3.Постройте окружность данного радиуса R, которая проходит

Муниципальное казенное учреждение
«Управление образования Администрации МО «Баргузинский район»
МБОУ «Баргузинская средняя общеобразовательная школа»
671610, РБ, с .Баргузин, ул.Калинина 51 А; тел.:(30131)41540, 41454; факс (30131)41540
Задачи
на
построение.
1
Пособие создано учеником 8 класса Кузнецовым Андреем в рамках Научно
исследовательской конференции «Шаг в будущее», и предназначено для обучающихся
средней общеобразовательной школы, увлекающихся геометрией.
С.Баргузин , 2015 г.
2
Задачи на построение являются традиционными задачами в курсе геометрии.
Разработкой методов решения этих задач математики занимаются ещё со времён
Древней Греции. Математики школы Пифагора (VI в. до н. э.) решили довольно сложную
задачу построения правильного пятиугольника. В течение многих веков учёные проявляли
живейший интерес к задачам на построение. Интерес к этим задачам обусловлен не
только их красотой и оригинальностью методов решения, но и большой практической
ценностью. Проектирование строительства, архитектура, конструирование различной
техники основаны на геометрических построениях. Задачи на построение могут
способствовать пониманию учащимися происхождения различных геометрических
фигур, возможности их преобразования – всё это является важной предпосылкой
развития пространственного мышления школьников. Они сильно развивают логическое
мышление, геометрическую интуицию, а также такие качества личности, как внимание,
настойчивость и целеустремленность, инициативу, изобретательность,
дисциплинированность, трудолюбие. Задачи на построения не просты. Не существует
единого алгоритма для решения таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и
каждая требует индивидуального подхода для решения.
Из истории геометрических построений циркулем и линейкой.
Традиционное ограничение орудий геометрических построений восходит к глубокой
древности. В своей книге "Начала" Евклид (III век до н. э.) строго придерживается
геометрических построений, выполняемых циркулем и линейкой, хотя названий
инструментов он нигде не упоминает. Ограничения, по-видимому, были связаны с тем,
что эти инструменты заменили собой веревку, первоначально служившую как для
проведения прямых, так и для описания окружностей. Но многие историки математики
объясняют произведенный Евклидом отбор материала тем, что он, следуя Платону и
пифагорейцам, считал только прямую и круг "совершенными" линиями.
Искусство построения геометрических фигур было в высокой степени развито в
Древней Греции. Древнегреческие математики еще 3000 лет назад проводили свои
построения с помощью двух приборов: гладкой дощечки с ровным краем (это линейка) и
двух заостренных палок, связанных на одном конце (это циркуль). Однако этих
простейших инструментов оказалось достаточно для выполнения огромного множества
различных построений. Древним грекам даже казалось, что любое разумное построение
3
можно совершить этими инструментами, пока они не столкнулись с тремя знаменитыми
впоследствии задачами.
Они издавна преобразовывали любую прямолинейную фигуру с помощью циркуля и
линейки в произвольную прямолинейную фигуру, равновеликую ей. В частности, всякая
прямолинейная фигура преобразовывалась в равновеликий ей квадрат. Поэтому понятно,
что появилась мысль обобщить эту задачу: построить с помощью циркуля и линейки
такой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Это задача
получила название квадратуры круга. Следы этой задачи можно усмотреть еще в
древнегреческих и вавилонских памятниках второго тысячелетия до н.э. Однако ее
непосредственная постановка встречается в греческих сочинениях V века до н.э.
Еще две задачи древности привлекали внимание выдающихся ученых на
протяжении многих веков. Это задача об удвоении куба. Она состоит в построении
циркулем и линейкой куба, имеющего объем вдвое больший, чем объем данного куба. Ее
появление связывают с легендой, что на острове Делос в Эгейском море оракул, чтобы
избавить жителей от эпидемии чумы, повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. И
третья задача трисекции угла о делении угла на три равные части с помощью циркуля и
линейки.
Эти три задачи, так называемые 3 знаменитые классические задачи древности
привлекали внимание выдающихся математиков на протяжении двух тысячелетий. И
лишь в середине XIX века была доказана их неразрешимость, то есть невозможность
указанных построений лишь с использованием только циркуля и линейки. В математике
это были первые результаты о неразрешимости задач, когда средства решения указаны.
Они были получены средствами не геометрии, а алгебры (с помощью перевода этих задач
на язык уравнений), что еще раз подчеркнуло единство математики. Не поддаваясь
решению, эти проблемы обогатили математику значительными результатами, привели к
созданию новых направлений математической мысли.
Еще одной интереснейшей задачей на построение с помощью циркуля и линейки
является задача построения правильного многоугольника с заданным числом сторон.
