Тема 1: Системы счисления

Тема 1:
Системы
счисления
Определения
Система счисления — это знаковая
система, в которой числа записываются
по определённым правилам с символов
некоторого алфавита, называемых
цифрами.
Алфавит систем счисления состоит из символов,
которые называются цифрами.
Например: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Системы счисления
Непозиционные
Системы
счисления, в
которых каждой
цифре
соответствует
величина, не
зависящая от её
места в записи
числа
Древнегреческая,
кириллическая,
римская
Позиционные
Системы счисления, в
которых вклад каждой
цифры в величину
числа зависит от её
положения (позиции) в
последовательности
цифр, изображающей
число
Десятичная, двоичная и т.д.
НЕПОЗИЦИОННЫЕ
СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ
Унарная система счисления
Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день,
1 камень, 1 баран, …Этот способ записи чисел называют ещё
единичной ("палочной”) системой счисления. Любое число в
ней образуется повторением одного знака - единицы.
Например, перуанцы употребляли для запоминания чисел
разноцветные шнуры с завязанными на них узлами.
Количество предметов изображалось нанесением черточек или
засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине, на
костях животных или ветках деревьев
Древнеегипетская
система счисления
Очень наглядной была система
таких знаков у египтян.
Египтяне придумали эту систему
около
5 000 лет тому назад.
Это одна из древнейших систем
записи чисел, известная человеку
Египетская нумерация
1
10
100
1000
1000
100 000
1 000 000
10 000 000
Как и большинство людей для счета небольшого
количества предметов Египтяне использовали
палочки
Каждая единица изображалась отдельной палочкой
Такими путами египтяне связывали коров
Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф
повторяли нужное количество раз.
Тоже самое относится и к остальным иероглифам.
Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки
после разлива Нила.
Цветок лотоса
Поднятый палец - будь внимателен
головастик
Увидев такое число, обычный человек очень удивится
и возденет руки к небу
Египтяне поклонялись богу Ра, богу Солнца и, наверное,
так изображали самое большое свое число
1 245 386
Число
в древнеегипетской записи будет выглядеть
1
2
4
5
3
8
6
Как же египтяне
считали?
Оказывается, умножение и
деление
они производили путем
последовательного
удвоения чисел - фактически
представлением числа в
двоичной системе
Алфавитные системы счисления
В середине
V в. до н. э. появилась запись чисел нового типа, так
называемая алфавитная нумерация.
кириллическая нумерация
В этой системе записи числа
обозначались при помощи букв
алфавита., над которыми ставились
черточки: первые девять букв
обозначали числа от 1 до 9,
следующие девять - числа 10, 20, 30,
..., 90, и следующие девять - числа
100, 200, ..., 900.
Таким образом, можно было
обозначать любое число до 999.
90
900
Древнегреческая нумерация
Запись алфавитными символами
могла делаться в любом порядке,
так как число получалось как
сумма значений отдельных букв.
Например,
записи –   
все эквивалентны и означают
число 532.
90
900
500 - 
30 - 
Однако выполнять
арифметические вычисления в
такой системе было настолько
  
трудно, что без применения каких- 500 30 2
то приспособлений оказалось
обойтись практически невозможно
2
-


