Математическое моделирование тепло

Дипломная работа
Математическое моделирование конвективного
тепло-массообмена в жидком цилиндрическом
столбике со свободной боковой поверхностью
Научный руководитель:
к.ф-м.н
Калачинская Ирина Станиславовна
Выполнила Вильчик Ю.В.
Введение
Актуальной задачей современной гидродинамики является численное
моделирование конвективных течений несжимаемой жидкости, связанных с
многочисленными техническими приложениями: тепловая гравитационная
конвекция в расплавах, термокапиллярная конвекция при отсутствии
гравитации (многие процессы космической технологии: направленная
кристаллизация, бестигельная зонная правка) и др
Большинство алгоритмов для расчета конвективных течений несжимаемой
жидкости строится на основе традиционных уравнений Навье-Стокса, однако,
несмотря на большой опыт решения этих уравнений, их численная реализация
встречается сравнительно редко.
Нетрадиционным подходом к построению алгоритмов для моделирования
течений несжимаемой жидкости является использование
квазигидродинамической (КГД) системы уравнений, которые отличаются от
уравнений Навье-Стокса дополнительными вязкими членами с малым
параметром
В данной работе исследуется движение конвективного расплава
полупроводников в зависимости от граничных условий на поверхности
Постановка задачи
Рассмотрим столб жидкости между двумя
параллельными, концентрическими, твердыми
поверхностями, расположенными на расстоянии
d.
На верхней и нижней твердых поверхностях
поддерживаются различные температуры
и T0  T
.
Боковая поверхность считается
недеформируемой и для соответствующего
объема жидкость имеет цилиндрическую форму.
Столб жидкости находится во внешнем
магнитном поле. Конвективное течение в объеме
возникает благодаря зависимости
поверхностного натяжения жидкости от
температуры (термокапиллярная конвекция).
T0  T
Квазимагнитогидродинамическая
система
Обозначения:
  const  0
– среднее значение плотности
u  u( x, t )
– вектор гидродинамической скорости
p  p( x, t )
– давление, отсчитываемое от гидростатического
T  T ( x, t )
– отклонение температуры от ее среднего значения
H0
– напряженность магнитного поля
КМГД система в безындукционном
приближении Обербека-Буссинеска:
div (u)  div (),


 
u
1

 div (u  u )   p    gT  2 u    H 0  H 0 
t

c

1




div  NS  div   u  u   ,
T
 div (uT )  div (T )  T .
t
Где



T
 NS     u    u ,



1

    (u  )u   p   gT  2 u  H 0  H 0

c


 .

Система уравнений
1   p   2 p 1  1 ru r  u z  1    ur
ur
u
   u z

2


r
u

u

Ha
u
 u z z  GrT ,
r   2  

 ur
r
z
r  


r r  r  z
  r r
z  r r   r
z
z
 z  r


ur 1  (ru r )  (u z ur ) p 1  (r rrNS )  ( NS
2  (ru rr )  (ur z )  (u zr )
zr )





  


 Ha 2 ur  r ,
t r r
z
r r
r
z
r
r
r
z
z
NS
2
u z  (u z ) 1  (ru r u z ) p 1  (r rzNS )  ( NS
1  (u zr ) 1  (ru r z )
 (u z z )
zz )







2
 Gr T ,
t
z
r r
z r r
z
r r
r
r
z
2
T 1 (rurT ) (u zT ) 1 (rrT ) (zT ) 1  1   T   2T 




 
r
  2 ,
t r r
z
r r
z
Pr  r r  r  z 
Здесь

 r   u r

u r
u p

 u r r   Ha 2 u r ,
r
z r

 rrNS  2

 z   u r

u z
u p

 u z z   Gr T ,
r
z z

u r
u z
ur
 u r u z 
NS
NS
NS
,  NS




,


2
,


2


zr
rz
zz

r
r 
z
r
 z
Начальные условия
ur t 0  uz t 0  0, T t 0  0
Граничные условия
• ось симметрии (r = 0, -1 < z < 1):
u r  0,
u z
p
T
 0,
 0,
 0;
r
r
r
• боковая стенка (r = 1, -1 < z < 1):
ur  0,
u z
Ma T p
T