Древние греки умели строить правильный треугольник, квадрат, правильные
пятиугольник и 15-угольник, а также все многоугольники, которые получаются из них
путем удвоения сторон, и только их. Лишь в 1801 году великий немецкий математик
К.Ф.Гаусс открыл способ построения правильного 17-угольника при помощи циркуля и
линейки и указал все значения N, при которых возможно построение правильного N4
угольника указанными средствами. Таким образом, была доказана невозможность
построения с помощью циркуля и линейки правильных 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23 и т.д.
угольников. Теория построения при помощи циркуля и линейки получила свое
дальнейшее развитие. Был получен ответ на вопрос: можно ли решить задачу с помощью
только одного из двух рассматриваемых инструментов, и достаточно неожиданный.
Независимо друг от друга, датчанин Г.Мор в 1672 году и итальянец Л.Маскерони в 1797
году доказали, что любая задача на построение, разрешаемая циркулем и линейкой, может
быть точно решена с помощью только одного циркуля. Это кажется невероятным, но это
так. А в XIX веке было доказано, что любое построение, выполняемое с помощью
циркуля и линейки можно провести лишь с помощью одной линейки, при условии, что в
плоскости построения задана некоторая окружность и указан ее центр.
Суть решения задач на построение.
Суть решения задачи на построение состоит в том, что требуется построить наперед
указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая фигура и указаны
некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной
фигуры.
Каждая
фигура,
удовлетворяющая
условиям задачи,
называется
решением
этой задачи.
Найти решение задачи на построение – значит свести ее к конечному числу
основных построений, то есть указать конечную последовательность основных
построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться
построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии.
Одной
из
основных
проблем
методики
обучения
решению задач на построение является методика введения и изучения этапов решения
конструктивных задач. Еще в IV в. до н. э. древнегреческие геометры разработали общую
схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь. Процесс
решения задачи разбивают на 4 этапа: анализ, построение, доказательство и исследование.
Рассмотрим каждый этап более подробно.
Анализ
5
Анализ — это важный этап решения задачи, который мы понимаем как поиск
способа решения задачи на построение. На этом этапе должны быть подмечены такие
зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в
дальнейшем построить эту искомую фигуру (если мы знаем, как строить искомую фигуру,
то никакой анализ уже не нужен).
Анализ – подготовительный, предварительный этап решения задачи на построение.
Чтобы облегчить себе поиск связей между искомой фигурой и данными фигурами,
обычно оказывается выгодным иметь перед глазами вспомогательный чертеж, чертежнабросок, изображающий данные и искомые фигуры примерно в том расположении,
которое предусмотрено условием задачи. Чертеж можно выполнить от руки, на глаз – это
проект чертежа, который должен образоваться, когда задача уже решена.
На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие
искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного
чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения исходной фигуры, пристраивая
к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанны в условии задачи.
Если вспомогательный чертеж не подсказывает способа построения искомой
фигуры, то пытаются обнаружить какую-либо часть искомой фигуры или вообще
некоторую
фигуру,
которая
может
быть
построена,
и
которой
затем
можно
воспользоваться для построения искомой фигуры.
Также надо учитывать следующие моменты :
1) если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить
необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то
целесообразно ввести в чертеж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся
точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые
отрезки и т. д. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже
имеющимся прямым;
2) если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти
величины следует ввести в чертеж, то есть следует изобразить их на чертеже-наброске,
если их еще нет на нем;
6
3) в процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и ранее
решенные задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, о которых
говорится в условии рассматриваемой задачи.
В Приложении 3 приведен анализ задачи на построение: “Построить треугольник,
зная основание, меньший угол при основании и разность двух других сторон”.
Из данного примера видно, что при отыскании решения задачи на построение, как и
для арифметических задач, применяется аналитико-синтетический метод. Следуя от
вопроса задачи, учитываем, какие элементы нам известны, и, наоборот, исходные данные
комбинируем так, чтобы построить искомую фигуру.
Название этапа “анализ” не означает, что для отыскания решения применяется
только аналитический метод, подобно тому, как и при доказательстве, которое иногда
называют “синтезом”, не всегда применяется синтетический метод рассуждения. При
разборе задачи, при отыскании путей ее решения анализ и синтез находятся в постоянном
взаимодействии, дополняют и проверяют друг друга.
Построение
Второй этап решения задач на построение состоит из двух частей:
1) перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые
нужно выполнить, согласно анализу, для решения задачи;
2) непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи
чертежных инструментов. Действительно, решить задачу с помощью тех или иных
инструментов — значит указать конечную совокупность элементарных, допустимых для
данных
инструментов,
построений,
выполнение
которых
в
определенной
последовательности позволяет дать ответ на вопрос задачи.
