Метод рационализации при решении показательных неравенств

Муниципальное образовательное учреждение
Пильнинская средняя общеобразовательная школа №1 имени М. Горького
ПРОЕКТ
на тему:
« Метод рационализации при решении
показательных неравенств »
Выполнил: учащийся 10 класса
Фадеев Антон
Проверил: учитель математики
Оловянова Е.А.
р.п. Пильна
2015г.
Введение:
Метод, о котором пойдет речь, позволяет заменять неравенства,
составленные из подчас сложных выражений, на более простые
рациональные неравенства, которые уже можно решать методом
интервалов. Ограничение состоит лишь в том, что у нас должны
быть
монотонные
функции.
В
частности
показательные
неравенства мы научимся решать довольно коротко, насколько это,
разумеется, вообще возможно. В этом проекте мы рассмотрим
примеры
сведения
показательных
неравенств,
у
которых
основание, степень – многочлены. Оказывается, такие неравенства
эффективно сводятся к дробно-рациональным или рациональным,
причем (что важно, например, на ЕГЭ) полученные решения будут
более компактными по сравнению с традиционными.
Содержание:
стр.
1. Введение 3
2. Теоретическая часть - 4 – 6
3. Практическая часть - 7 – 12
4. Вывод 13
5. Литература 14
Теоретическая часть
Теорема .
Показательное неравенство
a ( x) f ( x )  a ( x) g ( x )
равносильно следующей системе неравенств:
a( x)  0,

a( x)  1,
(a( x)  1)( f ( x)  g ( x))  0.

Доказательство
0  a( x)  1 то первый множитель третьего
Если
неравенства будет отрицателен. При сокращении на него
придется изменить знак неравенства на
противоположный, тогда получится неравенство
f ( x)  g (. x)
Если a ( x)  1 , то первый множитель третьего
неравенства положителен, сокращаем его без изменения
знака неравенства, получаем неравенство f ( x)  g ( x)
Практическая часть
Пример1.
Решим неравенство
( x  x  2)
2
( 2 x 2  x 1)
 ( x  x  2)
2
( 9 x 2 )
.
Решение.
Составим систему неравенств, аналогичную системе (4) из
теоремы 2:
 x 2  x  2  0,
 2
 x  x  2  1,
(( x 2  x  2)  1)(( 2 x 2  x  1)  (9  x 2 ))  0.

Решив два первых неравенства, найдем ОДЗ исходного
показательного неравенства:
 x  1 или x  2,


1  13
x

.

2

Откуда ОДЗ:
x  (,
.
1  13
1  13
1  13
1  13
)(
,1)  (2,
)(
,)
2
2
2
2
Далее рассмотрим основное неравенство
(( x 2  x  2)  1)(( 2 x 2  x  1)  (9  x 2 ))  0 , которое
упрощается к виду:
( x 2  x  3)(3x 2  x  10)  0 .
Корни первого множителя этого неравенства мы нашли
ранее: x1, 2 
x3, 4
1  121

