Kozlitin

И.А. Козлитин
Микрополевая модель
квазинезависимых частиц
и неидеальная плазма
(по материалам кандидатской диссертации,
научный руководитель Н.Н. Калиткин)
План доклада
I. Введение
II. Модели плазменного микрополя
III. Обрезание статистических сумм
атомов и ионов
IV. Ионизационное равновесие
V. Модели неидеальной плазмы
VI. Основные результаты
2
Модели плазменного
микрополя
3
Традиционные модели микрополя
• Хольцмарк (1919 г.)

2E
E
3/ 2
p( E ) 
exp(

x
)
sin(
x ) xdx ,
2 
 E0 0
E0
E0  ( )
8 1 / 3
h
25
2
z R ,
zh  (  z j
3/ 2
x j )2 / 3 .
k, j
Для разреженной плазмы p(E) ~ E-5/2 при E → ∞.
Плотность энергии бесконечна < E2 > /(8π).
Учет корреляций частиц:
• Iglesias и другие (1985 г.) APEX и другие модели
• Голосной (2001 г.) MAPEX
• Модель простых гармонических осцилляторов (SHO)
p( E ) 
4

E
3
SHO
exp(  E / E
2
2
SHO
2
) E , E SHO
z  zz 
 2 2 0 
R  RT 
1/ 2
.
4
QUIP – модель
квазинезависимых частиц
Частицы плазмы независимы. Плотности
распределения поля от каждой частицы
одинаковы.
Центральная предельная теорема теории
вероятностей дает:
p( E x ) ~ exp(  E x2 / E02 ) - распределение Гаусса
4 3
2
2
2
p( E ) 
E0 exp(  E / E0 ) E - распределение

Максвелла
Плотность энергии  E 2  /(8)  3 E02 /(16)
5
Масштаб микрополя
Параметры частиц: z, m, R, T
Только комбинация z/R2 имеет размерность
напряженности электрического поля.
Только комбинация Г = z2/(RT) безразмерна.
Поэтому E0 = (z/R2) f(Г), где f – произвольная функция.
Для горячей разреженной плазмы f ()  c
Энергия прямого взаимодействия зарядов в
разреженной плазме 0.9z2/R. Приравняем <E2>V к
этой величине. Тогда c=(18/5)1/2.
Для плотной плазмы E0=(z/R2)(18/(5+9Г))1/2. Тогда
модель будет иметь предел SHO.
6
Эффективный заряд
Энергия взаимодействия зарядов для разреженной
частично ионизованной плазмы:
z 2j
9
E    x j , R j  R( z j / xe )1/ 3 .
10 j
Rj
Rj - радиус электронейтральной ячейки вокруг иона
заряда zj.

9 
E  
  xjzj 
10 R  j



   xjzj 
 j

1/ 6
1/ 3


9 2
5/ 3
zeff ,
  xjzj   
10 R
 j

1/ 2


5/3 
3/ 2 
zeff
zh    x j z j 
  xjzj 
 j

 j

1/ 2
2
zeff  5
zeff 
1 2 3
E   E 0 R , E 0  2  
.

4
R  18 2 RT 
2/ 3
.
7
Распределение плазменного микрополя при Г=200.
Линия – модель QUIP, точки – расчеты по Монте-Карло. 8
Противоречие традиционных моделей. Распределение микрополя при
больших Г спадает медленнее. Линии – модель APEX, точки – расчет
9
по Монте-Карло.
Зависимость f(Г). Линия – модель QUIP, маркеры
– традиционные модели.
10
Скорость убывания «хвоста» распределения. Верхняя
линия – модель QUIP, нижняя – модель Хольцмарка,
11
маркеры – различные модели.
Обрезание статистических
сумм атомов и ионов
12
Обрезание статистических сумм
Статистическая сумма атома или иона

G   g n* , g n*  g n exp( n / T )n ,
n 0
n - формфактор, осуществляющий обрезание.
Согласованное обрезание по среднему модельному
сдвигу потенциалов (МДХ, БДХ, ВГК...).
Условие сохранения n-ного уровня  n     .
Ступенчатый формфактор n . Возможна инверсия.
Обрезание плазменным микрополем.
n 
En