Данный этап вводится при решении самой первой задачи на построение, которой
обычно является задача о построении отрезка, равного данному, на данном луче с концом
в начале этого луча. В беседе, сопровождающей введение этапа, необходимо отметить, в
чем состоит решение любой задачи на построение и указать, что осуществление этого
этапа как раз и состоит в перечислении конечного числа операций построения искомой
фигуры.
7
Доказательство
После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она
условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов
определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи. Значит, доказательство
существенно зависит от способа построения. Одну и ту же задачу можно решать
различными способами, в зависимости от намеченного при анализе плана построения, а
поэтому, и доказательство в каждом случае будет свое. Доказательство представляет
собой часть решения задачи, по своему логическому содержанию обратную анализу. Если
в анализе устанавливается, что всякая фигура, удовлетворяющая поставленным условиям,
может быть найдена таким-то и таким-то путем, то в этой, третьей части решения
доказывается обратное положение. Это обратное положение в общем виде может быть
сформулировано так: если некоторая фигура получена из данных элементов такимто построением, то она действительно удовлетворяет поставленным условиям.
При решении простейших задач, когда все условия задачи находят непосредственное
отражение в плане построения, нет необходимости доказывать, что фигура, полученная из
данных элементов таким построением, является искомой. Например: “Построить
треугольник по двум сторонам и углу между ними”. Здесь доказательство сводится к
простой проверке, такие ли взяли стороны, как данные, и будет ли построенный угол
равен данному. В подобных задачах доказательство является излишним, ибо правильность
решения обеспечивается соответствием построения анализу и данным условия задачи.
Доказательство не просто зависит от анализа и построения, между ними существует
взаимосвязь и взаимообусловленность. Построение проводится по плану, составленному
при анализе. Таких планов можно указать несколько. Построение и доказательство
являются своеобразным критерием правильности и рациональности составленного плана.
Если план не осуществим имеющимися инструментами или же построение оказывается
нерациональным, мы вынуждены искать новый план решения. Аналогичным образом и
доказательство, и исследование влияют на анализ, предопределяя нередко выбор плана
решения.
Хотя доказательство при решении задач на построение проводится аналогично
доказательству теорем, с использованием аксиом, теорем и свойств геометрических
фигур, между ними имеется и некоторое различие. При доказательстве теорем в
большинстве
случаев
без
труда
выделяют
условие
и
заключение.
При
8
решении задач на построение уже труднее найти данные, на основании которых можно
доказать,
что
построенная
фигура
является
искомой.
Поэтому
при
решении
конструктивных задач в классе целесообразно иногда специально выделять, что дано, и
что требуется доказать. Например, при решении задачи: “Построить ромб по двум его
диагоналям”
предлагаем
ученику
записать,
что
дано
(диагонали
взаимно
перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам) и что требуется доказать (стороны
равны). В свою очередь при решении задач дома и в контрольных работах можно не
требовать оформления доказательства с выделением отдельно условия и заключения. Нет
надобности требовать проведения особого доказательства в задачах, где правильность
решения очевидна .
Исследование
При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения,
причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного
решения задачи нужно еще выяснить следующие вопросы: 1) всегда ли (то есть при
любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом; 2) можно
ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить; 3) сколько
решений имеет задача при каждом возможном выборе данных? Рассмотрение всех этих
вопросов и составляет содержание исследования .
Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и
определить число решений. Нередко школьники и даже учителя проводят исследование,
произвольно выбирая те или иные случаи, причем неясно, почему рассматриваются
именно такие, а не какие-либо иные случаи. Остается неясным также, все ли возможные
случаи
рассмотрены.
Практически
в
большинстве
случаев
удается
достигнуть
необходимой полноты исследования, если проводить это исследование по ходу
построения, что является наиболее доступным и целесообразным способом. Сущность
этого приема состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых
слагается построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на
этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то однозначно ли.
9
Изучение типовых задач на построение.
При выполнении графических работ приходится решать многие задачи на
построение. Наиболее встречающиеся при этом задачи — деление отрезков прямой, углов
и окружностей на равные части, построение различных сопряжений прямых с дугами
окружностей и дуг окружностей между собой. Сопряжением называют плавный переход
дуги окружности в прямую или в дугу другой окружности.
Наиболее часто встречаются задачи на построение следующих сопряжений: двух
прямых дугой окружности (скруглением углов); двух дуг окружностей прямой линией;
двух дуг окружностей третьей дугой; дуги и прямой второй дугой.
