2_01

2.1. Термодинамика
Матрица плотности. Микроканонический
ансамбль. Канонический ансамбль.
Большой канонический ансамбль.
Модели сильной связи
Матрица плотности
 Любое состояние системы можно разложить по базисным функциям
полного ортонормированного базиса:
 Среднее значение физической величины
 Матрица
плотности в
статистическая матрица:
энергетическом
представлении
или
 Диагональные элементы матрицы плотности имеют смысл вероятности
нахождения системы в соответствующем состоянии:
 Статистическая матрица в собственно-энергетическом представлении
2
диагональна
Микроканонический ансамбль
 Рассмотрим какую-либо замкнутую систему и выберем в качестве
базисных функций собственные функции этой системы
 Временная эволюция коэффициентов разложения:
 Временная зависимость статистической матрицы:
 В замкнутой системе диагональные элементы статистической матрицы
не зависят от времени:
 Микроканоническое распределение по энергии:
3
Канонический ансамбль
 Рассмотрим систему, которая является частью какой-либо большей
замкнутой системы – термостата,
термодинамическом равновесии
и
находится
с
 Статистический вес макроскопического состояния системы ΔQ:
 Энтропия:
 Второй закон термодинамики: в состоянии
термодинамического равновесия энтропия
имеет максимально возможное значение
 Температура:
 Каноническое распределение по энергии –
распределение Гиббса:
4
ней
в
Большой канонический ансамбль
 Между выделенной системой и термостатом, кроме выравнивания
температур, происходит также обмен частицами
 Химический потенциал – изменение энергии системы при изменении
числа частиц на единицу:
 Распределение Гиббса:
 Многие важные физические величины выражаются через статсумму:
 Теорема Нернста: при нулевой температуре энтропия равна нулю
5
Совокупность магнитных моментов
 Статистическая сумма системы:
 Энергия системы:
 Магнитный момент:
 Энтропия:
 Теплоемкость:
6
Совокупность магнитных моментов
E/N
0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
3
4
5
3
4
5
T
M/N
1
0.5
0
0
1
2
T
C/N
0.4
0.2
0
0
7
1
2
T
Модели сильной связи
 Невзаимодействующая ферми- или бозе-система:
 В общем случае:
 Для энергии и среднего числа частиц:
 Расчет экспоненты от оператора:
8
Модели сильной связи
 Бесспиновые фермионы на двух узлах:
 Базис системы состоит из четырех функций:
 Матрица статистического оператора:
 Гамильтониан сохраняет число частиц, поэтому матрица имеет блочно-
диагональный вид
 Задача в этом случае разбивается на три независимые задачи, каждая
9
из которых может быть решена отдельно
Модели сильной связи
2
1.8
1.6
1.4
N
1.2
T=0.1
T=0.5
T=1
T=2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
10
0
-8
-6
-4
-2
0

2
4
6
8
Модели сильной связи
 Одномерная модель Изинга:
 Статистическая сумма системы:
 Если в спектре системы основной уровень отделен от остальных
11
конечной энергетической щелью, то при низких температурах все
термодинамические величины будут иметь экспоненциальную
температурную зависимость: