C 2

СИММЕТРИЯ МОЛЕКУЛ И КРИСТАЛЛОВ
1. Преобразования симметрии.
2. Группы симметрии, подгруппы.
3. Классификация групп симметрии.
4. Элементы симметрии кристалла.
5. Сингонии и кристаллические классы.
1
Симметрия молекул
Точечные группы
2
3
Молекула уксусной кислоты CH3OOH s
4
Диацетил (диметилглиоксаль) C4H6O2 C2
5
Тригидроксихинолин аллюминия C3
6
Циклен C4
7
Зеркально-поворотная ось: Sn = Cn∙sh
Инверсия: I = S2
1 0 0


E   0 1 0
0 0 1


 0 1 0


C2 ( z)   1 0 0 
0 0 1


1 0 0 


s h (z )   0 1 0 
 0 0  1


 1 0 0 


I   0 1 0 
 0 0  1


8
Этан S2
9
Метан CH4 : S4
S4
S4
S4
10
Молекула воды H2O: C2 s1 s2
1 0 0


E   0 1 0
0 0 1


 0 1 0


C2 ( z)   1 0 0 
0 0 1


1 0 0 


s1 ( z)   0 1 0 
 0 0  1


 1 0 0 


I   0 1 0 
 0 0  1


11
C2v
Таблица умножения в группе
E
C2
sv1
sv2
E
E
C2
sv1
sv2
C2
C2
E
sv2
sv1
sv1
sv1
sv2
E
C2
sv2
sv2
sv1
C2
E
12
Молекула гидразина N2H4: C2 sh I
 0 1 0