Построение сопряжений связано с графическим определением центров и точек
сопряжения. При построении сопряжения широко используются геометрические места
точек (прямые, касательные к окружности; окружности, касательные друг к другу). Это
объясняется тем, что они основаны на положениях и теоремах геометрии.
Построение осуществляется циркулем и линейкой. Линейкой можно соединять
любые точки, проводить прямые, отрезки, лучи. Циркулем можно проводить окружность,
любую дугу окружности, т.е. выбирать центр любой и любой радиус. Но, конечно, в
разумных пределах, в пределах чертежа или прибегать к масштабу. Для того чтобы
строить разные задачи, владеть задачами на построение, надо иметь набор опорных
фактов, набор опорных типовых задач на построение. Рассмотрим некоторые из них.
Основные понятия
Окружность
Окружностью называется геометрическая фигура, которая состоит из всех точек
плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости. Эта точка называется центром
окружности. Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, а также его
длина, называется радиусом окружности. AO – радиус.
10
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая
через центр окружности, называется диаметром.
AB – хорда, CD – диаметр.
Прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, называется касательной, а
их общая точка – точкой касания. Pадиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен
касательной.
a – касательная, OA ⊥ a.
Касание окружностей
Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку.
Эта точка называется точкой касания окружностей. Через точку касания можно провести
касательную к одной из окружностей, которая является одновременно и касательной к
другой окружности. Касание окружностей бывает внутренним и внешним.
Касание называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от
касательной.
Касание называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от
касательной
11
Свойства окружности
Теорема.
Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром,
перпендикулярен ей.
Доказательство.
Пусть AB – хорда окружности и C – ее середина. Треугольник AOB –
равнобедренный с основанием AB, так как AO = OB как радиусы. По свойству медианы
равнобедренного треугольника, проведенной к основанию, отрезок OC является высотой.
Поэтому диаметр окружности, проведенный через середину хорды, перпендикулярен
хорде. Теорема доказана.
Теорема.
Прямая, проведенная через центры касающихся окружностей, проходит через
точку их касания.
12
Доказательство.
Соединим центры окружностей с точкой их касания. Получим два отрезка OA и
O1A. Через точку A касания двух окружностей проходит общая касательная b к этим
окружностям. Пусть B точка на прямой b. Тогда ∠ BAO1 = ∠ BAO = 90 °. Следовательно,
угол OAO1 – развернутый и точки O, A, O1 лежат на одной прямой a, перпендикулярной к
касательной b. Теорема доказана.
Окружность, описанная около треугольника
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все
его вершины.
Теорема.
Центр окружности, описанной около треугольника,
является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам
треугольника, проведенных через середины этих сторон.
Доказательство.
Пусть ABC – данный треугольник и O – центр окружности описанной около данного
треугольника. Δ AOB – равнобедренный ( AO = OB как радиусы). Медиана OD этого
треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на
прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину. Так же
доказывается, что центр окружности на перпендикулярах к другим сторонам
треугольника. Теорема доказана.
13
Серединный перпендикуляр. Медиатриса
Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему,
называют серединным перпендикуляром или медиатрисой.
Теорема.
Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются.
Доказательство.
Пусть есть Δ ABC и прямые a, b - серединные перпендикуляры к сторонам этого
треугольника.
Допустим, прямые a и b не пересекаются, а значит a || b. AC ⊥ a, BC ⊥ b, а значит BC ⊥ a,
так как a || b. Таким образом, обе прямые AC и BC ⊥ a, а значит параллельны. А это не
верно, так как AC и BC пересекаются в точке С. Мы пришли к противоречию. Теорема
доказана.
Окружность, вписанная в треугольник
Окружность называется вписанной в треугольник, если
она касается через все его сторон.
Теорема.
Центр окружности, вписанной в треугольник,
является точкой пересечения его биссектрис.
14
Доказательство.
Пусть ABC данный, O – центр вписанной в него окружности, D, E и F – точки
касания окружности со сторонами. Δ AEO = Δ AOD по гипотенузе и катету (EO = OD –
как радиус, AO – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ OAD = ∠ OAE.
Значит AO биссектриса угла EAD. Точно также доказывается, что точка O лежит на двух
других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.
№1 Типовые задачи на построение
Задача 1: Построение угла, равного данному.
Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному
углу.
Решение.
Проведем окружность с произвольным радиусом и центров в вершине A данного угла.
Пусть В и С – точки пересечения окружности со сторонами угла. И проведем отрезок BC.
15
Проведем окружность радиусом AB с центром в точке О – начальной точке данной
полупрямой. Точку пересечения окружности с лучом обозначим B1.
