PPT-3

Лекция 3
Кинетическая и магнитогидродинамическая
модели космической плазмы
f r, v, t 
n r, t    f r, v, t dv
V r, t   v

1

n
- плотность частиц
- средняя скорость


v
f
r
,
v
,
t
d
v


u  v  V - хаотическая скорость
m 2
1
T r, t  
u 
3
n
n m 2
m
p r, t  
u 
3
3
m
2
, t dv
 3 v  V  f r-, vтемпература
2


v

V
f r, v, t dv


-давление
Если столкновения в плазме отсутствуют

Df
f  f
f

 xi
 pi
0
Dt
t
xi
pi
При наличии столкновений
f
f F f
v

0
t
r m v
Df
0
Dt
f
f F f
v

 st
t
r m v
st    st 

При упругих столкновениях
 st dv  0
 m vst dv  0
m v 2
 2 st dv  0
 m vst dv   m vst  dv  0
m v 2
m v 2
 2 st dv   2 st  dv  0
Если на частицу плазмы не действуют силы неэлектрической
природы
1

F  e (E 
Масштаб усреднения
n
1 / 3
c
vB)
 l  rD
В состоянии термодинамического равновесия
2




n
m
v

V
0



f  f 
exp 

3/ 2
2T
2T / m 


Если температуры электронов и ионов одного порядка,
При столкновении легкой частицы с тяжелой
передается доля энергии порядка отношения их масс
1/ 2
 mi 
 ee :  ii :  ei ~ 1 :  
 me 
 mi 
:  
 me 
 mi
 ii ~ 
 me
 mi
 ei ~ 
 me
1
2

  ee


 ee


- приближение для интеграла столкновений

St   f  f
0

 ~  ei
При рассмотрении токов в полностью ионизованной плазме
Интеграл столкновений в форме Ландау :
St  
2e e
2 2
 
m

v
2
 v  v   v  v  


v

v
'







v 
 f v  f  v' f  v' f
  m v  m v 


  ln bmax bmin  - кулоновский логарифм
bmin ~ e 2 / v 2 m  e 2 / 3T



3

vv

 dv'
(отклонение частицы на угол порядка /2)
b max  rD (при больших скоростях bmax  rD e 2 v )
Влиянием магнитного поля на процесс рассеяния можно пренебречь, когда
ln  B  p   

f
f F f
v

 st
t
r m v
divE  4e
divB  0
1 B
rotE  
c t
1 E 4
rotB 

j
c t
c
E  E  E ex , B  B  B ex
Если
0 1  t   , то
Если
t   01 ,
Если
t 
(уравнение
f 
f  e 
1
 f  
v

  0 Власова)
 E  vB
t
r m 
c

v


то следует учитывать многочастичные корреляции .
- магнитогидродинамическое описание плазмы.
Дрейфовое кинетическое уравнение
  vT  rL
B  1
(критерий замагниченности)
f r, vII ,  
- функции распределения центров
ларморовских кружков в
пятимерном фазовом пространстве
f
FII f
 div r u d f  
 St
t
m vII
FII  eE  Bh
jd  enu d
u d  Vd  v II
j diam  crotnμ  crot  μfdv
Уравнения переноса
v  , v  , v 
0
1
2

f
f  F  f 

v
 
  st
t
r  m  v 
Уравнение непрерывности
f

n
 t dv  t  fdv  t
F f
F
 m v dv  m f
v 
v
f


nv 
dv 
v
fd
v


r
r
r
1

F Fi
 
e
vBi   0


eE

F dv  0 т.к
 f
 i
v vi vi 
c
m
v

n
 div nV   Stdv
t
=mn
ρ
 div ( V )  0
t
e=en
ρe
 div j  0
t
j  enV
Уравнение движения



mnV j    mn vi v j  n  Fi v j    mv j Stdv.
t
xi
vi
vi v j  u i  Vi u j  V j   u i u j  ViV j ,
mn
V j
t
 mn
n
 mV j
V j
t
V j
nVi
n 

mn u i u j  mV j
 mn
Vi 
t xi
xi
xi
 mnVi

V j
xi





mn u i u j ,
xi

Fi v j   n Fi v j  n Fi ij  n F j  en E  1 VB
vi
vi
c

j
Pij  mn u i u j  p ij   ij ; R j   mv j Stdv;
d



  Vi
  V ,
dt t
xi t
1


mndV / dt  mnV t  V  V   P  en E  VB   R
c


dV
1



   p  en E  VB   R,
dt
c


При изотропии хаотических скоростей =0.
В случае упругих столкновений, т.к.
R   0,
 - приближение
R   mvStdv,
R    R 
R   R  .
R    n m V  V    .

