Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращение твердого тела вокруг
неподвижной оси
Момент инерции материальной
точки
Момент инерции системы
материальных точек
Момент инерции твердого тела
Момент импульса твердого тела
относительно неподвижной оси
Рассчитаем
момент импульса
тела относительно оси,
представив тело как
L
систему материальных точек.

Ri
mi
 ri

i
Момент импульса твердого тела
относительно неподвижной оси
Lzi  Li cos   Li sin  ;
Lz   Liz   mii ri sin  ;
i
Ri
i
Lz   mii Ri   mi Ri 2z ;
i
i
Lz  I  z .
mi
 ri
L

i
Момент инерции

Момент инерции материальной точки
I  mR .
2

Момент инерции системы материальных точек
I   mi Ri .
2

i
Момент инерции твердого тела
I   r dm    r dV .
2
m
2
V
Теорема Штейнера

Момент инерции относительно произвольной оси
равен моменту инерции относительно оси,
параллельной данной и проходящей через центр
инерции тела, плюс произведение массы тела на
квадрат расстояния между осями
I  Ic  ma .
2
Уравнение динамики вращательного
движения


Основное уравнение динамики вращения твердого
тела с неподвижной осью вращения легко
получить, как следствие, если
продифференцировать по времени уравнение
тогда
Lz  I  z ,
d z
I
 M z , I z  M z.
dt
Физический смысл момента инерции
Из уравнения динамики, в частности,
видно, что момент инерции определяет
инерционные свойства твердого тела при
вращении: при одном и том же значении
момента сил тело с большим моментом
инерции приобретает меньшее угловое
ускорение.
Кинетическая энергия
вращающегося тела

Рассмотрим тело как систему материальных точек
mii 2
Ek  Eki 

2
i
i
mi 2 Ri 2 I  2

.

i


2
2
Работа внешних сил при вращении
твердого тела

При вращении твердого тела вокруг неподвижной
оси работа внешних сил идет на приращение его
кинетической энергии
2
A  dEk ;
I
A  d (
)  I  z d z ;
d 2
Idz  M z dt , z 
A  M z d .
dt
.

A   M z d .
0
Момент инерции стержня
z
l
2
z
dr
1 2
I  ml .
12
r
1 2
I  ml .
3
Момент инерции диска
Для расчета момента инерции диск разбивается на кольца.
1
2
I  mR .
2
Момент инерции шара
z
2
2
I  mR .
5
C
0
r
R
dz
Момент инерции шара

Разобьем шар на диски и выберем произвольный
диск. z
C
0
r
R
dz
1
1
2
I  dmr   r 2 dzr 2 ;
2
2
1
I   r 4 dz.
2
Момент инерции шара

Перейдем к одной переменной
z
C
0
r
dz
R
R
r 2  R2  z 2 .
1
8
4
2 2
4
I     R  2 R z  z dz   R5 .
2
15
R
Момент инерции шара

Учтем, что


m
4 R
3
3
.
Окончательно получим
2
2
I  mR .
5
Плоское движение

Плоским называется движение, при
котором все точки тела описывают
траектории в параллельных плоскостях
(качение цилиндра). При этом тело
участвует в двух движениях:
поступательном и вращательном.
Плоское движение

Динамические уравнения для плоского движения:
d
m
 F.
dt
d z
I
 M z.
dt
Скорость и кинетическая энергия
при плоском движении
  c  , r .
mc
I c
Ek 

.
2
2
2
2