Силовой анализ рычажных механизмов с учетом трения в

Лекция №6
Силовой анализ рычажных механизмов с учётом трения в
кинематических парах
Наличие трения в кинематических парах изменяет величину и направление действующих сил. При
наличии трения скольжения сила взаимодействия двух соприкасающихся тел отклоняется от общей
нормали к их поверхностям на угол трения. Тангенс угла трения равен коэффициенту трения скольжения
tgT  f T
(2.80)
В поступательной паре сила F12, приложенная к звену 1 от звена 2, отклоняется от нормали n-n и
составляет с ней угол  T . Как видно из рис. 2.16, а касательная составляющая - сила трения – направлена
против относительной скорости звеньев 1 и 2 12 ; в этом проявляется тормозящее действие трения.
Касательная и нормальная составляющие силы F12 связаны друг с другом соотношением
FT12  f T F12n sign 12
(2.81)
1   2
n
n
; F12  модуль силы F12 .
где sign 12 
1   2
Результирующая сила F равна
n
12
12
(2.82)
F12  F  FT12
Модуль силы F12 и координата h 12 точки ее приложения неизвестны и определяются в ходе силового
расчета. Все сказанное относится и к силе F21 , т.к. F21  F12 (сила F21 на рисунке не показана).
Учет трения во вращательной кинестатической паре
Во вращательной паре (рис. 2.16, б) силы взаимодействияF12  F21 (сила F21 на рисунке не показана)
также отклоняются от нормали n-n, а потому проходят не через центр шарнира О, а по касательной к
окружности (в точке Т), центр которой совпадает с центром шарнира. Круг, ограниченный этой
окружностью, называется кругом трения, его радиус равен T  rц sin T , где rц - радиус цапфы. Так как угол
трения  T обычно не превышает 6-7°, то sin T  tgT  f T . Поэтому с некоторым допущением можно
принять T  rцf T
(2.83)
Модуль силы F12 и направление линии действия этой силы неизвестны и определяются силовым
расчетом.
Действие силы F12 (рис. 2.16, б) можно заменить совместным действием силы F12 , равной F12 и
приложенной в центре шарнира, и пары сил F12 , F12 .
Направление
действия
этой
пары
сил
противоположно угловой скорости 12 , с которой звено 1 вращается относительно звена 2. В этом
проявляется тормозящее действие трения в шарнире.
Пару сил F12 , F12 , приложенную к звену 1 от звена 2, называют моментом трения в шарнире,
величина которого равна
(2.85)
MT12  rцfT F12 sign 12 ,


где sign 12 

1  2
; F12
1  2
-модуль силы F12

Порядок проведения силового расчёта с учётом трения в
парах
В кинематических парах может иметь место постоянная составляющая силы и момента
сил сухого трения, не зависящая от сил в кинематических парах. Это «прилипание» хорошо
обработанных металлических поверхностей или трение в уплотнениях кинематических пар,
зависящее от натяга уплотнительных колец.
Тогда общие выражения для силы трения и момента сил трения в кинематических парах
будут
n
(2.86)
FT12  (FT12  f T F12
)sign 12 ;
(2.87)
MT12  (MT12  rцf T F12 )sign 12 ,
где FT12 и M T12 - постоянные составляющие силы трения и момента сил трения в парах.
Основные положения силового расчета с учетом трения в кинематических парах такие
же, как и расчета без учета трения, поскольку наличие трения не изменяет числа
неизвестных в кинематических парах. Силовой расчет рычажных механизмов с учетом
трения проводят методом итераций (последовательных приближений).
В первой итерации определяются неизвестные силы в кинематических парах при
условии равенства нулю сил и моментов сил трения, зависящих от сил в парах. Во второй
итерации определяются силы и моменты сил трения в зависимости от сил, действующих во
всех кинематических прах, и кинетостатический расчет проводится в том же порядке, но с
учетом дополнительно приложенных сил и моментов сил трения, определенных по
формулам (2.86) и (2.87). Следующие итерации аналогичны второй. Опыт показывает, что
уже второе приближение дает хорошие результаты.
Силовой анализ кривошипно-ползунного механизма с учётом трения
в парах
Расчётная схема механизма
На рис. 2.17 показана расчетная схема кривошипно-ползунного механизма, на которой
показаны силы в кинематических парах, полученные в первой итерации, и дополнительные
силы и моменты трения, необходимые для второй итерации. Остальные силы на этом
рисунке не показаны.
Алгоритм силового анализа кривошипно-ползунного механизма
Выражения для сил и моментов трения, полученные при равенстве нулю постоянных
составляющих моментов трения, имеют вид
Звено 3
(2.88)
FT 34  (FT 34  f T F34 )sign 34
(2.89)
M T32  rц f T F32 sign32
Звено 2
M T 23  M T 32
M T 21  rц f T F21 sign 21
M T 2  M T 23  M T 21
(2.90)
(2.91)
(2.92)
Звено 1
M T12  M T 21
M T14  rц f T F14 sign 14
M T1  M T12  M T14
где 34  B
32  3  2  2
F32  F322 X  F322 y
21  2  1
F21  F212 X  F212 y
14  1
F14  F142 X  F142 y
M T 2 и M T1 - суммарные моменты сил трения, действующие на звенья 2 и 1.
(2.93)
(2.94)
(2.95)
Силовой анализ механизма с гидроцилиндром с учётом трения в
парах
Расчётная схема механизма
На рис. 2.18 представлена схема механизма с гидроцилиндром, на которой также
показаны только силы в кинематических парах и дополнительные силы и моменты трения.
Алгоритм силового анализа механизма с гидроцилиндром
Звенья 1-2
  F21
 ) sign 21
FT 21   FT 21  f T ( F21
(2.96)
MT14  rцfT F14 sign14 ;
(2.97)
MT 23  rцfT F23 sign23;
M T 2  M T14  M T 23;
(2.98)