Уравнение переноса энергии
2


mv
n
 u 2  2u iV j  V 2 .
2
2
2
  nm u
nmV 2  




t
2
2
xi



f
f  F  f 

v
 
  st
t
r  m  v 

mv2
 n vi

2

 n
  mv2 
mv2



 m Fi v  2    2 Stdv.

i 

 n Fv  enEV

xi
 nmV 2 nm u 2
2
mu



Vi  nm u i u j V j  n u i
2
2
 2

mu 2
qn u
2
Q  RV
2

    nmV  3 p V  P V  q 
ij j
i
 i
 xi  2
2




- плотность потока тепла
mu 2
Q
Stdv
2
- выделение тепла за счет столкновений с
остальными частицами
  nmV 2 3  

 p  
t  2
2  xi
 nmV 2 3 

 p V j  PijV j  qi   enEiVi  RiVi  Q

2 
 2

 nmV 2 5 

  nmV 2 3 

 p    
 p V  V  q   enEV  RV  Q.
t  2
2 
2 
 2

В случае упругих соударений
Q  Q  R  V  R  V  0
Уравнение баланса тепла
3 nT
3

 div  nTV   nTdiv V   V  div q  0
2 t
2

Уравнение для температуры
3  dT 
n
  Q  nTdiv V   V  div q
2  dt 
Энтропия, приходящаяся на одну частицу

S  ln T
3/ 2


/ n  ln p
3/ 2
/n
5/ 2

 nS

T
 div nSV   div q   V  Q
 t

Связь ij, q, R, Q с n, V, Т можно найти либо
феноменологически, либо методами кинетики.
f  t , f , V   f 0  f 1  ,
n V T
1
,
,
 ,
n
V
T
l
vω 

B
f 0
 St
v
f 1  f 0
1 n 1 V 1 T
1
,
,

n t V t T t

Решение линейного интегродифференциального
уравнение в пространстве скоростей для
f 1
будет линейно зависеть от пространственных
производных n , V , T



Двухжидкостная магнитная
гидродинамика
ne , ni , Ve , Vi , Te , Ti , pe , pi , ( pe  ne , Te , pi  ni Ti ).
ne
 ne Ve   0,
t
ni
 ni Vi   0,
t
 V

me ne  e  Ve  Ve    e  pe  ene E  Ve B c   R,
 t

 V

mi ni  i  Vi  Vi    i  pi  eni E  Vi B c   R,
 t

3
n e Te t  Ve Te   Qe  pe div Ve   e Ve  div q e ,
2
3
n i Ti t  Vi  Ti   Qi  pi div Vi   i  Vi  div q i ,
2
rotE  
div B  0,
4
rotB 
eni Vi  ne Ve ,
c
где
R   me vSt ei dv,
 ekl  me ne uk ul
E
1 B
,
c t
div E  4eni  ne ,
me u 2
q e  ne u
2
;
e
e
 pe kl ,
 ikl  mi ni uk ul i  pi kl ,
mi u 2
q i  ni u
2
me
2
Qe   v  Ve  St ei dv e ,
2
Qi  
i
mi
v  Vi 2 Stie dv i .
2
Током смещения можно пренебречь, если B/L>>E/ct
или B>>VE/c . E/L~B/ct т.е. ~VB/c.
Током смещения можно пренебречь, если
v  c
2
2
Одножидкостная магнитная
гидродинамика
плотность массы
   m n

гидродинамическая скорость
 / t  div V  0
 q   e n j   e n V

ni  n e  n
div j  0
Не вошло
1

m n V


 q / t  div j  0

 q  e( ni  n e )
V
j   q Vi  ene Vi  Ve 
 q  e(ni  ne )  ene
j  en(Vi  Ve )
1 B
rotE  
c t
div E  4e
4
rotB 
j
c
div B  0
Уравнение движения в одножидкостном пределе
 kl