C2 ( z)   1 0 0 
0 0 1


1 0 0 


s h (z )   0 1 0 
 0 0  1


 1 0 0 


I   0 1 0 
 0 0  1


z
1 0 0


E   0 1 0
0 0 1


13
Таблица умножения в группе
E
C2
sh
I
E
E
C2
sh
I
C2
C2
E
I
sh
sh
sh
I
E
C2
I
I
sh
C2
E
C2h
14
Группа
C3v
s 1C 3  s 2
C3s 1  s 3
15
Группы Cn , Cnv и Cnh
Группы Dn и Dnh :
Dn  Cn  nC2
Dnh  Dn  s h
16
Группы тетраэдра
T: E, 4C3, 4C32, 3C2
Th: E, 4C3, 4C32, 3C2
I, 4S6, 4S6-1, 3sh
Td: E, 4C3, 4C32, 3C2
3S4, 3S4-1, 6sv
17
Группы куба
O: E, 4C3, 4C32, 3C4, 3C4-1, 9C2
Oh: E, 4C3, 4C32, 3C4, 3C4-1, 9C2
I, 4S6, 4S6-1, 4S4, 4S4-1, 9s
18
Симметрия кристаллов:
трансляция - параллельный перенос на вектор
l  l1a1  l2a 2  l3a3
Вопрос: какие операции точечной симметрии
совместимы с трансляционной симметрией?
Ответ:
I s
C2
C 3 C4
C6
19
СИНГОНИЯ
Симметрия решетки
Тип
решетки
1.Триклинная
2.Моноклинная
3.Орторомбическая
4.Тетрагональная
Ci
C2h
D2h
D4h
1
2/m
mmm
4/mmm
P
P,C
P,C,F,I
P,I
5.Тригональная
6.Гексагональная
7.Кубическая
D3d
D6h
Oh
3m
6/mmm
m3m
P
P
P,I,F
20
Триклинная
Ci
Моноклинная
C2h
Орторомбическая
D2h
Тетрагональная
D4h
P
C
B
F
21
5.Тригональная
D3d
6.Гексагональная
D6h
7.Кубическая
Oh
P
B
F
22
Зачем изучать симметрию кристаллов?
А. Описание кристаллической структуры
B. Классификация состояний (электронных, фононных) и
переходов между ними (спектров)
С. Определение вида тензорных характеристик
23
Кристаллическая структура:
1. Решетка Браве: a, b, c
2. Базис: список атомов и их позиций в ячейке
Симметрия кристалла:
1 Сингония - кристаллическая система (7 типов)
2 Тип решетки Браве (P, A, B, C, I, F - 14 типов)
3 Кристаллическая система (32 типа)
4 Типы частичных трансляций
230 пространственных групп
24
Кристаллические классы
Сингония
Точечные группы
Пр.
группы
триклинная
Ci
моноклинная
C2h Cs
орторомбич.
D2h C2v D2
тетрагональная
D4h D2d C4v D4
тригональная
D3d C3v D3
гескагональная
D6h D3h C6v D6
C6h C3h C6 168-194
кубическая
Oh
T
C1
Td
1-2
C2
O
3-15
16-74
C4h S4
C3i C3
Th
C4 75-142
143-167
195-230
25
Сингония
Триклинная
Моноклинная
Орторомбическая
Точечная группа
международная сист
(Германн-Моген)
Шёнфлис
1
C1
1
Ci
2
C2
m
Cs
2/m
C2h
222
D2
mm2
C2v
mmm
D2h
26
Винтовые оси
27
Плоскости скольжения
28
Пример: InN, вюрцитная модификация
P 63 m c
a = 3.54 Å, c = 5.71 Å (Z=2)
In ⅔, ⅓, 0.877
N ⅓, ⅔,
0.
29
P 63 m c: C6v\4, N 186
Операции пространственной группы
1 E
x
y
z
2 C6
x-y,
x,
z+½
3 C3
-y
x-y
z
4 C2
-x,
-y,
z+½
5 -C3
-x+y
-x
z
6 -C6
y,
-x+y,
z+½
7 Ma
-x+y
-y
z
8 M21
-y
-x+y
z
9 M+
-y
-x
z
10 M12
x-y,
-y,
z+½
11 Mb
x,
x-y,
z+½
12 M-
y,
x,
z+½
30
Размножение атомов
x
y
z
E
C6
C3
C2
-C3
-C6
Ma
M21
M+
M12
Mb
M-
In1
⅔,
⅓,
0.877
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
In2
⅓,
⅔,
0.377
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
N1
⅓,
⅔,
0
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
N2
⅔,
⅓,
0.5
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
31
1
4
2
3
2,3
1,4
32
Ceolite
Symmetry group F m -3 c (Oh\6, N = 226)
a = 24.555 Å
x
y
z
n
Si
0
.0932
.1850
24
Al
0
.1872
.0904
24
O1
0
.1137
.2466
24
O2
0
.1446
.1459
24
O3
.0538
.0587
.1715
48
Na
.0996
.0996
.0996
16
33
34
B. Классификация состояний
Состояние – вектор, свойство – матрица
Собственный вектор гамильтониана – стационарное
состояние
H ( R) ( R)   ( R)
35
S – преобразование симметрии
Инвариантность H к преобразованиям S
H ( SR )  H ( R )
S ( R)   ( SR)  S ( R)
H ( R)S ( R)  S ( R)
Невырожденное состояние
S  c(S )
c(S )  1  c(S )  1
Вырожденное состояние
 1 
 S1 
 2   C ( S ) 2 
 
 
 S
 
Следствие 1: правила отбора
Следствие 2: разбиение векового уравнения на блоки
36
Уравнение для ядерной подсистемы:
D( R)u ( R)  u ( R)
Собственные числа
i   i2
Собственные векторы
ui (R)
- частоты колебаний
- формы
нормальных колебаний.
37
Пример: молекула AX4
Таблица умножения группы C4v.
E C41 C43 C42
C43 E C42 C41
C41 C42 E C43
C42 C43 C41 E
sx sd1 sd2 sy
sy sd2 sd1 sx
sd1 sy sx sd2
sd2 sx sy sd1
sx
sd1
sd2
sy
sy
sd2
sd1
sx
sd1 sd2
sy sx
sx sy
sd2 sd1
E
C42
C43
C41
C42
E
C41
C43
C41 C43
C43 C41
E C42
C42 E
38
Неприводимые представления группы C4v
Представле
ние
E
C4 1
C4 2
C4 3
sx
sy
sd1
sd2
A1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
A2
+1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
B1
+1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
-1
B2
+1
-1
+1
-1
-1
-1
+1
+1
-1 0
0 -1
0 1
-1 0
-1 0
0 1
1 0
0 -1
0 1
1 0
0 -1
-1 0
E
10
01
0 -1
1 0
39