Урок 7

ЕГЭ
Урок 7
Системы счисления
Система счисления — это знаковая система, в которой числа
записываются по определенным правилам с помощью символов
некоторого алфавита, называемых цифрами.
Наиболее распространенными в настоящее время позиционными
системами счисления являются: десятичная, двоичная, восьмеричная
и шестнадцатеричная.
Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и
основание.
Система счисления
Основание
Двоичная
Десятичная
Восьмеричная
Шестнадцатеричная
2
10
8
16
Алфавит цифр
0, 1
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А(10),
В(11), С(12), D(13), Е(14), F(15)
Таблица разрядов двоичной системы счисления
N = 2I, 2 = 21 - каждая цифра двоичной системы счисления – 1 бит
210
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
Таблица разрядов восьмеричной системы счисления
N = 2I, 8 = 23 - каждая цифра восьмеричной системы счисления – 3 бита
85
84
83
82
81
80
32768
4096
512
64
8
1
Таблица разрядов шестнадцатеричной системы счисления
N = 2I, 16 = 24 -каждая цифра шестнадцатеричной системы счисления – 4 бита
165
164
163
162
161
160
1048576
65536
4096
256
16
1
Задачи (ЕГЭ!)
Системы счисления
1. Вычислить сумму двоичного и десятичного чисел 102 + 1010.
Представить результат в двоичной системе счисления.
1) 10002
2) 11002
Решение:
1010 = 121 + 020 = 210
3) 11102
12
2
12
6
6
0
210 + 1010 = 1210
0
1210 = 11002
4) 11112
2
3
2
2
1
1
210
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
1
1
0
0
2. Вычислить сумму чисел 112 + 118 + 1110 + 1116.
Представить результат в шестнадцатеричной системе счисления.
Решение:
112 = 121 + 120 = 310
40
16
118 = 1  81 + 1 80 = 8 + 1 = 910
32
2
1116 = 1 161 +1 160 = 16 +1 = 1710
310 + 910 + 1110 + 1710 = 4010
4010 = 2816
Ответ: 28
8
3. Найдите наименьшее из чисел A, B, C и D, записанных в
различных системах счисления, если A = 10214, B = 4716,
C = 7310, D = 10010102.
1) A
2) B
3) C
4) D
Решение:
Таблица разрядов 4-ричной системы счисления
45
44
43
42
41
40
1024
256
64
16
4
1
А = 10214 = 143 + 042 + 241 + 140 = 64 + 8 + 1 =7310
В = 4716 = 4161 + 7160 =64 +7 = 7110
С = 7310
D = 10010102 = 126 + 123 + 121 = 64 + 8 + 2 = 7410
Ответ: 2) В
4. В саду 100q фруктовых деревьев, из них 33q яблони, 22q груши,
16q слив и 5q вишен. В какой системе счисления посчитаны
деревья?
Решение:
100q = 33q + 22q + 16q + 5q
100q = 1q2 + 0q1 + 0q0
33q = 3q1 + 3q0
22q = 2q1 + 2q0
16q = 1q1 + 6q0
5q = 5q0
1q2 = 3q1 + 3q0 + 2q1 + 2q0 + 1q1 + 6q0 + 5q0
q2 = 3q + 3 + 2q + 2 + q + 6 + 5
q2 = 6q + 16
q2 - 6q – 16 = 0
q=
Ответ: 8
5. В системе счисления с некоторым основанием q число 5810
записывается как 134q. Укажите это основание.
134q = 5810
1q2 + 3q1 + 4q0 = 58
q2 + 3q + 4 = 58
q2 + 3q – 54 = 0
q=
Ответ: 6
210
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
6. Сумму восьмеричных чисел 17 + 170 + 1 700 + 17 000 + . . . + 1 700 000
перевели в шестнадцатеричную систему счисления.
Найдите в записи числа, равного этой сумме, третью цифру слева.