 Vk   
 Fk
t
xl
kl   vk vl   kl   kl P   Vk  Vl


Vk     ekl   ikl   Fek  Fik
t
xl



Vk    Vk  Vk  Vl     Vk  Vl Vk    VkVl 
t
t
xl
xl  xl
 t
 Vk
V 

 ekl   ikl  VkVl   Fek  Fil
 Vl k   
xl 
xl
 t
 
 ekl   ikl  Vk Vl   ekl   ikl   kl  p e  pi    eVek Vel   iVikVil 

1
 eVek   iVik  eVel   iVil    ekl   ikl   kl  pe  pi  
e  i
e i
Vik  Vek Vil  Vel    kl   kl  pe  pi 


e i
me mi 1
Vik  Vek Vil  Vel  
j k jl
2

me  mi ne
1
1
Fe  Fi  eni  ne E  eni Vi  ene Ve B   q E  jB 
c
c
dV
1

 p  jB   F
dt
c
p  p e  pi
- полное давление
В F входят вязкость, электрические силы (и могут входить другие
силы не электрической природы)
Тензор максвелловских натяжений

E 2  B2 
 Bi B j  Ei E j   ij

2


Tij 1   c
1
jB i   q Ei 
EB i 
 2 
c
xij c t  4

1
Tij  TijB  TijE 
4
c
EB 
4
- вектор Умова-Пойнтинга
В приближении одножидкостной магнитной гидродинамики
рассматриваются большие масштабы и малые скорости или низкие
частоты процессов. Плазма в этих условиях почти квазинейтральна и
изотропна. Поэтому можно пренебречь вязкостью и величинами ~V2
V
1

 p  jB 
t
c
Условия, при которых можно пользоваться
(1)
 q  en
enE ~ p
 q ~ E / 4L
r  L
1
jB
c
j ~ cV / B
 e / t ~  e ~ E / 4L  div j
если
V
1
 p  jB 
t
c
E ~ T / eL
2
D
 q / en ~ rD2 / L2
(2) E~VB/с  V ~

 VB BL
1 B2
 2
 1
4L c cV c 4
2
div j ~ c V / BL
VA 
B
4 2
V  c
2
A
1
2
Уравнение переноса энергии
2

  V2 5 

    V 3 




P



P
V


V

q

 

 
  
 
     e n EV  R  V  Q 
2 
2 
 
 2
 
 t  2
 
me  mi
  i
V  Vi
 eVe2 / 2   iVi 2 / 2   iVi 2 / 2  V 2 / 2
 eVe2 Ve / 2   iVi 2 Vi / 2  V 2 V / 2
При, Te ~ Ti вязкость ионов всегда гораздо больше, чем
электронов, поэтому вязкость плазмы целиком определяется
ионами.
 i Vi   e Ve   i Vi  V
 R V  Q  0
 V 2 5

  V 2 3 
5

 p    V
  pe  pi V  pe Ve  Vi   q e  q i  V   jE
t  2
2 
2
2
2


q  qe  qi 
5 pe
j
2 en
 V 2 5 

  V 2 3 

 p    
 p V  V  q   jE
t  2
2 
2 
 2

Уравнение баланса тепла
 3 p 3







p
V

p

V



V


q

Q
  2 t 2    

0

3 p 3
3 p 
 j 
  pV    e j   pV  pe     V  q e  q i   Qe  Qi  0
2 t 2
2  ne 
 ne 
3 p 3
j
  pV   pV  q  p e   V  Qe  Qi
2 t 2
en


Qe  Qi  R Vi  Ve   j 2 / ne 2 ei / me  j 2 / 
3 dp 5
j
 VV  q  pe   V 
2 dt 2
en
1
1 d

V     V    
  t
 dt

  ne  ei / me
2
j2

3 dp 5 p dp 3 d  p 

 p ln 5 
2 dt 2  dt 2 dt   3 
3d
p 
j
j2
 ln 5   q   V  pe 
2 dt   3 
en

Закон сохранения полной энергии
 
 div q  0
t
 B2
 c

  EB   Ej
t 8
 4

2
1
3
B
   V 2  p 
2
2
8
5 
c
1
EB 
q    V 2  p V  V  q 
2 
4
2
Если времена диссипативных процессов велики по сравнения
с обратными величинами частот движений
p 
5/ 3
Уравнение баланса энтропии при
 const
Ti  Te  T
S e j qe  qi 
S

 SV 

 
t
en
T


 T 3/ 2
S  Se  Si  ne ln 
 ne
  T 1  q e  q i  ln T  Qe  Qi 
- рождение энтропии,

 T 3/ 2 
  ni ln 
 - энтропия единицы объема

 ni  плазмы.