практика 2 ТД и МКТ 2014

,
• Уравнение состояния
• Параметры термодинамических
систем
• Идеальный газ в потенциальном
поле
Основные формулы
P1V1  P2V2
в 
V1 T1

V2 T2
 кв 
p1 T1

p 2 T2
 
n
p   pi
i 1
pV 
m

2kT

m0

3 RT

3kT

m0
8 RT
8 kT


m0
ph  p0 e
RT
 g  h  h0  /  RT 
n  n0 e  g hh0  /  RT   n0 e  m0 gh / kT 
p  nkT
1
p  nm0  кв
3
2 RT
2
1. При откачке сосудов до высокого вакуума необходимо прогревать
стенки сосуда для удаления адсорбированного газа. На сколько может
повыситься давление в сферическом сосуде радиусом R = 5 см, если все
адсорбированные молекулы перейдут со стенок в сосуд? Температура
газа в сосуде T = 300 К. Слой молекул на стенках можно считать
мономолекулярным. Эффективный диаметр молекул d = 3·10–10 м.
Решение:
S  4R
N
p  nkT  kT
V
2
S  NS0  Nd 2
4 3
V  R
3
3kT
p  2  2.8 Па
d R
1.1. Определите число N атомов в 1 кг водорода и массу одного атома
водорода.
2. Объем воздушного шара равен V = 224 м3, масса оболочки
Mш = 145 кг. Шар наполнен горячим воздухом. В нижней части оболочки
имеется отверстие, через которое воздух в шаре сообщается с
атмосферой. Температура воздуха вне оболочки t0 = 0 °C, атмосферное
давление p0 = 1,013·105 Па. При какой минимальной температуре
воздуха внутри оболочки шар начинает подниматься? Молярную массу
воздуха принять равной M = 29·10–3 кг/моль
Решение:
m0 
V 
m0 
 p0V
RT0
m
RT0
 0.0224 ì
p0
V
V
m
 pV
RT
 m0  m g  Mg
3
V T0
V T
g V
V
 T0 
1    Mg
 T 
3. Азот массой 7 г находится под давлением р = 0,1 МПа и температуре T
= 290 К. Вследствие изобарного нагревания азот занял объем М2=10 л.
Определите: 1) объем V1 газа до расширения; 2) температура Т2 газа
после расширения; 3) плотность газа до и после расширения.
Решение:
pV1 
m
RT1
M
mRT1
V1 
Mp
pV2 
m
RT2
M
T2 
MpV2
mR
1 
2 
m
V1
m
V2
1)V1  6,02 103 м3
1  1,16кг / м3
2)T2  481К
 2  0,7кг / м3
4. В закрытом сосуде вместимостью 20 л находятся водород массой 6
г и гелий массой 12 г. Определите: 1) давление; 2) молярную массу
газовой смеси в сосуде, если температура смеси Т = 300 К.
Решение:
p  p1  p2
m1 RT
p1 
M1 V
p2 
RT
p
V
 m1 m2 



 M1 M 2 
RT
m1  m2 
M
Vp
m2 RT
M2 V
1) p  0,75МПа
2)M  3 103 кг / моль
4.1. Средняя квадратичная скорость некоторого газа при нормальных
условиях равна 480 м/с. Сколько молекул содержит 1 г этого газа
5. Определите плотность смеси газов водорода массой т1 = 8 г и
кислорода массой m3 = 64 г при температуре Т = 290 К и при давлении 0,1
МПа. Газы считать идеальными.
Решение:
m

V
m  m1  m2
RT
V
p
(m1  m2 ) p

 m1 m2 

 RT

 M1 M 2 
 m1 m2 

pV  RT 

 M1 M 2 
 m1 m2 



 M1 M 2 
  0,498кг / м3
6. В сосуде вместимостью V = 0,3 л при температуре Т = 290 К
находится некоторый газ. На сколько понизится давление газа в
сосуде, если из него из-за утечки выйдет N = 1019 молекул?
Решение:
m1 RT
p1 
M V
(m1  m2 ) RT mRT
p  p1  p2 

M
V
MV
m N

M
NA
NRT NkT
p 

N AV
V
p  133Па
6.1. Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность
которого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м3.
7. На какой высоте давление воздуха составляет 60% от давления
на уровне моря? Считайте, что температура воздуха везде одинакова и
равна 10 °С
Решение:
p  p0 e

Mg ( h  h0 )
RT
p
e
p0

Mgh
RT
Mgh
p
  ln
RT
p0
RT
p
h
ln
Mg p0
h  4,22км
8. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул
кислорода больше их наиболее вероятной скорости на 100 м/с.
Решение:
кв
2 RT
3RT



