Математическая модель преобразования волновых полей в

Математическая модель преобразования волновых полей
в пространстве
Модели преобразования волновых полей в пространстве
При анализе дифракционных явлений, обычно различают три области
формирования дифракционной картины электромагнитного поля
В первой области, располагающейся буквально на расстоянии
нескольких длин волн от препятствия, формируется поле полностью
соответствующее резкому изображению препятствия. В этой области
предполагается ещё прямолинейное распространение света и полное
отсутствие явлений дифракции. Экран, на котором наблюдается
изображение препятствия, расположен или почти вплотную к
препятствию, или область распространения поля в близи препятствия
проецируется на удалённый экран с помощью какой – либо оптической
системы
Во второй области, часто называемой ближней зоной или зоной
дифракции Френеля, формируется дифракционное изображение
препятствия. В этом случае экран, на котором наблюдается
дифракционное изображение препятствия располагается на некотором
удалении от препятствия
В третьей области, называемой дальней зоной или зоной дифракции
Фраунгофера, формируется дифракционное изображение источника
излучения. В этом случае экран, на котором наблюдается
дифракционное изображение источника излучения располагается в
бесконечности
Коэффициент отражения по амплитуде
- комплексная функция
Её модуль
и фаза
показывают, во сколько раз изменяется
амплитуда и соответственно насколько изменяется фаза излучения в
точке (x,y,z) поверхности объекта после отражения (здесь фаза – угол
отражения)
Коэффициент отражения по интенсивности
B(x,y) - коэффициент отражения излучения по интенсивности
Зная функцию
, уравнение поверхности тела F(x,y,z) = 0 и
распределение амплитуды и фазы падающего на объект света, можно в
принципе вычислить распределение амплитуды и фазы рассеянного
света в произвольной точке пространства

Пусть
- распределение амплитуды и
фазы освещения на поверхности объекта

Тогда поле на некоторой поверхности наблюдения можно описать с
помощью интегрального соотношения Кирхгофа [Борн М., Вольф Э.]
•Интегрирование производится на поверхности объекта F(x,y,z)
•Вид ядра этого преобразования Т( x, y, z, , ,  ) зависит от
пространственного расположения объекта и поверхности наблюдения.

Это преобразование в принципе обратимо

где
- это оператор, взаимный Т , а интегрирование происходит
по поверхности наблюдения S
Выражение описывает процесс восстановления волнового поля

Функцию ( , ,  ) можно назвать математической голограммой

Вычисление интеграла в общем случае представляет довольно
сложную задачу

Её удаётся решить только для очень простых объектов, заданных
небольшим количеством отдельных линий или точек. В общем случае
приходится прибегать к различного рода упрощениям

Первое упрощение, к которому можно прибегнуть без большого
ущерба, состоит в сведении трёхмерной задачи к двухмерной

Для этого поверхность наблюдения считается плоской, а
распределение амплитуды и фазы волны на поверхности объекта
заменяется по законам геометрической оптики распределением
амплитуды и фазы на плоскости, касающейся объекта или достаточно
близкой к нему (чтобы при пересчёте амплитуды и фазы пренебрегать
дифракцией и пользоваться геометрической оптикой) и параллельной
плоскости наблюдения
.
где b1(x,y) – комплексная функция, полученная в
результате пересчёта амплитуды и фазы поля,
отражённого
объектом
на
плоскость
(x,y),
касательную к нему и параллельную плоскости
наблюдения
Пусть d – расстояние между двумя плоскостями. Плоскостью
(x,y) на которой распределение известно и плоскостью в
которой нам необходимо определить вид волнового фронта

Ядро преобразования, связывающее распределение света на двух
параллельных плоскостях, имеет вид
где  - длина волны излучения

Очевидно, если угол, под которым виден объект с поверхности
наблюдения (угол охвата) и площадь наблюдения малы, это
естественная аппроксимация

Для задач, где угол охвата должен быть велик, такой подход означает
необходимость сведения их к задаче расчёта при малом угле охвата

При этом для реализации больших углов охвата поверхность
наблюдения
можно
разбить
на
небольшие
фрагменты,
аппроксимируемые плоскостями, и рассматривать голограммы для
отдельных фрагментов, каждая из которых представляет часть общего
угла и воспроизводит объект под своим ракурсом

