ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ.
• Обыкновенными дифференциальными
уравнениями называются такие уравнения,
которые содержат одну или несколько
производных от искомой функций у = у(х).
• Их можно записать в виде
F ( x, y, y ',..., y ( n ) )  0
где х — независимая переменная.
(1)
• Наивысший порядок n входящей в
уравнение (1) производной называется
порядком дифференциального уравнения.
• Решением дифференциального уравнения (1)
называется всякая п раз дифференцируемая
функция y   ( x), которая после ее подстановки
в уравнение превращает его в тождество.
• Общее решение обыкновенного
дифференциального уравнения n-го порядка (1)
содержит n произвольных постоянных C1, С2, ... , Сn:
y   ( x, C1 , C2 ,..., Cn )
• Частное решение дифференциального уравнения
получается из общего, если произвольным
постоянным придать определенные значения.
• задача Коши (дополнительные условия
задаются в одной точке)
• краевая задача (дополнительные условия
задаются в более чем одной точке)
• Пример:
dx
 x 2 cos t , t  0, x(0)  1;
dt
y
y   x 2 , x  1, y (1)  2, y(1)  0.
x
y  2 y  y  sin x, 0  x  1, y (0)  1, y (1)  0;
y  x  yy, 1  x  3, y (1)  0, y(1)  1, y(3)  2.
• Решение задачи Коши.
• сущность метода конечных разностей.
состоит в следующем:
• 1. область непрерывного изменения аргумента
(например, отрезок) заменяется дискретным
множеством точек - узлами. Эти узлы
составляют разностную сетку.
• 2. Искомая функция непрерывного аргумента
приближенно заменяется функцией
дискретного аргумента на заданной сетке
(сеточной функцией).
• 3. Исходное дифференциальное уравнение
заменяется разностным уравнением
относительно сеточной функции.
• Такая замена дифференциального
уравнения разностным называется его
аппроксимацией на сетке (или разностной
аппроксимацией).
• Метод Эйлера.
• Рассмотрим уравнение y  f ( x, y )
с начальным условием y( x0 )  y0
для определенности будем считать, что решение
нужно получить для значений х > x0.
1. выбирается достаточно малый шаг h и строится
система равноотстоящих точек xk  x0  kh
2. Вычисляются yk  yk 1  h f ( xk 1, yk 1 )
• При этом искомая интегральная кривая y  f ( x)
проходящая через точку L0 ( x0 , y0 ) заменяется
ломанной L0 L1L2 ... с вершинами Lk ( xk , yk ) .
• Для оценки погрешности на практике пользуются
двойным просчетом: с шагом h и шагом h/2.
• Погрешность более точного значения y (при шаге h/2)
k
оценивают приближенно так:
y ( xk )  yk  yk  yk
• где y ( xk ) - значение точного решения уравнения при
x  xk ,
• yk -приближенное значение полученное при
вычислениях с шагом h .

y
• k - приближенное значение полученное с шагом h/2.
• Пример.
• Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных
значений решения задачи Коши на отрезке [0; 0,3] с шагом
h=0,1.
2
y  x  y ,
y (0)  0,5
• Рассмотрим систему двух уравнений первого
порядка
 y  f1 ( x, y, z )

 z   f 2 ( x, y , z )
• с начальными условиями
y( x0 )  y0 , z ( x0 )  z0 .
• Приближенные значения вычисляются для этой
системы по формулам
yk  yk 1  h f1 ( xk 1 , yk 1 , zk 1 ),
zk  zk 1  h f 2 ( xk 1 , yk 1 , zk 1 ), k  1, 2,..., n.
• Модификации метода Эйлера.
• 1) Метод Эйлера-Коши
f k 1  f k
yk  yk 1  h
2
f k  f ( xk , yk )
yk  yk 1  h f k 1
• Оценка погрешности в точке xk , полученная с помощью
двойного пересчета, имеет вид:
1 
y ( xk ) 
 yk  yk
3
• где y ( xk ) - значение точного решения уравнения при
x  xk ,
• yk -приближенное значение полученное при вычислениях
с шагом h .
yk

y
• k - приближенное значение полученное с шагом h/2.
•
•
Пример.
Используя метод Эйлера-Коши, составить таблицу приближенных
значений решения задачи Коши на отрезке [0; 0,3] с шагом h=0,1.
y  x  y 2 ,
y (0)  0,5
• 2) другая модификация метода Эйлера
заключается в итерационном уточнении
значения yk на каждом шаге.
• В качестве нулевого приближения берут
(0)
yk
 yk 1  h f k 1
• Далее строится итерационный процесс
yk(i )
h
 yk 1  ( f ( xk 1 , yk 1 )  f ( xk , yk(i 1) )
2
• Итерации продолжают до тех пор, пока для двух
последовательных приближений не будет
выполнено условие
yk(i )  yk(i 1)  
• Как правило, при достаточно малом h
итерации быстро сходятся.
• Если после трех-четырех итераций не
произошло совпадение нужного числа
десятичных знаков, то следует уменьшить
шаг расчета h.
• Метод Рунге-Кутта.
• Рассмотрим уравнение
y   f ( x, y )
с начальным условием y( x0 )  y0
• Если известно значение yk 1 в точке xk 1 , то
вычисление приближенного значения yk в
следующей точке xk  xk 1  h производится по
формулам:
K1( k )  f ( xk 1 , yk 1 ),
(k )
K2
(k )
K3
K 4( k )
h
hK1( k )
 f ( xk 1  , yk 1 
),
2
2
h
hK 2( k )
 f ( xk 1  , yk 1 
),
2
2
 f ( xk 1  h, yk 1  hK 3( k ) ),


h (k )
yk  yk 1  K1  2 K 2( k )  2 K 3( k )  K 4( k ) .
6
• Оценку погрешности метода можно получить с
помощью двойного просчета по формуле
y ( xk ) 
yk
1 

yk  yk
15