Теперь опишем окружность с центром B1 и радиусом BC. Пусть точка С1 пересечение
построенных окружностей в указанной полуплоскости.
Проведем луч из точки O, через точку С1. Угол C1OB1 и будет искомый.
Доказательство.
16
Треугольники ABC и OB1C1 равны как треугольники с соответствующими сторонами. И
следовательно углы CAB и C1OB1 равны.
Задача 2: Построение биссектрисы угла
Построить биссектрису данного угла.
Решение
Из вершины A данного угла как из центра описываем
окружность произвольного радиуса r. Пусть B и С – точки ее пересечения со сторонами
угла.
Из точек В и С проведем окружности тем же радиусом r. Пусть точка D – точка их
17
пересечения отличная от A.
Проведем луч AD.
Проведем отрезки BD и CD. Δ ABD = Δ ACD, по третьему признаку равенства
треугольников. Отсюда ∠ BAD = ∠ CAD и следовательно AD – биссектриса угла BAC.
Деление отрезка пополам
Разделить отрезок пополам.
Пусть AB данный отрезок. Описываем окружность радиусом AB с
центром в точках A и B. Пусть эти окружности пересекаются в
точках С1 и С2.
Точки С1 и С2 лежат в разных полуплоскостях от прямой AB.
Проведем через точки С1 и С2 прямую. Пусть она пересекает
прямую AB в некоторой точке О. Точка О – средина отрезка AB.
18
Доказательство. Δ C1AC2 = Δ C1BC2 по третьему признаку равенства треугольников
(AC1 = BC1, AC2 = BC2, по построению и С1С2 - общая). Поэтому ∠ AC1C2 = ∠ BC1C2.
Отсюда следует Δ AC1O = Δ BC1O по второму признаку равенства треугольников (∠
AC1C2 = ∠ BC1C2, AC1 = BC1 по построению, OC1 – общая). Следовательно AO = OB и
O – середина отрезка AB.
Построение перпендикулярной прямой
Через точку O провести прямую, перпендикулярную данной прямой a.
Возможно два варианта:
1. точка O лежит на прямой a;
2. точка О не лежит на прямой a.
Решение.
Первый вариант.
Проводим окружность с произвольным радиусом r с центром
в точке O. Окружность пересекает прямую в точках A и B.
19
Из точек A и B проводим окружности с радиусом AB. Пусть тоска С – точка пересечения
этих окружностей.
Искомая прямая проходит через точки С и О.
Доказательство.
Проведем отрезки AC и CB. Δ ACO = Δ BCO по третьему признаку равенства
треугольников (AO = OB, AC = CB, по построению, CO – общая). ∠ COA = ∠ COB = 90 °.
Прямая CO ⊥ AB.
Второй вариант.
Из точки O проводим окружность некоторым радиусом r,
таким чтобы окружность пересекала прямую a. Пусть A и B –
точки пересечения окружности с прямой a.
Проведем окружности тем же радиусом r с центрами в точках A и B. Пусть точка O1 –
точка пресечения этих окружностей, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в
которой лежит точка O.
20
Проведем через точки O и O1 прямую. Это и будет искомая прямая. Доказательство.
Пусть прямые OO1 и AB пересекаются в точке С. Δ AOB = Δ BO1A по третьему признаку
равенства треугольников (AO = OB = AO1 = O1B, по построению, AB – общая). Отсюда
следует, что ∠ OAС = ∠ O1AC. Δ OAC = Δ O1AC по первому признаку равенства
треугольников (AO = AO1, по построению, ∠ OAС = ∠ O1AC, AС – общая).
Следовательно ∠ OСA = ∠ O1CA, а так как эти углы смежные, то они прямые. Поэтому
OC – перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую a.
Построение четвертого пропорционального отрезка
Даны отрезки a, b, c. Построить отрезок x = bc/a .
Решение.
Построим любой неразвернутый угол с вершиной O. На
одной стороне угла отложим отрезки OA = a, OB = b, а на
другой – отрезок OC = c.
21
Соединим точки A и C, а через точку B проведем прямую, параллельную (AC).
Пусть D – точка пересечения этой прямой с лучом OC.
Отрезок OD – искомый.
Доказательство.
По теореме о пропорциональных отрезках: OA/OB = OC/OD
Поэтому OD = OB*OC/OA = b*c/a есть искомый отрезок x.
Построенный отрезок называется четвертым пропорциональным, потому что является
четвертым членом пропорции a : b = с : x.
№2 Построение треугольников
Задача №1. Построить треугольник с данными сторонами a, b, c.
Построить треугольник с данными сторонами a, b, c.
Решение.
С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку B.