Для этого можно воспользоваться методом конечных элементов

Второе упрощение

Если геометрические параметры тела малы по сравнению с
расстоянием d до плоскости наблюдения, то это вместе с условием
малости площади наблюдения приводит к дальнейшему упрощению

При


где qmax – максимальный угол (в радианах), под которым
наблюдается объект с расстояния d ;
k – коэффициент допустимой фазовой ошибки, равной , в
передаче аргумента экспоненты в ядре преобразования между
параллельными плоскостями

В этом случае ядро преобразования:

а преобразование записывается в виде интеграла Френеля:

Преобразование, описываемое этим соотношением, называется
преобразованием Френеля
Огюстен Жан Френель
(1788 - 1827)



Огюстен Жан Френель родился в Бройле, на севере Франции
Отец его был архитектором. Удалившись в свое имение от тревог
революции, он сам дал начальное образование своим детям
Шестнадцати лет Огюстен был принят в Политехническую школу,
которую и окончил по отделению мостов и дорог

Как инженер путей сообщения Френель служил в департаменте Вер до
марта 1815 г. В период 100-дневного правления Наполеона он
поддерживал роялистов. После своей отставки Френель поселился в
Нормандии и занялся оптикой. Заинтересовавшись недавно открытым
явлением поляризации света, он довольно скоро пришел к идеям
волновой теории света

По настоянию Араго он в 1819 г. представил свой знаменитый мемуар
в Парижскую Академию. В последующие годы Френель занимался
устройством маяков; он разработал их оптику и изобрел составные
линзы — линзы Френеля

В 1823 г. он стал членом Парижской Академии и в 1825 г. был избран
иностранным членом Лондонского Королевского общества. Умер
Френель в возрасте 39 лет. Его “Мемуар о дифракции света”, удостоен
премии Академии наук и опубликован в 1819 г.

Третье упрощение

Если

то этими составляющими можно пренебречь. В этом случае интеграл
Френеля переходит в интеграл Фурье:

который соответствует дальней зоне дифракции (дифракции
Фраунгофера)

Преобразование Френеля в вычислительном отношении удобнее
выразить через интегральное преобразование Фурье
Фурье
Жан Батист Жозеф
(21.III 1768 - 16.V 1830)

Французский математик, один из основоположников математической
физики, член Института Франции (с 1817). Родился в Оксерре

Сын бедного портного, осиротел в восьмилетнем возрасте. Учился в
военной школе в Оксерре. В 1784 - 1787 и в 1789 - 1793 преподавал
там же риторику, историю и философию. С 1781 начал заниматься
математикой. В 1795 был направлен в Политехническую школу
(Париж) учеником, но вскоре стал в ней преподавателем, затем
профессором. Принимал участие в Египетской кампании Наполеона

С 1798 - непременный секретарь Египетского института, где развил
значительную научную и организаторскую деятельность. В 1799
возглавил одну из научных экспедиций в долине Верхнего Нила. Был
шефом юридической администрации, исполнял дипломатические
поручения французских властей. В 1801 работал в ведомстве
народного просвещения Франции. С 1802 - префект департамента
Изеры. С 1827 - председатель Совета усовершенствования
Политехнической школы




Избрание Фурье в Институт Франции по Секции математики (1816)
не было утверждено королем. Вторично он был избран по Секции
обшей физики (1817). С 1822 - непременный секретарь Секции
математики Института Франции
Основные работы относятся к теории тепла и теории уравнений с
частными производными. Вывел уравнение теплопроводности и
развил методы его интегрирования при различных граничных
условиях, чем заложил основы математической физики
Разработал
учение
о
представлении
функций
в
виде
тригонометрических рядов (ряды Фурье). Доказал свою знаменитую
теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения,
расположенных в заданном интервале. Разрабатывал теорию
алгебраических уравнений и их численного решения. Опубликовал
много мемуаров по вопросам математической статистики, В области
динамики исследовал принцип виртуальных работ. Написал ряд
статей по теории вероятностей, а также о творчестве отдельных
ученых. Внес основополагающий вклад в египтологию
Член французской академии (с 1826), почетный член Петербургской
АН (с 1829), иностранный член Лондонского королевского общества

