8 класс Задание 2

8 класс
Задание 2
1) Найти такие два числа, которые при подстановке в трехчлен x 2  6 x  5 вместо x дают
равные значения.
Решение. Одно из решений. Пусть x 2  6 x  5  0. Выделим полный квадрат квадратного
2
2
2
трехчлена:
или
x 2  6 x  5  x  3  4, x  3  4  0, x  3  4 x  3  2, x  1
x  5.
Ответ: При x  1 и x  5 значения трехчлена будут равны между собой.
2) Решить уравнение x  1  x  2  2.
Решение. Разобьем множество значений x на три участка, границами которых являются
точки, где обращается в нуль одно из выражений под знаком модуля: 1) x  1 ;
2)  2  x  1; 3) x  2. Рассмотрим каждый участок отдельно:
1) x  1. Для этих значений x имеем: x  1  0, x  2  0. Следовательно, x  1  x  1 и
x  2  x  2. Уравнение имеет вид: 2x  3  2. Корень этого уравнения 
условию x  1.
1
удовлетворяет
2
2) При  2  x  1 уравнение приобретает вид 1  2. Это означает, что никакое число,
заключенное между – 2 и -1, не удовлетворяет данному уравнению.
3) При x  2
имеем
x  2.
5
 x  1  x  2  2, x   .
2
Ответ: Уравнение имеет два корня: 
3) Решить неравенство
Этот корень удовлетворяет условию
1
5
и  .
2
2
a
 1.
x 1
x  a  1
 0. Это неравенство равносильно
x 1
 x  a  1  0,

 x  1  0,
совокупности систем неравенств: 
 x  a  1  0,

 x  1  0.
 x  a  1,
Рассмотрим первую систему: 
 1  a  1  a  0.
x  1
Итак, при a  0 x  1  a, 1. Вторая система при этих значениях решений не имеет.
 x  a  1,
Рассмотрим вторую систему: 
Очевидно, что 1  x  a  1, 1  a  1, a  0.
 x  1.
При a  0 только вторая система совместна и ее решением являются значения x  1; 1  a .
При a  0 данное неравенство решений не имеет.
Ответ: При a  0 решений нет. Если a  0 , x  1; 1  a . Если a  0, x  1  a, 1.
Решение. Преобразуем данное неравенство
4) Доказать неравенство
ab  cd 
a  cb  d 
при a  0, b  0, c  0, d  0.
Решение. Так как при указанных значениях переменных значения левой и правой частей
неравенства неотрицательны, то данное неравенство равносильно неравенству:

ab  cd
 
2
a  cb  d  .
2
Отсюда

ab  2 abcd  cd  ab  bc  ad  cd ,

2
2 abcd  bc  ad , bc  2 abcd  ad  0,
bc  ad  0.
Мы
получили
цепочку
равносильных неравенств. Значит, можно сделать вывод, что данное неравенство
равносильно очевидному неравенству
значениях переменных a , b , c и d.
Ответ:

bc  ad

2
 0 и поэтому оно верно при указанных
5) Биссектрисы углов при большем основании трапеции перпендикулярны боковым
сторонам. Найти углы трапеции.
B
C
E
x
F
x
y
A
Решение. Рассмотрим
Обозначим  ADE
y
D
 ADE. Обозначим угол FAD через x . Рассмотрим  AFD.
через
y.
Получим
 A =  D = 600,  B =  C = 1200.
Ответ: 600, 600, 1200, 1200.
систему
2 x  y  90  x  30

2 y  x  90  y  30
значит,