Динамика ВоГТУ Кузина Л.А., к.ф.-м.н., доцент

ВоГТУ
Лекция 2
Динамика
Кузина Л.А.,
к.ф.-м.н., доцент
2012 г.
1
Содержание
1. Законы Ньютона: область применимости
2. Первый закон Ньютона. Инерциальные и
неинерциальные системы отсчёта
3. Второй закон Ньютона. Импульс тела
4. Третий закон Ньютона. Закон сохранения импульса
5. Центр масс
6. Принцип относительности Галилея. Преобразования
Галилея. Закон сложения скоростей в классической
механике. Второй закон Ньютона для неинерциальных
систем отсчёта
7. Виды сил
8. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела
9. Сила трения
10. Силы упругости
2
Содержание
11. Работа
12. Мощность
13. Энергия. Закон сохранения энергии
14. Кинетическая энергия
15. Потенциальная энергия в поле тяготения
16. Потенциальная энергия упругой
деформации
17. Графическое представление энергии
18. Признак потенциальности поля.
Консервативные силы. Диссипативные силы
19. Связь между консервативной силой и
потенциальной энергией
3
Законы Ньютона – постулаты
являются обобщением большого количества
опытных данных
Для случая для малых скоростей (v << c) и макротел
Первый закон Ньютона
Всякому телу свойственно сохранять состояние
равномерного прямолинейного движения или
покоя, пока и поскольку другие тела не вынудят его
изменить это состояние
4
Второй закон Ньютона
m
Масса - количественная мера инертности тела

F
Сила – количественная мера воздействия
одного тела на другое

 Fk
 k
a
m
Ускорение тела прямо
пропорционально
равнодействующей всех сил,
приложенных к телу, и обратно
пропорционально массе тела
5
6
Второй закон Ньютона
в импульсной форме
 
 dv F
 
a


m  dv  F  dt 
dt m


 
 d m  v   F  dt  dp  F  dt
изменение импульса тела равно импульсу действовавшей на тело силы



p  m  v - импульс тела
F  t - импульс силы
 
p  F  t

 dp
F
dt
Изменение импульса тела равно
импульсу действовавшей на тело силы
7
8
Третий закон Ньютона
Всякое действие тел друг на друга носит характер
ВЗАИМОдействия


F12   F21
Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по
величине и противоположны по направлению
Если система двух тел замкнута, по второму закону Ньютона:



dp1  F12  dt

 

dp2  F21  dt




 
 d  p1  p2   F12  F21  dt  0


p1  p2  const
9
10
Закон сохранения импульса
В замкнутой системе полный импульс
сохраняется
Полный импульс системы сохраняется, даже если
есть внешние силы, но они скомпенсированы
 âíåø .
0
 Fk

 pi  const

k
i
В проекциях:
âíåø .
F
 kx  0
k

 pix  const
i
11
12

 mi  ri 

rc  i
m
 mi  m
Центр масс
Центр масс движется так, будто к ней
приложены все внешние силы, и в ней
сосредоточена вся масса системы


drc 1 
dri  1


vc 
   mi 
i
   mi  vi 
dt m i 
dt  m i



p  m  vñ   mi  vi 


dv ñ
dvi 

m
   mi 

dt
dt 


i
dv c 
 ac



dt
 âíåø


d
v
d
m
v
d
p




 i
i
i
i
  
  
  Fi
  mi 
dt  i  dt  i  dt  i

i
 âíåø .

m  ac   Fi
i
13
i
14
Принцип относительности Галилея
  
r  r ' v 0  t


dr dr '  dt

 v0 
dt dt
dt
  
v  v' v0



v àáñ.  v îòí .  v ïåð .


d v d v'

0
dt
dt
 
a  a'
Все инерциальные системы отсчёта эквивалентны.
все
инерциальные
системы
отсчёта эквивалентны.
Или: законы
Законы
динамики
инвариантны
относительно
динамики
инвариантны
относительно преобразований Галилея
преобразований
Галилея
15
16
Принцип относительности Галилея
  
r  r ' v 0  t
 x  x ' v 0  t
 y  y'


Преобразования
z

z
'

Галилея

t  t '
Второй закон Ньютона для неинерциальных систем отсчёта:
В системе К:
 âíåø .