в
M
M
кв
RT
 в  ( 3  2 )
M
M
T
R
 кв  в 


 3 2 


2
T  381К
9. Средняя квадратичная скорость некоторого газа при нормальных
условиях равна 480 м/с. Сколько молекул содержит 1 г этого газа
Решение:
кв 
3RT
M
M
3RT
 кв
2
mN A
N
M
N
N  2,04 10 22
mN A  кв
3RT
2
10. Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность
которого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м3.
Решение:
m

V
m
pV 
RT
M
RT p

M

в 
2 RT
в 
M
2p

в  478 м / с
11. Используя функцию распределения молекул идеального газа по
энергиям, найдите среднюю кинетическую энергию () молекул.
Решение:
3
 m0 2 
 m0  2 2
f ( )  4 

  exp  
2

kT
2
kT




dN ( )
2  1 
 f ( ) 
 
Nd 
  kT 
2  1 
 


  kT 

3
2 

0
3
2
3
2
m0 2

2




 exp        f ( )d 
 kT 
0
 
exp  
 kT

d 

3
5
2
2
x
exp

ax
dx


a


0
4
a
3
2  1 
 
 
  kT 
3
2
3
 1 
 
4
 kT 
5
2
3
 kT
2
1
kT
3
  kT
2
12. Используя функцию распределения молекул идеального газа по
энергиям, найдите наиболее вероятное значение энергии молекул.
Решение:
3
2  1 2
  
f ( ) 
 exp   
 
  kT 
 kT 
3

df ( ) d
2  1 2
 



 exp      0


d
d     kT 
kT  



3
2  1  2

   1

  0

 exp    
  kT 
 kT   2  kT 
1
2 


kT
0
1
 в  kT
2
13. Используя закон распределения молекул идеального газа по
скоростям, найдите закон, выражающий распределение молекул по
относительным скоростям и (и = v/vB).
Решение:
2kT
в 
m0
3
 m0 2 
dN
 m0  2 2
 f ( )  4 
   в u
  exp  
Nd
2

kT
2
kT




3
2 2
2


m
m
u
 0 
2 2
0 в
f (u )  4 
в
 u в exp  
2kT 
 2 kT 

3
2
2

m
m
u
2
kT
2kT  2kT


2
0
0
f (u )  4 
exp  

 u
m0
 2 kT 
 2kT m0  m0
f (u ) 
4

u 2 exp  u 2 
14. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре Т,
обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной
скорости не более чем на 5 м/с? Задачу решить для двух значений Т: 1)
400 К; 2) 900 К.
Решение:
dN
4 2
 f (u ) 
u exp  u 2 
Ndu

 В1
u 1
2  8 ,31  400

м / с  1,82  10 3 м / с
0 ,002
2  8 ,31  900
 В2 
м / с  2 ,73  10 3 м / с
0 ,002
N 1
4
4

u1 
 0 ,0046
N
e
3,14  2 ,7  182
N 2
4
4

u 2 
 0 ,003
N
e
3,14  2 ,7  273
u 

 u
B
1
u1 
182
1
u2 
273
15. Рассчитать среднюю длину свободного пробега, коэффициент
диффузии и вязкость при давлении p0 и температуре t0. Как изменятся
найденные величины в результате увеличения объема в n раз 1) при
постоянном давлении, 2) при постоянной температуре. Эффективный
диаметр d.
Решение:
1
8kT
1






m
n


p  nkT

0
D

2
 m0
3
 2d n
3
m0
8kT
kT
kT
8kT



D
2
2
3 2d  m0
 2d p
3 2d 2 p  m0
3
2 n1 T2 p1
 
1 n2 T1 p2
D2 T2 2 p1
 3
D1 T 2 p2
1
p  const D2 T2 2 p1
3
T  const
2
 3
n
D1 T 2 p2
1
2 n1
2 n1

n

n
1 n2
1 n2
2
T2

 n
1
T1
3
2
T
 2
1
T1
3
D2 T2 2 p1
 3
n
D1 T 2 p2
1
2
T2

1
1
T1
16. Азот, занимающий при давлении p1 объем V1 расширяется вдвое.
Найти конечное давление и работу совершенную газом при следующих
процессах 1) изобарном, 2) изотермическом, 3)адиабатном.
Решение:
2) Изотермический процесс
1) Изобарный процесс
A12  p1 V2  V1 
p1V1
p3 
V2
V2
V
dV
 p1V1 ln 2
V
V1
V1
A13  p1V1 
3) Адиабатный процесс