22
Раствором циркуля, равным a, описываем окружность с центром B и радиусом a. Пусть С
точка пересечения окружности с прямой.
Теперь раствором циркуля, равным с, описываем
окружность из центра B
Теперь раствором циркуля, равным b, описываем
окружность из центра С. Пусть A – точка пресечения
этих окружностей.
Проведем отрезки CA и BA. Поученный Δ ABC имеет
стороны, равные a, b и с.
Задача №2 Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Дано:
Построить:
ADC, DA=a,DC=b
На прямой отложим отрезок DA равный а. От
прямой DA отложим
23
На луче DB откладываем отрезок DС равный
отрезку b.
Построим
ADC - искомый.
Задача №3 Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.
Дано: Отрезок a, Р А,Р С
Построить D A1B1C1=D ABC РA1=РA,РC1=РC,A1C1=a
Построение
Нa прямой откладываем отрезок
A1C1=a. Откладываем Р А1, Р А1=Р А.
Откладываем Р C1=РC, B=AB∩CB.
№3 Деление окружности
Приемы деления окружности на равные части человек использовал с незапамятных
времен. Например, превращение колеса из сплошного диска в обод со спицами поставило
человека перед необходимостью распределить спицы в колесе равномерно. Выполняя
изображение такого колеса, люди искали точные способы с помощью чертежных
инструментов.
С
делением
окружности
неразрывно
связано
построение
правильных
многоугольников. Они встречаются в древнейших орнаментах у всех народов. Люди уже
тогда оценивали их красоту. Кроме того, они видели эти фигуры в природе. Например,
пятиугольник встречается в очертаниях минералов, цветов, плодов, в форме некоторых
морских животных, шестиугольник просматривается в пчелиных сотах и т.д.
В строительстве широко применяли деление окружности на равные части. Одним из
примеров может служить величественный памятник готической архитектуры – Нотр–Дам
24
де Пари или Собор Парижской Богоматери (30 метров в длину, 108 – в ширину) который
находится в Париже, на острове Сити. Его строили 94 года. Фасад Собора украшает
удивительный витраж 18 века. Этот витраж в архитектуре называется «роза». Диаметр
розы собора Собор Парижской Богоматери12 метров 90 см.
В декоративно-прикладном искусстве дизайнеры, ювелиры с успехом применяли
деление окружности, создавая прекрасные произведения: ордена, медали, монеты,
ювелирные изделия.
При изготовлении многих типичных деталей тоже возникает необходимость в
делении отрезка и окружности на равные части.
Окружность можно разделить на равные части с помощью циркуля. Рассмотрим
несколько построений:
Для того чтобы разделить окружность на восемь равных частей, необходимо
разделить на две равные части дугу, равную 1/4 окружности. Таким образом получим
дугу, равную 1/8 окружности (А4 = A3). Раствором циркуля, равным A3 или А4,
нанесем засечки на окружности, разделив ее тем самым на восемь равных частей.
Последовательно соединив засечки отрезками прямых, получим правильный
восьмиугольник (рис. 64).
Деление окружности на пять и десять равных частей. Построение правильных
пятиугольника и десятиугольника.
Чтобы разделить окружность на пять равных частей, находим середину радиуса
окружности ОА. Приняв точку В за центр, проведем дугу, радиус которой равен длине
отрезка ВС, до пересечения ее с горизонтальным диаметром в точке Е. Отрезок СЕ есть
сторона пятиугольника. Отрезок ОЕ соответствует стороне правильного вписанного
десятиугольника. Отложив величину, равную 1/5 и 1/10 окружности, разделим ее на пять
и десять равных частей. Соединив последовательно засечки (вершины n-угольника)
отрезками прямых, получим правильные пяти- и
десятиугольники (рис. 65).
Деление окружности на три, шесть, двенадцать
равных частей. Построение правильных
многоугольников.
25
Деление окружности на три равные части производится следующим образом. Точка
С (рис. 66) принимается за центр, из которого проводится дуга, радиус которой равен
радиусу окружности. Проведенная дуга пересечет окружность в точках 2 и 3. Дуги 1-2, 13, 2-3 являются третьей частью окружности. Соединив точки 1, 2 и 3, получим
правильный треугольник.
Чтобы разделить окружность на шесть
равных частей, от любой ее точки отложим
отрезки, равные радиусу окружности (R).
Полученные дуги делят окружность на шесть
равных частей. Приняв точки 1, 2, 3, 4, 5, 6 за
вершины шестиугольника, соединим их отрезками
прямых, как показано на рис. 67, а. Таким образом
построим правильный шестиугольник.