ma   Fi
i
В системе К’, движущейся с ускорением

сила инерции
a0  ñonst , вводится


Fè  ma0
Уравнение движения:
 âíåø . 
 âíåø .


ma '   Fi
 Fè   Fi
 ma0
i
i
17
18
Виды сил
В природе существует 4 вида фундаментальных взаимодействий:
 Гравитационное
 Электромагнитное
 Сильное (ядерные силы)
 Слабое (превращения элементарных частиц)
Все виды сил (трения, упругости, вязкости,
поверхностного натяжения и т.д.) – это проявления
фундаментальных взаимодействий
19
Fòÿã .  
Закон всемирного тяготения
Сила тяжести
Вес тела
Fòÿæ .  mg  
m1m2
r2
M m
R  h2



 

P   N  (ma  mg )  m( g  a )
 

mg  N  ma
P  m( g  a)

a
P  m( g  a)

a
20
21
Сила трения
Трение
Сухое
Покоя
0  Fòð .ïîêîÿ
Скольжения
 N
Вязкое
Качения
Fòð .  N
22
23
Сила упругости
Деформация
Сжатиярастяжения
Деформация тела называется упругой,
если после снятия нагрузки тело
возвращается к первоначальным размерам
и форме (можно пренебречь остаточной
деформацией).
При неупругой деформации происходит
разрыв некоторых межмолекулярных
связей и образование связей между
другими молекулами, в результате чего
изменённая форма тела сохраняется и
после снятия нагрузки
Сдвига
24
Деформация сжатия-растяжения
F

S
dF

dS
 || 
Нормальное механическое
Í
напряжение
   2  Ïà
ì
l Относительная продольная
l деформация
   1
Закон Гука в локальной форме
  E   ||
E - модуль Юнга
l
ES
F    S  E   ||  S  E   S 
l  k  l
l
l

E  
Í
ì
k
2
 Ïà
ES
l
25
26
Экспериментальная зависимость механического
напряжения от относительной продольной деформации
Пределы:
Прочности
Текучести
Упругости
Пропорциональности
  E   ||
27
28
Деформация сдвига
Тангенциальное
(касательное)
механическое
напряжение
dF

dS
Закон Гука   G  
для деформации сдвига
E
G
21  K Ï

Относительный
сдвиг
x

h
G – модуль сдвига
Связь между модулем Юнга и модулем сдвига

Kï  
||
Относительное поперечное сжатие
Коэффициент Пуассона
d
 
d
29
30
Работа

F  const
 
A  F  S  F  S  cos
A  Í  ì  Äæ

F  const
 
dA  F  dS  F  dS  cos  FS  dS
 
dA  F  dS
31
32
Работа
 
dA  F  dS

2
2
1
1
2
 2
A12   dA   F  dS   F  cos  dS   FS  dS
1
1
2
A12   FS  dS
1
33
34
Мощность
Мощность – быстрота совершения работы
A
Средняя мощность Pñð. 
t
P 
Äæ
 Âò
ñ
Мгновенная мощность
dA  P  dt

2
t2
1
t1
dA
P
dt
A12   dA   P  dt

 
dA F  dS  dS  
P

F
F v
dt
dt
dt
35
36
Энергия
Энергия – мера взаимодействия и движения всех видов
материи
Энергия – функция состояния,
однозначно определяется состоянием системы
Изменить энергию системы можно, совершив над системой работу
Изменение энергии системы
равно работе внешних сил
W  W2  W1  Aâíåøí .ñèë

A   Aâíåøí .ñèë
W1  W2  A W   A  Äæ
Если
 âíåø .
0
 Fi
i
Полная энергия
замкнутой системы
сохраняется
 Wïîëíàÿ  const
37
38
Механическая энергия
Кинетическая
(энергия
движения)
Потенциальная
(энергия взаимодействия;
положения, поскольку
величина взаимодействия
зависит от положения тел)
39
Кинетическая энергия
Пусть под действием внешней силы скорость тела изменяется:
изменение энергии равно работе внешних сил
 2   2 dv 
W  W2  W1  Aâíåøí .ñèë   F  dS   ma  dS   m  dS 
1
1
1 dt
2
2
2

v2
m

v
m

v
2
1
dS 
 
 m
dv   mv dv 

2
2
1 dt
v
2
1

mv
Wêèí . 
2
2
40
41
Потенциальная энергия
в однородном поле тяготения
Внешняя сила сила совершает работу,
равную приращению потенциальной
энергии:
2
 2
W  W2  W1  Aâíåøí .ñèë   F  dS   F  dS 
1
2
h2
1
h1
1
 F  dS  mg   dh  mg  h2  h1 