1 1
4

2
pV
p 
V
A14  U14
mi
A14 
R T1  T4 
2
pV 
m

RT
i
A14   p1V1  p4V2 
2
17. Состояние
одного
моля
идеального
газа изменяется по
замкнутому циклу, состоящему из двух изобарических процессов и
двух изохорических. В состоянии 1 температура газа T1 =100 K , в
состоянии 3 температура газа T3 = 400 K . В состояниях 2 и 4
температуры одинаковы. Определить работу, совершенную газом за
цикл.
Решение:
A  A12  A23  A34  A41
A12  A34  0
V3
A23   PdV  P2  dV  P2 (V3  V1 ) 
V1
 v( RT3  RT1 )
A41  v( RT1  RT4 )
A  v( RT3  2RT  RT1 )
P1 T1

P2 T
P1 T

P2 T3
T  T1T3
A  vR( T3  T 1 )2
Нагреватель тепловой машины, работающей по циклу Карно,
имеет температуру 200 С. Какова температура охладителя, если за
счет каждых 4,2 кДж теплоты, полученной от нагревателя, машина
совершает работу 1,68 кДж? Потери на трение и теплоотдачу не
учитываются.
Решение:
T1  T2

T1
T2  T1 (1  )
A

Q1

A
T2  T1 1    284K
 Q1 
Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества
 = 1 моль, находится под давлением р1 = 250 кПа и занимает объем
V = 10 л. Сначала газ изохорически нагревают до температуры Т2 = 400
К. Далее, изотермически расширяя, доводят его до первоначального
давления. После этого путем изобарического сжатия возвращают газ
в начальное состояние. Определить термический кпд цикла.
Решение:
Q1  Q2 A


Q1
Q1
Q1  Q12  Q23
Q12  CV v(T2  T1 )
 V2 
p1V1
T1 
Q23  vRT2 ln  
vR
 V1 
Q2  Q31  C p v(T2  T1 )
V2 T2

V1 T1
vC p (T2  T1 )
  1
 0, 041
 V2 
vCV (T2  T1 )  vRT2 ln  
 V1 
iR
CV 
2
(i  2) R
Cp 
2
19. Замкнутый цикл происходит в тепловом двигателе с идеальным
одноатомным газом согласно рисунку. Найти кпд и T1 если известно
T2 = 600К T3 = 450К T4 = 300К.
Решение:
V1 V2

T1 T2
V4 V3

T4 T3
V4  V1
V2  V3
p1  p2
p3  p4
T2T4
T1 
T3
A   p1  p4 V2  V1    R T2  T3  T1  T4 
Q1  A12  U 42
m
pV  RT
M
3
5
3 

 p1 V2  V1    R T4  T2    R  T2  T1  T4 
2
2
2 

T2  T3  T1  T4
A
 
 14, 4%
Q1 T2  5 T1  3 T4
2
2
17. Моль идеального одноатомного газа нагревают от температуры T1 до
температуры T2 так что в процессе нагрева p/V=const. Определите молярную
теплоемкость и рассчитайте количество теплоты, поглощенное газом при
нагревании.
Решение:
2
i m
p
V
 const
 Q  dU   A 
RdT  pdV V  const
T
2
2
2
V
dV
V
m
 2 0
 Q  CdT
T dT T

dV 1 V

dT 2 T
i
m dV
C  R p
2
 dT
pV 
m

i
R i 1
C  R 
R
2
2
2
RT
i
T dV
C  RR
2
V dT
Q
m

T2
C  dT 
T1
m

C T2  T1 
18. Определить изменение энтропии при изотермическом расширении азота
массой m, если давление уменьшилось в n раз.
Решение:
2
S  
1
Q
2
1
Q
 Q 
T
T1
T
 Q  dU   A
V2 m
V2 m
p1
AT  p1V1 ln  RT ln  RT ln
V1 
V1 
p2
p1 m
p1
1m
S 
RT ln
 R ln
T 
p2 
p2
S 
m

R ln n
QA
20. Некоторый газ количеством ν=0,25 кмоль занимает объем V1 =1 м3.
При расширении газа до объема V2 =1,2 м3 была совершена работа против
сил межмолекулярного взаимодействия A =1,42 кДж. Определить поправку a , входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.
Решение:
A
V2
 p ' dV
V1
v2a
p'  2
V
2


v
a(V2  V1 )
dV
1
1
2
2
A  v a 2  v a   
V
VV
 V1 V2 
1 2
V1
V2
AV1V2
a 2
v (V2  V1 )