,
6
Теперь
1  13
2 . Корни второго множителя равны:
5
x3   ,
3
перед
упорядочения
x4  2 .
нами
корней.
x3  x1  x4  x2 .
встала
Так
нетривиальная
как
Применив
задача
3  13  4 ,
метод
то
интервалов,
получим следующее решение основного неравенства:
5
1  13
1  13
x  (, )  (
,2)  (
,) .
3
2
2
Учитывая найденную ранее ОДЗ, получаем окончательный
ответ:
5
1  13
1  13
x  (, )  (
,1)  (
,) .
3
2
2
Пример2
Пример 3: Решим неравенство
2 −x−2
(x + 1)x
2 −x−2
(x + 1)x
>1
> (x + 1)0
Применим МЗМ:
𝑎(𝑥 )𝑓(𝑥) > 𝑎(𝑥 )𝑔(𝑥) ⇔ {
𝑎(𝑥 ) > 0,
(𝑎(𝑥 ) − 1)(𝑓 (𝑥 ) − 𝑔(𝑥 )) > 0,
x + 1 > 0,
{
(𝑥 + 1 − 1)(𝑥 2 − 𝑥 − 2) > 0,
x > −1,
{
𝑥(𝑥 2 − 𝑥 − 2) > 0,
x > −1,
{
𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) > 0,
Ответ: (−1; 0) ∪ (2; +∞)
Пример 4: Решим неравенство
2 −11x+28
(x − 5)x
2 −11x+28
(x − 5)x
≥1
≥ (x − 5)0
Применим МЗМ:
𝑎(𝑥
) 𝑓 (𝑥 )
> 𝑎(𝑥
) 𝑔 (𝑥 )
𝑎(𝑥 ) > 0,
⇔ {
(𝑎(𝑥 ) − 1)(𝑓 (𝑥 ) − 𝑔(𝑥 )) > 0,
(𝑥 − 5 − 1)(𝑥 2 − 11𝑥 + 28) ≥ 0,
{
x − 5 > 0,
(𝑥 − 6)(𝑥 2 − 11𝑥 + 28) ≥ 0,
{
x > 5,
(𝑥 − 6)(𝑥 − 7)(𝑥 − 4) ≥ 0,
{
x > 5,
Ответ: (5; 6] ∪ [7; +∞)
Пример 5
Решим неравенство
Запишем неравенство в виде
.
Показательная функция
возрастает (3>1). Поэтому
данное неравенство равносильно неравенству
.
Откуда
. Решив квадратное неравенство,
получим –1<x<2. Ответ: (–1;2).
Пример 6: Решить неравенство
3x2 −x
2x 2
( 4
)
x +1
3x2 −x
2x 2
( 4
)
x +1
−x−1
x4 + 1
>(
)
2x 2
x+1
2x 2
>( 4
)
x +1
Применим свойство:
𝑎(𝑥) > 0,
𝑎(𝑥)𝑓(𝑥) > 𝑎(𝑥)𝑔(𝑥) ⇔ {
(𝑎(𝑥) − 1)(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) > 0,
2x 2
− 1) (3x 2 − x − x − 1) > 0,
( 4
x +1
2x 2
> 0,
x4 + 1
{
2x 2 − x 4 − 1
(
) (3x 2 − 2x − 1) > 0,
{
x4 + 1
x ≠ 0,
(x 4 − 2x 2 + 1)(3x 2 − 2x − 1) < 0,
{
x ≠ 0,
(x 2 − 1)2 (3x 2 − 2x − 1) < 0,
{
x ≠ 0,
1
2
2 (x
3(x
−
1)
−
1)
+
(x
) < 0,
{
3
x ≠ 0,
-1
+
1
Ответ: (− ; 0) ∪ (0; 1)
3
0
-
+
1
x
Для самостоятельного решения:
1. ( x  3) x
2
3x 4
2. ( x  1) x 3
 ( x  3)5 x
x 4
 ( x  1) x 1
3. ( x 2  1) x  3  ( x 2  1)2 x  4
4. (𝑥 2 + 𝑥 + 1)𝑥 ≤ 1
Вывод
В 2016г. нам предстоит сдавать ЕГЭ , потому
актуальность данного проекта очевидна.
Использование данного метода не только упрощает
решение, но и сокращает количество ошибок при
решении показательных неравенств по переменному
основанию.
Задание развернутого решения из второй части ЕГЭ
достаточно сложные , потому применение метода
рационализации при решении показательных
неравенств – это огромная находка.
Литература
1. Колесникова, С.И. Математика. Интенсивный курс
подготовки к ЕГЭ. Айрис- пресс 2014г.
2. Прокофьев, А.А., Корянов, А.Г. Математика ЕГЭ 2013,
2014 Системы неравенств с одной переменной.
3. Материалы ЕГЭ 2013, 2014,2015 г