x f  

Односторонняя производная
Если [a,b] – замкнутый отрезок и x0 = a, то предел
будет односторонним.
f ( x0 )  lim
x x 0
f ( x)  f ( x0 )
x  x0
Опр 4. Правой производной в точке x0 называется правосторонний предел
f ( x0 )  lim
x  x0
f ( x)  f ( x0 )
f ( x0  x)  f ( x0 )
 lim 
x 0
x  x0
x
1.4
Левой производной в точке x0 называется левосторонний предел
f ( x)  f ( x0 )
f ( x0  x)  f ( x0 )
f ( x0 )  lim
 lim 
x 0
x  x0
x  x0
x
y' (x0) ∃, если ∃ левая и правая производные в точке x0
f ( x0 )  f ( x0 )  f ( x0 )
1.4*
Дифференцируемость
Пусть ф.
f( x )
определена на
Тогда приращению
x
(a,b)
x0 ∈ (a,b).
 y = f( x0+x ) – f( x0 ) .
и непрерывна в т.
отвечает приращение
Опр 5 дифференцируемости. Если приращение  y может
быть
представлено в виде суммы линейной относительно  x б.м. и б.м. высшего
порядка малости относительно  x
 y = А . x + о ( x )
(А=const)1. 5
то функцию f( x ) называют дифференцируемой в точке x0
А . x – дифференциал функции
Обозначают:
f( x ) в точке x0
d f ( x0 ) = dy
Теорема
1.
(Связь
между
непрерывностью
и
дифференцируемостью)
Если f( x ) дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
Теорема 2. (Правила дифференцирования)
Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы в x0. Тогда дифференцируемы
в x0
(u + v), u . v , u / v и имеет место:
1) (u  v)  u   v 
2) (u  v)  u   v  u  v 

u
u   v  u  v
 
3)   
v2
v
1. 6
Теорема 3. ( Дифференцирование сложной функции)
Пусть даны y = f( u ); u=j ( x ) и определена сложная функция y = f [ j ( x )].
Если j ( x ) дифференцируема в x0 ,
а y = f( u ) дифференцируема в u0 =j ( x0 ),
то y = f [ j ( x )] дифференцируема в x0 , причем
y   f u  j x
1. 7
Теорема 4. (Дифференцирование обратной функции)
Пусть строго монотонная и непрерывная на [a, b] функция
y = f( x )
дифференцируема в x0∈(a, b), причем f( x0 )≠0. Тогда обратная ф. x = j( y )
дифференцируема в y0= f( x0 ) и
j ( y 0 ) 
или
xy 
1
yx
1
f ( x0 )
или
1. 8
dx
1

dy dy
dx
Таблица производных элементарных функций
f'(u)
f(u)
0
C
0
n
1
u
2
u
3
4
1
u
au
5
eu
6
sin u
7
cosu
8
tgu
9
ctgu
n u n1  u
1
2 u

1
u
2
 u
 u
10
log a u
11
ln u
12
arcsin u
13
arccosu
arctgu
a ln a  u
eu  u
14
15
arcctgu
cos u  u
sin u  u
16
17
shu
chu
u
1
 u
cos2 u
1

 u
2
sin u
f'(u)
1
 u
u ln a
f(u)
18
19
thu
cthu
1
 u
u 1
1 1 u

 u
1  u2
2
1

1
1 u
1 u
2
2
 u
 u
 u
chu  u
shu  u
1
2
 u
ch u
1
 2  u
sh u
Дифференцирование неявной функции
Опр 6.
Если зависимость между аргументом x и функцией y задана
уравнением, не разрешенным относительно y, т.е. F(x,y)=0, то говорят,
что функция задана неявно.
Производная от функции, заданной параметрически
 x  x(t )
Теорема 5. Пусть 
 y  y (t )
Если x(t) и y (t) дифференцируемые функции по t, x (t)≠0,
то параметрическая функция y ( t ( x )) тоже имеет производную и
y'x 
y 't
x 't
Логарифмическое дифференцирование
Пусть y=u(x)v(x) – степенно-показательная дифференцируемая функция в
области D. Тогда
y' = y . [ ln y ]'