Лекция 9. Задача интерполяции.

ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ
МАТЕМАТИКУ
Лекция 9
3 ноября 2009
Задача интерполяции (гладкого
восполнения функций)
4. Задача интерполяции

Функция Лебега и постоянная Лебега
(данной сетки)
L  x
N
  li
 x
lN  sup L  x 
x a ,b 
4. Задача интерполяции

Постоянная Лебега – норма
оператора алгебраической
интерполяции!
4. Задача интерполяции

Приведем (без доказательства) примерные
оценки роста постоянной Лебега в
зависимости от числа узлов сетки.
Константа Лебега растет примерно как
lN ~ 2N для равномерной сетки и lN ~ ln(N)
для сетки с чебышевским набором узлов.
Доказано, что рост константы Лебега для
последней сетки асимптотически стремится
к минимально возможному, и сетка с
чебышевскими узлами близка к
оптимальной для задач интерполяции.
4. Задача интерполяции
Итерполяционный полином в
форме Ньютона
Разделенные разности (разностные
отношения)

 
N
tn n  0 , tn
  a, b , t0  a, t N  b.
4. Задача интерполяции
Разделенные разности
Разделенные разности нулевого
порядка в точке ti совпадают со
значениями функции f (ti );
Разности первого порядка
определяются равенством

f (t j )  f (ti )
fij  f (ti , t j ) 
,
t j  ti
4. Задача интерполяции
Разделенные разности
разности порядка k —по рекуррентной
формуле

f (ti , ti 1 ,
, ti  k ) 
f (ti 1 ,
, ti  k )  f (ti ,
ti  k  ti
, ti  k 1 )
4. Задача интерполяции

Свойства разделенных разностей
f (ti  j )
k
a)
f (ti , ti 1 ,
, ti  k )  
j 0
k
 (ti  j  ti  r )
r 0
r i  j
(легко, метод математической индукции)
4. Задача интерполяции
Свойства разделенных разностей
Б)
   a, b
k ! f (ti , ti 1,
, ti k ) 
(
k
)
f ().
Конкурс на лучшее доказательство!
4. Задача интерполяции

Таблица разделенных разностей
t0
f0
t1
f1
f12
...
...
...
tN
fN
f 01
f N 1N
...
f0123...N
4. Задача интерполяции

Интерполяционный полином в форме
Ньютона
Nn (t )  f (t1 )  f (t1, t2 )(t  t1 ) 
 f (t1,
, tn1 )(t  t1 )
(t  tn ).
4. Задача интерполяции

Таблица разделенных разностей
t0
f0
t1
f1
...
...
tN
fN
t N 1
f N 1
f 01
f12
...
f N 1N
f NN 1
...
f 01...N
f1...NN 1
f01...NN 1
4. Задача интерполяции
Полином в форме Ньютона – конечноразностный аналог ряда Тейлора!
4. Задача интерполяции

Интерполяция с кратными узлами
t0
f0
t0
f0
...
tN
...
fN
f 0
f01
...
f N 1N
...
f0123...N
4. Задача интерполяции
Интерполяционный полином Эрмита
Пусть на концах отрезка [t0, t1] заданы
значения f0, f1 и первые производные
функции. Тогда

P3 (t )  f 0
(t1  t ) 2  2(t  t0 )  
3
(t  t0 )2  2(t1  t )  
(t1  t ) 2 (t  t0 )
 f 0
 f1

2
3


(t  t0 )2 (t  t1 )
 f1
,
2

4. Задача интерполяции
Интерполяция сплайнами
(spline – гибкое лекало)
 Определение. Сплайном называется
определенная на [a, b] функция, имеющая l
непрерывных производных и являющаяся
на каждом интервале (tn–1, tn) многочленом
степени m.
 Определение. Дефектом сплайна
называется разность между степенью
сплайна и показателем его гладкости l.
4. Задача интерполяции
Кубический сплайн (Шонберга)
 Кубическим сплайном дефекта 1,
интерполирующим на отрезке [a, b]
заданную функцию f(t), называется
функция S(t), удовлетворяющая
следующим условиям:
 1. S(tn) = f(tn) — условие интерполяции
в узлах сетки
4. Задача интерполяции



Кубический сплайн
2
S
(
t
)

C
[a, b]
2.
3. На каждом отрезке [tn, tn+1], S(t)
является кубическим многочленом;
n = 0,…,N –1.


4. Граничные условия
4. Задача интерполяции
Выбор граничных условий
S (a)  f (a), S (b)  f (b);
S (a)  f (a), S (b)  f (b);
S (a)  S (b)  0;
S (a)  S (b)  0;
4. Задача интерполяции
Пример
4. Задача интерполяции

Пример
4. Задача интерполяции

Экстремальное свойство сплайна
Шонберга
b
 [ F (t )] dt  0
a
2
Задача интерполяции
Теорема о существовании и
единственности решения
Интерполяционный кубический сплайн
S(t), удовлетворяющий условиям 1–3
и одному из краевых условий 4,
существует и единственен.
4. Задача интерполяции
Доказательство
 На каждоим отрезке строим полином
третьей степени. Для второй
производной имеем

1
Stt 
(mn (tn1  t )  mn1 (t  tn )).
n

Момент сплайна
4. Задача интерполяции
Дважды интегрируем на отрезке
1
S (t ) 
(mn (tn 1  t )3  mn 1 (t  tn )3 ) 
6n
n (tn1  t )  n1 (t  tn ).
4. Задача интерполяции
Из условия аппроксимации
mn n2
fn 
  n n 
6
mn12n
f n 1 
  n n 
6
f n mn n
n 

.
n
6
f n1 mn1n
n 

.
n
6
4. Задача интерполяции

Приравняем первые производные в
узле справа и слева
St (tn  0)  St (tn  0),
4. Задача интерполяции
Получим систему уравнений для
моментов
mn n1 mn1n1 f n  f n1 (mn  mn1 )n1




2
2
n1
6
mn1n mn n f n1  f n (mn1  mn )n




,
2
2
n
6
4. Задача интерполяции

AM = F,
 1  2
 3

 2
 6

А
0


 ...

 0

2
6
2  3
3
3
6
...
3
6
3  4
3
...
0
0
0
...
0
...
0
...
0
...
...
...
 N 1
6
 f 2  f1 f1  f0 f3  f 2 f 2  f1
F

,

,
0
2
1
 1




0


;

0


...

 N   N 1 

3

0
T
f N  f N 1 f N 1  f N 2 
,

 .
N
 N 1

4. Задача интерполяции

Вопросы?