0
(   n ) 2
p( E )dE , En 
для z-1 кратного иона.
4z
13
Традиционные способы обрезания
1. По основному состоянию.
2. По среднему сдвигу потенциалов (БДХ, МДХ, ОКП…).
3. Уточненное дебаевское обрезание.
4. По точке поворота (методика Никифорова-Уварова).
5. По формуле Планка-Ларкина.
6. По температуре.
7. …
14
Обрезание плазменным микрополем
z
Потенциал: U    E  r.
r
1/ 2
Седловая точка: u*  2( zE ) .
Условие сохранения уровня:
   n  u* .
(   n ) 2
.
Критическое поле: En 
4z
Формфактор: n 
En
 p( E )dE .
Нет инверсии!
0
15
Часть спектра лазерной плазмы с линиями He-подобного
Ar+16 и H-подобного Ar+17.
16
Заселенность уровней Ar+16 с главным квантовым числом
n в экспериментах Рочестерского университета для
различных моделей.
17
Ионизационное равновесие
18
Обобщенные уравнения Саха
• Функционал свободной энергии
zi
F  Fe   xik Fik  F
i
k 0
• Уравнения Саха
  T ln(
Gi ,k 1 xik
Gik xi ,k 1
)   ik   ik   ik  0, 1  k  zi , 1  i  J ,
 

 
 ik  


 F ,
 x
 ik xi ,k 1 xe 
J zj
 


 ik  T  x jq 


j 1 q 1
 xik xi ,k 1 xe

 ln G jq .

19
Большой круг итераций
Начальная инициализация
xe, Gk, ∆φk, ∂φk
Решить уравнение
для определения xe
Нет
Да Проверить
xe'  xe  
Определить все xк
Определить новые
Gk, ∆φk, ∂φk
Конец
20
Уравнение на xe (малый круг итераций)
1





*
*
xe    p exp   f m ( xe )     exp   f m ( xe )   ,
p 1 
 m 1
  p1
 m 1

2

xe
t
*
f k ( xe )  ln Gk  ln Gk 1  I1/ 2 (
)  ( k   k   k ) / T .
3/ 2
T
2t V
n
p
n
p
Уравнение можно представить как F ( xe , G ,  ,  )  0.
Решение – дихотомия по xe при фиксированных G, ∆φ, δφ.
На самом деле G, ∆φ, δφ зависят от xe.Усовершенствование
алгоритма – введение зависимостей G(xe), ∆φ(xe), δφ(xe)
с использованием вектора псевдоконцентраций.
Получим F ( xe , G ( xe ),  ( xe ),  ( xe ))  0.
Решается методом дихотомии по xe.
21
Вектор псевдоконцентраций
( x0 , x1 .. xk ) - вектор концентраций нейтралов и ионов.
Gq  Gq ( x0 , x1 ... xk ),  q   q ( x0 , x1 .. xk ),  q   q ( x0 , x1 .. xk ).
Вектор концентраций формируется после вычисления xe.
Поэтому для вычисления Gq, ∆φq, δφq в процессе
вычисления xe требуется вектор псевдоконцентраций,
вычисляемый по вектору концентраций с предыдущей
большой итерации
1


x ( xe )  xi xe   mxm  , 1  i  k ;
 m 1

k
'
i
k
x ( xe )  1   xm' .
'
0
m 1
Gq ( xe )  Gq ( x0' , x1' ... xk' ),  q ( xe )   q ( x0' , x1' .. xk' ),
 q ( xe )   q ( x0' , x1' .. xk' ).
22
Расчет термодинамических функций
Расчет давления:
 F 
P  
  Pe  Pi  P   P ,

V

T
Pe 
2 2 5/ 2

t
I
,
3/ 2 

2
3
 t 
 F 
P   
,

 V  T
Pi 
T
,
V
J
zj
  ln G jq 
 .
 V  T
 P  T  x jq 
j 1 q 1
Расчет энергии:
 (F / T ) 
E  T 2 
 Ee  E i  E  E   E ,

 T V
Ee 

5/ 2
t
VI
3/ 2 
 , E i  1.5T ,
2
t
 
2
J
zj
q
E   x jq   js ,
j 1 q 1
s 1
J zj
  ln G jq 
  ( F / T ) 
2
E  T 
,

E

T
x

 .
jq 

T

V
j 1 q 1
 T V
2
23
Расчет термодинамических функций
Расчет энтропии:
z
 VGiq  M iT  3 / 2 
5 J j
 F 
Si   
  2   x jq ln  x  2    S i   S ,