2 500 30
 
500 2 30
Славянская кириллическая нумерация
(непозиционная)
Алфавитная система была принята
и в Древней Руси.
Эта форма записи чисел
получила большое
распространение в связи с тем,
что имела полное сходство с
греческой записью чисел.
Если посмотреть внимательно,
то увидим, что после "а" идет
буква "в", а не "б" как следует
по славянскому алфавиту, то
есть используются только
буквы, которые есть в
греческом алфавите.
Чтобы различать буквы и цифры,
над числами ставился особый
значок — титло ( ~ ).
Так можно было записывать числа до 999.
Для больших чисел использовался знак тысяч , который
ставился впереди символа, обозначавшего число
До XVII века эта форма записи
чисел была официальной на
территории России, Белоруссии,
Украины, Болгарии, Венгрии,
Сербии и Хорватии.
До сих пор православные
церковные книги используют эту
нумерацию.
Римская система счисления
Возникла эта нумерация в древнем Риме.
В ней имеются узловые числа: один, пять и т. д.
Остальные числа получались путем прибавления или
вычитания одних узловых чисел из других
Например,
четыре записывается как IV (пять минус
один,
восемь — VIII (пять плюс три),
сорок—XL (пятьдесят минус десять),
девяносто шесть—XCVI (сто минус
десять плюс пять и плюс еще один) и т. д.
Правила:
 не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
(обычно)
 Если меньшая цифра (только одна!) стоит слева от
большей, то она вычитается, если справа прибавляется.
 Чтобы записать число, римляне разлагали его на
сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков,
пятков, единиц. Например:
MDCXLIV = 1000 + 500 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5 = 1644
2389 = 2000 + 300 +
MM
CCC
80
LXXX
2389 = M M C C C L X X X I X
+
9
IX
Примеры:
XCIX = (100–10)+(10 – 1)
MCMXCVIII = 1000 + (1000–100)
+ (100–10) +5 + 1+ 1+1
Недостатки римской системы счисления:
 для записи больших чисел (>3999) надо вводить
новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M)
 как записать дробные числа?
 как выполнять арифметические действия:
CCCLIX + CLXXIV =?
Где используется:
 номера глав в книгах:
 обозначение веков: «История XX века»
 циферблат часов
Арабская нумерация
Это, самая распространенная на сегодняшний день нумерация,
которой мы пользуемся в настоящее время.
Применяемые в настоящее время цифры 1234567890
сложились в Индии около 400 г.н.э
Арабы стали пользоваться подобной нумерацией
около 800 г.н.э., а примерно в 1200 г.н.э. ее начали применять в
Европе, однако в Европе они стали известны благодаря трудам
арабских математиков, и потому за ними утвердилось название
«арабские», хотя сами арабы вплоть до настоящего времени
пользуются совсем другими символами.
Арабские цифры:
В России арабская нумерация стала использоваться при Петре I
(до конца XVII века сохранилась славянская нумерация)
В древней Индии и Китае существовали системы
записи, построенные на
МУЛЬТИПЛИКАТИВНОМ ПРИНЦИПЕ.
В таких системах для записи одинакового числа
единиц, десятков, сотен или тысяч применяются
одни и те же символы, но после каждого символа
пишется название соответствующего разряда.
Если десятки обозначить символом Д,
а сотни - С, то число 325 будет выглядеть
так : 3С2Д5.
Между II и VI вв.н.э. Индийцы познакомились с
греческой астрономией.
Индийцы и соединили греческие принципы
нумерации со своей десятичной
мультипликативной системой.
Из арабского языка заимствовано и слово "цифра"
(по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место"
Это слово применялось для названия знака пустого разряда,
и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке
появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто).
Форма индийских цифр претерпевала многообразные
изменения.
Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI
веке.
По мнению марроканского историка Абделькари Боунжира
арабским цифрам в их первоначальном варианте было
придано значение в строгом соответствии с числом углов,
которые образуют фигуры
Сегодня мы настолько сроднились с 10-ной системой
счисления, в которой десять цифр.
Так что не представляем себе иных способов счета.
Но до наших дней сохранились что следы счета
шестидесятками.
Ведь до сих пор мы делим час на 60 минут, а минуту на 60
секунд. Окружность делят на 360, то есть 6*60 градусов, градус на 60 минут, а минуту - на шестьдесят секунд.
в сутках 24 часа, а в году 365 дней.
Таким образом,
•время (часы и минуты) мы считаем в 60-ной системе,
•сутки - в 24-ной,
•недели в 7-ной,
Наиболее совершенными являются позиционные
системы счисления, т.е. системы записи чисел, в
которых вклад каждой цифры в величину числа
зависит от её положения (позиции) в
последовательности цифр, изображающей число
Например, в числе 53 цифра "5" в разряде
десятков дает числу вклад в 50 единиц
(5*10).
Позиционные системы счисления результат
длительного исторического развития
непозиционных систем счисления
ПОЗИЦИОННЫЕ
СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ
В позиционных системах счисления
количественный эквивалент (значение)
цифры зависит от её места (позиции) в
записи числа. Позиция цифры в числе
называется разрядом. Разряд числа
возрастает справа налево, от младших
разрядов к старшим.
Количество цифр (знаков), используемых для
представления чисел называют
Основанием системы счисления
Десятичная система счисления
Первоначально – счет на пальцах. Изобретена в Индии,
заимствована арабами, завезена в Европу
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Основание (количество цифр): 10
сотни десятки единицы
2
1
0
3 7 8
300 70
разряды
= 3·102 + 7·101 +
8·100
8
Запись числа в полной (развёрнутой)
форме производится в виде суммы
ряда степеней основания (например
10) с коэффициентами, в качестве
которых выступают цифры данной
системы счисления.
55510 = 500 + 50 + 5 = 5* 100 + 5 * 10 +
5 * 1 = 5*102+5*101 +5*100
Пример:
7126, 28410=
= 7*103 +1*102+2*101+6*100+2*10-1 +8*10-2+4*10-3
Задание:
Записать 7856,40310 в развёрнутом виде.
Задание:
Записать 1946,20510 в развёрнутом виде.
Другие позиционные системы:
– двоичная, восьмеричная,
шестнадцатеричная (информатика)
– двенадцатеричная (1 фут = 12
дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
– двадцатеричная (1 франк = 20 су)
– шестидесятеричная (1 минута = 60
секунд, 1 час = 60 минут)
Позиционные системы счисления
Система
счисления
Осно
вание
Алфавит цифр
Десятичная
10
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная
2
0, 1
Восьмеричная
8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная
16
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F.
Запись двоичного числа в полной
форме:
В двоичной:
11011, 012 = 1* 24 + 1*23 + 0*22 +1*21 +
1*20 + 0*2-1+1*2-2
Решаем пример:
101001,1012 =
Запись восьмеричного числа в
полной форме:
В восьмеричной:
673,28= 6*82 +7*81+3*80+2*8-1
Решаем пример:
703,048=
Запись шестнадцатеричного
числа в полной форме:
В шестнадцатеричной:
8A,F16= 8*161+10*160+15*16-1
Решаем пример:
В2Е,416 =
Контрольные вопросы
1.Что такое система счисления?
2.Чем отличаются позиционные системы
счисления от непозиционных?
Приведите примеры позиционных и
непозиционных систем счисления.
3.Что такое основание системы счисления?
4. Система счисления с каким основанием
была самой первой?
5. В какой стране впервые стали
использоваться специальные обозначения
для 5,10,100,1000,1000000?
Домашнее задание:
1) Учить п.2.7.1., 2.7.2. стр.121-129 (Учебник
Угриновича, проф. уровень)
2) Решить примеры: Некоторые римские цифры легко
изобразить, используя палочки или спички. Ниже
написано несколько неверных равенств. Как можно
получить из них верные равенства, если
разрешается переложить с одного места на
другое только одну спичку (палочку)?
VII – V = XI
IX – V = VI
VI – IX = III
VIII – III = X
3) Записать в полной форме числа
7856,40310
64,518
19,9910
39,F16
10,1012
568,А716