,
 0,
 Bi  T  T0 
r
Pr z
r
r
• нижняя (0 < r < 1, z = -1) и
верхняя (0 < r < 1, z = 1) стенки:
u r  u z  0,
p
 Gr T ,
z
T  0.
Алгоритм расчета
1.
2.
3.
4.
Заполнение полей скорости и температуры в
начальный момент времени
Определение поля давления путем решения
разностной краевой задачи для уравнения
Пуассона. При t = 0 в качестве приближения
используется сеточная функция pij(0)  0
~
Нахождение полей скорости и температуры при t  t   t
Переброска массивов и возврат к п.2
Течение считается установившимся, если
1
Nr Nz
u 

max
   
 
up
 r, z
ri , z j 
ij
 u  ij  
Алгоритм решения уравнения
Пуассона в RZ геометрии
Gik f ik  Aik f i 1,k  Bik f i 1,k  Eik f i ,k 1  Fik f i ,k 1  H ik
Где
Aik  ri  ri 1  ri ri 1  ri 1 ri  ri 1 ,
Bik  ri 1  ri  ri ri 1  ri 1 ri 1  ri ,
Eik  2 z k 1  z k 1 z k  z k 1 ,
Fik  2 z k 1  z k 1 z k 1  z k ,
Gik  Aik  Bik  Eik  Fik .
Величины Hik определяются правой частью уравнения движения
Пусть
Тогда
f ik   ik f i 1,k   ik f i ,k 1   ik .
 ik  Bik K ik ,  ik  Fik K ik ,
 ik  Aik  i 1,k f i 1,k 1   i 1,k 
 Eik  i ,k 1 f i 1,k 1   i ,k 1   H ik  K ik ,
где
K ik  Gik  Aik  i 1,k  Eik  i ,k 1 .
Результаты расчетов
В численных расчетах изучено влияние граничного условия для
температуры на свободной боковой поверхности на структуру
конвективного движения расплава при различных числах Марангони и
при отсутствии силы тяжести (Gr = 0). Расчеты проводились на
равномерной сетке 82x242. На рисунках изображены линии тока и
изотермы.
№варианта
Ma
Bi
Вид решения
1а
500
0
Стационарное решение
1б
1e4
1
Стационарное решение
2а
1e5
0.1
Нестационарное решение
2б
5e5
0.1
Нестационарное решение
1а)Расчеты были проведены для следующих
значений безразмерных параметров: Pr=.018,
Ma=500
.
1б )Расчеты были проведены для следующих значений безразмерных параметров:
Pr=.018, Ma=1e4. На рисунках изображены линии тока и изотермы в моменты времени
t=0.01, t=0.02, t=0.05.
С течением времени было установлено стационарное течение при t=0.05.
t=0.01
t=0.02
t=0.05
2а) Расчеты были проведены для следующих значений безразмерных параметров:
Pr=.018, Ma=1e5
t=0.00012
t=0.02
t=0.03
t=0.04
2б) Расчеты были проведены для следующих значений безразмерных
параметров: Pr=.018, Ma=5e5
t=0.001
t=0.004
t=0.009
t= 0.01564
Результаты
•
•
Приведена математическая модель для описания течений квазинейтральной
сжимаемой электропроводной жидкости – КМГД-система. На ее основе
построена упрощенная математическая модель – КМГД-система в
безындукционном приближении Обербека – Буссинеска, пригодная для
численного моделирования движений полупроводниковых расплавов в
постоянном внешнем магнитном поле. Выписан алгоритм ее численного
решения, представляющий собой явную по времени однородную конечноразностную схему с искусственными регуляризаторами специального вида,
которые обеспечивают высокую точность и устойчивость численного решения.
Выполнена серия численных расчетов термокапиллярных течений
полупроводникового расплава в жидком цилиндрическом столбике со
свободной боковой поверхностью. Установлено, что:
При
(нуль потока)
T
r
0
и Ma до 1e5 – колебательный режим не возникает.
• При
(поток нулю не равен)
T
 0
r
и Ma с 5e4 - возникает колебательный режим.