Wïîò .  mgh
Начало отсчёта энергии можно задавать произвольно
42
43
Потенциальная энергия упругой деформации
Внешняя сила сила
совершает работу,
равную приращению
потенциальной энергии:
kx 2
Aâíåøí .ñèë   Fâíåø .dx   kx  dx 
 0  Wïîò .  Wïîò .  0
2
0
0
x
x

kx 2
Wïîò . 
2
44
45
Графическое представление энергии
Wïîëíàÿ
 Wïîò .  Wêèí .

mghmax  mgh  Wêèí .
46
47
Графическое представление энергии
Wïîëíàÿ
 Wïîò .  Wêèí .

2
kxmax
kx 2

 Wêèí .
2
2
48
49
Работа в центральном поле тяготения
W  W2  W1  Aâíåøí .ñèë 
 2   r2
  F  dS   F  dr   F  dr 
2
1
1
r2
r1
r2
M m

 dr  
 
2
r r
r
r1
1
M m
Wïîò .  
r

M m

M m
M m 

    
   
r1 
r2  

50
51
Работа в центральном поле тяготения

M m 
M m
    

W  W2  W1  Aâíåøí .ñèë   Aãðàâ.ñèë    
r2  
r1 

Выводы:
1. Потенциальная энергия взаимодействия точечных масс
M  m (при r   W  0 )
Wïîò .  
r
2. Работа сил гравитационного поля не зависит от
траектории, а только от начального и конечного положения
точки. Такие поля называются потенциальными
3. Потенциал гравитационного поля:
Wïîò .

m
Äæ
  
êã
52
53
Признак потенциальности поля
Консервативные силы
Диссипативные силы
Сила называется консервативной, если её работа не зависит от
траектории, а только от начального и конечного положения
тела
Поле таких сил называется потенциальным
Примеры: гравитационное поле; поле упругих сил
Если работа силы зависит от траектории, то силы называются
диссипативными
Поле таких сил – непотенциальное
Примеры: силы трения; силы вязкости; силы неупругой
деформации
При наличии диссипативных сил механическая энергия необратимо
превращается в другие виды, например, в тепловую
54
Закон сохранения механической энергии
При наличии диссипативных сил закон
сохранения (изменения) механической
энергии системы при её переходе из состояния
1 в состояние 2:
W1ìåõ .  W2 ìåõ .  A
 A ïðîòèâ
ïðîòèâ
äèññèïàòèâ íûõ
âíåøíèõ
ñèë
ñèë
В замкнутой системе механическая энергия
сохраняется, если
нет диссипативных сил, а есть только
консервативные
55
56
Связь между консервативной силой и потенциальной энергией
Система совершает работу за счёт уменьшения своей потенциальной
энергии:
dA  dWïîò .
Работа силы по определению:
 
dA  F  dr
Градиент – это вектор,
компоненты которого
равны производным
по соответствующим
координатам:
 
F  dr  dWïîò .

F   gradWïîò .
  
i  j  k 1
Wïîò .
Wïîò .  Wïîò .  Wïîò .  Fx  
x
gradWïîò . 
i 
j
k
x
y
z
57
58
Градиент показывает быстроту изменения величины в
пространстве, направлен в сторону наибольшего возрастания
величины

F   gradWïîò .
Wïîò .  Wïîò .  Wïîò . 
gradWïîò . 
i 
j
k
x
y
z
Сила направлена в сторону максимального убывания
потенциальной энергии
Пример:
одномерный
случай
dWïîò .
Fx  
dx
kx 2
Wïîò . 
2

dWïîò .
Fóïð .  
 kx
dx
59
60
Условие равновесия
В равновесном положении сила равна нулю
dWïîò .
F 0 
0
dx
Энергия экстремальна
W - min
W - max
dWïîò .
Fx  
dx
W убывает
Fx  0
W возрастает
Fx  0
При небольших отклонениях
от равновесия возникают
силы, возвращающие тело к
положению равновесия
При небольших отклонениях
от равновесия возникают
силы,
направленные
от
положению равновесия
61
62