Деление окружности на
двенадцать равных частей основано
на откладывании от любой ее точки
отрезков, равных половине радиуса
окружности (R/2). Полученные
дуги разделят окружность на
двенадцать равных частей. Приняв
каждую засечку за вершину
двенадцатиугольника и последовательно соединив их, получим правильный
двенадцатиугольник и определение величины радиуса (рис. 67, б).
Нахождение центра дуги и определение величины радиуса.
В практике выполнения чертежей бывает
необходимо найти центр дуги и определить
величину ее радиуса. Для этого проводят две
26
непараллельные хорды и восставляют перпендикуляры к их серединам.
Точка пересечения перпендикуляров (точка О) есть центр дуги (рис. 68). От центра
замеряют величину радиуса дуги.
№4 Скругление углов
Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса называют
скруглением углов. Его выполняют следующим образом (рис. 32). Параллельно сторонам
угла, образованного данными
Рис. 32
прямыми, проводят вспомогательные прямые на расстоянии, равном радиусу. Точка
пересечения вспомогательных прямых является центром дуги сопряжения.
Из полученного центра О опускают перпендикуляры к сторонам данного угла и на
пересечении их получают точки сопряжения А а В.Между этими точками проводят
сопрягающую дугу радиусом R из центра О.
№4 Симметрия
Симметрия относительно точки
Есть O – фиксированная точка и точка A – произвольная
точка. Проведем прямую через точки AO. Отложим от
точки O отрезок OA` равный OA, так чтобы OA и OA`
были дополнительными. Тогда точка A` называется
симметричной точке A относительно точки O.
27
Преобразование фигуры F в фигуру F`, при котором каждая ее точка A переходит в точку
A`, симметричную относительно данной точки O, называется преобразованием симметрии
относительно точки O. Тогда фигуры F и F` называются симметричными относительно
точки O.
Если преобразование симметрии переводит фигуру в саму
себя, то такая фигура называется центрально-симметричной.
Параллелограмм – центрально-симметричная фигура.
Симметрия относительно прямой
Есть прямая l и точка A не лежащая на прямой. Опустим из точки A на прямую l
перпендикуляр. На продолжении этого перпендикуляра отложим отрезок OA` = OA.
Точка A` является симметричной точке A относительно прямой l.
Преобразованием симметрии
относительно прямой l, называется
такое преобразование фигуры F в
фигуру F`, при котором каждая ее
точка A переходит в точку A`,
симметричную относительно прямой l.
Такие фигуры F и F` называются симметричными относительно прямой l. Если
преобразование фигуры относительно прямой l переводит ее в саму себя, то эта фигура
называется симметричной относительно данной прямой l, а прямая l называется осью
симметрии фигуры.
28
Так ромб симметричен сам себе относительно своих диагоналей. Диагонали ромба
являются его осями симметрии.
Задача. Даны различные точки А и А₁. Построить прямую, относительно
которой эти точки были бы симметричны. (рис.).
Решение. Первый способ:
проведём отрезок АА₁,
разделим его с помощью
масштабной линейки пополам и
через середину отрезка АА₁ с
помощью угольника проведём
к нему перпендикуляр L. Из
того, что АО=ОА₁, и АА₁ ┘└L,
следует точки А и А₁ симметричны относительно прямой L.
Второй способ: Опишем две окружности равных радиусов с центрами А и А1, взяв
радиус r таким, чтобы он был больше половины отрезка АА1 , тогда расстояние АА1
между центрами будет удовлетворять условию │r-r│<AA1<r+r, а потому окружности
пересекутся в двух точках В и С. Нетрудно доказать, что АА1 перпендикулярно ВС и
АО=ОА1, то есть ВС – прямая, относительно которой точки А и А1 симметричны.
29
№5 Задачи для самостоятельного решения.
1. На данной прямой отметьте две точки так, чтобы расстояние между ними было
вдвое больше данного отрезка
2.Постройте окружность данного радиуса, которая проходит через данную точку М
и центр которой лежит на данной прямой а (М € а)
3.Постройте окружность данного радиуса R, которая проходит через данную точку
М и центр которой лежит на данной окружности (точка М не принадлежит данной
окружности)
4.На сторонах угла ВАС найдите точки, удалённые от точки М на заданное
расстояние а (рис. 82). Рассмотрите возможные случаи в зависимости от длины отрезка а.
5.На сторонах угла ВАС постройте точки, удалённые
от точки М на заданное расстояние b (рис.84). Рассмотрите
возможные случаи в зависимости от длины отрезка b.
6.Даны острый угол MNK и тупой угол ABC. От
стороны AB во внутреннюю область угла ABC отложите
угол, равный углу MNK.
7.Постройте отрезок, соединяющий средины двух данных отрезков.