(2.99)
Звено 3
M T32  M T 23;
M T34  (MT34  rцf T F34 )sign 34 ;
M T3  M T32  M T34 ;
Здесь 14  1 ; 23  1  3 ; 34  3 ;
(2.100)
(2.101)
(2.102)
2
2
F14  F14
X  F14 y ;
2
2
F23  F23
X  F23y ;
2
2
F34  F34
X  F34 y ;
M T 2 и M T3 - суммарные моменты сил трения, действующие соответственно на звенья 1-2 и 3.
Как показывают расчеты, учет переменной составляющей трения в кинематических парах приводит к
изменению значений силовых параметров до 20%.
Графоаналитический метод силового анализа рычажных механизмов
Кривошипно-ползунный механизм
Схема структурной группы со всеми приложенными силами представлена на рисунке 2.19, а. Здесь
главный момент сил инерции звена 2 заменен парой сил FMU2  M u 2 /  2 , приложенных в точках А и В.
Для системы сил, действующих на звено 2, составим уравнение моментов относительно точки В
 M B  0.
2
t
MB (G 2 )  MB (Fu 2 )  MB (FПГ 2 )  MB (FMU 2 )  MB (F21
)  0,
t
где неизвестная составляющая силы F21 направлена произвольно – вниз от точки А.
В развернутом виде уравнение перепишется как
G 2 h G 2  Fu 2 h U 2  FПГ2  h Г 2  FMU2  AB  F21t  AB  0
Откуда неизвестная сила будет
 G 2h G 2  Fu 2h U 2  FПГ2  h Г 2  FMU2  AB
F21t 
AB
(2.103)
Здесь через h с индексами обозначены плечи соответствующих сил относительно точки В. Как видно
t
из формулы для F21 , плечи сил могут быть взяты непосредственно из рисунка группы по рисунку 2.19, а,
невзирая на масштаб его построения.
План кривошипно-ползунного механизма
n
Для определения величин нормальной составляющей силы в точке А F21 и силы F34
векторное уравнение равновесия структурной группы, сгруппировав силы по звеньям:
 F  0.
2,3
t
Или F34  (FC3  FT3 )  FПГ3  Fu3  G3  G 2  FПГ 2  Fu 2  F21
 Fn21  0.
составим
(2.104)
// AB
x
Решим векторное уравнение графически - путем построения многоугольника сил (рис. 2.19,б). Для
этого необходимо выбрать масштабный коэффициент построения плана сил K F , используя любую
известную силу, лучше максимальную – у нас (FC3  FT 3 ).
(F  F )
(2.105)
K F  C3 T 3
Z(FC3  FT 3 )
Тогда отрезки, изображающие остальные известные силы будут
G
F
ZG 2  2 ; ZFПГ 2  ПГ2 и т.д.
KF
KF
Пересечение в точке ''с'' линии, параллельной АВ, и первой, перпендикулярной оси Х, определяет
n
искомые отрезки Z F34 и ZF21 :
F34  Z F34  K F ;
n
F21n  Z F 21  K F .
F21  F21n  F21t
Величина силы равна: F21  ZF 21  K F
Алгоритм определения уравновешивающего момента и остальных
неизвестных силовых факторов
Для силы F34 необходимо определить точку ее приложения. Воспользуемся уравнением моментов для
звена 3 относительно точки .
 M B  0 или M B (G 3 )  M B (FC3  FT 3 )  M B (FПГ3 )  M B (Fu 3 )  M В (F32 )  F34  h 34  0
(2.106)
3
Так как для рассматриваемого примера все остальные силы проходят через точку В, то и сила
F34 также проходят через эту точку и ее плечо h 34  0 .
 F  0 или F34  (FC3  FT3 )  FПГ3  Fu 3  G3  F32  0
3
Неизвестный вектор силы F32 определим с помощью построенного многоугольника сил на рис. 2.19, б,
соединив точки b и c:
F32  ZF32  K F
Рассмотрим равновесие начального звена 1 механизма (рис. 2.19, в). F12  F21
Требуется определить силу F14 в шарнире О и уравновешивающий момент M y .
Из уравнения моментов для звена 1 относительно точки О определим уравновешивающий момент:
 M O  0 или  F12 1 cos 1  M y  0
(2.108)
1
M y  F12 1 cos 1.
Момент M y , совпадающий по направлению с положительной угловой скоростью 1 , будет
положительным, а направленный против 1 будет отрицательным.
Уравнение равновесия ведущего звена имеет вид
F14  F12  0
(2.110)
Отсюда F14  F12  F21