T

V
 
j 1 q 1
 iq 
2 3/ 2  5
 F 
 
  
Se   

t
V
I

I
 S e ,
3/ 2 
1/ 2 





2
 t V 
 t  t
 t 
3
 F 
 F 
S i   
,

S


,
e



 T V
 t V
J
zj
  ln G jq 
 .
 T V
 S  T   x jq 
j 1 q 1
Значения

и

I3 / 2  
t 
рассчитываются по

I1/ 2  
 t 
с помощью специальных аппроксимаций. Таблицы
рассчитываются при фиксированной температуре от
24
меньшей плотности к большей.
Модели неидеальности
плазмы
25
Самосогласованные модели
неидеальности плазмы
1. Точное (!) соблюдение основных термодинамических
соотношений для модельных поправок.
2. Согласование способа обрезания статистических сумм
с поправками на неидеальность плазмы.
3. Модельные поправки строго выводится из выражения
для свободной энергии.
26
Предшествующие модели неидеальности
1.
Дебай в малом каноническом анасамбле (МДХ, Тиман).
2.
Дебай в большом каноническом ансамбле (БДХ, Ликальтер).
3.
Модель Планка-Ларкина.
4.
Ячеечная модель ОЭГ (Калиткин).
5.
Интерполяционная дебаевская модель (МКП, Калиткин).
6.
Модель мягкой щели (Норман).
7.
Микрополевая модель Волокитина-Голосного-Калиткина
8.
Микрополевая модель Калиткина-Павлова
9.
…
27
Микрополевые модели неидеальности
1.
Статистические суммы обрезаются плазменным
микрополем (первым предложил Севастьяненко,
1980).
2.
В выражение для свободной энергии вставляется
микрополевая поправка, согласованная со способом
обрезания статистических сумм.
3.
Поправки к термодинамическим функциям строго
выводятся дифференцированием выражения для
свободной энергии.
Развитие микрополевой модели неидеальности
Модель ВГК
Калиткин-Павлов
Модель QUIP
28
Модель неидеальности QUIP
1. Обрезание статистических сумм с помощью
микрополя QUIP.
2. Поправка к энергии, которая следует из этой модели
микрополя
1
z  10
z 
E     2
 .
R 9
RT 
3. Поправка к свободной энергии ∆F получается
интегрированием ∆E
2
h
2
h
2
z
T
9
F  T  E / T 2 dT   ln(1   ),   h .
2
5
RT
4. Поправки к остальным термодинамическим
функциям получаем дифференцированием ∆F.


29
Модель неидеальности QUIP
1. Поправка к давлению
F E
3 T 
9 
P  


1 

V
3V
10 V 
5 
1
2. Поправка к энтропии
S  E  F / T
3. Сдвиг потенциала


6 1/ 2 3 / 2
5
3/ 2
 k  
zh k  ( k  1)  1
5R
5  9Г
30
Поправки, связанные с обрезанием
статистических сумм
Em  '
Общая часть C  T  xm
E0 
m
20  27 C
1. Поправка к давлению  P 
30  54 V
3
E 
C
2. Поправка к энергии
10  18
1
E
T
10
k 3 / 2  ( k  1) 3 / 2  1
 k 
C
3/ 2
15  27
zh
3. Поправка к энтропии  S 
4. Сдвиг потенциала
31
32
Диапазон значений от 0.92 до 1.08
33
34
Диапазон значений от 0.95 до 1.44
35
Основные результаты
1. Построена модель плазменного микрополя по диапазону
применимости и качеству поведения превосходящая мировой
уровень. Модель описывается несложными формулами и
пригодна для проведения массовых расчетов.
2. Найдено точное выражение для обрезания статистических сумм
атомов и ионов.
3. Построена модель неидеальности плазмы, в которой
отсутствуют нефизичные эффекты, существовавшие в
предшествующих моделях.
4. Построен быстрый и надежный алгоритм расчета состава и
термодинамики плазмы. Создана его программная реализация.
36