8.Начертите произвольный остроугольный
треугольник ABC и постройте точку пересечения высоты
BD и биссектрисы AL этого треугольника.
9.От данного луча
отложите угол, равный ¼
данного угла.
10. Начертите произвольный остроугольный
треугольник ABC и постройте точку пересечения
высоты AD и медианы BM этого треугольника.
11.От данного луча отложите угол, который в полтора раза больше данного угла.
30
12.Постройте точку, равноудалённую от точек А и В удалённую от точки С на
расстояние, равное PQ (рис.87). Выясните число решений этой задачи в зависимости от
расположения данных точек и длинный отрезка PQ.
13. С помощью циркуля и линейки постройте точку M, такую, чтобы она была
удалена от точки А на расстояние, равное PQ, и так,
чтобы
<МЕО=<MFO (OE=OF) (рис.88). Выясните число
решений этой задачи в зависимости от длины отрезка
PQ.
14. Постройте касательную к данной окружности, образующую с данной прямой
угол 30⁰. Сколько решений имеет задача?
15.Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе треугольника,
проведённый из вершины угла при основании, и углу при вершине.
16.Постройте равнобедренный треугольник по высоте, проведённой к боковой
стороне и углу, который эта высота образует с основанием.
17.Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по отрезку,
соединяющему середины его катетов.
18.Постройте равносторонний треугольник по отрезку, соединяющему середины
двух его сторон.
19.Постройте треугольник АВС по его биссектрисе AD, углу ВАС и углу ADC.
20.Даны окружность радиуса 3 см и принадлежащая ей точка М. Постройте точку,
удалённую от точки М на 2 см и от центра окружности на 1,5 см. Сколько решений имеет
задача?
21.Дан треугольник FKP. Постройте точку, равноудалённую от точек F и P и
находящуюся на расстоянии 1,5 см от точки К. Сколько решений может иметь задача?
22.Прямая а пересекает стороны угла DEF. Постройте точку, принадлежащую углу,
равноудалённую от его сторон и находящуюся на расстоянии 1,5 см от прямой а. Сколько
решений может иметь задача?
31
23.Постройте прямоугольник треугольника по разности катетов и углу,
противолежащему меньшему из них.
24.Постройте равносторонний треугольник по перпендикуляру, проведённому из
середины одной из сторон к его высоте.
25.Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и биссектрисе,
проведённой к основанию.
26.На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух
пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?
27.Задайте ось L и какой-нибудь угол; постройте угол, симметричный данному
относительно прямой.
28.Начертите произвольный треугольник АВС. Во внутренней области отметьте
точку О и постройте треугольник, симметричный данному относительно прямой АО.
29. Найти точку, равноудаленную от трех данных точек.
30. Построить треугольник по данному основанию, боковой стороне и высоте,
опущенной на основание.
31. Построить треугольник по двум углам и медиане.
32. Даны 3 точки: А, В, С. Постройте точку Х, которая равноудалена от точек А и В и
находится на данном расстоянии от точки С.
33. Построить параллелограмм, зная одну из сторон, опущенную на эту сторону
высоту и одну из диагоналей.
34. Построить треугольник, зная отношение трех его сторон и биссектрису угла
№ 6 Задачи математических олимпиад
1. Постройте прямоугольный треугольник по
а) гипотенузе и острому углу;
32
б) гипотенузе и углу между ней и проведенной к ней медианой.
2: Постройте центр данной окружности.
3: Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведенной к третьей
стороне.
4: Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей
стороне.
5: Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и сумме двух катетов.
6: Дан угол и точка внутри него. Постройте отрезок с концами на сторонах угла и
серединой в этой точке.
7 Даны две точки A и B. С помощью только циркуля постройте две точки,
удаленные друг от друга на расстояние а) 2AB; б) 3AB.
8 Постройте прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной
прямой, проведя не более трех линий (т.е. третья проведенная линия и должна быть
искомой параллельной).
9 Дан луч. Проведите из его вершины еще один луч, чтобы получился угол, равный
данному.
10 Разделите отрезок на а) 3; б) на n равных частей.
11 Постройте треугольник по трем медианам.
12 Даны две параллельные прямые и отрезок на одной из них. С помощью линейки
разделите его пополам.
13 Постройте четырехугольник по четырем углам и длинам двух противоположных
сторон.
14 На стороне треугольника постройте точку, сумма расстояний от которой до двух
других сторон (или их продолжений) равна данному отрезку.
33
15 а) Даны окружность, ее центр O и две точки A и B, не лежащие на окружности.
Пользуясь только циркулем, постройте точки пересечения окружности с прямой AB. б) То
же, но центр O не дан.
34
Литература
?????????????
35