .
Построим графики функций y= cosx+a и y= x 2  9 .
3
В данном случае графики функций имеют только одну общую точку с координатами (0;3)
при условии, что а=2.
Ответ: а=2.
4