Преобразование Фраунгофера представляет собой с точностью до
множителей пространственный Фурье-спектр функции

взятый по координатам Vx ,Vy

в масштабе
b1(x,y):
Фраунгофер Йозеф
(1787-1826),
немецкий физик-оптик








исследовал явление дисперсии и достиг успехов в изготовлении
ахроматических линз
изобрел метод точного определения формы линз, изобрел машину для
шлифования ахроматических линз; сконструировал спектрометр,
ахроматический микроскоп, окулярный микрометр и гелиометр
впервые наблюдал, исследовал и объяснил темные линии в солнечном
спектре и измерил их длину волны (1814-15, независимо от У. Волластона,
фраунгоферовы линии)
изучил дифракцию в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера)
широко использовал дифракционные решетки





Сын бедного стекольщика, работал в мастерской отца. После его смерти (1798) в
двенадцать лет поступил обучаться, затем работать в зеркальной и стекольной
мастерской в Мюнхене.
Свободные от работы часы Фраунгофер посвящал чтению и самообразованию. По
выходе из ученья он приобрел машину для шлифовки оптических стекол, но
принужден был добывать себе, однако, средства гравировкой визитных карточек.
С 1806 ассистент математического и оптического института (находился в Мюнхене,
затем в Бенедиктбёйерне), где изготовлялись линзы и оптическая аппаратура. В 1809
стал одним из его руководителей, в 1818 — его директором.
Основанная в 1814 году при участии Фраунгофера фирма «Утцшнейдер и
Фраунгофер», быстро приобрела мировую известность как выпускающая для крупных
обсерваторий оптические приборы, главным образом рефракторы и зрительные трубы,
высокого качества.
С 1823 хранитель физического кабинета Мюнхенского университета и член Баварской
АН, с 1824 член Академии Леопольдина. Фраунгофер изобрёл окулярный микрометр и
своеобразный объективный микрометр. Изучая показатели преломления различных
сортов стекла, в 1814 открыл (независимо от английского физика У. Волластона) и
описал линии поглощения в солнечном спектре (фраунгоферовы линии). В 1821
впервые применил дифракционную решётку для изучения спектров. Предложил метод
наблюдения дифракции света в параллельных лучах.

Таким образом, при прохождении оптического волнового фронта
через свободное пространство на некотором расстоянии происходит
преобразование Френеля, которое далее, при увеличении
расстояния, переходит в преобразование Фурье
Границы применения моделей дифракции

Для получения комплексной амплитуды исходного волнового
фронта необходимо сделать обратное преобразование

Для этого в плоскость необходимо поместить линзу

Рассмотрим простейшую оптическую схему. На линзу падает
распространяющаяся в направлении z плоская волна с
комплексной амплитудой непосредственно вблизи линзы

Комплексная амплитуда в плоскости y2 будет иметь вид, похожий на
интегральное преобразование Фурье

Фотоприемники регистрируют интенсивность

При этом фазовый множитель сокращается поскольку

Если на тонкую линзу с примыкающим к ней транспарантом
падает плоская волна, то в задней фокальной плоскости линзы
образуется
распределение
комплексных
амплитуд,
пропорциональное
произведению
фазового
множителя
сферической волны и Фурье-образа пропускания транспаранта

При распространении волнового поля, отраженного от диффузного
объекта, на некотором расстоянии d происходит преобразование
Френеля комплексной амплитуды, которое с увеличением
расстояния переходит в преобразование Фурье

Для получения комплексной амплитуды исходного волнового
фронта необходимо сделать обратное преобразование. Для этого в
плоскость
необходимо поместить линзу. В плоскости
с
точностью
до
постоянных
множителей
распределение
интенсивности совпадет с распределением на плоскости объекта
Результаты моделирования
распределение интенсивности в плоскости наблюдения
Френеля
Фурье
Рассчитываем голограмму, для этого массив преобразования Френеля
домножаем на
, имитируя освещение плоской
наклонной волной
Последнее изображение – восстановленный объект. На нём в центре
паразитная засветка от нулевого порядка дифракции и два
восстановленных изображения – мнимое и действительное