1
7
1
0
7
1
+
2
1
1
0
0
7
1
1
0
0
0
7
1
1
0
0
0
0
7
1
0
08
08
08
08
08
78
78
N = 2 I, 8 = 2 3 каждая цифра восьмеричной системы
счисления – 3 бита
2
1
1
1
1
0
78
10
001
001
001
001
000
1112
N = 2I, 16 = 24 -каждая цифра шестнадцатеричной системы счисления – 4 бита
1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1
8
Ответ: 2
9
2
4
3-я цифра слева
7
7. Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двух
разрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11,
соответственно). Если таким способом закодировать
последовательность символов БАВГ и записать результат
шестнадцатеричным кодом, то получится:
1) 4В
2) 411
3) BACD
4) 1023
Решение:
А
Б
В
Г
00
01
10
11
210
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
Б
А
В
Г
01
00
10
11
4
Ответ: 1) 4В
11
11 = В
N = 2I, 16 = 24 - каждая цифра
шестнадцатеричной системы счисления– 4 бита
Домашняя работа №7 (ЕГЭ!) 25 задач
1. Вычислить сумму двоичного и десятичного чисел 102 + 1010.
Представить результат в десятичной системе счисления.
1) 1110
2) 1210
3) 1310
4) 1410
2. Вычислить сумму двоичного и десятичного чисел 112 + 1110.
Представить результат в десятичной системе счисления.
1) 1210
2) 1310
3) 1410
4) 1510
3. Вычислить сумму чисел 112 + 118 + 1110 + 1116 = _______10.
Представить результат в десятичной системе счисления.
4. Вычислить сумму чисел 112 + 118 + 1110 + 1116 = _______8. Представить
результат в восьмеричной системе счисления.
5. Число 5678 запишите в двоичной системе счисления.
1) 1011101
2) 100110111
3) 101110111
4) 11110111
6. Как представлено число 263 в восьмеричной системе счисления?
1) 3018
2) 6508
3) 4078
4) 7778
7. Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухразрядные
последовательные двоичные числа (от 00 до 11, соответственно).
Если таким способом закодировать последовательность символов
ГБАВ и записать результат шестнадцатеричным кодом, то получится:
1) D2
2) 132
3) 3102
4) DBAC
8. Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать
четырехразрядные последовательные двоичные числа от 1000 до
1011, соответственно. Если таким способом закодировать
последовательность символов БГАВ и записать результат в
восьмеричном коде, то получится:
1) 175423
2) 115612
3) 62577
4) 12376
9. Сколько значащих нулей содержится в двоичной записи суммы
чисел a = 1058 и b =C616?
1) 3
2) 4
3) 2
4) 5
10. Сколько значащих нулей содержится в двоичной записи суммы
чисел a = 738 и b = 1B316?
1) 3
2) 4
3) 2
4) 5
11. Сколько единиц содержится в двоичной записи суммы чисел
а = 3А16 и b = 738?
1) 3
2) 5
3) 4
4) 6
12. Сколько единиц содержится в двоичной записи суммы чисел
a = D916 и b = 1538?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
13. Дано: a=D716, b=3318. Какое из чисел с, записанных в двоичной
системе, отвечает условию a<c<b?
1) 11011001
2) 11011100
3) 11010111
4) 11011000
14. Какое из неравенств выполняется для чисел А = 1648, В = А316
и С = 22004?
1) A<B<C
2) A<C<B
3) B<A<C
4) C<B<A
15. Какое из неравенств выполняется для чисел А = 8016, В = 20034
и С = 2048?
1) A<B<C
2) A<C<B
3) B<A<C
4) B<C<A
16. Чему равна сумма чисел 438 и 5616
1) 1218
2) 1718
3) 6916
4) 10000012
17. Найдите сумму чисел a = E216 и b = 1100112
1) 100101012
2) 12516
3) 4258
4) 110101012
18. Вычислите сумму чисел x и y, при x=A616, y=758.
Результат представьте в двоичной системе счисления.
1) 110110112
2) 111100012
3) 111000112
4) 100100112
19. Вычислите сумму чисел x и y, при x=2718, y=111101002.
Результат представьте в шестнадцатеричной системе счисления.
1) 15116
2) 1AD16
3) 41216
4) 10B16
20. Найдите наименьшее из чисел A, B, C и D, записанных в различных
системах счисления, если A = 11004, B = 9410, C = 1308, D = 5B16.
1) A
2) B
3) C
4) D
21. Найдите наибольшее из чисел A, B, C и D, записанных в различных
системах счисления, если A = 1538, B = 10010, C = 6B16, D = 12304.
1) A
2) B
3) C
4) D
22. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем
счисления, в которых запись числа 15 оканчивается на 3.
23. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем
счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.
24. Укажите через запятую все десятичные числа, не превосходящие 25,
запись которых в системе счисления с основанием четыре
оканчивается на 11.
25. Укажите через запятую все десятичные числа, не превосходящие 41,
запись которых в системе счисления с основанием 3 оканчивается на
12.